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小学数学思维训练
----定义新运算
一、知识讲解：
“定义新运算”是针对已有的常规运算而言的。例如常见的加、减、乘、
除运算，有一定的运算定义、运算符号和运算法则，这些是约定俗成的四则运
算。而定义新运算是指运用某些特殊符号来表示特定的意义，按照一
定的关系“临时”规定
的一种运算法则进行的运算，是一种人为的、临时性的运算形式。它使用的是
一些特殊的运算符号，如*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、
÷”不同的。这些特殊运算符号本身并不重要，重要的是在具体题目中各种符
号规定哪种运算以及运算顺序。学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的
学习都大有益处。
学习“定义新运算”，关键是要能巧妙将“新”运算转化成“旧”运算。
即深刻理解这些特殊运算符号的规定，理解其含义，然后严格按照新定义的计
算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。新定义的算式中
有括号的，要先算括号里面的。还要注意的是，新定义运算都有自己的特点，
在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
二、例题解析
例1 对于自然数a、b，规定a※b＝（a＋b）÷2，求5※（6※8）的值。例2 定义运算“☆”：a☆b＝2a＋3b－6,求7☆9＝？ 9☆7＝？
[来源:学科网]
分析：新运算符 号
☆的含义表示：第一个数的2倍加上第二个数的3倍再减去6。
解：7 ☆9＝2×7＋
3×9－6＝14＋27－6＝35
9☆7＝2×9＋3×7－6＝18＋21－6＝33
说明：这个例题中，7☆9≠9☆7，所以我们不能随意交换参与运算的两
个数的先后顺序。
例3 规定a △ b＝a＋（a＋1）＋（a＋2）＋（a＋3）＋…＋（a＋b－
1），其中a，b表示自然数。求：3△8的值。
分析：由新运算△的含义可知：从第一个数开始的自然数相加的和，加数
的个数为第二个自然数减1。
解：3△8＝3＋（3＋1）＋（3＋2）＋（3＋3）＋（3＋4）＋（3＋5）＋
（3＋6）＋（3＋7）＝52
例4 如果1*5＝1＋11＋111＋1111＋11111，2*4＝2＋22＋222＋2222，
3*3＝3＋33＋333，4*2＝4＋44，那么7*4＝______； 210*2＝
________。例5 对两个自然数a和b，定义a☆b为它们的最小公倍数与最大公因数的
差，即a☆b=[a，b]-（a，b）。
如，12和8的最小公倍数是24，最大公约数是4，那么12☆8＝24－4＝
20。
（1）求14☆21的值；
（2）已知6☆x＝27，求x的值。
解：（1）14☆21＝[14，21]－（14，21）＝42－7＝35；
（2）因为定义的新运算“☆”没有四则运算表达式，所以不能直接把
数 代 入 表 达 式 求 x ， 只 能 用
推理的方法。
因为6☆x=[6，x]－（6，x）＝27，而6与x的最大公约数（6，x）只
能是1，2，3，6。所以6与x的最小公倍数[6，x]只能是28， 29， 30，
33。这四个数中只有 30是 6的倍数，所以 6与x的最小公倍数和最大公因
数分别是30和3。因为a☆b＝[a，b]×（a，b），
所以6☆x=30×3，由此求得x＝15。
三、巩固练习（一）选 择题
1．已知a＃b表示a的3倍减去b的 ，求6＃12的值（ ）
A．37 B．15 C．2b
2．对于任意数x、y，定义运算“◎”：x◎y＝(5x＋6y)÷4,求12◎9的值
为（ ）
A．29 B．28 C．28
3．A、B表示两个数，规定A§B＝ ，求3§（4§7）（ ）
A． B． C．
4．对于数a、b、c、d，规定《a、b、c、d》＝3ab－ ，已知《1、2、x、
3》的值为2（ ）
A．12 B． C．1
0
5．规定5⊙2＝5＋55，6⊙3＝6＋66＋666，4⊙4＝4＋44＋444＋4444；
[来源:学*科*网]
求2⊙5的值是（ ）
A．2469 B ．
24680 C．24690
（二）填空题
[来源:学。科。网Z。X。X。K]
1．如果规定a※b=13×a-b÷8，那么17※24的最后结果是 。2．x、y 表示两个数，若定义 x△y= ，那么 5△（10△15）=
。
3．定义新 运算“”：
A●B＝AB－A＋B ，求
4●9＝ 。
4．现定义两种运算：“ ”、“ ”，对于任意整数 、 ，
，则 = 。
5．假设A＃B表示A的3倍减去B的2倍，即A＃B＝腻3A－2B，
已知x＃（4＃2）＝5，那么x＃4 。
（三）解答题
p、q p q p2 p q
1、设 是两个数，规定 △ ＝ +（ － ）×2。求30△（5△3）。
2、定义新运算：a▲b＝4a－3b,且x▲（5▲2）＝46，求x的值。
3、 设P★Q=5P+4Q，当X★9=91时， ★（X★ ）的值是多少？
4、“※”表示一种新运算符号，含义是：x※y＝ ＋
，
已知2※1＝ ，则2004※2005的值是多少？
5 、 规 定 ＆ 为 一 种 新 的 运 算 符 号 ， 它 使得下列算式都成立：4＆
8＝16，8＆4＝20，6＆10＝22，16＆12＝44，求9＆3的值。
巩固练习答案：
（一）选择：1．B；2．C；3．A；4．A；5．C
（二）填空；1．218；2．2；3．41；4．160；5．13
（三）解答：
1 、 902 ． 解 ： 30△ （ 5△3 ） ＝ 30△ ［ 52 + （ 5 － 3 ） ×
2 ］
[来源:学#科#网]
＝30△29 ＝ 302 +（30－29）×2 ＝902
[来源:Z&xx&k.Com]
2、22．解 ：5▲2＝4×5
－3×2＝14
由 x▲ （ 5▲ 2 ） ＝ 4×x － 3×14 ＝ 46 得 到 x
＝22。
3、225．解：由5X+4×9＝91，得X＝11；
★（X★ ）＝ ★（11 ★ ）＝ ★（5×11+4× ）
＝ ★56＝5× +4×56＝225
