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2025-2026 学年九年级上册数学单元检测卷 0.5
A． B． C． D．
第二十一章 一元二次方程·能力提升
9．已知关于x的方程 ，下列说法中正确的是（ ）
建议用时：120分钟，满分：120分
A．当 时，方程有两个不相等的实根 B．当 时，方程无解
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
C．当 时，方程只有一个实根 D．当 时，方程一定有两个不相等的实根
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
10．如图，在正方形 中， ，动点 以 的速度从点 出发，沿 向点 移动，同
A． B． C． D．
2．将方程 化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是 时动点 以 的速度从点 出发，沿 向点 移动．设 ， 两点移动的时间为 ．在 ，
（ ）
两点移动的过程中，当 的长度为 时， 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．用配方法解一元二次方程 ，将它转化为 的形式，下列变形正确的是 （ ）
A． B． C． D．
4．若 是方程 的一个根，则k的值是（ ）
A．0 B．2 C． D．
A．2 B．4 C．2或4 D．3或4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
5．分别以一元二次方程 的两根为腰和底画一个等腰三角形，则这个等腰三角形的周长是
11．结论开放题写出一个以2和3为根的一元二次方程： ．
（ ）
12．若关于x的一元二次方程 无实数根，则c的取值范围是 ．
A．10 B．8 C．10或8 D．10或6
6．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作．其中有一个数学问题：“直田积八百八十一步，
13．若关于 的方程 是一元二次方程，则 的值是 ．
只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文：“一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共
60步，问它的长比宽多多少步？”则长比宽多（ ） 14．已知 是一元二次方程 的一个根，则代数式 的值是 ．
A．3步 B．5步 C．6步 D．9步
15．设 ， 是方程 的两个实数根，则 的值是 ．
7．已知关于x的一元二次方程 的两实数根为 ，且满足 ，则 的值为
（ ） 16．如图所示，有一块三角形余料 ，它的边长 ，高 ．要用它加工一个矩形零件
A． B．6 C．4或 D． 或6
（其中点Q，M在 边上，点P，N分别在 ， 边上）．若矩形 的面积为 ，则其
8．根据下列表格的对应值，判断方程 （ ， ， ， 为常数）一个解的范围是（ ）
长和宽分别为 ．
3.1 3.2 3.3 3.421．体育是学生综合素质发展的重要组成部分，跳绳和排球垫球是体育中考中学生选择较多的两个考试项
目，跳绳和排球也成为学生必备的中考体育用品，某体育用品商店为满足学生需求，销售一种跳绳和排球
套装，每套进货价为35元，销售价为58元．经统计，4月份的销售量为256套，6月份的销售量为400套．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分） (1)求这种跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率；
17．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
(2)经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，商店为了减少库存，采用降价促销方式调查发现，每套的
(1) ； 销售价每降低1元时，月销售量就会增加20套，该商店要想使月销售利润达到8400元，这种跳绳和排球套
装每套的销售价应为多少元？
(2) ．
22．材料阅读：材料1：符号“ ”称为二阶行列式，规定它的运算法则为 ，如
18．解方程：
(1) ， (2) ．
．
材料2：我们已经学习过求解一元一次方程、二元一次方程组、分式方程等方程的解法，虽然各类方程的解
法不尽相同，但是蕴含了相同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，还
19．已知关于x的一元二次方程 ．
可以解一些新的方程．例如，求解部分一元二次方程 时，我们可以利用因式分解把它
(1)求证：不论 取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)当 时，方程的两个根是 ， ，求 的值．
转化为一元一次方程来求解．如解方程： ． ， ．
故 或 ．因此原方程的解是 ， ．
根据材料回答以下问题．
20．关于x的一元二次方程 ．
(1)二阶行列式 __________；
(1)判定此方程根的情况；
(2)等腰 的两边 的长是方程 的两个实数根，第三边 的长为5，求k
(2)求解 中 的值；
的值．(3)结合材料，若 ， ，且 ，求 的值．
23．已知关于 的一元二次方程 有两个实数根 ， ．
(1)求实数 的取值范围；
25．阅读材料，并解决问题．
(2)若方程的两个实数根 ， 满足 ，求 的值．
【学习研究】
我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以 为
例，构造方法如下：
首先将方程 变形为 ，然后画四个长为 ，宽为x的矩形，按如图1所示的方
式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为 ，还可表示为四个矩形与一个
24．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1，那么
边长为2的小正方形面积之和，即 ．因此，可得新方程 ．因为x表
称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程 的两个根是 ， ，则方程
示边长，所以 ，即 ．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
是“邻根方程”．
【理解应用】
(1)通过计算，判断方程 是否是“邻根方程”；
参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程
(2)已知关于 x 的方程 （m 是常数）是“邻根方程”，求 m 的值； 的正确构图是 ．（从序号①②③中选择）
(3)若关于 x 的方程 （a、b 是常数， ）是“邻根方程”，令 ，试求t的最大值．
【类比迁移】
小颖根据以上解法解方程 ，请将其解答过程补充完整：第一步：将原方程变形为 ，即x（ ） ；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形;
第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个根为 ；
【拓展应用】
一般地，对于形如 的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构
成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数 ， ，求得方程的正根为 ．
