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必考点 12 整式乘法公式
------平方差公式、完全平方公式
●题型一 利用乘法公式进行计算
★★★1、平方差公式
【例题1】计算：
（1）（5ab﹣3x）（﹣3x﹣5ab） （2）（﹣y2+x）（x+y2）
（3）x（x+5）﹣（x﹣3）（x+3） （4）（﹣1+a）（﹣1﹣a）（1+b2）
【分析】（1）利用平方差公式即可求解；
（2）利用平方差公式即可求解；
（3）首先利用单项式的乘法以及平方差公式计算，然后去括号合并同类项即可求解；
（4）首先利用平方差公式计算前两个多项式的乘法，然后利用多项式的乘法计算．
【解答】解：（1）原式＝（﹣3x）2﹣（5ab）2
＝9x2﹣25a2b2；
（2）原式＝x2﹣（y2）2
＝x2﹣y4；
（3）原式＝x2+5x﹣（x2﹣9）
＝x2+5x﹣x2+9＝5x+9；
（4）原式＝[（﹣1）2﹣a2]（1+b2）
＝（1﹣a2）（1+b2）
＝1+b2﹣a2﹣a2b2．
【点评】本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项
的平方减去相反项的平方．
【例题2】（2022春•化州市月考）若（x+y2）（x﹣y2）（x2+y4）＝xm﹣yn，则m＝ ，n＝
．
【分析】根据平方差公式，即可解答．
【解答】解：（x+y2）（x﹣y2）（x2+y4）
＝（x2﹣y4）（x2+y4）
＝（x4﹣y8），则m＝4，n＝8，
故答案为：4，8．
【点评】本题考查了平方差公式，解决本题的关键是熟记平方差公式．
【例题3】（2a﹣3b）（2a+3b）﹣（﹣a+2b）（﹣a﹣2b）
【分析】原式利用平方差公式化简，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：原式＝4a2﹣9b2﹣（a2﹣4b2）＝4a2﹣9b2﹣a2+4b2＝3a2﹣5b2．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
【解题技巧提炼】
1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
2.应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
★★★2、完全平方公式
【例题4】（2021春•罗湖区校级期中）运用完全平方公式计算：
1
（1）（3a+b）2 （2）（ x﹣2y）2
2
（3）（﹣x﹣y）2 （4）1992．
【分析】（1）直接利用完全平方公式计算得出答案；
（2）直接利用完全平方公式计算得出答案；
（3）直接利用完全平方公式计算得出答案；
（4）直接将原式变形，再利用完全平方公式计算得出答案．
【解答】解：（1）（3a+b）2＝9a2+6ab+b2；
1 1
（2）（ x﹣2y）2= x2﹣2xy+4y2；
2 4
（3）（﹣x﹣y）2＝x2+2xy+y2；
（4）1992＝（200﹣1）2＝40000﹣400+1＝39601．
【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练应用完全平方公式是解题关键．
【例题5】（2022•王益区一模）化简：（2x﹣1）2+（﹣2x+1）（3x﹣1）．
【分析】先根据完全平方公式，多项式乘多项式的运算法则进行计算，再合并同类项即可．
【解答】解：原式＝4x2﹣4x+1﹣6x2+2x+3x﹣1
＝﹣2x2+x．【点评】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式混合运算的运算顺序和各个运算
法则与运算公式．
【例题6】（2022秋•江阴市期中）已知6x2﹣4x﹣3＝0，求（x﹣1）2+2x2﹣9的值．
【分析】根据完全平方公式解答即可．
【解答】解：因为6x2﹣4x﹣3＝0，
所以6x2﹣4x＝3，
3
所以3x2﹣2x= ，
2
所以（x﹣1）2+2x2﹣9
＝x2﹣2x+1+2x2﹣9
＝3x2﹣2x﹣8
3
= −8
2
13
=− ．
2
【点评】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．完全平方公式：（a±b）2＝
a2±2ab+b2．
【解题技巧提炼】
完全平方公式
1.完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
2.应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或
差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方
公式．
★★★3、综合运用乘法公式计算
【例题7】利用乘法公式计算：
（1）（2x﹣3y）2﹣（y+3x）（3x﹣y）；
（2）（x+y）（x2+y2）（x﹣y）（x4+y4）；
（3）（a﹣2b+3）（a+2b﹣3）；
（4）[（x﹣y）2+（x+y）2]（x2﹣y2）；
（5）（m﹣n﹣3）2．
【分析】用完全平方公式和平方差公式结合合并同类项计算．【解答】解：（1）原式＝（2x﹣3y）2﹣（9x2﹣y2），
＝（4x2+9y2﹣12xy）﹣9x2+y2，
＝10y2﹣12xy﹣5x2；
（2）原式＝（x+y）（x2+y2）（x﹣y）（x4+y4），
＝（x2﹣y2）（ x2+y2）（x4+y4），
＝（x4﹣y4）（x4+y4），
＝x8﹣y8；
（3）原式＝[a﹣（2b﹣3）][a+（2b﹣3）]，
＝a2﹣（2b﹣3）2，
＝a2﹣4b2﹣9+12b；
（4）原式＝[（x﹣y）2+（x+y）2]（x2﹣y2），
＝（x2﹣2xy+y2+x2+y2+2xy）（x2﹣y2），
＝2（x2+y2）（x2﹣y2），
＝2（x4﹣y4），
＝2x4﹣2y4；
（5）原式＝（m﹣n﹣3）（m﹣n﹣3），
＝m2﹣mn﹣3m﹣mn+n2+3n﹣3m+3n+9，
＝n2+m2﹣2mn﹣6m+6n+9．
【点评】本题组考查了完全平方公式和平方差公式的灵活运用，计算时要认真仔细．
【解题技巧提炼】
综合运用乘法公式计算就是对完全平方公式和平方差公式的灵活运用，计算时要认真仔细，另外要注意运
算的顺序．
●题型二 利用乘法公式进行化简求值
★★★1、化简后直接代入求值
【例题8】（2021春•盐湖区校级期末）已知，x2+4x﹣4＝0，求3（x﹣2）2﹣6（x+1）（x﹣1）的值．
【分析】根据完全平方公式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后对式子x2+4x﹣4＝0变形，即可
解答．
【解答】解：3（x﹣2）2﹣6（x+1）（x﹣1）
＝3x2﹣12x+12﹣6x2+6
＝﹣3x2﹣12x+18，∵x2+4x﹣4＝0，
∴x2+4x＝4，
∴原式＝﹣3（x2+4x）+18＝﹣3×4+18＝6．
【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的方法．
★★★2、化简后整体代入求值
【例题9】（2021秋•老河口市期末）先化简，再求值：（x+3y）（x﹣3y）﹣（2x﹣y）2﹣y（3x﹣7y），
其中x，y满足x+y＝3，xy＝1．
【分析】利用完全平方公式计算乘方，利用平方差公式和单项式乘多项式的运算法则计算乘法，然后去
括号，合并同类项进行化简，最后利用整体思想代入求值．
【解答】解：原式＝（x2﹣9y2）﹣（4x2﹣4xy+y2）﹣3xy+7y2
＝x2﹣9y2﹣4x2+4xy﹣y2﹣3xy+7y2
＝﹣3x2+xy﹣3y2，
∵x+y＝3，xy＝1，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝32﹣2×1＝9﹣2＝7，
∴原式＝﹣3（x2+y2）+xy
＝﹣3×7+1
＝﹣20．
【点评】本题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2和平方差公式（a+b）（a
﹣b）＝a2﹣b2是解题关键．
【解题技巧提炼】
利用乘法公式进行化简求值时先按运算顺序把利用乘法公式把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的
值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序
相似．
●题型三 利用乘法公式解方程或不等式
★★★1、利用乘法公式解方程
【例题10】（2022秋•仁寿县校级月考）解方程：
（x﹣1）2﹣（x﹣1）（x+5）＝17；
【分析】应用完全平方公式及多项式乘法法则进行计算即可得出答案；
【解答】解：x²﹣2x+1﹣（x²+4x﹣5）＝17，
x²﹣2x+1﹣x²﹣4x+5＝17，
﹣6x＝11，11
x=− ；
6
【点评】本题主要考查完全平方公式及立方根，熟练掌握完全平方公式及立方根的定义进行求解是解决
本题的关键．
【例题11】（2022秋•宝山区校级月考）解方程：2（x﹣3）2＝（x+3）（2x﹣5）．
【分析】根据完全平方公式和多项式乘多项式的运算法则解答即可．
【解答】解：2（x﹣3）2＝（x+3）（2x﹣5），
2（x2﹣6x+9）＝2x2﹣5x+6x﹣15，
2x2﹣12x+18＝2x2+x﹣15，
﹣13x＝﹣33，
33
∴x= ．
13
【点评】本题考查了完全平方公式和多项式乘多项式，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式和多项
式乘多项式的运算法则．
★★★2、利用乘法公式解不等式
【例题12】解不等式：（1﹣3y）2+（2y﹣1）2＞13（y+1）（y﹣1）
【分析】先利用完全平方公式和整式的乘法法则计算，再移项合并同类项，整理为一般形式，然后利用
不等式的性质求得不等式的解集即可．
【解答】解：
1﹣6y+9y2+4y2﹣4y+1＞13y2﹣13，
﹣10y＞﹣15，
y＜1.5．
【点评】此题考查整式的混合运算，解一元一次不等式，掌握计算方法与运算顺序是解决问题的关键．
【例题13】解不等式：（2x﹣5）2+（3x+1）2＞13（x2﹣10）．
【分析】不等式去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解集．
【解答】解：不等式整理得：4x2﹣20x+25+9x2+6x+1＞13x2﹣130，
移项合并得：﹣14x＞﹣156，
78
解得：x＜ ．
7
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【解题技巧提炼】
利用乘法公式解方程或不等式（组）就是按照解方程或不等式的方法来解题，熟练运用乘法公式是解题的关键.
●题型四 利用完全平方公式的变形求值
【例题14】（2022•东莞市模拟）已知a2+b2＝8，a﹣b＝3，则ab的值为（ ）
3 1
A． B．3 C．− D．5
2 2
【分析】将a﹣b＝3两边平方，利用完全平方公式化简，把a2+b2＝8代入计算即可求出ab的值．
【解答】解：将a﹣b＝3两边平方得：（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝9，
1
把a2+b2＝8代入得：8﹣2ab＝9，即ab=− ，
2
故选：C．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
【例题15】（2022春•福田区校级期末）若|x+y﹣5|+（xy﹣3）2＝0，则x2+y2的值为（ ）
A．19 B．31 C．27 D．23
【分析】根据非负数的性质可得x+y﹣5＝0，xy﹣3＝0，整理后再利用完全平方公式展开并整理即可得
解．
【解答】解：根据题意得，x+y﹣5＝0，xy﹣3＝0，
∴x+y＝5，xy＝3，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝25，
∴x2+y2＝25﹣2×3＝25﹣6＝19．
故选：A．
【点评】本题考查了完全平方公式，非负数的性质，熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助．
【例题16】（2022秋•渝中区校级期中）若n满足（n﹣2014）2+（2019﹣n）2＝5，（n﹣2014）（2019﹣
n）＝ ．
【分析】把（n﹣2014）2+（2019﹣n）2＝5配成完全平方式得到[（n﹣2014）+（2019﹣n）]2﹣2（n﹣
2014）（2019﹣n）＝5，然后整理即可得到（n﹣2014）（2019﹣n）＝10．
【解答】解：∵（n﹣2014）2+（2019﹣n）2＝5，
∴[（n﹣2014）+（2019﹣n）]2﹣2（n﹣2014）（2019﹣n）＝5，
∴1﹣2（n﹣2012）（2013﹣n）＝5，
∴（n﹣2012）（2013﹣n）＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了完全平方公式，掌握（a±b）2＝a2±2ab+b2是关键．
【例题17】（2021秋•红河县期末）已知（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝4，求x2+y2和xy的值．【分析】直接利用完全平方公式计算，进而将x2+y2和xy看作整体求出即可．
【解答】解：∵（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝4，
∴x2+y2+2xy＝12，x2+y2﹣2xy＝4，
故2（x2+y2）＝16，
解得：x2+y2＝8，
故4xy＝8，
解得xy＝2．
综上所述，x2+y2＝8；xy＝2．
【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练应用完全平方公式是解题关键．
【解题技巧提炼】
利用完全平方公式的变形求值，主要是根据已知条件与待求式的特点，灵活选用恰当的变形公式进行化简
计算，同时能逆用公式进行配方运算，从而挖掘隐含条件求解.
●题型五 乘法公式的实际应用
【例题18】如图，从边长为a+2的正方形纸片中剪去一个边长为a的小正方形，剩余部分可剪拼成一个不
重叠、无缝隙的长方形，若拼成的长方形一边长为2，则它另一边的长是（ ）
A．2a﹣2 B．2a C．2a+1 D．2a+2
【分析】根据图形的拼接，可得出答案．
【解答】解：由拼图过程可得，长为（a+2）+a＝2a+2，
故选：D．
【点评】本题考查平方差公式的几何背景，正确表示两个图形的面积是得出关系式的关键．
【例题19】如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形
状拼成一个正方形．（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a、b的式子表示）
（2）若2a+b＝7，且ab＝3，求图2中的空白正方形的面积．
（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系．
【分析】（1）观察由已知图形，得到四个小长方形的长为2a，宽为b，那么图2中的空白部分的正方
形的边长是小长方形的长减去小长方形的宽．
（2）通过观察图形，大正方形的边长为小长方形的长和宽的和．图2中空白部分的正方形的面积为大
正方形的面积减去四个小长方形的面积．
（3）通过观察图形知：（2a+b）2﹣（2a﹣b）2＝8ab．分别表示的是大正方形、空白部分的正方形及4
个小长方形的面积．
【解答】解：（1）图2的空白部分的边长是2a﹣b
（2）由图21﹣2可知，小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，
∵大正方形的边长＝2a+b＝7，∴大正方形的面积＝（2a+b）2＝49，
又∵4个小长方形的面积之和＝大长方形的面积＝4a×2b＝8ab＝8×3＝24，
∴小正方形的面积＝（2a﹣b）2＝49﹣24＝25
（3）由图2可以看出，大正方形面积＝空白部分的正方形的面积+四个小长方形的面积
即：（2a+b）2﹣（2a﹣b）2＝8ab．
【点评】此题考查了学生观察、分析图形解答问题的综合能力，以及对列代数式、代数式求值的理解与
掌握．关键是通过观察图形找出各图形之间的关系．
【解题技巧提炼】
利用整式的乘法公式解决实际问题主要是先根据实际问题中的数量关系列出整式，然后再进行整式的混合运算
即可，另外要注意结合图形来分析.
●题型六 巧用平方差公式求值
【例题20】（2022春•垦利区期末）阅读例题的解答过程，并解答下列各题．
例：用简便方法计算103×97．
解：103×97＝（100+3）（100﹣3）①＝1002﹣32②＝9991．
（1）例题求解过程中，第②步变形的依据是 ；
（2）用简便方法计算9×11×101；（3）用简便方法计算20212﹣2020×2022．
【分析】（1）根据例题得出结论即可；
（2）根据平方差公式变形求解即可；
（3）根据平方差公式变形求解即可．
【解答】解：（1）平方差公式；
（2）9×11×101
＝（10﹣1）×（10+1）×101
＝（100﹣1）×101
＝（100﹣1）（100+1）
＝1002﹣12
＝9999；
（3）20212﹣2020×2022
＝20212﹣（2021﹣1）（2021+1）
＝20212﹣（20212﹣12）
＝20212﹣20212+1
＝1．
【点评】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式并灵活运用是解题的关键．
【例题21】（2022春•巨野县期末）计算（2+1）×（22+1）×（24+1）…（2128+1）+1＝ ．
【分析】利用平方差公式变形计算即可．
【解答】解：原式＝（2﹣1）（2+1）×（22+1）×（24+1）…（2128+1）+1
＝（22﹣1）×（22+1）×（24+1）…（2128+1）+1
＝（24﹣1）×（24+1）…（2128+1）+1
＝2256﹣1+1
＝2256，
故答案为：2256．
【点评】本题主要考查平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
1
【例题22】（2021春•龙岗区期中）计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+ = ．
4
1
【分析】本题是平方差公式的应用，把多项式：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+ 转化为
4
1 1 1 1
（5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+ = （532﹣1）+ 的形式，然后再利用平方
4 4 4 41 1 532
差公式计算 （516•2﹣1）+ = ．
4 4 4
1
【解答】解：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+ ，
4
1 1
= （5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+ ，
4 4
1 1
= （532﹣1）+ ，
4 4
532
= ．
4
1
【点评】本题考查了平方差公式的运用，添加 （5﹣1）项构造成平方差公式的形式是解题的关键，注
4
意要连续多次运用公式．
【解题技巧提炼】
巧用平方差公式求值主要是利用平方差公式来简便计算，或者连续用平方差公式来进行计算.
●题型七 运用乘法公式找规律
【例题23】（2022秋•朝阳区校级期中）探究与应用
我们学习过（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，那么（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）计算结果呢？
完成下面的探究：
（1）（x﹣1）（x2+x+1）＝ ；
（2）（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝ ；……
（3）（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝ ；
应用：计算2+22+23+24+……+22022．
【分析】（1）先根据多项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可；
（2）先根据多项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可；
（3）先根据多项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可；
应用：先根据以上算式得出（2﹣1）×（22022+22021+22020+……+1）＝22023﹣1，再得出答案即可．
【解答】解：（1）（x﹣1）（x2+x+1）
＝x3+x2+x﹣x2﹣x﹣1
＝x3﹣1，
故答案为：x3﹣1；
（2）（x﹣1）（x3+x2+x+1）
＝x4+x3+x2+x﹣x3﹣x2﹣x﹣1
＝x4﹣1，故答案为：x4﹣1；
（3）（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）
＝x7+x6+x5+x4+x3+x2+x﹣x6﹣x5﹣x4﹣x3﹣x2﹣x﹣1
＝x7﹣1，
故答案为：x7﹣1；
应用：∵（2﹣1）×（22022+22021+22020+……+1）
＝22023﹣1，
∴2+22+23+24+……+22022＝22023﹣2．
【点评】本题考查了多项式乘多项式法则和平方差公式，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．
【解题技巧提炼】
运用整式的乘法公式的规律探索问题主要是根据题中的等式探究出规律，然后再由规律解决问题.
◆◆◆题型一 利用乘法公式进行计算
1．（2022秋•黄浦区期中）计算：（x+1）（x﹣1）（1﹣x2）．
【分析】先利用平方差公式计算，然后利用完全平方公式计算．
【解答】解：原式＝（x2﹣1）（1﹣x2）
＝﹣（x2﹣1）2
＝﹣（x4﹣2x2+1）
＝﹣x4+2x2﹣1．
【点评】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．也考查了完全平方公式．
2．（2022春•富平县期末）化简：（2x+3y）（2x﹣3y）﹣（2x﹣y）2．
【分析】利用完全平方公式、平方差公式进行计算即可．
【解答】解：原式＝4x2﹣9y2﹣4x2+4xy﹣y2
＝4xy﹣10y2．
【点评】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确计算
的前提．
3．（2022春•陈仓区期末）计算：（9x﹣2y）（x+y）﹣（﹣3x+y）（﹣3x﹣y）．
【分析】原式利用多项式乘多项式的法则以及平方差公式化简，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：（9x﹣2y）（x+y）﹣（﹣3x+y）（﹣3x﹣y）
＝9x2+9xy﹣2xy﹣2y2﹣（9x2﹣y2）
＝9x2+9xy﹣2xy﹣2y2﹣9x2+y2＝7xy﹣y2．
【点评】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟记法则并灵活运用，平方差公式：两个数的和与
这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
4．（2022秋•闵行区期中）计算：（2x﹣3y+z）（2x+3y﹣z）．
【分析】根据平方差与完全平方公式进行计算便可．
【解答】解：（2x﹣3y+z）（2x+3y﹣z）
＝[2x﹣（3y﹣z）][2x+（3y﹣z）]
＝（2x）2﹣（3y﹣z）2
＝4x2﹣9y2+6yz﹣z2．
【点评】本题考查多项式乘多项式，关键是熟记平方差公式，完全平方公式．
5．（3x﹣2y）2（3x+2y）2（9x2+4y2）2．
【分析】原式前两个因式先利用积的乘方逆运算变形，再利用平方差公式化简，再利用积的乘方逆运算
变形，利用平方差公式化简即可得到结果．
【解答】解：原式＝[（3x﹣2y）（3x+2y）]2（9x2+4y2）2
＝（9x2﹣4y2）2（9x2+4y2）2
＝[（9x2﹣4y2）（9x2+4y2）]2
＝（81x4﹣16y4）2．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
◆◆◆题型二 利用乘法公式进行化简求值
6．（2021秋•桦甸市校级期中）先化简，再求值：[（2xy）2+（x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）]÷2x，其中x＝
3，y＝1．
【分析】直接利用乘法公式化简，再利用整式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：[（2xy）2+（x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）]÷2x，
＝（4x2y2+x2﹣2xy+y2+x2﹣y2）÷2x
＝（4x2y2+2x2﹣2xy）÷2x
＝2xy2+x﹣y，
当x＝3，y＝1时，
原式＝6+3﹣1＝8．
【点评】本题考查了整式的化简求值，应先对整式进行化简，然后再代入求值，解题的关键是注意整式
的混合运算顺序．
7．（2022秋•西城区校级期中）先化简，再求值：（2x+3）2﹣（x+1）（x﹣1），其中x2+4x﹣5＝0．
【分析】直接利用乘法公式化简，再合并同类项，进而将已知变形，即可得出答案．【解答】解：原式＝4x2+12x+9﹣（x2﹣1）
＝4x2+12x+9﹣x2+1
＝3x2+12x+10，
∵x2+4x﹣5＝0，
∴x2+4x＝5，
∴原式＝3（x2+4x）+10
＝3×5+10
＝25．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确运用乘法公式计算是解题关键．
◆◆◆题型三 利用乘法公式解方程或不等式
8．（2021秋•普陀区期中）解方程：（4x+1）2＝（4x﹣1）（4x+3）﹣3（x+2）．
【分析】根据完全平方公式、多项式乘多项式的乘法法则解决此题．
【解答】解：∵（4x+1）2＝（4x﹣1）（4x+3）﹣3（x+2），
∴16x2+8x+1＝16x2+12x﹣4x﹣3﹣3x﹣6．
∴16x2+8x﹣16x2﹣12x+4x+3x＝﹣3﹣6﹣1．
∴3x＝﹣10．
10
∴x=− ．
3
【点评】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握完全平方公式、多项式乘多项式的乘法法则是解决本
题的关键．
9．解不等式：3x（1+3x）+（2x﹣1）（2x+3）＞13（x+1）（x﹣1）．
【分析】不等式利用单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，以及平方差公式化简，移项合并，把 x系
数化为1，即可求出解．
【解答】解：整理得：3x+9x2+4x2+4x﹣3＞13x2﹣13，
移项合并得：7x＞﹣10，
10
解得：x＞− ．
7
【点评】此题考查了整式的混合运算，解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
◆◆◆题型四 利用完全平方公式的变形求值
10．已知：（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝4，则x2+3xy+y2的值为 ．
【分析】利用完全平方公式得到x2+2xy+y2＝12，x2﹣2xy+y2＝4，再把两个等式相加和相减可得到x2+y2＝8，xy＝2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝4，
∴x2+2xy+y2＝12①，x2﹣2xy+y2＝4②，
①+②得2x2+2y2＝16，
∴x2+y2＝8，
①﹣②得4xy＝8，
∴xy＝2，
∴x2+3xy+y2＝8+3×2＝14．
故答案为14．
【点评】本题考查了完全平方公式：灵活运用完全平方公式是解决此类命题的关键．
11．（2021春•高邮市校级期末）已知（2021﹣a）2+（a﹣2019）2＝7，则代数式（2021﹣a）（a﹣2019）
的值为 ．
【分析】先根据完全平方公式得出（2021﹣a）2+（a﹣2019）2＝[(2021﹣a)+(a﹣2019)]2﹣2(2021﹣a)(a
﹣2019)＝7，再求出答案即可．
【解答】解：∵（2021﹣a）2+（a﹣2019）2＝7，
∴[(2021﹣a)+(a﹣2019)]2﹣2(2021﹣a)(a﹣2019)＝7，
∴22﹣2（2021﹣a）（a﹣2019）＝7，
∴2（2021﹣a）（a﹣2019）＝﹣3，
3
∴（2021﹣a）（a﹣2019）=− ，
2
3
故答案为：− ．
2
【点评】本题考查了完全平方公式，能正确根据完全平方公式进行变形是解此题的关键，注意：
（x+y）2＝x2+2xy+y2．
12．（2021秋•杜尔伯特县期末）已知（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，求下列式子的值：
（1）a2+b2； （2）6ab．
【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式展开，进而求出a2+b2的值；
（2）直接利用（1）中所求，进而得出ab的值，求出答案即可．
【解答】解：（1）∵（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，
∴a2+2ab+b2＝5，a2﹣2ab+b2＝3，
∴2（a2+b2）＝8，
解得：a2+b2＝4；（2）∵a2+b2＝4，
∴4+2ab＝5，
1
解得：ab= ，
2
∴6ab＝3．
【点评】此题主要考查了完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键．
◆◆◆题型五 乘法公式的实际应用
13．（2022•景县校级模拟）如图，有两个正方形纸板A，B，纸板A与B的面积之和为34．现将纸板B按
甲方式放在纸板A的内部，阴影部分的面积为4．若将纸板A，B按乙方式并列放置后，构造新的正方
形，则阴影部分的面积为（ ）
A．30 B．32 C．34 D．36
【分析】先设A，B的边长分别是a，b，再用a，b边上阴影部分的面积求解．
【解答】解：设A的边长a，B的边长是b，则a2+b2＝34，
根据题意得：（a﹣b）2＝4，
∴a2+b2﹣2ab＝4，
∴2ab＝30，
∴乙图阴影部分的面积为：（a+b）2﹣a2﹣b2＝2ab＝30，
故选：A．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，用字母表示面积是解题的关键．
14．（2022春•桓台县期末）某种植基地有一块长方形和一块正方形实验田，两块实验田均种植了豌豆幼
苗．长方形实验田每排种植（3a﹣b）株，种植了（3a+b）排；正方形实验田每排种植（2a﹣b）株，种
植了（2a﹣b）排，其中a＞b＞0．
（1）正方形实验田比长方形实验田少种植豌豆幼苗多少株？
（2）当a＝5，b＝2时，该种植基地这两块实验田一共种植了多少株豌豆幼苗？
【分析】（1）根据题意列出算式，计算后即可得出结果；
（2）根据题意列出算式，化简后把a＝5，b＝2代入计算，即可得出结果．
【解答】解：（1）由题意得：（3a﹣b）（3a+b）﹣（2a﹣b）2
＝9a2﹣b2﹣4a2+4ab﹣b2＝5a2+4ab﹣2b2，
答：正方形实验田比长方形实验田少种植豌豆幼苗（5a2+4ab﹣2b2）株；
（2）由题意得：（3a﹣b）（3a+b）+（2a﹣b）2
＝9a2﹣b2+4a2﹣4ab+b2
＝13a2﹣4ab，
当a＝5，b＝2时，
原式＝13×52﹣4×5×2
＝325﹣40
＝285，
答：该种植基地这两块实验田一共种植了285株豌豆幼苗．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，弄清题意，列出算式，掌握平方差公式，完全平方公式是解决问
题的关键．
◆◆◆题型六 巧用平方差公式求值
15．（2022秋•长宁区校级期中）已知x+y＝7，y＝3，求（x+1）（y+1）（x﹣1）（y﹣1）的值．
【分析】先根据所给条件求出x的值，然后再利用平方差公式代值计算即可．
【解答】解：∵x+y＝7，y＝3，
∴x＝4，
∴（x+1）（y+1）（x﹣1）（y﹣1）
＝（x+1）（x﹣1）（y+1）（y﹣1）
＝（x2﹣1）（y2﹣1），
把x＝4，y＝3代入求值，
原式＝（42﹣1）（32﹣1）＝15×8＝120，
答：（x+1）（y+1）（x﹣1）（y﹣1）的值为120．
【点评】本题主要考查了代数式求值，正确求出x的值，再利用平方差求解是解题的关键．
16．（2022秋•如皋市期中）在学习“平方差公式”时，张老师出了一道题：计算9×11×101．嘉嘉发现把
9写成（10﹣1），把11写成（10+1）后可以连续运用平方差公式进行计算．
请根据上述思路，计算：
（1）9×11×101；
1 1 1 1 1 1
（2） ×(1+ )×(1+ )×(1+ )×(1+ )+ ．
2 2 22 24 28 216
【分析】（1）将原式化为（10﹣1）×（10+1）×（100+1），连续利用平方差公式进行计算即可；1 1
（2）将 改写成（1− ）后，连续利用平方差公式进行计算即可．
2 2
【解答】解：（1）原式＝（10﹣1）×（10+1）×（100+1）
＝（102﹣1）×（100+1）
＝（100﹣1）×（100+1）
＝1002﹣1
＝10000﹣1
＝9999；
1 1 1 1 1 1
（2）原式＝（1− ）×（1+ ）×（1 + ）×（1 + ）×（1 + ）+
2 2 22 24 28 216
1 1 1 1 1
＝（1− ）×（1 + ）×（1 + ）×（1 + ）+
22 22 24 28 216
1 1 1 1
＝（1− ）×（1 + ）×（1 + ）+
24 24 28 216
1 1 1
＝（1− ）×（1 + ）+
28 28 216
1 1
＝1− +
216 216
＝1．
【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
◆◆◆题型七 运用乘法公式找规律
17．（2022秋•农安县期中）你能求（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+⋯+x2+x+1）的值吗？遇到这样的问题，我
们可以先思考一下，从简单的情形入手，先分别计算下列各式的值．
①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
……
（1）由此我们可以得到：（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+⋯+x2+x+1）＝ ．
（2）请你利用上面的结论，再完成下面的计算：（﹣2）99+（﹣2）98+（﹣2）97+⋯+（﹣2）+1．
【分析】（1）观察已知等式得到一般性规律，写出即可；
1
（2）式子转化为− ×（﹣2﹣1）×[（﹣2）99+（﹣2）98+（﹣2）97+⋯+（﹣2）+1]，再计算即可．
3
【解答】解：（1）由此我们可以得到：（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+…+x+1）＝x2023﹣1；
故答案为：x2023﹣1；1
（2）原式=− ×（﹣2﹣1）×[（﹣2）99+（﹣2）98+（﹣2）97+⋯+（﹣2）+1]
3
1
=− ×[（﹣2）100﹣1]
3
1−2100
= ．
3
【点评】此题考查了平方差公式和数字的变化规律，弄清题中的规律是解本题的关键．
1．（2022春•铁岭期中）若（3x+2y）2＝（3x﹣2y）2+A，则代数式A是（ ）
A．﹣12xy B．12xy C．24xy D．﹣24xy
【分析】表示出A，再利用完全平方公式展开计算即可得解．
【解答】解：∵（3x+2y）2＝（3x﹣2y）2+A，
∴A＝（3x+2y）2﹣（3x﹣2y）2
＝9x2+12xy+4y2﹣9x2+12xy﹣4y2
＝24xy．
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方公式，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（a±b）2＝
a2±2ab+b2．
2．（2021秋•甘南县期末）若x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，则m的值为（ ）
A．±8 B．﹣3或5 C．﹣3 D．5
【分析】由于x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，而16＝42，然后根据完全平方公式即可得到关于m的
方程，解方程即可求解．
【解答】解：∵x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，而16＝42，
∴m﹣1＝4或m﹣1＝﹣4，
∴m＝5或﹣3．
故选：B．【点评】本题主要考查了完全平方公式的应用；其中两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构
成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
3．（2022春•长安区校级期末）如图在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的
部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b）
【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的
面积，等于a2﹣b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是（a+b）
（a﹣b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．
【解答】解：∵图中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），
而两个图形中阴影部分的面积相等，
∴阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，
这个公式就叫做平方差公式．
4．（2022春•龙口市期末）计算（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4﹣b4）的结果是（ ）
A．a8+2a4b4+b8 B．a8﹣2a4b4+b8
C．a8+b8 D．a8﹣b8
【分析】这几个式子中，先把前两个式子相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．
相乘时符合平方差公式得到a2﹣b2，再把这个式子与a2+b2相乘又符合平方差公式，得到a4﹣b4，与最
后一个因式相乘，可以用完全平方公式计算．
【解答】解：（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4﹣b4），
＝（a2﹣b2）（a2+b2）（a4﹣b4），
＝（a4﹣b4）2，
＝a8﹣2a4b4+b8．
故选：B．【点评】本题主要考查了平方差公式的运用，本题难点在于连续运用平方差公式后再利用完全平方公式
求解．
5．（2021秋•川汇区校级期中）利用乘法公式计算：
（1）992； （2）59×61﹣3598； （3）672+6×67+9．
【分析】（1）根据完全平方公式即可求出答案．
（2）根据平方差公式即可求出答案．
（3）根据完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝（100﹣1）2
＝1002﹣2×1×100+1
＝10000﹣200+1
＝9801．
（2）原式＝（60﹣1）×（60+1）﹣3598
＝602﹣1﹣3598
＝3600﹣1﹣3598
＝3599﹣3598
＝1．
（3）原式＝672+2×3×67+32
＝（67+3）2
＝702
＝4900．
【点评】本题考查完全平方公式以及平方差公式．
6．利用乘法公式计算：
（1）（x+y）（x2+y2）（x﹣y）（x4+y4） （2）（a﹣2b+3c）（a+2b﹣3c）
【分析】（1）x+y与x﹣y相乘可以利用平方差公式，它们的积与（x2+y2）相乘，又可用平方差公式；
（2）原式可以变形为[a﹣（2b﹣3c）][a+（2b﹣3c）]，可以看作a与（2b﹣3c）的和与它们的差的积，
利用平方差公式即可求解．
【解答】解：（1）（x+y）（x2+y2）（x﹣y）（x4+y4）
＝（x﹣y）（x+y）（x2+y2）（x4+y4）
＝（x2﹣y2）（x2+y2）（x4+y4）
＝（x4﹣y4）（x4+y4）
＝x8﹣y8；
（2）（a﹣2b+3c）（a+2b﹣3c）＝[a﹣（2b﹣3c）][a+（2b﹣3c）]
＝a2﹣（2b﹣3c）2
＝a2﹣（4b2﹣12bc+9c2）
＝a2﹣4b2+12bc﹣9c2．
【点评】本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟记公式结构是解题的关键，要注意多次运用公式和
整体思想的利用．
1 1 1
7．(m+ n−1)(m− n+1)−(m−1) 2+( n+1) 2 ．
2 2 2
【分析】先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项即可．
1 1
【解答】解：原式＝m2﹣（ n﹣1）2﹣（m﹣1）2+（ n+1）2
2 2
1 1
＝m2− n2+n﹣1﹣m2+2m﹣1+ n2+n+1
4 4
＝2n+2m﹣1．
【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，主要考查学生的计算能力．
8．计算：（x+2y﹣z）（x﹣2y+z）﹣（x+2y+z）2
【分析】将原式变形成[x+（2y﹣z）][x﹣（2y﹣z）]﹣[（x+2y）2+2（x+2y）z+z2]，再依次使用平方差公
式和完全平方公式化简即可．
【解答】解：原式＝[x+（2y﹣z）][x﹣（2y﹣z）]﹣[（x+2y）2+2（x+2y）z+z2]
＝x2﹣（2y﹣z）2﹣[x2+4xy+4y2+2xz+4yz+z2]
＝x2﹣（4y2﹣4yz+z2）﹣x2﹣4xy﹣4y2﹣2xz﹣4yz﹣z2
＝x2﹣4y2+4yz﹣z2﹣x2﹣4xy﹣4y2﹣2xz﹣4yz﹣z2
＝﹣8y2﹣2z2﹣4xy﹣2xz．
【点评】本题主要考查平方差公式和完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键．
1
9．（2022•吉林二模）先化简，再求值：2b2+（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2，其中a= ，b＝﹣5．
2
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：2b2+（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2
＝2b2+a2﹣b2﹣（a2﹣2ab+b2）
＝2ab．
1 1
当a= ，b＝﹣5时，原式=2× ×(−5)=−5．
2 2
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
10．解不等式（2x+3）2﹣（x+2）（x﹣3）＞3x2+6，并求出符合条件的最小整数解．【分析】不等式整理后，移项合并，把x系数化为1，求出解集，即可确定出最小整数解．
【解答】解：不等式整理得：4x2+12x+9﹣x2+x+6＞3x2+6，
移项合并得：13x＞﹣9，
9
解得：x＞− ，
13
则最小整数解为0．
【点评】此题考查了整式的混合运算，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．（2021春•南山区校级期中）已知a+b＝3，ab＝﹣4，求下列各式的值．
（1）（a﹣b）2； （2）a2﹣5ab+b2．
【分析】（1）利用完全平方差公式求解．
（2）先配方，再求值．
【解答】解；（1）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab
＝32﹣4×（﹣4）
＝25．
（2）a2﹣5ab+b2＝a2+2ab+b2﹣7ab
＝（a+b）2﹣7ab
＝9﹣（﹣28）
＝37．
【点评】本题考查完全平方公式及其变形式，根据公式特征进行变形是求解本题的关键．
12．（2021•天河区校级二模）已知多项式A＝（x+2）2+（x+2）（1﹣x）﹣3．
（1）化简多项式A；
（2）若（x+1）2＝5，求A的值．
【分析】（1）根据完全平方公式和多项式乘多项式法则展开，再合并即可得；
（2）由（x+1）2＝5得x+1＝±√5，代入A＝3x+3＝3（x+1）可得．
【解答】解：（1）A＝x2+4x+4+x+2﹣x2﹣2x﹣3＝3x+3；
（2）∵（x+1）2＝5，
∴x+1＝±√5，
则A＝3x+3＝3（x+1）＝±3 √5．
【点评】本题主要考查完全平方公式及多项式乘多项式，解题的关键是掌握完全平方公式与项式乘多项
式法则．13．（2022春•漳州期末）利用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，可以解决很多数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，
所以（a+b）2＝9，
所以a2+b2+2ab＝9．
因为ab＝1，
所以a2+b2+2×1＝9．
得a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若m﹣n＝4，mn＝12，求m2+n2的值；
（2）若（2022﹣m）2+（2021﹣m）2＝3，求（2022﹣m）（2021﹣m）的值．
【分析】（1）利用完全平方公式的变形计算求解；
（2）利用完全平方公式的变形计算求解．
【解答】解：（1）∵m﹣n＝4，
∴（m﹣n）2＝16，
∴m2+n2﹣2mn＝16，
∵mn＝12，
∴m2+n2﹣2×12＝16，
∴m2+n2＝40．
（2）∵[（2022﹣m）﹣（2021﹣m）]2＝1，
∴（2022﹣m）2+（2021﹣m）2﹣2（2022﹣m）（2021﹣m）＝1，
∵（2022﹣m）2+（2021﹣m）2＝3，
∴3﹣2（2022﹣m）（2021﹣m）＝1，
解得（2022﹣m）（2021﹣m）＝1．
【点评】本题主要考查完全平方公式的适当变形灵活运用，掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键．
14．（2021•贵阳模拟）某公司门前一块长为（6a+2b）米，宽为（4a+2b）米的长方形空地要铺地砖，如
图所示，空白的A、B两正方形区域是建筑物，不需要铺地砖．两正方形区域的边长均为（a+b）米．
（1）求铺设地砖的面积是多少平方米；
（2）当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是多少？【分析】（1）长方形空地的面积减去建筑物A、B的面积即可；
（2）把a＝2，b＝3时代入计算即可．
【解答】解：（1）铺设地砖的面积为：（6a+2b）（4a+2b）﹣2（a+b）2
＝24a2+20ab+4b2﹣2a2﹣4ab﹣2b2
＝22a2+16ab+2b2（平方米），
答：铺设地砖的面积为（22a2+16ab+2b2）平方米；
（2）当a＝2，b＝3时，
原式＝22×22+16×2×3+2×32
＝202（平方米），
答：当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是202平方米．
【点评】本题考查多项式乘以多项式，掌握计算法则是正确计算的前提．
15．（2021秋•蒙阴县期末）图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小
长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中的阴影部分的面积为 ；
（2）观察图2，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是 ；
（3）若x+y＝﹣6，xy＝2.75，求x﹣y；
（4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？
【分析】（1）表示出阴影部分的边长，即可得出其面积；
（2）大正方形的面积减去矩形的面积即可得出阴影部分的面积，也可得出三个代数式（m+n）2、（m
﹣n）2、mn之间的等量关系．（3）根据（2）所得出的关系式，可求出（x﹣y）2，继而可得出x﹣y的值．
（4）利用两种不同的方法表示出大矩形的面积即可得出等式．
【解答】解：（1）图②中的阴影部分的面积为（m﹣n）2，
故答案为：（m﹣n）2；
（2）（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2，
故答案为：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；
（3）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝25，
则x﹣y＝±5；
（4）（2m+n）（m+n）＝2m（m+n）+n（m+n）＝2m2+3mn+n2．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，属于基础题，注意仔细观察图形，表示出各图形的面积
是关键．
16．（2022春•宁远县期中）（1）填空：
（a﹣b）（a+b）＝ ．
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝ ．
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝ ．
（2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝ .（其中n为正整数，且n≥2）
（3）利用（2）中猜想的结论计算：37+36+35+34+33+32+3+1．
【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）利用得出的规律将原式变形，计算即可求出值．
【解答】解：（1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4；
（2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn（其中n为正整数，且n≥2）；
(3−1)(37+36+35+34+33+32+3+3)
（3）原式=
3−1
38−18
=
2
＝3280．
故答案为：（1）a2﹣b2；a3﹣b3；a4﹣b4；（2）an﹣bn．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则、特殊到一般的数学思想
是解决本题的关键．
17．（2021秋•鱼台县期末）阅读材料后解决问题．小明遇到下面一个问题：计算（2+1）（22+1）（24+1）经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变
形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
（2+1）（22+1）（24+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）
＝（24﹣1）（24+1）＝28﹣1
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：
计算：（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）．
（2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）．
（3）化简：（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）．
【分析】（1）原式补上（2﹣1），利用平方差公式计算即可得到结果；
1
（2）原式补上 （3﹣1），利用平方差公式计算即可得到结果；
2
1
（3）原式补上 （m﹣n），利用平方差公式计算即可得到结果．
m−n
【解答】解：（1）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）
＝（28﹣1）（28+1）（216+1）
＝（216﹣1）（216+1）
＝232﹣1；
1
（2）原式= （3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）
2
1
= （32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）
2
1
= （34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）
2
1
= （38﹣1）（38+1）（316+1）
2
1
= （316﹣1）（316+1）
2
1
= （332﹣1）；
2
（3）当m＝n时，原式＝2m•2m2•2m4•2m8•2m16＝32m31；
当m≠n，即m﹣n≠0时，1
原式= （m﹣n）（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）
m−n
1
= （m2﹣n2）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）
m−n
1
= （m4﹣n4）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）
m−n
1
= （m8﹣n8）（m8+n8）（m16+n16）
m−n
1
= （m16﹣n16）（m16+n16）
m−n
1
= （m32﹣n32）．
m−n
【点评】此题考查了平方差公式，以及多项式乘多项式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
18．（2022秋•泌阳县校级期中）探究
如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形
（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式
．（用含a，b的等式表示）
应用
请应用这个公式完成下列各题：
（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为 ．
（2）计算：20222﹣2023×2021．
拓展
（3）计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．
【分析】【探究】将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；
【应用】
（1）利用平方差公式得出（2m+n）•（2m+n）＝4m2﹣n2，代入求值即可；
（2）可将2023×2021写成（2022+1）×（2022﹣1），再利用平方差公式求值；
【拓展】利用平方差公式将1002﹣992写成（100+99）×（100﹣99），以此类推，然后化简求值．【解答】解：【探究】图1中阴影部分面积a2﹣b2，图2中阴影部分面积（a+b）（a﹣b），
所以，得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
【应用】
（1）由4m2＝12+n2得，4m2﹣n2＝12，
∵（2m+n）•（2m﹣n）＝4m2﹣n2，
∴2m﹣n＝3．
故答案为：3．
（2）20222﹣2023×2021．
＝20222﹣（2022+1）×（2022﹣1）
＝20222﹣（20222﹣1）
＝20222﹣20222+1
＝1；
【拓展】
1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12
＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1）
＝199+195+…+7+3
＝5050．
【点评】本题考查平方差公式的应用．熟练掌握平方差公式是解题的关键．
19．（2022秋•西乡塘区校级期中）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，适当的变形，可以解决很多的
数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，
所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）若（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，求（4﹣x）2+（x﹣5）2的值；
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和
S +S ＝18，求图中阴影部分面积．
1 2【分析】（1）根据（x+y）2＝x2+2xy+y2，代入计算即可；
（2）设m＝4﹣x，n＝x﹣5，可得m+n＝﹣1，mn＝（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，利用（4﹣x）2+（x﹣5）2
＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn代入计算即可；
（3）设AE＝a，FG＝b，则AB＝6＝a+b，由题意可知S +S ＝a2+b2＝18，根据（a+b）2＝a2+2ab+b2，
1 2
1
求出 ab的值即可．
2
【解答】解：（1）∵x+y＝8，
∴（x+y）2＝64，
即x2+2xy+y2＝64，
又∵x2+y2＝40，
∴2xy＝64﹣40，
∴xy＝12，
答：xy的值为12；
（2）设m＝4﹣x，n＝x﹣5，则m+n＝﹣1，mn＝（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，
∴（4﹣x）2+（x﹣5）2
＝m2+n2
＝（m+n）2﹣2mn
＝（﹣1）2﹣2×（﹣8）
＝1+16
＝17；
（3）设AE＝a，FG＝b，则AB＝6＝a+b，由题意可知S +S ＝a2+b2＝18，
1 2
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴36＝18+2ab，
∴ab＝9，
1 9
∴阴影部分的面积为 ab= ，
2 29
答：阴影部分的面积为 ．
2
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
20．（2021秋•安阳期末）亮亮这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图
形都是轴对称图形．类比这一特性，亮亮发现像a+b，3ab，abc等代数式，如果任意交换两个字母的位
置，式子的值不变，于是他把这样的式子命名为等交换对称式．
他还发现像a2+b2，（a﹣1）（b﹣1）等等交换对称式都可以用ab，a+b表示．例如：a2+b2＝（a+b）2
﹣2ab，（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣（a+b）+1．于是，亮亮把ab和a+b称为基本等交换对称式．
请根据以上材料解决下列问题：
n
（1）代数式①x3+y3，②a﹣b，③ ，④xy+yz+zx中．属于等交换对称式的是 （填序号）；
m
（2）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+n．
①若m＝2，n＝﹣1，求（a﹣b）2的值；
1 1
②若n＝﹣4，求 + 的最小值．
a2 b2
【分析】（1）根据“等交换对称式”的定义进行判断即可；
（2）①根据完全平方公式可得m＝a+b，n＝ab，再根据（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab代入计算即可；
②根据完全平方式的非负性进行计算即可．
【解答】解：（1）由“等交换对称式”的定义可知，①②是等交换对称式，
故答案为：①②；
（2）①∵（x+a）（x+b）＝x2+mx+n．
∴m＝a+b，n＝ab，
又∵m＝2＝a+b，n＝﹣1＝ab，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab
＝4+4
＝8；
②∵n＝﹣4＝ab，
1 1
+
a2 b2
a2+b2
=
a2b2(a+b) 2−2ab
=
(ab) 2
(a+b) 2+8
= ，
16
又∵（a+b）2≥0，
∴当（a+b）2＝0时，原式的值最小，
8 1
因此原式的最小值为 = ．
16 2
【点评】本题考查完全平方公式，多项式乘多项式以及偶次方的非负性，掌握完全平方公式的结构特征，
理解偶次方的非负性是正确解答的前提．
