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第二十一章 一元二次方程
一、一元二次方程的概念
1、一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：只含有 ，并且未知数的 的 叫一元二
次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
① ，即 ；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
② 未知数；
③未知数的 ．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2、一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下 ．这种形式叫一元
二次方程的一般形式．
其中 ax2叫做 ，a叫做 ；bx叫做 ；c叫做 ．
和 可取任意实数， 的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此
方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
二、一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程 是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个
方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这 x ，x 是一元二次方程 ax 2+bx+c=0
1 2
（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax2+bx+c=0（a≠0），ax2+bx+c=0（a≠0）．
1 1 2 2
三、一元二次方程的解法
1、解一元二次方程-
形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=± ；
如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=± ．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
2、解一元二次方程-
（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫
配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方
程无实数解．
3、解一元二次方程-
（1）把 （b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
4、解一元二次方程-
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两
个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一
元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
① ；② ；③令 ，得到两个一元一次方程；
④ ，它们的解就都是原方程的解．
四、一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是： ， ， ， ．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1） ：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2） ：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第
一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数．
（3） ：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、
菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例
关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．易错点1 利用一元二次方程的定义求待定系数时忽略“a≠0”
1.易错点总结：在利用一元二次方程定义求参数时，常因仅关注未知数最高次数为2，忽略二次项系数不
能为0的条件。例如，在方程(m-1)x2+3x-5=0中，直接由x次数为2得出m的值，而未考虑m - 1≠0，导
致解出增根。
2.注意事项总结：求解含参一元二次方程问题时，必须先明确二次项系数不为0这一前提条件，再结合未
知数最高次数为2列方程或不等式求解参数，最后对所得结果进行检验，确保方程符合一元二次方程的完
整定义。
例题1．（24-25九年级上·云南昆明·期中）若关于x的方程 是一元二次方程．则
m的值为 ．
易错点2 利用一元二次方程的解求待定系数时忽略“a≠0”
1.易错点总结：在已知一元二次方程的解求参数时，容易只将解代入方程求解，忽略二次项系数不为0的
条件。比如已知x = 1是方程(a - 2)x2+3x-1 = 0的解，直接代入得到关于a的等式，却未验证a -
2≠0，可能会把使方程降次为一次方程的参数值误当作答案。
2.注意事项总结：将方程的解代入含参方程后，必须先检查二次项系数是否为0。若二次项系数含参数，
需单独讨论其不为0的情况，再结合解的条件求解参数，最后检验所得参数值是否符合一元二次方程的定
义。
例题2．关于 的一元二次方程 有一个根为0， 的值是 ．
易错点3 利用一元二次方程的判别式求字母的值或取值范围时忽略“a≠0”
1.易错点总结：使用判别式△= b2 - 4ac求字母值或取值范围时，常因直接套用公式而忽略二次项系数
a≠0的前提。例如，在方程(m - 1)x2 + 2x + 1 = 0中，仅根据△与0的关系求解m，未考虑m - 1 = 0
时方程变为一次方程，导致结果错误或漏解。
2.注意事项总结：运用判别式前，需先明确方程二次项系数不为0，再结合△的情况列等式或不等式求解参数；若二次项系数含参数，应分二次项系数为0（一次方程情况）和不为0（二次方程情况）两种情形讨
论，最后综合得出符合条件的参数值或范围。
例题3．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 ．
易错点4 利用一元二次方程的根与系数关系求值时忽略“△≠0”
b c
1.易错点总结：在利用根与系数关系（韦达定理）x + x = - ，xx = 求值时，易直接代入系数计算，
1 2 a 1 2 a
忽略一元二次方程二次项系数a≠0的条件。例如，对含参方程(k - 1)x2 + 3x - 2 = 0，未判断k - 1≠0
就使用韦达定理，可能将使方程变为一次方程的k值作为正确答案。
2.注意事项总结：使用根与系数关系前，必须先确定方程二次项系数不为0；若系数含参数，需分二次项
系数为0（方程为一次方程，不存在韦达定理应用条件）和不为0（二次方程）两种情况讨论，最后检验所
得参数值是否符合要求 。
例题4．已知关于x的方程 有两个实数根 ， ．
(1)求k的取值范围；
(2)若 ，求k的值．
1．当 时，关于x的方程 是一元二次方程
2．（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）若方程 是关于 的一元二次方程，则
．
3．（24-25九年级上·河北张家口·期中）若关于x的方程 是一元二次方程，则
m的值为 ．
4．若关于 的方程 是一元二次方程，则 的值为 ．
5．（24-25九年级上·云南昆明·期中）关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a
的值为 ．6．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）若关于 的一元二次方程 有一个根是 ，
则 ．
7．已知 是一元二次方程 的一个根，则m的值为 ．
8．（24-25八年级上·上海·期中）关于x的一元二次方程 有一个根为0，则m
的值为 ．
9．（23-24九年级上·湖北黄石·期中）已知关于 的一元二次方程 有实数根，则
的取值范围是 ．
10．若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围为 ．
11．关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
12．若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 ．
13．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)若方程有两个实数根，求 的取值范围；
(2)在（1）中，设 、 该方程的两个根，且 ，求 的值．
14．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）已知关于x的一元二次方程 有两个实数
根．
(1)求m的取值范围；
(2)若方程的两个根 满足 ，求m的值．
15．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；(2)若方程两实数根分别为 、 ，且满足 ，求实数m的值．
（参考结论：若关于x的一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ，
）
16．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）定义：已知 ， 是关于x的一元二次方程
的两个实数根，若 ，且 ，则称这个方程为“限根方程”．如：一
元二次方程 的两根为 ， ，因 ， ，所以一元二次方程
为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断：一元二次方程 _____“限根方程”（填“是”或“不是”）；
(2)若关于x的一元二次方程 是“限根方程”，且两根 、 满足 ，
求k的值；
(3)若关于x的一元二次方程 是“限根方程”，求m的取值范围．
