文档内容
重难点 04 五种平面向量数学思想（核心考点讲与练）
能力拓展
题型一：函数与方程思想
一、单选题
1．（2022·浙江·高三专题练习）已知在 中， ， ，动点 位于线段 上，当
取得最小值时，向量 与 的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·陕西省洛南中学高三阶段练习（文））已知向量 ，向量 且 ，则 的坐标
为 （ ）
A． B． C． D．
3．（2020·广东珠海·高三阶段练习）已知P是边长为1的正方形ABCD边上或正方形内的一点，则
的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知平行四边形 中， ， ，对角线 与
相交于点 ，点 是线段 上一点，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
5．（2020·全国·高三（文））已知向量 ，且 ，则 等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、多选题
6．（2020·广东·高三专题练习）已知不共线的两个单位向量 ，若向量 与 的夹角为锐角，则符合上述条件的 值可以是（ ）
A． B． C． D．
三、双空题
7．（2020·全国·高三专题练习（文））已知向量 、 的夹角为 ，且 ， ，
则 _______， 在 方向上的投影等于_______.
8．（2019·浙江杭州·高三阶段练习）若向量 ， 满足 ，则 的最小值为
________，最大值为________．
四、填空题
9．（2022·浙江·高三专题练习） 中， ，且对于 ， 最小值为
，则 _____.
10．（2020·浙江·高三专题练习）如图，已知正方形 ，点E，F分别为线段 ， 上的动点，且
，设 （x， ），则 的最大值为______.
11．（2020·江苏·高三专题练习）如图，在平面四边形 中， ， ，
，点 在线段 上，且 ，若 ，则 的值为_______.
题型二：数形结合思想一、单选题
1．（2022·四川眉山·三模（理））下如图是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥.下如图是根据下如图作的简
易侧视图（为便于计算，侧视图与实物有区别）.在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直
于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上.已知 ，
， ， .根据物理学知识得 ，则 （ ）
A．28m B．20m C．31m D．22m
2．（2021·河南省杞县高中高三阶段练习（理））若点 是 所在平面内一点，且满足
，则 （ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2022·全国·高三专题练习）众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为
“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形 .其中黑色阴
影区域在 轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题:其中所有正确结论的序号是（ ）
A．在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是 ；
B．当 时，直线 与白色部分有公共点；C．黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点 ，则 的最大值为 ；
D．若点 ， 为圆 过点 的直径，线段 是圆 所有过点 的弦中最短的弦，
则 的值为 .
4．（2021·河北·石家庄一中高三阶段练习）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平
面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中 ，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．向量 在向量 上的投影向量为
5．（2022·全国·高三专题练习）已知四边形 和四边形 为正方形 ， ，
则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．6．（2022·山东·高三开学考试）在△ 中，内角 所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．若 ，则
C．
D．若 ，且 ，则△ 为等边三角形
三、填空题
7．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知单位向量 ，向量 满足方程 ，且
，则 的最小值为___________.
8．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知平面向量 （互不相等）， 与 的夹角为 ， ，
，若 ，则 __________．
9．（2022·浙江·慈溪中学模拟预测）已知平面向量 满足 ，若 ，
且 ，则 的最小值为___________.
10．（2022·湖南·长郡中学一模）在边长为3的正方形ABCD中，以点A为圆心作单位圆，分别交AB，AD
于E，F两点，点P是 上一点，则 的取值范围为__________．
11．（2022·四川达州·二模（理））如图，在梯形 中， ， ， ， ，
，则 ___________.12．（2022·陕西·西安中学高三阶段练习（理））在 中， ，若O为 外接圆的圆心，
则 的值为__________．
13．（2022·浙江浙江·高三阶段练习）已知平面向量 满足 ，若
，则 的取值范围为_________.
题型三：分类与整合思想
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 ， ，则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
2．（2020·全国·高三专题练习（文））正项等比数列 ， ，“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022·全国·高三专题练习）已知四边形 中， ， ， ，点
在四边形 上运动，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）在直角梯形 中， ， ， ， ， ，
为线段 （含端点）上的一个动点.设 ， ，对于函数 ，下列描述正确的
是（ ）
A． 的最大值和 无关 B． 的最小值和 无关C． 的值域和 无关 D． 在其定义域上的单调性和 无关
二、解答题
5．（2021·全国·高三专题练习）已知 ， ，求 为等腰直角三角形的充要条件.
题型四：转化与划归思想
一、单选题
1．（2022·广西·高三阶段练习（文））在平面直角坐标系 中， 是直线 与曲线
在第一象限的交点， 是直线 上的一点，且满足 . 为曲线 上动点，当
取最小值时， 的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（理））已知 为单位向量，向量 满足：
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2022·全国·高三专题练习）点 在△ 所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若动点 满足 ，则动点 的轨迹一定经过△ 的垂心；
B．若 ，则点 为△ 的内心；C．若 ，则点 为△ 的外心；
D．若动点 满足 ，则动点 的轨迹一定经过△ 的重心.
4．（2020·河北武强中学高三阶段练习）在 中， ， ，若 是直角三角形，
则k的值可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
5．（2022·全国·高三专题练习）若向量 ， ， ，且 ，则
的最小值为_________．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， 是非零不共线的向量，设 ，定义点
集 ，当 ， 时，若对于任意的 ，不等式 恒成立，
则实数 的最小值为______.
四、解答题
7．（2022·全国·高三专题练习）求函数 的最小值，以及y取最小值时的x的值.设
想，把原函数改为 ，能够形成怎样的问题？如何求解？
8．（2021·全国·高三专题练习）已知O是 内一点，且 ，求 与 的面积
的比值.9．（2021·全国·高三专题练习）求函数 的最小值.
题型五：特殊与一般思想
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（文））半径为1的扇形AOB中，∠AOB=120°，C为弧上的动点，已知
，记 ，则（ ）
A．若m+n=3，则M的最小值为3
B．若m+n=3，则有唯一C点使M取最小值
C．若m·n=3，则M的最小值为3
D．若m·n=3，则有唯一C点使M取最小值
2．（2020·全国·高三专题练习（文））已知向量 ， 满足 ＝0， ，若 与 的夹角
为 ，则m的值为（ ）
A．2 B．
C．1 D．
3．（2021·湖南·攸县第三中学高三阶段练习）已知平面向量 ，若 ，则
（ ）
A． B． C．1 D．
二、多选题4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平行四边形 中， 分别为线段 的中点，
，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2021·河南·一模（文））已知单位向量 ， 的夹角是 ，向量 ，若 ，则实数
________.
