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二十三章 旋转（单元测试）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图
形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此，
A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．
故选D．
2．若点 与点 关于原点成中心对称，则 的值是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【详解】解：∵点 与点 关于原点对称，
∴ ， ，
解得： ， ，
则
故选C.
3．以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【详解】解：如图，∵点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得点Q所在的象限为第二象限．
故选：B．
4．把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角
板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A在△D′E′B的（ ）
A．内部 B．外部 C．边上 D．以上都有可能
【详解】∵AC=BD=10， 又∵∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，
∴BE=5，AB=BC=5 ，
由三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，设△D′E′B与直线AB交于G，
可知：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，
∴△GE′B是等腰直角三角形，且BE′=BE=5，
∴BG=5 ，
∴BG=AB，
∴点A在△D′E′B的边上，
故选C.5．二次函数 的图象的顶点坐标是 ，且图象与 轴交于点 ．将二次函数
的图象以原点为旋转中心顺时针旋转180°，则旋转后得到的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】设将二次函数 的图象以原点为旋转中心顺时针旋转180°后为：
∵二次函数 的图象的顶点坐标是 ，且图象与 轴交于点
∴ 的图象的顶点坐标是 ，且图象与 轴交于点
∴
∴ ，
∴ ，
∴
∴
∴
∴
故选：C．6．如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连结AP、BP、CP，若AP＝6，BP＝8，CP＝10．则
S ABP+S BPC＝（ ）．
△ △
A．20+16 B．24+12 C．20+12 D．24+16
【详解】如图，将 绕点B逆时针旋转 后得 ，连接 ，
根据旋转的性质可知，旋转角 ， ，
∴ 为等边三角形， ，
由旋转的性质可知， ，
在 中， ，AP＝6，
由勾股定理的逆定理得， 是直角三角形，
∵ ，
，
∴ ．
故选：D．
7．时钟上的分针匀速旋转一周需要 60min，则经过 5min，分针旋转了（ ）
A．10° B．20° C．30° D．60°
【详解】根据题意知，分针旋转一周（360°）需要60min，
则分针每分钟旋转 =6°，
∴经过5min，分针旋转了5×6=30°，
故选C．8．如图，在正方形网格中有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形涂黑一个，使得整个黑色图形
构成一个轴对称图形．那么涂法共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【详解】解：如图，将图中其余小正方形涂黑一个，使得整个黑色图形构成一个轴对称图形有一下5种情
况．
故选C．
9．在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都是网格线的交点，已知B，C两
点的坐标分别为（﹣1，﹣1），（1，﹣2），将△ABC绕点C顺时针旋转90°，则点A的对应点的坐标为
（ ）
A．（4，1） B．（4，﹣1） C．（5，1） D．（5，﹣1）
【详解】解：如图，A点坐标为（0，2），将△ABC绕点C顺时针旋转90°，则点A的对应点的A′的坐标
为（5，﹣1）．
故选D．10．Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边
AB、AC交于E、F两点．下列结论
①(BE+CF)= BC，② ，③ AD·EF，④AD≥EF，⑤AD与EF可能互相平分，
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】解:∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，
∴AD =DC，∠EAD=∠C=45°，∠EDA=∠MDN－∠ADN =90°－∠ADN=∠FDC．
∴△EDA≌△FDC（ASA）．
∴AE=CF．
∴BE+CF= BE+ AE=AB．
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB= BC．
∴(BE+CF)= BC．
∴结论①正确．
设AB=AC=a，AE=b，则AF=BE= a－b．
∴ ．∴ ．
∴结论②正确．
如图，过点E作EI⊥AD于点I，过点F作FG⊥AD于点G，过点F作FH⊥BC于点H，ADEF相交于点O．
∵四边形GDHF是矩形，△AEI和△AGF是等腰直角三角形，
∴EO≥EI（EF⊥AD时取等于）=FH=GD，
OF≥GH（EF⊥AD时取等于）=AG．
∴EF=EO＋OF≥GD＋AG=AD．
∴结论④错误．
∵△EDA≌△FDC，
∴ ．
∴结论③错误．
又当EF是Rt△ABC中位线时，根据三角形中位线定理知AD与EF互相平分．
∴结论⑤正确．
综上所述，结论①②⑤正确．故选C．
二、填空题（每题4分，共20分）
11．如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定
角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为 ．【详解】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，P（4，2），
故答案为：（4，2）．
12．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6cm，
连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于
点F，则CF的长为 cm.
【详解】过点A作AH⊥DE，垂足为H，
∵∠BAC=90°，AB=AC，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，
∴AE=AD=6，∠CAE=∠BAD=15°，∠DAE=∠BAC=90°，
∴DE= ，∠HAE= ∠DAE=45°，
∴AH= DE=3 ，∠HAF=∠HAE-∠CAE=30°，
∴AF= ，
∴CF=AC-AF= ，故答案为 .
13．对于下列图形：①等边三角形； ②矩形； ③平行四边形； ④菱形； ⑤正八边形；⑥圆．其中既是
轴对称图形，又是中心对称图形的是 ．（填写图形的相应编号）
【详解】解：①是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
②是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
③是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
④是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
⑤是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
⑥是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故答案为②④⑤⑥．
14．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB C 的位置，点B、O分别落在点
1 1
B 、C 处，点B 在x轴上，再将△AB C 绕点B 顺时针旋转到△AB C 的位置，点C 在x轴上，将
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2
△AB C 绕点C 顺时针旋转到△AB C 的位置，点A 在x轴上，依次进行下去……，若点A( ，0)，
1 1 2 2 2 2 2 2
B(0，4)，则点B 的横坐标为 ．
2019
【详解】由图象可知点 在 轴上，
， ， ，
，， ， ，…
，
点 横坐标为 .
故答案为： .
15．如图所示，两个边长都为4cm的正方形ABCD和正方形OEFG，O是正方形ABCD的对称中心，则图
中阴影部分的面积为 cm2．
【详解】设BC与OE相交于M，CD与OG相交于N，连接OC、OB，
∵正方形ABCD与正方形OEFG的边长均为4cm
∴OB=OC=2 cm
在△OCN和△OBM中，OB=OC，∠OCN=∠OBM=45°，∠CON=∠BOM
∴△OCN≌△OBM，
∵O是正方形ABCD的对称中心，
△OCB的高等于正方形边长的一半，
∴S =S = S =4cm2．
阴影 △OBC 正方形
故答案为4．
三、解答题（16-18题每题4分，19题5分，20题7分，21、22题每题8分，23题10分，共50分）
16．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
(1) 请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A B C ；(2) 请画出△ABC关于原点对称的△A B C ；
(3) 在 轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标．
【详解】
（1）△ABC 如图所示；
1 1 1
（2）△ABC 如图所示；
2 2 2
（3）作A点关于x轴的对称点A＇（1，-1），然后连接对称点与B点，
则BA＇的解析式为 ，
当 时， ．
∴△PAB如图所示，点P的坐标为：（2，0）．
17．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．
请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：
（1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．
（2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
【详解】解：（1）轴对称图形如图1所示．
（2）中心对称图形如图2所示．
18．如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，点A与点C是对应点．
（1）画出△OAB关于点O对称的图形（保留画图痕迹，不写画法）；
（2）若∠A=110°，∠D=40°，求∠AOD的度数．
【详解】解：（1）如图，△OA′B′为所作．
（2）∵△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，
∴∠AOC=80°，∠C=∠A=110°，
∴∠COD=180°﹣110°﹣40°=30°，
∴∠AOD=∠AOC﹣∠COD=80°﹣30°=50°．
19．（1）指出下列旋转对称图形的最小旋转角，并在图中标明它的旋转中心O．（2）在上述几个图形中有没有中心对称图形？具体指明是哪几个？
解：图形A的最小旋转角是 度，它 中心对称图形．
图形B的最小旋转角是 度，它 中心对称图形．
图形C的最小旋转角是 度，它 中心对称图形．
图形D的最小旋转角是 度，它 中心对称图形．
图形E的最小旋转角是 度，它 中心对称图形．
【详解】解：（1）如图所示，
（2）图形A的最小旋转角是60°，它是中心对称图形．
图形B的最小旋转角是72°，它不是中心对称图形．
图形C的最小旋转角是72°，它不是中心对称图形．
图形D的最小旋转角是120°，它不是中心对称图形．
图形E的最小旋转角是90°，它是中心对称图形．
故答案为60，是；72，不是；72，不是；120，不是；90，是．
20．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG＝CH，直线GH绕点
O逆时针旋转α角，与边AB、CD分别相交于点E、F（点E不与点A、B重合）．
（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；
（2）若∠α＝90°，AB＝9，AD＝3，求AE的长．
【详解】证明：（1）∵对角线AC的中点为O
∴AO＝CO，且AG＝CH
∴GO＝HO∵四边形ABCD是矩形
∴AD＝BC，CD＝AB，CD∥AB
∴∠DCA＝∠CAB，且CO＝AO，∠FOC＝∠EOA
∴△COF≌△AOE（ASA）
∴FO＝EO，且GO＝HO
∴四边形EHFG是平行四边形；
（2）如图，连接CE
∵∠α＝90°，
∴EF⊥AC，且AO＝CO
∴EF是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2，
∴AE2＝（9﹣AE）2+9，
∴AE＝5
21．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3 ，点D是斜边AB上一动点（点D与点A、B不重合），
连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接AE，DE．
（1）求△ADE的周长的最小值；
（2）若CD=4，求AE的长度．
【详解】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3
∴AB= AC=6，
∵∠ECD=∠ACB=90°，∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE与△BCD中， ，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，
∴△ADE的周长=AE+AD+DE=AB+DE，
∴当DE最小时，△ADE的周长最小，
过点C作CF⊥AB于点F，
当CD⊥AB时，CD最短，等于3，此时DE=3 ，
∴△ADE的周长的最小值是6+3 ；
（2）当点D在CF的右侧，
∵CF= AB=3，CD=4，
∴DF= ，
∴AE=BD=BF﹣DF=3﹣ ；
当点D在CF的左侧，同理可得AE=BD=3+ ，
综上所述：AE的长度为3﹣ 或3+ ．
22．如图， 是等边三角形 内一点，将线段 绕点 顺时针旋转60°得到线段 ，连接 ， ，
．若 ， ， ，求四边形 的面积．【详解】解：连接 ．
∵ 为等边三角形，
∴ ， ．
∵线段 绕点 顺时针旋转60°得到线段 ，
∴ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
在 和 中，
∴ ，
∴ ．
在 中，∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 为直角三角形， ，过 作 于 ，
∴ ．
23．已知 和 都是等腰直角三角形 ， ．
（1）如图1，连接 ， ，求证： ；
（2）将 绕点O顺时针旋转．
①如图2，当点M恰好在 边上时，求证： ；
②当点A，M，N在同一条直线上时，若 ， ，请直接写出线段 的长．【详解】解：(1)∵ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ，
又 ，
,
∴ ，
∴ ，
∴ ；
(2)①连接BN，如下图所示：
∴ ，，
且 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
且 为等腰直角三角形，
∴ ，
在 中，由勾股定理可知：
，且
∴ ；
②分类讨论：
情况一：如下图2所示，设AO与NB交于点C，过O点作OH⊥AM于H点，
, 为等腰直角三角形，
∴ ,
在 中， ,∴ ；
情况二：如下图3所示，过O点作OH⊥AM于H点，
, 为等腰直角三角形，
∴ ,
在 中， ,
∴ ；
