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期中考试压轴题考点训练（二）
1．将长为2、宽为a（a大于1且小于2）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等
于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下个边长
等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第n次操作后，剩下的长方形
恰为正方形，则操作终止．当n＝3时，a的值为（ ）
A．1.8或1.5 B．1.5或1.2 C．1.5 D．1.2
【答案】B
【详解】解：第1次操作，剪下的正方形边长为a，剩下的长方形的长宽分别为a、2﹣a，由1＜a＜2，得
a＞2﹣a；第2次操作，剪下的正方形边长为2﹣a，所以剩下的长方形的两边分别为2﹣a、a﹣（2﹣a）＝
2a﹣2，
①当2a﹣2＜2﹣a，即a＜ 时，
则第3次操作时，剪下的正方形边长为2a﹣2，剩下的长方形的两边分别为2a﹣2、（2﹣a）﹣（2a﹣2）
＝4﹣3a，则2a﹣2＝4﹣3a，解得a＝1.2；
②2a﹣2＞2﹣a，即a＞ 时
则第3次操作时，剪下的正方形边长为2﹣a，剩下的长方形的两边分别为2﹣a、（2a﹣2）﹣（2﹣a）＝
3a﹣4，则2﹣a＝3a﹣4，解得a＝1.5．故选：B．
2．如图是一个正方体，小敏同学经过研究得到如下5个结论，正确的结论有（ ）个
①用剪刀沿着它的棱剪开这个纸盒，至少要剪7刀，才能展开成平面图形；②用一平面去截这个正方体得
到的截面是三角形ABC，则∠ABC=45°；③一只蚂蚁在一个实心正方体木块P点处想沿着表面爬到C点最近
的路只有4条；④用一平面去截这个正方体得到的截面可能是八边形；⑤正方体平面展开图有11种不同的
图形．A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】解：（1）AB、BC、AC均是相同正方形的对角线，故AB=BC=AC， ABC是等边三角形，
∠ABC=60°，②错误； △
（2）用一平面去截n棱柱，截面最多是（n+2）边形，正方体是四棱柱，所以截面最多是六边形，④错误；
（3）正方体的展开图只有11种，⑤正确；
（4）正方体的11种展开图，六个小正方形均是一连一关系，即必须是5条边相连，正方体有12条棱，所
以要剪12-5=7条棱，才能把正方体展开成平面图形，①正确；
（5）正方体有六个面，P点属于“前、左、下面”这三个面，所以从P到C，可以走“前+上、前+右、左
+上、左+后、下+右、下+后”这六处组合的面，这其中任何一个组合的两个面展开均是相同的长方形，而
P到C的最短路线是这个长方形的对角线，这些对角线均相等，故从P到C的最短路线有6条；③错误．
综上所述，正确的选项是①⑤，
故选B
3．如图，在矩形 中， ， ，动点 满足 ，则点 到 、 两点距离之
和 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：设△PAB的AB边上的高为h
∵∴
∴h=2
表明点P在平行于AB的直线EF上运动，且两平行线间的距离为2，如图所示
∴BF=2
∵四边形ABCD为矩形
∴BC=AD=3，∠ABC=90゜
∴FC=BC-BF=3-2=1
延长FC到G，使CG=FC=1，连接AG交EF于点H
∴BF=FG=2
∵EF∥AB
∴∠EFG=∠ABC=90゜
∴EF是线段BG的垂直平分线
∴PG=PB
∵PA+PB=PA+PG≥AG
∴当点P与点H重合时，PA+PB取得最小值AG
在Rt△GBA中，AB=5，BG=2BF=4，由勾股定理得：
即PA+PB的最小值为
故选：D．
4．如图所示，在平面直角坐标系中，A（0，0），B（2，0）， 是等腰直角三角形且 ，把
绕点B顺时针旋转180°，得到 ，把 绕点C顺时针旋转180°，得到 ，依此类
推，得到的等腰直角三角形的直角顶点 的坐标为（ ）A．（4043，－1） B．（4043，1） C．（2022，－1） D．（2022，1）
【答案】A
【详解】解：过点P 作PM⊥x轴于M，
1 1
∵ , ， 是等腰直角三角形且 ，PM⊥x轴，
1
∴AM=BM= ，
∴AM为 的中点，
在 中， ，AM为 的中点，
∴PM= =1，
1
∴点P 的坐标为（1,1）其中横坐标为：2×1－1, 纵坐标为： ，
1
同理可得点P 的坐标为（3,-1）其中横坐标为： 纵坐标为： ，
2
点P 的坐标为（5,1）其中横坐标为：2×3－1, 纵坐标为： ，
3
点P 的坐标为（7,-1）其中横坐标为：2×4－1, 纵坐标为： ，
4
∴点Pn的坐标为 ，∴点 的坐标为 ，
即 ．故选：A．
5．如图，AD是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，且DE＝DG，则∠AED＋∠AGD和是（ ）
A．180° B．200° C．210° D．240°
【答案】A
【详解】解：过 点作 于 ，如图，
是 的角平分线， ， ， ，
在 和 中，
，
， ，
， ．
故选：A．
6．如图，在四边形 中， 于 ，则 的长为
__________【答案】
【详解】解：过点B作 交DC的延长线交于点F，如右图所示，
∵ ，
，
∴ ≌
，
，
，
即 ，
，
故答案为 ．
7．在等边△ABC中，E是∠B的平分线上一点，∠AEB＝105°，点P在△ABC上，若AE＝EP，则∠AEP
的度数为______．
【答案】 或【详解】解：根据题意作出图形，如图所示，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=30°，
∵∠AEB=105°， ∴∠BAE=45°．
当AE=EP且点P在边AB上时，
∴∠EAB=∠APE=45°， ∴∠AEP=90°；
当 且点 在边BC上时，
连接CE， ∵BD垂直平分AC，
∴AE=AC= ， ∴∠EAD=∠ECD=15°，
∴
∴
∴ ∴ ．
故答案为：90°或120°．
8．如图，在 ABC中，∠A＝54°，∠C＝76°，D为AB中点，点P在AC上从C向A运动；同时，点Q在
BC上从B向△C运动，当∠PDQ＝_________时， PDQ的周长最小．
△
【答案】28°
【详解】过点D作DF⊥BC于N，并截取NF＝DN，过点D作DE⊥AC于M，并截取ME＝DM，连接EF，
则EF的长为 PDQ的最小值，
△根据作图知：AC垂直平分DE，BC垂直平分DF，
∴DQ＝FQ，PD＝PE，
∴DQ+DP+PQ＝FQ+PE+PQ，
根据两点之间线段最短，所以EF的长是 PDQ的最小值，
△
此时有：∠FDQ ∠DQP，∠MDP ∠DPQ，
在△ABC中有∠A＝54°，∠C＝76°，
∴∠B＝180°－∠A－∠C ＝50°，
∴∠BDN＝40°，∠ADM＝36°，
∴∠PDQ＝180°﹣∠BDN﹣∠ADM﹣∠FDQ﹣∠MDP
＝180°﹣40°﹣36° （∠DQP+∠DPQ）
＝104° （180°﹣∠PDQ）
＝104°﹣90° ∠PDQ，
解得：∠PDQ＝28°．
故当∠PDQ＝28°时，△PDQ的周长最小．
故答案为：28°
9．如图，在 中， ，D、E是 内两点．AD平分 ， ，若
，则 ______cm．【答案】10
【详解】解；过点E作 ，垂足为F，延长AD到H，交BC于点H，过点D作 ，垂足为
G．
， ，
， ，
， ， ．
又 ， ，
，AD平分 ， ，且 ．
， ， ，
四边形DGFH是矩形． ．
.
故答案为：10.10．如图，在 中， ， 、 分别平分 、 ，M、N、Q分别在 、 、
的延长线上， 、 分别平分 、 ， 、 分别平分 、 ，则
_______．
【答案】52°
【详解】解： 、 分别平分 、 ，
， ，
， ，
即 ， ，
，
、 分别平分 、 ，
， ，
，
，∴ ，
∴ ，
、 分别平分 、 ，
， ，
∴ ，
，
故答案为：52°．
11．如图，在 ABC中，∠ABC的平分线BD交∠ACB的平分线CE于点O．
△
(1)求证： ．
(2)如图1，若∠A=60°，请直接写出BE，CD，BC的数量关系．
(3)如图2，∠A=90°，F是ED的中点，连接FO．
①求证：BC−BE−CD=2OF．
②延长FO交BC于点G，若OF=2， DEO的面积为10，直接写出OG的长．
【答案】(1)见解析 △
(2)BE+CD=BC，(3)①见解析；②
【解析】（1）
证明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)
=180°− (∠ABC+∠ACB)
=180°− (180°−∠A)
= ∠A+90°；
（2）
解：BE+CD=BC．
在BC上截取BM=BE，连接OM，如图：
∵∠BOC= ∠A+90°=120°，
∴∠BOE=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBO=∠MBO，
∴ BOE≌△BOM，
∴△∠BOE=∠BOM=60°，
∴∠MOC=∠DOC=60°，
∵OC为∠DCM的角平分线，
∴∠DCO=∠MCO，
在 DCO与 MCO中，
△ △，
∴△DCO≌△MCO （ASA），
∴CM=CD，
∴BC=BM+CM=BE+CD；
（3）
①证明：如图，延长OF到点M，使MF=OF，连接EM，
∴OM=2OF．
∵F是ED的中点，
∴EF=DF，
∵∠DFO=∠EFM，
∴ ODF≌ MEF(SAS)，
∴△OD=EM．△
过点O作CE，BD的垂线，分别交BC于点K，H，
∴∠OCK+∠OKC=90°．
∵∠A=90°，
∴∠ACE+∠AEC=90°
∵∠ACE=∠OCK，
∴∠AEO=∠OKC，
∴∠BEO=∠BKO，
∴ OBE≌ OBK(AAS)，
同△理可得△ODC≌ OHC，
∴EO=OK，△OD=O△H=EM，BE=BK，CD=CH．
由（1）可知∠DOE=∠BOC= ×90°+90°=135°，
∴∠BOE=∠COD=45°，∴∠OEM=∠KOH=45°，
∴ OME≌ KHO，
∴△KH=OM，△
∴KH=2OF．
∵BC−BK−CH=KH=2OE，
∴BC−BE−CD=KH=2OF；
②解：∵ OME≌ KHO，
∴∠EOM=△∠OKH，△
∴FG⊥BC．
由①可知KH=2OF=4， ODF≌ MEF，
∴S DEO=S OME=S K△HO=10△，
△ △ △
∴KH×OG× =10，
∴OG=5．
12．如图1，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E分别是AC和BC上的动点，BD⊥AE，垂足
为F．
(1)求证∠CAE=∠ABD；
(2)连接DE，满足∠AEB=∠DEC，求证：BD=DE+AE；
(3)点G在BD的延长线上，连接EG，满足∠AEB=∠GEC，试写出AE，EG，BG之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)BG=AE+EG，见解析
【解析】（1）
证明：∵BD⊥AF，
∴∠BFA=90°，∵∠CAE+∠BAF=90°，∠ABD+∠BAF=90°
∴∠CAE=∠ABD．
（2）
证明：如图，作CM⊥AD于点C，CM交AE的延长线于点M
由①知，∠CAE=∠ABD
在 ABD和 CAM中， ，
△ △
∴△ABD≌△CAM（ASA）
∴BD=AM，
∵∠AEB=∠CEM，
∴∠DEC=∠CEM，
又∵∠ACBA=45°
∴∠MCE=45°
在 EDC和 EMC中，
△ △
，
∴△EDC≌△EMC（ASA）
∴EM=ED，
∵AM=AE+EM，
∴BD=DE+AE．
（3）
证明：如图，延长AE至点N，作EN=EG，
∵∠AEB =∠GEC，∠AEB =∠CEN，
∴∠GEC =∠CEN，∴∠BEG =∠BEN，
在 BEG和 BEN中，
△ △
∴△BEG≌△BEN（SAS），
∴BN=BG，∠GBC =∠NBC，
∵∠GBC =45°－∠ABD，
∴∠ABN =90°－∠ABD，
∵∠BAN =90°－∠CAE，且∠ABD =∠CAE，
∴∠ABN =∠BAN，
∴AN=BN=BG，
∵AN=AE+EN=AE+EG
∴BG=AE+EG．
13．如图1，在等边三角形 中， 于 于 与 相交于点 ．（1）求证： ；
（2）如图2，若点 是线段 上一点， 平分 交 所在直线于点 ．求证：
．
（3）如图3，若点 是线段 上一点（不与点 重合），连接 ，在 下方作 边 交
所在直线于点 ．猜想： 三条线段之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）OF=OG+OA，理由见解析
【详解】解：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴∠OAC=∠OAB=∠OCA=∠OCB=30°，
∴OA=OC，
在Rt△OCD中，∠ODC=90°，∠OCD=30°，
∴OC=2OD，
∴OA=2OD；
（2）证明：∵AB=AC=BC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴BG=CG，
∴∠GCB=∠GBC，
∵CG平分∠BCE，
∴∠FCG=∠BCG= ∠BCF=15°，
∴∠BGC=150°，
∵∠BGF=60°，
∴∠FGC=360°-∠BGC-∠BGF=150°，
∴∠BGC=∠FGC，
在△CGB和△CGF中，
，∴△CGB≌△CGF（ASA），
∴GB=GF；
（3）解：OF=OG+OA．理由如下：
连接OB，在OF上截取OM=OG，连接GM，
∵CA=CB，CE⊥AB，
∴AE=BE，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠AOB=120°，∠AOM=∠BOM=60°，
∵OM=OG，
∴△OMG是等边三角形，
∴GM=GO=OM，∠MGO=∠OMG=60°，
∵∠BGF=60°，
∴∠BGF=∠MGO，
∴∠MGF=∠OGB，
∵∠GMF=120°，
∴∠GMF=∠GOB，
在△GMF和△GOB中，
，∴△GMF≌△GOB（ASA），
∴MF=OB，
∴MF=OA，
∵OF=OM+MF，
∴OF=OG+OA．
14．△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，点D在AB边上（不与点A、B重合），以CD为腰作等腰
直角△CDE，∠DCE＝90°．
(1)如图1，作EF⊥BC于F，求证：△DBC≌△CFE；
(2)在图1中，连接AE交BC于M，如图2，求 的值；
(3)如图，3，过点E作EH⊥CE交CB的延长线于点H，过点D作DG⊥DC，交AC于点G，连接GH，当点
D在边AB上运动时，探究线段HE，HG与DG之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析；(2)2；(3)HE=GH+GD，证明见解析
【解析】（1）
证明：∵△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=90°．
∴CD=CE，∠DCB+∠ECF=90°，
∵EF⊥BC，
∴∠ECF+∠CEF=90°，
∴∠DCB=∠CEF，
在△DBC和△CEF中，∴△DBC≌△CFE（AAS）；
（2）
∵△DBC≌△CFE，
∴BD=CF，BC=EF，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC，
∴AB=EF，AD=BF，
在△ABM和△EFM中，
∴△ABM≌△EFM（AAS）
∴BM=FM，
∴BF=2BM，
∴AD=2BM，
∴ 的值为2；
（3）
解：HE=GH+GD，
在EH上截取EQ=DG，如图，
在△CDG和△CEQ中∴△CDG≌△CEQ（SAS），∴CG=CQ，∠DCG=∠ECQ，
∵∠DCG+∠DCB=45°，∴∠ECQ+∠DCB=45°，
而∠DCE=90°，∴∠HCQ=45°，∴∠HCQ=∠HCG，
在△HCG和△HCQ中，
∴△HCG≌△HCQ（SAS），∴HG=HQ，∴HE=HQ+QE=HG+DG．
15．在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴
对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴
影部分为要剪掉部分）
请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，
例图除外）
【答案】见解析.
【分析】根据轴对称图形和旋转对称图形的概念作图即可得．
【详解】解：根据剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形；即如图所示：
