第二十三章旋转（知识归纳+题型突破）（八大题型，134题）（学生版）-（人教版）_初中数学_九年级数学上册（人教版）_知识点汇总-U105_2024版

第二十三章 旋转（知识归纳+题型突破） 1.通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转。探索它的基本性质:一个图形和旋转得到的图形中，对 应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等. 2.了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它们的基本性质;成中心对称的两个图形中，对应点的连线经 过对称中心，且被对称中心平分. 3.探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质. 4.认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.1、旋转 把一个平面图形绕着平面内的一点O转动一个角度。（旋转中心：O点，旋转角：转动的角度） 2、性质 ①对应点到旋转中心的距离相等 ②对应点到旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 ③旋转前后的图形全等 3、中心对称 把一个图形绕着某一点O旋转180度，如果它能够与另一个图形重合，这两个图形关于这个点对称或中心 对称 4、性质①对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心所平分 ②中心对称的图形是全等图形 5、中心对称 把一个图形绕着某一点o旋转180度后能与原图形重合,主体：一个图形，而中心对称指的是两个 4、关于原点对称的坐标P(x，y)→P（-x，-y） 题型一 旋转三要素 【例1】如图， 和 都是等边三角形. （1） 沿着______所在的直线翻折能与 重合； （2）如果 旋转后能与 重合，则在图形所在的平面上可以作为旋转中心的点是______； （3）请说出2中一种旋转的旋转角的度数______. 巩固训练： 1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在正方形网格中，图中阴影部分的两个图形是一个经过旋转变换 得到另一个的，其旋转中心可能是（ ）A．点A B．点 C．点 D．点 2．（2023春·福建漳州·八年级统考期末）如图，在 方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三 角形乙，则其旋转中心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，小明荡秋千，位置从A点运动到了 点，若 ， 则秋千旋转的角度为（ ） A． B． C． D． 4．（2021秋·广东江门·九年级台山市新宁中学校考期中）如图，将 中， ，将 其绕点 顺时针方向旋转到 的位置，使得 在同一条直线上，那么旋转角的度数为（ ）A． B． C． D． 5．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点 有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作 为旋转中心的是（ ） A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C 7．（2023春·山东滨州·八年级统考期末）如图，在正方形网格中， 绕某点旋转一定的角度得到 ，则旋转中心的坐标是 ．8．（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B 都在格点上．线段AB绕着某一定点顺时针旋转一个角度 后，得到线段 （点 、 分 别是A、B的对应点，也都在格点上），则 的大小是 ． 9．（2022秋·广东汕头·九年级汕头市龙湖实验中学校考期中）如图， 在平面直角坐标系中的位置， 且 ，将其绕点P顺时针旋转得到 ，则点P的坐标是 ，旋转角是 度.10．（2023春·福建福州·八年级福州日升中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点 坐标为 ， ， ， 绕原点逆时针旋转 ，得到 ， 向右平移6个 单位，再向上平移2个单位得到 ． (1)画出 和 ； (2) 是 的 上一点， 经旋转、平移后点P的对应点为 ，则点 的坐标是 ． (3)若 直接旋转得到 ，则旋转点M坐标是 ．11．（2022秋·河南周口·九年级统考期中）如图所示，在平面直角坐标系中，有一个 ，且 ， ， ，已知 是由 旋转得到的． (1)请写出旋转中心的坐标是___________，旋转角是___________度； (2)以（1）中的旋转中心为中心，分别画出 逆时针旋转 、 后的三角形； (3)设 两直角边 ， ，斜边 ，利用变换前后所形成的图案证明勾股定理． 12．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，直线 、 相交于点 ，且所成的锐角为 ，画出 关于直线 的对称图形 ，然后画出 关于直线n的对称图形 ，你能发现 与 有什么关系吗？若是平移，指出平移的方向和距离；若是旋转，指出旋转的中心和角度． 题型二 图形旋转性质的应用 【例2】（2022秋·湖北荆州·九年级统考期中）如图， 中， ， ， ， 逆时针旋转一定角度后与 重合，且点C恰好成为 的中点．(1)指出能转中心，并求出旋转的度数； (2)求出 的度数和 的长． 【例3】如图 ，在等腰 中， 分别为 上的点，且 ，将 绕 点逆时针旋转 ． (1)如图 ，当 时，求证： ； (2)若 ，求 的长； (3)在 旋转过程中，直接写出 的最大值． 巩固训练 1．（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图，将 绕点A按逆时针方向旋转 ，得到 ， 若点 在线段 的延长线上，则 的度数为（ ）A． B． C． D． 2．（2023秋·辽宁辽阳·九年级统考期末）如图，正方形 的边长为2，将正方形 绕原点O逆时 针旋转 ，则点B的对应点 的坐标为（ ） A． B． C． D． 3．（2022秋·河北保定·九年级校联考期中）如图，在矩形 中， ．将矩形 绕点A逆时 针旋转，得到矩形 ．点 的对应点 落在 上，且 ．则 的长为（ ） A． B．4 C．5 D．3 4．（2022秋·辽宁鞍山·九年级统考期中）如图，在 中， ， ， ，将 绕点 逆时针旋转得到 ，此时点 恰好在边 上， 与 交于点 ，则 长为 （ ）A．2 B． C． D． 5．（2023·宁夏·统考中考真题）如图，在 中， ， ， ．点 在 上，且 ．连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ， ．则 的面 积是（ ） A． B． C． D． 6．（2023春·河北保定·八年级保定市第十七中学校联考期末）在《数学知识PK赛》上，天逸同学给竞争 对手抛出了一道旋转题，做为观赛选手，请大家都来挑战一下：如图，将 绕点 逆时针旋转 ， 得到 ，若点 在线段 的延长线上，则 的大小是（ ） A． B． C． D． 7．（2023秋·新疆和田·九年级统考期末）如图， 是等边三角形，点P在 内， ，将 绕点A逆时针旋转得到 ，则PQ的长等于（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2022秋·广东深圳·九年级校考开学考试）如图，正方形 的边长为6，点E、F分别在上，若 ，且 ，则 的长为（ ） A． B． C． D． 9．（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）如图，在菱形 中， ， ，把菱形 绕点 顺时针旋转 得到菱形 ，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C．3 D． 10．（2023·全国·九年级专题练习）如图，将 绕点 逆时针旋转得到 ，点 和点 是对应点， 若 ， ，则 的长为（ ） A．2 B． C．4 D． 11．（2023春·天津北辰·九年级校考阶段练习）如图，将 绕点 顺时针旋转得到 ，使点 的 对应点 恰好落在边 上，点 的对应点为 ，连接 ．下列结论错误的是（ ）A． B． C． D． 12．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校联考期中）如图， 绕点A顺时针旋转某个角度得到 ．已 知 ， ， 、 相交于点F， 、 相交于点G，则 的度数为 . 13．（2023·吉林松原·校联考二模）如图，在矩形 中， ．将矩形沿 翻折，使点 恰好落在边 上的 处，再将四边形 绕点 逆时针旋转 得到四边形 ， 交 于点 ，则 的面积为 ． 14．（2022秋·河北保定·九年级校联考期中）如图，将 绕点 按顺时针旋转一定角度得到 ，点 的对应点 恰好落在 边上．（1） 是等腰三角形吗? （选填“是”或“否”）； （2）若 ，则 ． 15．（2023秋·陕西安康·九年级统考期末）如图，在 中， ，D是 的中点，将 绕 点A逆时针旋转 得 ，点D，C分别对应点E，F，连接 ，若 ，则 的度数为 ． 16．（2022秋·辽宁鞍山·九年级统考期中）如图， 中， ， ； ， 绕点 顺时针旋转 ，点 ， 的对应点分别为 ， ，过 作 的垂线，垂足为 ，若 ，则 ． 17．（2022秋·辽宁铁岭·九年级校联考期中）如图，在正方形 内作 ， 交 于点 交 于点 ，连接 ，过点 作 ，垂足为 ，将 绕点 顺时针旋转 得到，若 ， ，则 的长为 ． 18．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形 中， ，将矩形 绕点 旋转 一定角度后得矩形 ， 交 于点 ，且 ，则 的长为 ． 19．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考期末）图中 和 是两个等边三角形，其中 ， ，如图①， (1)将两三角形按图1放置（点A， ， 在同一条直线上），连接线段 ， ，求线段 的长； (2)将 绕点A逆时针旋 ，如图2所示，直线 ， 相交于点 ，连接 ．求证： ； (3)以图1的位置为起点，将 绕点A逆时针旋转 ，当点 ， ， 恰好在一条直线上 时，直接写出线段 的长度． 20．（2023秋·山西阳泉·九年级校考期末）把两个全等的等腰直角三角板 和 （其直角边均为4） 叠放在一起（如图1），且使三角板 的直角顶点G与三角板 的斜边中点O重合，现将三角板 绕点O按顺时针方向旋转（旋转角α满足条件： ），四边形 是旋转过程中两三角形的重叠部分（如图2）．在上述旋转过程中． (1) 与 有怎样的数量关系? (2)四边形 的面积有何变化?请证明你的发现． 21．（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图1，等腰直角三角形 中， ， ，点 D是 边上的一点，将线段 绕点C逆时针旋转 得到线段 ，连结 ． (1)①填空：线段 与 的数量关系是_________，位置关系是__________． ②证明上述结论成立． (2)如图2，F是 的中点，连结 交 于H，若 ， 时，求 的长． 22．（2023秋·陕西安康·九年级统考期末）如图，四边形 是正方形，点F是 延长线上一点，连 接 ，将 绕点A旋转一定角度后得到 ． (1)若 ，求 的度数； (2)若 ， ，求 的长． 23．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，在 中， ， ，点D是内一点，连接 ，将线段 绕点A逆时针旋转 ，得到线段 ，连接 、 ．求证： ． 24．（2023·全国·九年级专题练习）如图， 绕点 按逆时针方向旋转后到达 的位置，设 与 、 分别交于点 、 ． (1)若 的周长为 ， ， ，求 的长； (2)若 ， ，求 的大小． 25．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点 是等边 内一点， ，将 绕点 按顺时针方向旋转 得 ，连接 ． (1)判断 的形状，并证明； (2)当 时，试判断 的形状，并说明理由； (3)直接写出 为多少度时， 是等腰三角形？ 26．（江西省赣州市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）（1）观察发现 如图1， 和 都是等边三角形，且点B、C、E在一条直线上，连接 和 相交于点P填空： ①线段 与 的数量关系是______； ② 的度数为______．（2）深入探究 如图2，将 绕点C逆时针旋转一定的角度，其他条件与（1）中相同，（1）中的结论是否仍然成立， 请说明理由． （3）拓展应用 如图3，四边形 中， ， ， ， ， ，求边 的长度． 27．（2023秋·山西晋城·七年级统考期末）综合与实践 如图①， 为直线 上一点，在点 处将一副直角三角板按如图所示的方式摆放 ．(1)将图①中的直角三角板 绕点 顺时针旋转一定的角度得到图②，使边 恰好平分 ，问 是否平分 ？请说明理由． (2)如果将图①中的直角三角板 绕点 顺时针旋转一定的角度得到图③． ①使边 在 内部，那么 与 之间存在怎样的数量关系？请说明理由． ②若继续旋转三角板 ，直到 与 重合，请直接写出 与 之间的数量关系． 28．（2023·全国·九年级专题练习）如图， 中， ， ， ，将 绕点 逆时针旋转得到 ．在旋转过程中： (1)旋转中心是什么， 为多少度？ (2)与线段 相等的线段是哪一条？ (3) 的面积是多少？ 题型三 图形旋转的规律探究【例4】（1）（2022秋·全国·九年级专题练习）等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）纸板 ABC在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别为2和1，若△ABC绕着顶点逆时针方向在数轴上连 续翻转，翻转第1次后，点C所对应的数为0，则翻转2023次后，点C所对应的数是（ ） A．﹣2021 B．﹣2022 C．﹣2023 D．﹣2024 （2）（2023·全国·九年级专题练习）如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第 2021次闪烁呈现出来的图形是（ ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（2023·全国·九年级专题练习）依次观察三个图形： ，并判断照 此规律从左向右第四个图形是（ ） A． B． C． D． 2．（2022秋·全国·九年级专题练习）有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其 对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②， ……，则第2021次旋转后得到的图形与图①﹣④中相同的是（ ）A．图① B．图② C．图③ D．图④ 3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中AB是3cm，BC是2cm，一个边长为1cm的小正方 形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时， 小正方形箭头的方向是（ ） A． B． C． D． 4．（2022秋·九年级课时练习）第一次：将点 绕原点 逆时针旋转 得到 ； 第二次：作点 关于 轴的对称点 ； 第三次：将点 绕点 逆时针旋转 得到 ； 第四次：作点 关于 轴的对称点 …， 按照这样的规律，点 的坐标是（ ）A． B． C． D． 5．（2020秋·浙江·七年级期中）图1是正方体的平面展开图，六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6， 将点数朝外折叠成一枚正方体骰子，并放置于水平桌面上，如图2所示，若骰子初始位置为图2所示的状 态，将骰子向右翻滚 ，则完成1次翻转，此时骰子朝下一面的点数是2，那么按上述规则连续完成2次 翻折后，骰子朝下一面的点数是3；则连续完成2020次翻折后，骰子朝下一面的点数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考期末）如图1，将一个正三角形绕其中心最少旋转 ，所 得图形与原图的重叠部分是正六边形；如图2，将一个正方形绕其中心最少施转 ，所得图形与原图形的 重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正六边形绕其中心最少旋转 ，所得图形与原图的重叠 部分是正多边形．在图2中，若正方形的边长为2，则所得正八边形的面积为 ． 7．（2022·江苏常州·校考二模）如图，一个机器人最初面向北站立，按程序：每次移动都向前直走 ，然后逆时针转动一个角度，每次转动的角度增加 ．第一次直走 后转动 ，第二次直走 后转动 ，第三次直走 后转动 ，如此下去．那么它在移动过程中第二次面向西方时一共走了 米． 8．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，将边长为1的正三角形 沿 轴正方向作无滑动的连续反转， 点 依次落在点 ， ， 的位置，则点 的坐标为 ． 9．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，把正方形铁片 置于平面直角坐标系中，顶点 的坐标为 （3，0），点 在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一 次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转2019次后，则点 的坐标为 . 题型四 坐标系内的图形旋转 【例5】（2023·广东佛山·校考三模）如图， ， ，将线段 绕点 顺时针旋转 到 ， 则 点坐标为（ ）A． B． C． D． A3,0 B0,4 【例6】（2023春·江苏·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是 ， ， 把线段AB绕点A旋转后得到线段AB，使点B的对应点B落在x轴上，则点B的坐标是（ ） 5,0 8,0 8,0 2,0 5,0 5,0 A． B． C． 或 D． 或 巩固训练 P2,3 1．（2022秋·云南昭通·九年级统考期中）在平面直角坐标系中，把点 向右平移5个单位长度得到 P P 90 P P 点 1，再将点 1绕原点旋转 得到点 2，则点 2的坐标是（ ） 3,3 3,3 3,3 3,3 3,3 3,3 A． B． C． 或 D． 或 2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，平行四边形AOBC中，BO2AO4，AOB60，对角线 AB，OC交于点P，将平行四边形AOBC绕点O顺时针旋转90，旋转后点P的坐标为（ ） 5 3  5 3 骣3 5  3 5  ,   ,  琪 ,-  ,  A． 2 2  B． 2 2  C．琪2 2 D． 2 2      桫   3．（2023·四川雅安·统考中考真题）在平面直角坐标系中．将函数 yx 的图象绕坐标原点逆时针旋转90， 再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（ ） yx1 yx1 y=x1 yx1 A． B． C． D．58．（2023·全国·九年级专题练习）如图，ABC的各顶点都在正方形网格的格点上，其中点A的坐标为 (3,2) ，将 ABC 绕点 C(0,5) 逆时针旋转 90 后，得到 A 1 B 1 C ，则点 A 1的坐标为（ ） (2,2) (3,2) (2,3) (2,2) A． B． C． D． 3 4．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，直线y 2 x3分别与 x 轴，y轴交于点 A ， B ，将 OAB 绕 着点A顺时针旋转90得到CAD，则点B的对应点D的坐标是（ ）   2,5 3,5 5,2 13,2 A． B． C． D． 5．（2023秋·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）如图，ABC的三个顶点都在方格纸的格点上， 1,0 ABC 90 其中A点的坐标是 ，将 绕点A逆时针旋转，每次旋转 ，则第2023次旋转结束时，点B的 坐标为（ ）5,3 3,3 3,3 2,4 A． B． C． D． O0，0，B2，2 OABC 6．（2023春·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，已知菱形 的顶点 ，若菱形绕点 O逆时针旋转，每秒旋转45，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（ ） 1，1 1，1 1， 1  1，1 A． B． C． D． 7．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，将含有30角的直角三角板OAB按如图所示的方式放置在 平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA4，将三角板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转60，则第2023 秒时，点B的对应点B的坐标为（ ） 4 3  A．   3 ,4  B．  2 3，4  C．  2 3，2  D．0,4  ABCD A (0 4) 8．（2023·江苏·八年级假期作业）如图在平面直角坐标系中，正方形 的顶点 的坐标是 ， ， 顶点B的坐标是(2，0)，对角线AC、BD的交点为M 将正方形ABCD绕着原点O逆时针旋转，每次旋转 45，则第2023次旋转结束时，点M 的坐标为 ( ) 3，3 3，3 (0，3 2 ) (3 2 ，0) A． B． C． D． 9．（2023·山东东营·校联考一模）如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形ABCO绕原点O 逆时针旋转75，再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点B的坐标为（ ） ( 2, 6) ( 2, 61) ( 2, 6) ( 2, 61) A． B． C． D． A3,4 10．（2023·全国·九年级专题练习）平面直角坐标系内一点 ，点A绕着原点逆时针旋转 90 后的坐 标是 ； A1,2 90 11．（2023春·甘肃白银·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，将点 绕原点O逆时针旋转 得 到点A，则AA ． ABC C(0,1) 180 12．（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）如图，将 绕点 旋转 得到 △ABC，设点A的坐标为(a,b)，则点A的坐标为 ．1,0 13．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为 ，点A 3,3 的坐标为 ，将点A绕点C顺时针旋转90°得到点B，则点B的坐标为 ． 14．（2022秋·甘肃金昌·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点 OABC OA B C B O逆时针旋转45°后得到正方形 1 1 1，继续旋转至2019次得到正方形 2019 2019 2019，则点 2019的坐标 是 ． 15．（2023春·河北保定·八年级保定市第十七中学校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC A3,3 B1,2 C2,1 三个顶点坐标分别是 ， ， ．(1)请画出 ABC 绕着点 O 逆时针旋转 90 后得到的 △A 1 B 1 C 1； ABC x △ABC 2 2 2 (2)请画出 关于 轴对称的 ； (3)若 ABC 内部一点 Pm,n 在 △A 1 B 1 C 1中的对称点 P 1，在 △A 2 B 2 C 2中的对称点为 P 2，则点 P 1， P 2的坐标分 P P 别为 1_______， 2________ 16．（2023·全国·九年级专题练习）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建 ABC 4,1 立平面直角坐标系后 的顶点均在格点上，点C的坐标为 ． (1)以原点O为旋转中心，将 ABC 绕点O顺时针方向旋转 90 后得到 △A 1 B 1 C 1，画出 △A 1 B 1 C 1，并写出 C 1 的坐标． (2)计算ABC的面积． 17．（2023·全国·九年级假期作业）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立0，1 ABC 平面直角坐标系后， 的顶点均在格点上，点C的坐标为 ． (1)写出A、B两点的坐标； (2)画出 ABC 绕点C旋转 180 后得到的 A 1 B 1 C ． (3)直接写出ABC的面积______． y x22 y 18．（2023秋·黑龙江大庆·九年级统考期末）如图，抛物线 1 向右平移1个单位得到抛物线 2， 回答下列问题： y (1)抛物线 2的顶点坐标__________； (2)阴影部分的面积S __________； y O 180 y y (3)若再将抛物线 2绕原点 旋转 得到抛物线 3，求抛物线 3的解析式． 题型五 图形中心对称的性质应用 【例7】（2023秋·河北邢台·九年级统考期末）如图， 和 关于点 成中心对称．(1)找出它们的对称中心 ； (2)若 ，求 的周长； 巩固训练： 1．（2023春·福建泉州·七年级统考期末）如图， 与 关于点 成中心对称，连接 、 ， 以下结论错误的是（ ） A． B． C． D． 2．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，已知图形 和图形 中关于点A中心对称， 都是线段， 是一段圆弧．嘉琪对其进行测量后得到以下四个结论，其中一定错误的是（ ） A． B．图形 的内角和是 C． D． 3．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图， 与 关于点O成中心对称，则下列结论不成立的 是（ ）A．点A与点 是对称点 B． C． D． 4．（2023·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中有A，B， 三个点，点B的坐标是 ，点A， 点 关于点B中心对称，若将点A往右平移4个单位，再往上10个单位，则与 重合，则点A的坐标是 ． 5．（2023·全国·九年级专题练习）如图， 与 关于点O成中心对称，有以下结论：①点A与 点 是对称点；② ；③ ；④ ．其中正确结论的个数为 个． 6．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，△ABC与△DBE关于点B成中心对称，若∠A=90°， ∠ADC=30°，DE=2，则AB的长为 ． 7．（2022秋·九年级单元测试）如图， 与 成中心对称， 是 的中位线， 是 的中位线，已知 ，则 ．8．（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，边长为8的正方形 和边长为12的正方形 排放 在一起， 和 分别是两个正方形的对称中心，则阴影部分的面积为 ． 9．（2023·全国·九年级假期作业）如图， 与 关于点 成中心对称， ，则 的长是 ． 10．（2023春·河南周口·七年级校联考期末）如图，在 中， 是 边上的中点，已知 ， ． (1)画出 关于点 的中心对称图形； (2)求线段 长的取值范围． 11．（2023春·江苏南京·八年级南京五十中校联考期中）（1）如图①，等边三角形ABC的3个顶点都在 上，仅用无刻度的直尺画出 关于点O 的中心对称图形.（2）如图②，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，连接AF、DE，△ABF按顺时针方向旋转 后得到△DAE，仅用无刻度的直尺画出旋转中心． 12．（2023春·河北沧州·八年级校考阶段练习）一次函数 的两组x、y的对应值如图，在平面直角 坐标系中画出了它的图象为直线l（如图14-1），王英为观察k、b对图象的影响，将上面函数中的k与b 交换位置后得到另一个一次函数，设其图象为直线 . (1)求直线 的解析式； (2)直接写出直线 的表达式为___________，并在图1中画出直线 ； (3)若 ）是x轴上的一个动点，过点P作y轴的平行线，分别交直线l、 于点M、N，当 时， 求m的值； (4)若 是y轴上的一个动点，过点Q作x轴的平行线，分别与直线l、 及y轴有三个不同的交点，且 其中两点关于第三点对称，直接写出n的值___________.题型六 中心对称图形 【例8】（2023秋·山西大同·九年级统考期末）剪纸，作为中国传统文化艺术，象征纳福吉祥，寄托人们 对美好生活的向往．下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 巩固训练： 1．（2023春·山东济南·八年级统考期末）下列卡通图标分别是“星球”、“宇航员”、“星系”和“黑 洞”，其中是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）下列说法正确的有（ ）个 ①三角形的一个外角大于它的任何一个内角 ②若一个三角形的三个内角度数的比为 ，则这个三角形是直角三角形 ③长方形既是中心对称图形又是轴对称图形 ④如图，图形绕着中心旋转 或 或 后能与自身重合A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023年陕西省中考数学试卷（A卷））下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 4．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）下面四个图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 5．（2023春·江苏无锡·八年级无锡市东林中学校考期末）雪花、风车…展示着中心对称的美，利用中心对 称，可以探索并证明图形的性质，请思考在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为（ ） A．菱形 B．平行四边形 C．等边三角形 D．矩形 6．（2022秋·湖北荆州·九年级统考期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历 史，2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中 的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ） A． B． C． D．7．（2023春·江苏南京·八年级校联考期末）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 8．（2023春·浙江金华·八年级校考期中）在实施垃圾分类过程中，下列图形分别是有害垃圾、可回收物、 厨余垃圾及其它垃圾的标志，以下标志是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 9．（2023春·河北保定·八年级保定市第十七中学校联考期末）在学习《图形的平移和旋转》时，爱思考的 博涵同学发现在下列几种著名的数学曲线中，有一种既是轴对称图形又是中心对称图形，请同学们找出是 哪一个？（ ） A． 笛卡尔爱心曲线 B． 蝴蝶曲线 C． 费马螺线曲线 D． 科赫曲线 10．（2023秋·河北沧州·八年级校考期末）下列图形均表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是 中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 11．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期中）古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说：“美的线型和其他一切美的 形体，都必须有对称形式．”下面的图形中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D．题型七 坐标系内的关于原点的对称问题 【例9】如果 ，那么点 关于原点的对称点 的坐标为（ ） A． B． C． D． 巩固训练： 1．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）已知点 与点 关于原点对称，则 的值是（ ） A．2 B． C． D．4 2．在平面直角坐标系中，点 绕原点 逆时针旋转180°得到点 ，则点 的坐标是（ ） A． B． C． D． 3．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）若点 关于原点的对称点 ，那么 ． 4．（2023·全国·九年级专题练习）平面直角坐标系内一点 关于 轴对称的点是 ，点 向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度到点 ，点 关于原点的对称点是点 ，则点 的坐标是 ． 5．（2023秋·山东济南·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点 与点 关于原点对称， 则 ． 6．（2023春·甘肃白银·八年级校考期中）在平面直角坐标系下，将点 向上平移3个单位，对应的 点为 ，点 与点 关于原点对称，则点 的坐标为 ． 7．（2023秋·重庆开州·九年级统考期末）平面直角坐标系内与点 关于原点对称的点 的坐标是 ，则 ． 8．（2022秋·云南昭通·九年级统考期中）已知 、 两点，若A、B两点关于原点对 称，则 ． 9．（2022秋·辽宁盘锦·九年级校考期中）已知点 与点 关于原点对称，则的值为 ． 10．（2023春·山东滨州·八年级统考期末）已知平行四边形 的两条对角线相交于平面直角坐标系中 的原点O，点 ， ，则点D的坐标为 ． 题型八 二次函数图象综合问题 【例9】（2023春·福建福州·九年级统考期中）如图，在 中， ，将 绕点 顺时针 旋转 得到 ，连接 ． (1)求证： ； (2)若 ，证明：直线 与 互相垂直． 【例10】（2022秋·吉林白城·九年级统考阶段练习）如图，在 中， ， ，点 是 内一点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接 、 ．求证： ． 巩固训练： 1．（2023·广东广州·统考二模）如图，在矩形 中， ， ，将矩形 绕点A逆时针 旋转至矩形 ，旋转角为 ，当点C， 和 三点共线时， 的长为（ ）．A． B． C． D． 2．（2023春·江苏南京·八年级南京市第二十九中学校考阶段练习）对于题目：“如图 ，平面上，正方形 内有一长为 、宽为 的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转 即平移或旋转 的方式，自由地从 横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数 ”甲、乙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长 ， 再取最小整数 ． 甲：如图 ，思路是当 为矩形对角线长时就可移转过去；结果取 ． 乙：如图 ，思路是当 为矩形的长与宽之和的 倍时就可移转过去：结果取 ． 下列正确的是（ ） A．甲的思路对，他的 值错 B．乙的思路错，他的 值对 C．甲和乙的思路都对 D．甲和乙的 值都对 3．（2023春·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，边长为1的正方形 绕点A逆时针旋转45度后 得到正方形 ，边 与 交于点 ，则四边形 的周长是（ ）． A．3 B． C． D． 4．（2023春·辽宁鞍山·七年级校考阶段练习）将一副直角三角板 按如图1所示位置摆放，其 中 ， ， ．若将三角板 绕点A按每 秒 的速度顺时针旋转 ，如图2，在此过程中，设旋转时间为t秒，当线段 与三角板 的一条 边平行时， ．5．（2023·河北唐山·统考二模）小明遇到一个问题： 个同样大小的正方形纸片，边长是 ，排列形式如 图所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图所示的方法分割后，将三角形纸片①绕 的中点 旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形 ．则新正方 形 的面积是 ；如图，在面积为 的平行四边形 中，点 分别是边 的中点，分别连接 得到一个新的平行四边形 ．则平行四边形 面积的大小是 ． 6．（2023·湖北 鄂州·统考二模）如图， 是等边 内的一点， ．若 的面积为 ， 则边 的长为 ． 7．（2023春·七年级单元测试）如图，已知直线 ，点 、 分别在 、 上，射线 自射 线 的位置开始，以每秒 的速度绕点 逆时针旋转至 便立即顺时针回转，旋转至 后停止运动， 射线 自射线 的位畳开始，以每秒 的速度绕点 顺时针嫙转至 后停止运动，若射线 先旋转秒，射线 才开始转动，当射线 ， 互相平行时，射线 的旋转时间 （ ）为 秒． 8．（2023春·八年级课时练习）如图，平行四边形 绕点 逆时针旋转32°，得到平行四边形 ， 点 恰好落在 边上， 和 交于点 ，则 的度数是 ． 9．（2022秋·上海静安·八年级上海市民办扬波中学校考期中）已知： 中， ， ，将 绕点B按顺时针方向旋转． (1)当 转到 边上点 位置时， 转到 ，（如图1所示）直线 和 相交于点 ，试判断线段 和线段 之间的数量关系，并证明你的结论； (2)将Rt 继续旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明 理由． 10．（2023·全国·九年级专题练习）将一副直角三角板 和 如图（1）放置，此时 四点在 同一条直线上，点 在边 上，其中 ， ， ．(1)求 的度数； (2)将图（1）中的三角板 绕点A以每秒10°的速度，按顺时针方向旋转一定的角度 后， 记为三角板 ，设旋转的时间为t秒． ①如图（2），当旋转至 ，求a的值； ②若在旋转过程中，三角板 的某一边恰好与 所在的直线平行，直接写出t的值． 11．（2023·四川德阳·统考中考真题）将一副直角三角板 与 叠放在一起，如图1， ， ， ， ．在两三角板所在平面内，将三角板 绕点O顺时针方向旋转 （ ）度到 位置，使 ，如图2． (1)求 的值； (2)如图3，继续将三角板 绕点O顺时针方向旋转，使点E落在 边上点 处，点D落在点 处． 设 交 于点G， 交 于点H，若点G是 的中点，试判断四边形 的形状，并说明 理由． 12．（2022秋·广东珠海·九年级珠海市紫荆中学桃园校区校考期中）已知:如图 和 都是等边角 形． 是 延长线上一点， 与 相交于点 ． 、 相交于点 ， 、 相交于点 ．(1)在图①中，求证: ； (2)当 绕点 沿逆时针方向旋转到图②时， ________． 13．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）问题探究 将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种 基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之 间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化． 问题提出：如图1， 是边长为1的等边三角形，P为 内部一点，连接 、 、 ，求 的最小值． 方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为 折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）． 问题解决：如图2，将 绕点 逆时针旋转 至 ，连接 ，记 与 交于点 ，易 知 ．由 ，可知 为正三角形， 有 ． 故 ．因此，当 共线时， 有最小值是 ． 学以致用： (1)如图3，在 中， 为 内部一点，连接 ，则 的最小值是________． (2)如图4，在 中， 为 内部一点，连接 ，求的最小值． 14．（2023·北京朝阳·统考二模）在 中， ， ，点D在 边上（不与点B，C 重合），将线段 绕点A顺时针旋转 ，得到线段 ，连接 ． (1)根据题意补全图形，并证明： ； (2)过点C作 的平行线，交 于点F，用等式表示线段 与 之间的数量关系，并证明． 15．（2023·北京顺义·统考二模）已知： ， ， 分别是射线 ， 上的点，连接 ， 以点 为旋转中心，将线段 绕着点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接 ， ． (1)如图1，当 时，求证： ； (2)当 时，依题意补全图2，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明． 16．（2023春·安徽合肥·八年级合肥寿春中学校考期中）如图， 和 均为等腰直角三角形， ， ， ．现将 绕点B旋转．(1)如图1，若A、M、N三点共线． ①若 ， ，求 ． ②若 ，求点C到直线 的距离； (2)如图2，连接 、 ，点H为线段 的中点，连接 ．求证： ． 17．（2023春·北京东城·九年级北京市第一六六中学校考开学考试）如图，在 中， ， ，点 在边 上（不与点 ， 重合），连接 ，以点A为中心，将线段 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ． (1) ______°； (2)取 中点 ，连接 ，用等式表示线段 与 的数量关系，并证明． 18．（2022春·湖南娄底·八年级娄底一中校考阶段练习）在 中， ， ，直线 经过点C，且 于点D． 于点E． (1)当直线 绕点C旋转到如图所示位置时，求证： ； (2)当直线 绕点C旋转到与线段 相交（交点不是 中点）时，画出相应的图形，探求线段 ， 与 之间的等量关系，并写出其关系式．19．（2022秋·上海闵行·七年级校考阶段练习）如图， 是直角三角形， ，将 绕点A逆时针旋转 ，得到 （点B与点D是对应点，点C与点E是对应点），设 ． (1)画出 ； (2)连接 ，用含a、b的式子表示 的面积为___________（直接写出化简后的答案）； (3)若 ， 的面积为 ，求 的面积． 20．（2022秋·河北邯郸·九年级校联考阶段练习）如图①所示，将一个边长为2的正方形 和一个长 为2、宽为1的长方形 拼在一起，构成一个大的长方形 ．现将小长方形 绕点C顺时针旋 转至长方形 ，旋转角为 ． (1)当点 恰好落在 边上时，求旋转角 的值； (2)如图②，G为 中点，且 ，求证： ； (3)小长方形 绕点C顺时针旋转一周的过程中， 与 能否全等？若能，直接写出旋转角 的值；若不能，说明理由．