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重难点 06 两种数列最值求法（核心考点讲与练）
能力拓展
题型一：单调性法求数列最值
一、单选题
1．（2022·安徽淮南·二模（文））已知等差数列 的前n项和为 ， ，
则数列 （ ）
A．有最大项，无最小项 B．有最小项，无最大项
C．既无最大项，又无最小项 D．既有最大项，又有最小项
2．（2022·北京·二模）已知等差数列 与等比数列 的首项均为－3，且 ， ，则数列
（ ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
3．（2022·安徽·芜湖一中三模（文））已知等差数列 的首项 ，且 ，正项等比数列
的首项 ，且 ，若数列 的前n项和为 ，则数列 的最大项的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
4．（2022·广东·一模）已知正项数列 满足 ，当 最大时， 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多选题
5．（2021·广东·高三阶段练习）设数列 的前n项和为 ，若 ，则下列结论中正
确的是（ ）A．
B．
C．
D．满足 的n的最大值为2020
6．（2022·全国·高三专题练习）等比数列 各项均为正数， ， ，数列 的前
项积为 ，则（ ）
A．数列 单调递增 B．数列 单调递减
C．当 时， 最大 D．当 时， 最小
7．（2021·河北·高三阶段练习）已知 ， 分别是等差数列 的公差及前 项和， ，设
，数列 的前 项和为 ，则下列结论中正确的是（ ）
A．满足 的最小 值为 B．
C． D． 时， 取得最小值
8．（2022·江苏·高三专题练习）在 （ ）中，内角 的对边分别为 ，
的面积为 ，若 ， ， ，且 ， ，则（ ）
A． 一定是直角三角形 B． 为递增数列
C． 有最大值 D． 有最小值9．（2021·江苏·盐城中学一模）对于数列 ，若存在数列 满足 （ ），则称数列
是 的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（ ）
A．若数列 是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；
B．若 ，则其“倒差数列”有最大值；
C．若 ，则其“倒差数列”有最小值；
D．若 ，则其“倒差数列”有最大值.
三、填空题
10．（2022·上海徐汇·二模）已知定义在 上的函数 满足 ，当 时，
．设 在区间 上的最小值为 ．若存在 ，使得 有解，则
实数 的取值范围是______________．
11．（2022·浙江台州·二模）已知等差数列 的各项均为正数，且数列 的前 项和为 ，则数列
的最大项为___________.（用数字作答）
12．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an}对任意m，n∈N*都满足am n=am+an，且a=1，若命题
+ 1
“ n∈N*，λan≤ +12”为真，则实数λ的最大值为____.
∀
13．（2022·天津市新华中学高三期末）在数列 中， ，则数列 中的最大项的
________ .
14．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a＝ ，an＋2an ＝0，则Sn－
1 ＋1的最大值与最小值的积为________.
15．（2022·河南·模拟预测（文））已知数列 满足 ，则 的最大值为
________．
16．（2022·全国·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，等差数列 的首项为1，公差为1，则
的最大值为__________.
四、解答题
17．（2022·湖北·模拟预测）已知数列 的前n项之积为 ，且 ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)求 的最大值．
18．（2022·天津市宁河区芦台第一中学模拟预测）设数列 的前 项和为 ,且满足
.
(1)求数列 的通项公式;(2)记 ，数列 的前 项和为 ，若不等式
对一切 恒成立,求 的取值范围.
19．（2022·天津·高三专题练习）设数列 的前 项和 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 求 的前 项和 取最小值时 的值；
(3)证明：20．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知数列 的首项 ， .
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 的最小值.
21．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，满足：
(1)求证：数列 为等差数列；
(2)若 ，令 ，数列 的前n项和为 ，若不等式 对任意 恒成立，
求实数m的取值范围．
题型二：不等法求数列最值
一、单选题
1．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知曲线 在点 处的切线为l，数列 的首项为1，点 为切线l上一点，则数列 中的最小项为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·辽宁·建平县实验中学高三阶段练习）已知数列 满足 ， ，若
，且存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·浙江·高三期中）已知数列 满足 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·江西·鹰潭一中高三期中（文））数列 通项公式为： ，则 中的最大项为
（ ）
A．第1项 B．第1010项 C．第1011项 D．第1012项
二、多选题
5．（2022·全国·高三专题练习）在数列{an}中，an＝(n＋1) n，则数列{an}中的最大项可以是（ ）
A．第6项 B．第7项
C．第8项 D．第9项
6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，下列命题正确的有（ ）
A．当 时，数列 为递减数列
B．当 时，数列 一定有最大项C．当 时，数列 为递减数列
D．当 为正整数时，数列 必有两项相等的最大项
7．（2020·河北·沧州市民族中学高三阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，
著不等式 对任意的 恒成立，则下列结论正确的为（ ）
A． B．
C． 的最大值为 D． 的最小值为
三、填空题
8．（2022·安徽亳州·高三期末（理））已知数列 满足 ， ，若不等式
对任意 恒成立，则实数 的取值范围是___________.
9．（2021·湖北·高三阶段练习）已知数列 的首项 ，其前 项和为 ，且满足
，则当 取得最小值时， ___________.
四、解答题
10．（2022·全国·模拟预测（理））已知数列 满足 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，且数列 的前n项和为 ，若 恒成立，求 的取值范
围．11．（2022·全国·高三专题练习）数列 满足 ，
(1)求 的值；
(2)求数列 前 项和 ；
(3)令 ， ，证明：数列 的前 项和 满足 ．
12．（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列 是递增的等比数列，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，求使 成立的正整数 的最小值．
13．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的各项均为正数，前 项和为 ， .
（1）求 ， ， 的的值；
（2）求数列 的通项公式；（3）若 恒成立，求实数 的取值范围.
14．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高二开学考试（理））已知数列 的前 项和 ， ，
在等差数列 中， ， .
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的最大值.
15．（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列 满足 .
（1）求数列 的通项公式；（2）设数列 的前项 和为 ，若 恒成立，求实数 的取值范围.
16．（2021·河南洛阳·三模（理））已知数列 的前 项和为 ，且对任意的 ，都满足
， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的最小项的值．
