文档内容
期末卷B 卷
考试范围：9下整册；考试时间：100分钟；命题人：书生宝剑；满分:120分
第I卷（选择题）
一、单选题(共30分)
1．(本题3分)下图是一个积木的立体图形，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据从立体图形左面看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】
解：从积木的左边看到的图形是一个长方形．
故选：C
【点睛】
本题考查了三视图中左视图的定义：从立体图形左面看得到的图形是左视图．熟知定义是解题关键．
2．(本题3分)如图，是由一些相同的小正方体搭成的几何体的三视图，搭成这个几何体的小正方体的个数
有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个【答案】C
【解析】
综合三视图，我们可得出，这个几何体的底层应该有3个小正方体，第二层应该有1个小正方体，因此搭
成这个几何体的小正方体的个数为3+1=4个，故选C
3．(本题3分)要把一个三角形的面积扩大到原来面积的8倍，而它的形状不变，那么它的边长要增大到原
来的（ ）倍.
A．2 B．4 C．2√2 D．64
【答案】C
【解析】
【分析】
根据相似三角形的面积比为1:8，即可求出边长之比为√1:√8=1：2√2，即可选出答案.
【详解】
∵相似三角形的面积比为1:8，
∴边长之比为√1:√8=1：2√2，
∴它的边长要增大到原来的2√2倍.
故选C.
【点睛】
此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是根据面积比求出相似比.
4．(本题3分)图中几何体的左视图是（ ）
A．A B．B C．C D．D
【答案】B
【解析】
试题解析：从物体左面看，第一层3个正方形，第二层左上角1个正方形．
故选B．
考点：简单几何体的三视图.
5．(本题3分)如图， 是 的直径， ，垂足为点 ，连接 交 于点 ，延长 交于点 ，连接 并延长交 于点 .则下列结论：① ；② ；③点 是 的中
点.其中正确的是（ ）
A．①②B．①③ C．②③D．①②③
【答案】A
【分析】
根据“同弧所对圆周角相等”以及“等角的余角相等”即可解决问题①，运用相似三角形的判定定理证明
△EBC∽△BDC即可得到②，运用反证法来判定③即可.
【详解】
证明：①∵BC⊥AB于点B，
∴∠CBD+∠ABD=90°，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CBD=∠BAD，
∵∠BAD=∠CEB，
∴∠CEB=∠CBD，
故①正确；
②∵∠C=∠C，∠CEB=∠CBD，
∴△EBC∽△BDC，
∴ ，
故②正确；
③∵∠ADB=90°，
∴∠BDF=90°，
∵DE为直径，∴∠EBD=90°，
∴∠EBD=∠BDF，
∴DF∥BE，
假设点F是BC的中点，则点D是EC的中点，
∴ED=DC，
∵ED是直径，长度不变，而DC的长度是不定的，
∴DC不一定等于ED，
故③是错误的.
故选：A.
【点睛】
本题考查了圆周角的性质，余角的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定等知识，知识涉及比较
多，但不难，熟练掌握基础的定理性质是解题的关键.
6．(本题3分)反比例函数 的图象如图所示，以下结论错误的是（ ）
A．
B．若点 在图象上，则
C．在每个象限内， 的值随 值的增大而减小
D．若点 ， 在图象上，则
【答案】D
【分析】
根据反比例函数的图象的位置确定其比例系数的符号，利用反比例函数的性质进行判断即可．
【详解】
解：∵反比例函数的图象位于一、三象限，
∴k＞0故A正确；
当点M （1，3）在图象上时，代入可得k=3，故B正确；当反比例函数的图象位于一、三象限时，在每一象限内，y随x的增大而减小，
故C正确；
将A（-1，a），B（2，b）代入 中得到，得到a=-k，
∵k＞0
∴a＜b，
故D错误，
故选：D．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，牢记反比例函数的比例系数的符号与其图象的关系是解决本题的关键
7．(本题3分)如图， 和 都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°,反比例函数 在第一象
限的图象经过点B，若OA²-AB²=12，则k的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意得到OA= OC，AB= BD，由已知得OC2-DB2=6，因为点B的横坐标为：OC+BD，纵坐标
为OC-BD，求出k的值．
【详解】
由题意可知，OC=AC，DB=DA，OA= OC，AB= BD，
点B的横坐标为：OC+BD，纵坐标为OC-BD，
∵OA2-AB2=12，∴OC2-DB2=6，即（OC+BD）（OC-BD）=6，
∴k=6，故选B
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象
上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
8．(本题3分)乐器上的一根琴弦AB＝60厘米，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是AB的黄
金分割点(AC＞BC)，则AC的长为( )
A．(90－30 )厘米 B．(30＋30 )厘米 C．(30 －30)厘米 D．(30 －60)厘米
【答案】C
【详解】
分析：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做
黄金分割，他们的比值（ ）叫做黄金比．
详解：根据黄金分割点的概念得：AC= AB=（30 -30）厘米．
故选C．
点睛：此题主要是考查了黄金分割点的概念，要熟悉黄金比的值是关键．
9．(本题3分)如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点． 已知菱形的一个角
（∠O）为60°，A，B，C 都在格点上，则tan∠ABC的值是 ．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图，连接EA，EC，设菱形的边长为a，由题意得∠AEF=30°，∠BEF=60°，AE= a，EB=2a，∴∠AEB=90°，∴tan∠ABC= = = ，故选A．
10．(本题3分)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠ADC＝90°，AB＝5，，CD＝AD＝3．点E是线段
CD的三等分点，且靠近点C，∠FEC的两边与线段AB分别交于点F、G，连接AC分别交EF、EC于点
H、K．若BG＝ ，∠FEG＝45°．则HK＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据等腰直角三角形的性质得到AC=3 ，根据相似三角形的性质得到 ，求得CK= ，
过E作EM⊥AB于M，则四边形ADEM是矩形，得到EM=AD=3，AM=DE=2，由勾股定理得到EG=
，求得EK= ，根据相似三角形的性质得到 ，设HE=3x，HK=
x，再由相似三角形的性质列方程即可得到结论．
【详解】
解：∵∠ADC=90°，CD=AD=3，
∴AC=3 ，
∵AB=5，BG= ，∴AG= ，
∵AB∥DC，
∴△CEK∽△AGK，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵CK+AK=3 ，
∴CK= ，
如图，过E作EM⊥AB于M，则四边形ADEM是矩形，
∴EM=AD=3，AM=DE=2，
∴MG= ，
∴EG= ，
∵ ，
∴EK= ，
∵∠HEK=∠KCE=45°，∠EHK=∠CHE，
∴△HEK∽△HCE，
∴ ，∴HE=3x，HK= x，
∵△HEK∽△HCE，
∴ ，
∴ ，
解得： x= ，
∴HK= ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握
相似三角形的判定和性质是解题的关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题(共40分)
4
11．(本题4分)直线y=5−x与双曲线y= (x>0)的图象交于A、B两点，设A点的坐标为(m,n)，则边
x
长分别为m、n的矩形的面积为_________，周长为_________.
【答案】4 10
【分析】
根据矩形的面积计算公式可得，S=mn,再结合双曲线的方程计算即可，周长L=2（m+n）,结合直线方程即可
得到
【详解】
4
根据题意可得S=mn，因为点A在双曲线y= (x>0)上，所以S=mn=4；
x
周长周长L=2（m+n），因为点A也在直线y=5−x，所以m+n=5,因此可得L=10.【点睛】
本题主要考查一次函数和反比例函数的解析式，关键点在于点在直线或曲线上.
12．(本题4分)如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则 _____．
【答案】
【分析】
直接利用圆周角定理结合勾股定理以及锐角三角函数关系得出答案．
【详解】
解：∵∠AED、∠ABC都是弧AD所对的圆周角
∴∠AED=∠ABC，
在 中，
故答案为：
【点睛】
此题主要考查了圆周角定理以及解直角三角形，正确得出：∠AED=∠ABC是解题关键．
13．(本题4分)比较大小： ______ （填“ ”“ ”）．
【答案】
【分析】
把余弦化成正弦,再通过角度大小比较正弦值的大小即可．
【详解】
∵ ．
在锐角范围内， 随 的增大而增大，∴ ，
∴ ．
故答案为：＜．
【点睛】
本题考查三角函数值的大小比较，利用正弦余弦的关系进行大小比较即可．
14．(本题4分)如图，P是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF的面积为8，则反比例函数
的表达式是__________．
【答案】y=
【分析】
因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S是个定值，
即S= ，再结合反比例函数所在的象限即可得到k值，则反比例函数的解析式即可求出．
【详解】
设反比例函数的表达式是 ，
由题意知， ，
所以k= ，
又反比例函数图象在第二象限上，k<0，
∴k=-8，
即反比例函数的表达式是y= ，
故答案为：y= ．
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，本知识点是中考重要考点，同学们应高度关注．
15．(本题4分)如图，某货船以 海里/小时的速度将一批重要物资由 处运往正西方向的目的地 处，经小时的航行到达，到达后必须立即卸货，接到气象部门的通知，一台风中心正以 海里/小时的速度由
向北偏西 方向移动，距台风中心 海里
的圆形区域（包括边界）都会受到影响．
（1） 处是否会受到台风的影响答：________（请填“会”或“不会”）
为避免受到台风的影响，该船应在________小时内卸完货物．（结果保留根号）
【答案】会 ．
【分析】
（1）B处是否会受到台风影响，其实就是B到AC的垂直距离是否超过200海里，如果超过则不会影响，
反之受影响．
（2）根据已知及三角函数求得AE的长，再根据路程公式求得时间即可．
【详解】
解：（1）如图，过点B作BD⊥AC交AC于点D，
∵在Rt△ABD中，∠BAC=90°-60°=30°，
∴BD= AB，
∵AB=20×16=320海里，
∴BD= ×320=160海里．
∵160＜200，
∴会受台风影响．
（2）如图，在Rt△ADB中，AB=320海里，BD=160海里，则AD=160 海里，
要使卸货不受台风影响，则必须在点B距台风中心第一次为200海里前卸完货，
如图，BE=200海里，在Rt△BDE中，DE= =120海里，
则AE=（160 -120）海里，台风速度为40海里/小时，
则时间t= = -3（小时）．
所以为避免受到台风影响，该船应在 小时内卸完货．
【点睛】
本题重点考查解直角三角形应用的问题，将实际问题转化为数学问题，并构造出与实际问题有关的直角三
角形．
16．(本题4分)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= ， ，如果将△ABC绕着点C旋转至
△A'B'C的位置，使点B' 落在∠ACB的角平分线上，A'B' 与AC相交于点H，那么线段CH的长等于
．
【答案】 -1．
【解析】
【详解】
解：过点B′作B′F⊥AC于点F，A′D⊥AC于点D，∵∠ACB=90°，点B′落在∠ACB的角平分线上，
∴∠BCB′=∠B′CA=∠ACA′=45°，
∴△CB′F，△CDA′都是等腰直角三角形，
∵AC= ，cosA= ，
∴ ，
解得：AB= ，
∴BC= ，
∴B′C= ，
∴B′F= ，
A′D= ×CA′=1，
∴S =S +S =
△A′CB′ △CHB′ △CHA′
解得：CH= -1，
故答案为 -1．17．(本题4分)若 =3，则 =_____．
【答案】4
【解析】
试题分析：根据合比性质： = ⇒ = ，可得答案．
解：由合比性质，得
= =4，
故答案为4．
考点：比例的性质．
18．(本题4分)已知函数的图象经过点（2，1），且与x轴没有交点，写出一个满足题意的函数的表达式
__________.
【答案】 或 等，答案不唯一
【解析】
一次函数与x轴有交点，反比例函数与x轴无交点，二次函数在满足b2-4ac<0的条件时与x轴无交点，因
此满足题意的函数可以是反比例函数或是满足条件的二次函数，
函数的图象经过点（2，1），且与x轴没有交点的函数的表达式可以是： 或 等，答案
不唯一，
故答案为： 或 （答案不唯一）.
19．(本题4分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，过点A作AE⊥CD交BC于
点E，如果AC＝2，BC＝4，那么cot∠CAE＝_____．
【答案】2
【分析】
由余角的性质可证∠CAE=∠BCD，由∠CAE=∠BCD，可证CD=BD，利用等腰三角形的性质和等量代换可
得∠CAE=∠B，然后根据余切函数的定义求解即可.【详解】
∵∠CAE+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠CAE=∠BCD，
∵CD为AB边上的中线，，
∴CD=BD，
∴∠BCD=∠B，
∴∠CAE=∠B，
∴cot∠CAE＝cot∠B＝ .
故答案为2.
【点睛】
本题考查了余角的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，余切函数的定义.
本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.在Rt△ABC中，
， ， ， .
20．(本题4分)如图，AB为半圆的直径，点D在半圆弧上，过点D作AB的平行线与过点A半圆的切线交
于点C，点E在AB上，若DE垂直平分BC，则 ＝______．
【答案】
【分析】
连接CE，过点B作BH⊥CD交CD的延长线于点H，可证四边形ACHB是矩形，可得AC＝BH，AB＝
CH，由垂直平分线的性质可得BE＝CE，CD＝BD，可证CE＝BE＝CD＝DB，通过证明
Rt△ACE≌Rt△HBD，可得AE＝DH，通过证明△ACD∽△DHB，可得AC2＝AE•BE，由勾股定理可得BE2
﹣AE2＝AC2，可得关于BE，AE的方程，即可求解．
【详解】解：连接CE，过点B作BH⊥CD交CD的延长线于点H，
∵AC是半圆的切线
∴AC⊥AB，
∵CD∥AB，
∴AC⊥CD，且BH⊥CD，AC⊥AB，
∴四边形ACHB是矩形，
∴AC＝BH，AB＝CH，
∵DE垂直平分BC，
∴BE＝CE，CD＝BD，且DE⊥BC，
∴∠BED＝∠CED，
∵AB∥CD，
∴∠BED＝∠CDE＝∠CED，
∴CE＝CD，
∴CE＝BE＝CD＝DB，
∵AC＝BH，CE＝BD，
∴Rt△ACE≌Rt△HBD（HL）
∴AE＝DH，
∵CE2﹣AE2＝AC2，
∴BE2﹣AE2＝AC2，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC+∠BDH＝90°，且∠ADC+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠BDH，且∠ACD＝∠BHD，
∴△ACD∽△DHB，
∴ ，
∴AC2＝AE•BE，∴BE2﹣AE2＝AE•BE，
∴BE＝ AE，
∴
故答案为： ．
【点睛】
本题考察垂直平分线的性质、矩形的性质和相似三角形，解题关键是连接CE，过点B作BH⊥CD交CD的
延长线于点H，证明出四边形ACHB是矩形.
三、解答题(共50分)
21．(本题10分)如图， 中，顶点 、 在反比例函数 的图像上，顶点 在 轴的正半轴
上， ．
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ， ， ，求点 的坐标．
【答案】（1） ；（2）点 的坐标为
【分析】
（1）过点A作AA´⊥OC于A´，由直角三角形的性质可求A´C＝ AC＝2，AA´＝ A´C＝2 ，可得点
A坐标，代入解析式可求解；
（2）作 轴，垂足分别为 ，则有 ，设 ， ，根据相似三角形的性质，则点 的坐标为 ，点 的坐标为 ,将A、B两点代入解析式列出方程组，解方
程求得m,n,进而得出点C的坐标．
【详解】
（1）作 轴，垂足分别为 .
， ， .
， .
点 在反比例函数 的图像上，
.
（2）作 轴，垂足分别为 ，
则 .
， .
.
.
设 ， ，
则 ， ， ， ， .点 的坐标为 ，点 的坐标为
又 ，
，
，
点 的坐标为 .
【点睛】
本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，直角三角形的性质，利用参数表示点A，点B坐标
是本题的关键．
22．(本题10分)如图， 是 的直径， 交 于点 ， 是 的中点， 与 交于点 ，
．
（1）求证： 是 的切线；
（2）已知 ， ，
①求 的长；
②求 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）①BC=9；②DF=2．
【分析】
（1）连结AD，如图，根据圆周角定理，由E是 的中点得到∠EAB=∠EAD，由于∠ACB=2∠EAB，则
∠ACB=∠DAB，再利用圆周角定理得到∠ADB=90°，则∠DAC+∠ACB=90°，所以∠DAC+∠DAB=90°，
于是根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线；
（2）①在Rt△ABC中，根据cosC= ，可得AC=6；
②作FH⊥AB于H，由BD=BC-CD=5，∠EAB=∠EAD，FD⊥AD，FH⊥AB，推出FD=FH，设FB=x，则
DF=FH=5-x，根据cos∠BFH=cos∠C= ，构建方程即可解决问题；
【详解】
（1）证明：连结AD，如图，
∵E是 的中点，
∴ = ，
∴∠EAB=∠EAD，
∵∠ACB=2∠EAB，
∴∠ACB=∠DAB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，∴∠DAC+∠ACB=90°，
∴∠DAC+∠DAB=90°，即∠BAC=90°，
∴AC⊥AB，
∴AC是⊙O的切线.
（2）①在Rt△ACB和Rt△ACD中，
∵cosC= = ，AC=6，
∴BC=9．
②作FH⊥AB于H，
∵∠EAB=∠EAD，FD⊥AD，FH⊥AB，
∴FD=FH，
设FB=x，
∵BD=BC﹣CD=9-4=5，
∴DF=FH=BD-BF=5﹣x，
∵FH∥AC，
∴∠HFB=∠C，
在Rt△BFH中，
∵cos∠BFH=cos∠C= = ，
∴ = ，
解得:x=3，
经检验，x=3符合题
∴BF的长为3，
∴DF=5-3=2
【点睛】
本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知
此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了解直角三角形．
23．(本题10分)如图①，在矩形OABC中，OA＝4，OC＝3，分别以OC、OA所在的直线为x轴、y轴，
建立如图所示的坐标系，连接OB，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与矩形的
两边交于点E和点F，直线l：y＝kx+b经过点E和点F．（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OE、OF，求△OEF的面积；
（3）在第一象限内，请直接写出关于x的不等式kx+b≤ 的解集： ．
（4）如图②，将线段OB绕点O顺时针旋转一定角度，使得点B的对应点H恰好落在x轴的正半轴上，
连接BH，作OM⊥BH，点N为线段OM上的一个动点，求HN+ ON的最小值．
【答案】（1）y＝ ；（2）S ＝ ；（3）0＜x＜ 或x＞3．（4）HN+ ON的最小值为4．
△OEF
【分析】
（1）首先确定点B坐标，再根据中点坐标公式求出点D的坐标即可解决问题．
（2）求出点E，F的坐标，再根据S =S -S -S -S 计算即可．
△OEF 矩形ABCO △AOE △OCF △EFB
（3）写出在第一象限，直线的图象在反比例函数的图象的下方的自变量x的取值范围即可．
（4）如图②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．解直角三角形首先证明：sin∠NOD= ，推出
NJ=ON•sin∠NOD= ON，推出NH+ ON=NH+NJ，根据垂线段最短可知，当J，N，H共线，且与HK
重合时，HN+ ON的值最小，最小值=HK的长，由此即可解决问题．
【详解】
解：（1）在矩形ABCO中，∵OA＝BC＝4，OC＝AB＝3，
∴B（3，4），
∵OD＝DB，∴D（ ，2），
∵y＝ 经过D（ ，2），
∴k＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝ ．
（2）如图①中，连接OE，OF．
由题意E（ ，4），F（3，1），
∴S ＝S ﹣S ﹣S ﹣S
△OEF 矩形ABCO △AOE △OCF △EFB
＝12﹣ ×4× ﹣ ×3×1﹣ ×3×（3﹣ ）
＝ ．
（3）观察图象可知：在第一象限内，关于x的不等式kx+b≤ 的解集为：0＜x＜ 或x＞3．
故答案为：0＜x＜ 或x＞3．
（4）如图②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．由题意OB＝OH＝5，
∴CH＝OH﹣OC＝5﹣3＝2，
∴BH＝ ＝ ＝2 ，
∴sin∠CBH＝ ＝ ，
∵OM⊥BH，
∴∠OMH＝∠BCH＝90°，
∵∠MOH+∠OHM＝90°，∠CBH+∠CHB＝90°，
∴∠MOH＝∠CBH，
∵OB＝OH，OM⊥BH，
∴∠MOB＝∠MOH＝∠CBH，
∴sin∠NOD＝ ，
∴NJ＝ON•sin∠NOD＝ ON，
∴NH+ ON＝NH+NJ，
根据垂线段最短可知，当J，N，H共线，且与HK重合时，HN+ ON的值最小，最小值＝HK的长，
∵OB＝OH，BC⊥OH，HK⊥OB，
∴HK＝BC＝4，
∴HN+ ON是最小值为4．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查反比例函数的性质，矩形的性质，解直角三角形，三角形的面积，最短
问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用转化的思想思考问题．
24．(本题10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，以AB为直径的半圆⊙O′与y轴正半轴
交于点C，连接BC，AC．CD是半圆⊙O′的切线，AD⊥CD于点D．
（1）求证：∠CAD＝∠CAB．
（2）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过A、B、C三点，AB＝10，AO＝2CO．
①求抛物线的表达式；
②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①y＝﹣ x2﹣ x＋4；②E点在直线CD上，理由见解析
【分析】
（1）连接O'C，由O'是圆心，可得∠CAO＝∠CO'A，又由CD是⊙O'的切线，则有O'C⊥CD，可得到
O'C∥AD，再由∠DAC＝∠ACO'，可证明∠CAD＝∠CAB；
（2）①先证明△ACO∽△CBO，可得 CO＝BO，即可求出2CO＋ CO＝10，CO＝4，则A（﹣8，0），B
（2，0），C（0，4），设抛物线的解析式y＝a（x＋8）（x﹣2），将点C（0，2）代入，即可求y＝﹣
x2﹣ x＋4；②y＝﹣ x2﹣ x＋4的顶点E（﹣3， ），推导出∠CGO'＝∠OCO'，再由tan∠CGO'＝
tan∠OCO'，求得OG＝ ，则G（ ，0），由待定系数法求出直线CD的解析式为y＝﹣ x＋4，当x＝
3时，y＝ ，所以E点在直线CD上．
【详解】
解：解：（1）连接O'C，∵O'是圆心，
∴AO'＝CO'，
∴∠CAO＝∠CO'A，
∵CD是⊙O'的切线，
∴O'C⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴O'C∥AD，
∴∠DAC＝∠ACO'，
∴∠CAD＝∠CAB；
（2）①∵∠ACB＝90°，∠AOC＝90°，
∴∠ACO＝∠CBA，
∴△ACO∽△CBO，
∴ ＝ ，
∵AO＝2CO，
∴ CO＝BO，
∵AB＝10，
∴2CO＋ CO＝10，
∴CO＝4，
∴AO＝8，BO＝2，
∴A（﹣8，0），B（2，0），C（0，4），
设抛物线的解析式y＝a（x＋8）（x﹣2），将点C（0，2）代入，
∴4＝﹣16a，
∴a＝﹣ ，∴y＝﹣ x2﹣ x＋4；
②E点在直线CD上，理由如下：
y＝﹣ x2﹣ x＋4的顶点E（﹣3， ），
∵∠CO'G＋∠CGO'＝90°，∠CO'G＋∠O'CO＝90°，
∴∠CGO'＝∠OCO'，
∵OO'＝3，
∴tan∠CGO'＝tan∠OCO'，即 ＝ ，
∴ ＝ ，
∴OG＝ ，
∴G（ ，0），
设直线CD的解析式为y＝kx＋b，
则有 ，
∴ ，
∴y＝﹣ x＋4，
当x＝3时，y＝ ，
∴E点在直线CD上．
【点睛】
此题考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定与性质，点与函数的关系，直角梯形等知识．
此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．
25．(本题10分)（1）如图1，四边形ACDE中，△ABC与△BDE均为直角三角形，且AB⊥BE，∠BEA
＝45°，求证：△ABC≌△BED．
（2）如图2，点A（1，2），连结OA，将射线OA绕点O按逆时针方方向旋转45°．得到射线OB，AC⊥OA交OB于点C，分别过点A，点C作x轴，AD的垂线，垂足分别为D，E，由（1）得
（填写两个三角形全等），所以CE＝ ，AE＝ ，C的坐标为 ，则直线OB的解析式为
．
（3）如图3，点A（3，3）在反比例函数y＝ 的图象上，B（0，2）作射线AB，将射线AB绕点A按逆
时针方向旋转45°，交反比例函数图象的另一支于点C，求点C的坐标．
【答案】（1）详见解析；（2）△AEC≌△ODA， 2（或AD），1（或OD），（﹣1，3），y＝﹣3x；
（3）（﹣ ，﹣6）．．
【分析】
（1）在△ABC和△BED中，∠BED＝∠ABC，∠EDB＝∠ACB，BE＝AB，即可求解；
（2）由（1）同理可得：△AEC≌△ODA（AAS），则CE＝AD＝2，AE＝OD＝1，C的坐标为（﹣1，
3），即可求解；
（3）利用△AEF≌△FDB求出a＝1，则F（2，1），再求出直线AF的解析式，进而求解．
【详解】
（1）∵AB⊥BE，∠AEB＝45°，
∴AB＝BE，
∵∠BED+∠EBD＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，
∴∠BED＝∠ABC，
在△ABC和△BED中，∠BED＝∠ABC，∠EDB＝∠ACB，BE＝AB，
∴△ABC≌△BDE（AAS）；
（2）由（1）同理可得：△AEC≌△ODA（AAS），
∴CE＝AD＝2，AE＝OD＝1，C的坐标为（﹣1，3），
则直线OB的解析式为t＝﹣3x；故答案为：△AEC≌△ODA；2（或AD）；1（或OD）；（﹣1，3）；y＝﹣3x；
（3）如图，过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF于E，
则△ABF为等腰直角三角形，
根据（1）同理可得△AEF≌△FDB，设BD＝a，则EF＝a，
∵点A（3，3）和点B（0，2），
∴DF＝3﹣a＝AE，OD＝OB﹣BD＝2﹣a，
∵AE+OD＝3，
∴3﹣a+2﹣a＝3，
解得a＝1，
则OD＝2﹣1＝1，DF＝3﹣a＝3﹣1＝2，
∴F（2，1），
设直线AF的解析式为y＝kx+b，则 ，解得 ，
∴y＝2x﹣3①，
把点A点坐标代入y＝ 并解得：k＝9，
故反比例函数的表达式为：y＝ ②，
联立①②并解得： （舍去）或 ，
∴C（﹣ ，﹣6），
故点C的坐标为：（﹣ ，﹣6）．【点睛】
本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等等，综合性强，难度适中．
