文档内容
重难点 09 五种空间向量与立体几何数学思想（核心考点讲与练）
能力拓展
题型一：函数与方程思想
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）在长方体 中， ， ，若线段 上存在一点 ，
使得 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题设 ，令 ， 且 ，可得 ，结合二
次函数的性质求参数m的范围即可.
【详解】若线段 上存在一点 ，使得 ，如下图示：
则 ，令 ，则 ，
设 且 ，有 ，则 ， ，
所以 ，整理得 ，
故 在 上有零点，而 且对称轴为 ，开口向上，
所以，只需 ，则 ，即 的取值范围是 .故选：D
2．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在三棱锥 中， 平面 ， ，
，且 为 的中点， 于 ，当 变化时，则三棱锥 体积的最大值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知 且 ，令 ，结合换元法、二次函数最值求
体积的最大值即可.
【详解】在三棱锥 中， 平面 ， 知：
，而 ，
而 且 ，又
∵ 为 的中点，知：
∴设 ，则 ，所以 ，
令 ，有 ，令 ， ，而由二次函数 的性质知：
时有最大值为 ，
∴ 最大值为 ，
故选：C
【点睛】本题考查三棱锥的体积计算，结合换元法、二次函数最值求三棱锥体积最值，注意换元过程中定
义域的等价变化.
3．（2022·全国·高三专题练习）空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足
之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面 ， ， 两两互相垂直，点 ，点 到 ，
的距离都是3，点 是 上的动点，满足 到 的距离与 到点 的距离相等，则点 的轨迹上的点到
的距离的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【解析】建立平面直角坐标系，将问题转化为点 的轨迹上的点到 轴的距离的最小值，利用 到 轴的
距离等于 到点 的距离得到 点轨迹方程，得到 ，进而得到所求最小值.
【详解】
如图，原题等价于在直角坐标系 中，点 ， 是第一象限内的动点，满足 到 轴的距离等于点
到点 的距离，求点 的轨迹上的点到 轴的距离的最小值．
设 ，则 ，化简得： ，则 ，解得： ，
即点 的轨迹上的点到 的距离的最小值是 .
故选： .
【点睛】本题考查立体几何中点面距离最值的求解，关键是能够准确求得动点轨迹方程，进而根据轨迹方
程构造不等关系求得最值.
4．（2019·全国·高三阶段练习（理））已知四棱锥 ，底面 为正方形，
且四棱锥 的体积为 ，若其各个顶点都在球 表面上，则球 表面积的最小
值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设正方形的边长为 中心为 棱锥高为 球心为 半径为 根据四棱锥的体积得到关于 和
的关系式,利用球的截面圆的圆心和球心的连线垂直于截面这一结论,在 中利用勾股定理得到 和
的关系式,通过构造函数 ,求导判断单调性求函数 的最小值,求得球的半径 的最小值,进
而求得球 表面积的最小值.
【详解】设正方形的边长为 中心为 棱锥高为 球心为 半径为
则
在 中，
即 ,即 ，
故 ，令 ，
则 ，由 得 .当 时, ，所以函数 在 上单调递减；
当 时, 所以函数 在 上单调递增；
故当 时, 有最小值为
即 最小值为 ，此时 .
故选:B
【点睛】本题考查多面体的外接球问题和利用函数的思想求其外接球半径的最值; 考查空间想象能力、知
识迁移能力和转化与化归能力;通过构造函数 ,求得球的半径 的最小值是求解本题的关键;属
于综合型、难度大型试题.
二、填空题
5．（2022·浙江·高三学业考试）如图，E，F分别是三棱锥V-ABC两条棱AB，VC上的动点，且满足
则 的最小值为___________.
【答案】
【分析】根据 可得 共面，作 交 于点 ，连接 ，
则 ，再根据 ，可得 ，再利用相似比可得 ，
，从而可得 ，再利用二次函数的性质即可的解.【详解】解：因为 ，
所以 共面，
作 交 于点 ，连接 ，则 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，则 ，
又 ，所以 ，所以 ，
则 ， ，
故 ，
所以当 时， 取得最小值为 .
故答案为： .
6．（2021·四川省泸县第二中学高三阶段练习（理））如图，正方体 的棱长为1， ，分别是棱 ， 的中点，过直线 的平面分别与棱 ， 交于 ， .设 ， ，给
出以下四个结论：①平面 平面 ； ②当且仅当 时，四边形 的面积最小； ③四
边形 的周长 ， 是单调函数；④四棱锥 的体积 在 上先减
后增.其中正确命题的序号是__________．
【答案】①②
【分析】①利用面面垂直的判定定理判断；
②求得 ，又 是定值，结合 可作出判断；
③四边形 是菱形，分析 的变化可作出判断；
④将四棱锥则分割为两个小三棱锥 ，进而可作出判断.
【详解】对于①：连接 ， ，则由正方体的性质可知， 平面 ，又 平面 ，
所以平面 平面 ，故①正确；
对于②：连接 ，因为 平面 ，所以 ，所以四边形 是菱形．四边形
的面积 ，四边形 的对角线 是固定的， ，所以当且仅当
时，四边形 的面积最小，故②正确；
对于③：因为 ，所以四边形 是菱形．当 时， 的长度由大变小；当时， 的长度由小变大．所以函数 不单调．故③错误；
对于④：四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以 为底，以 ， 分别为顶点的两个小棱锥
．因为三角形 的面积是个常数． ， 到平面 的距离是个常数，所以四棱
锥 的体积 为常值函数，故④错误．
故答案为：①②.
7．（2022·全国·高三专题练习）如图，在矩形 中， ， ，点 为 的中点，将△
沿 翻折到△ 的位置，在翻折过程中， 不在平面 内时，记二面角 的平面角
为 ，则当 最大时， 的值为______．
【答案】
【分析】取 中点 ，易知在翻折过程中 的射影 在 上且 的轨迹是以 为直径的圆，作
，则 、 分别是二面角 、 的平面角 、 ，由题设求 、
、 、 ，即有 ，整理变形有 即可求 的范围，由正切
单调性确定 最大时 值，即可求 .
【详解】取 中点 ，易得 ，在翻折过程中 的射影 在 上，且 的轨迹是以 为直径的
圆，如上图，在 内作 ，垂足为 ，连 ，
∴ 是二面角 的平面角，即 且 ．
由 ，故 ，
∴ 是二面角 的平面角，
设 ，由上下对称故只考虑 即可．
由 ，则 ， ， ， ，
而 面 ，故 ，
令 ，则 且 ，
∴ ，得 ，
∴由正切函数单调性，当 最大时 ，故 ，此时 ．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：应用几何法找到二面角 、 的平面角 、 ，并得到它们之间
的函数关系，结合辅助角公式、正弦函数的性质求 的范围，进而由正切函数性质确定 最大时
值.
8．（2022·全国·高三专题练习）阿基米德在他的著作《论圆和圆柱》中，证明了数学史上著名的圆柱容球
定理：圆柱的内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之
比．可证明该定理推广到圆锥容球也正确，即圆锥的内切球（与圆锥的底面及侧面都相切的球）的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比，则该比值的最大值为________．
【答案】
【分析】设 ，利用 和内切球半径 可表示出圆锥底面半径 和母线 ，由圆锥和球的表面积公
式可得 ，令 ，根据二次函数性质可求得最值.
【详解】设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，圆锥内切球半径为 ，
作出圆锥的轴截面如下图所示：
设 ， ， ，
， ， ，又 ，
， ，
，
则圆锥表面积 ，圆锥内切球表面积 ，
所求比值为 ，
令 ，则 ，
当 时， 取得最大值 .故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的最值问题的求解，解题关键是能够将圆锥表面积和球的表面
积的比值利用一个变量表示出来，将问题转化为函数最值的求解问题，从而利用函数的性质来进行求解.
9．（2020·全国·高三（文））在棱长为1的正方体 中，点 分别为线段 、 的
中点，则点 到平面 的距离为______.
【答案】
【解析】先求出 ，再利用 求出点A到平面EFC的距离得解.
【详解】
由题得
所以 ,
所以 .
设点 到平面 的距离为 ，则 ,
所以 ，所以 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查空间点到平面距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
题型二：数形结合思想
一、单选题
1．（2022·安徽·模拟预测（文））在矩形ABCD中， ，M是AD边上一点，将矩形ABCD沿
BM折叠，使平面 与平面 互相垂直，则折叠后A，C两点之间距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据立体几何中面面垂直的相关性质以及余弦定理、正弦二倍角公式运算求解即可.
【详解】作示意图如下，在平面 中，作 ，连接 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
设 ，
所以 ， ， ，
在 中，由余弦定理得， ，
所以 ，
所以 ，
若 最小，则 最小，当 时，
此时 ， 可以取到.
故选：D2．（2022·全国·高三专题练习） ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，则下列命题中真命
题的个数为（ ）
①若 ， ，则 与 所成的角等于 与 所成的角；
②若 ， ， ，则 与 是异面直线；
③若 ， ， ，则 ；
④若 ， ， ，则 ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】作出示意图，进而根据点线面的位置关系得到答案.
【详解】对①，结合异面直线所成角的定义，因为 ，所以 与 所成的角等于 与 所成的角，而
，于是 与 所成的角等于 与 所成的角，故①正确；
对②，根据题意m,n既不平行也不相交，故m,n异面，所以②正确；
如图，在正方体 中，若 为平面ABCD， 为平面 ，取m为AB，n为 ，显然
异面，所以③错误；若 为平面ABCD， 为平面 ，则m为AB，取n为BC，则 ，所以④错误.
故选：B.
3．（2022·青海西宁·高三期末（文））我国古代数学家刘徽在学术研究中，不迷信古人，坚持实事求是．
他对《九章算术》中“开立圆术”给出的公式产生质疑，为了证实自己的猜测，他引入了一种新的几何体
“牟合方盖”：以正方体相邻的两个侧面为底做两次内切圆柱切割，然后剔除外部，剩下的内核部分．如
果“牟合方盖”的主视图和左视图都是圆，则其俯视图形状为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意 “牟合方盖” 画出直观图，得其俯视图的形状.
【详解】
画出直观图，结合直观图，主视图、侧视图、俯视图是从物体正面、左面、上面看所得到的图形，可得其
俯视图形状B.
故选：B
二、多选题
4．（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱 展开，
得到的平面图如图所示.其中 ， ， ，M是BB 上的点，则（ ）
1A．AM与AC 是异面直线 B．
1 1
C．平面ABC将三棱柱截成两个四面体 D． 的最小值是
1
【答案】ABD
【分析】根据展开图还原直三棱柱，根据其结构特征及线面垂直的性质判断A、B、C，将面 和面
展开展开为一个平面，利用三点共线求 的最小值.
【详解】由题设，可得如下直三棱柱：
由直三棱柱的结构特征知：AM与AC 是异面直线，A正确；
1 1
因为 ， ，且 ，则 面 ，又 面 ，故 ，B
正确；
由图知：面ABC将三棱柱截成四棱锥 和三棱锥 ，一个五面体和一个四面体，C错误：
1
将面 和面 展开展开为一个平面，如下图：当 共线时， 最小为 ，D正确.
故选：ABD
5．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知直四棱柱ABCD-EFGH的底面是边长为4的正方形， ，
点M为CG的中点，点P为底面EFGH上的动点，则（ ）
A．当 时，存在点P满足
B．当 时，存在唯一的点P满足
C．当 时，满足BP⊥AM的点P的轨迹长度为
D．当 时，满足 的点P轨迹长度为
【答案】BCD
【分析】建立空间直角坐标系，结合选项逐个验证，利用对称点可以判断A，利用垂直求出 可以判断
B，求出点P轨迹长度可判定C,D.
【详解】以 为原点， 所在直线分别为 轴，建系如图，对于选项A，当 时， ， ，
设点 关于平面 的对称点为 ，则 ， .
所以 .故A不正确.
对于选项B，设 ，则 ，
由 得 ，即 ，解得 ，
所以存在唯一的点P满足 ，故B正确.
对于选项C， ，设 ，则 ，
由 得 .在平面 中，建立平面直角坐标系，如图，
则 的轨迹方程 表示的轨迹就是线段 ，而 ，故C正确.
对于选项D，当 时， ，设 ，
则 ，
由 得 ，即 ，
在平面 中，建立平面直角坐标系，如图，记 的圆心为 ，与 交于 ；
令 ，可得 ，而 ，所以 ，其对应的圆弧长度为 ；
根据对称性可知点P轨迹长度为 ；故D正确.
故选：BCD.
【点睛】立体几何中的动点问题，常常采用坐标法，把立体几何问题转化为平面问题，结合解析几何的相
关知识进行求解.
6．（2022·全国·高三专题练习）如图，在棱长为2的正方体 中，O为正方体的中心，M
为 的中点，F为侧面正方形 内一动点，且满足 平面 ，则（ ）
A．若P为正方体表面上一点，则满足 的面积为 的点有12个
B．动点F的轨迹是一条线段C．三棱锥 的体积是随点F的运动而变化的
D．若过A，M， 三点作正方体的截面 ，Q为截面 上一点，则线段 长度的取值范围为
【答案】BD
【分析】选项A：设 为底面正方形ABCD的中心，根据 的面积为 ，由此可判断
选项A；
选项B：分别取 ， 的中点H，G，连接 ， ， ， ；证明平面 平面 ，从
而得到点F的轨迹为线段GH.
选项C：根据选项B可得出 平面 ，从而得到点F到平面 的距离为定值，再结合
的面积也为定值，从而可得到三棱锥 的体积为定值.
选项D：设 为 的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面 即为面 ，
从而线段 长度的最大值为线段 的长，最小值为四棱锥 以 为顶点的高.
【详解】对于A：设 为底面正方形ABCD的中心，连接 ， ， ，则 ，
，
所以 的面积为 ，
所以在底面ABCD上点P与点 必重合，
同理正方形 的中心，正方形 的中心都满足题意.又当点P为正方体各条棱的中点时也满足 的面积为 ，故A不正确；
对于B：如图①，分别取 ， 的中点H，G，连接 ， ， ， ．
因为 ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 面 ，
，所以平面 平面 ，
而 平面 ，所以 平面 ，所以点F的轨迹为线段GH，故B正确；
对于C：由选项B可知，点F的轨迹为线段GH，因为 平面 ，则点F到平面 的距离为定
值，
同时 的面积也为定值，则三棱锥 的体积为定值，故C不正确；
对于D：如图②，设平面 与平面 交于AN，N在 上．
因为截面 平面 ，平面 平面 ，所以 ．
同理可证 ，所以截面 为平行四边形，所以点N为 的中点．
在四棱锥 中，侧棱 最长，且 ．
设棱锥 的高为h，
因为 ，所以四边形 为菱形，所以 的边 上的高为面对角线的一半，即为 ，又 ，
则 ， ，
所以 ，解得 ．
综上，可知 长度的取值范围是 ，故D正确．
故选：BD．
三、填空题
7．（2022·陕西宝鸡·二模（文））如图，在正三棱锥 中， ，
，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的
最短距离是___________.
【答案】
【分析】将三棱锥的侧面展开，从 点虫子爬行绕三棱锥侧面一圈回到点 的距离中，虫子爬行的最短距离，可转化为求 的长度，利用勾股定理即可得到答案．
【详解】如图所示，将三棱锥的侧面展开，
因为 ，所以 ，
当虫子沿 爬行时，距离最短，
又 ，
所以虫子爬行的最短距离是 .
故答案为： .
8．（2022·广西·高三阶段练习（文））在四棱锥 中， 平面 ，底面四边形 为矩
形．请在下面给出的4个条件中选出2个作为一组，使得它们能成为“在 边上存在点 ，使得
为钝角三角形”的充分条件______.
① ，② ，③ ，④ .（写出符合题意的一组即可）
【答案】②③或②④皆可，答案不唯一【分析】设 ， ，则 ，计算出 ， ， ，若在
边上存在点 ，使得 为钝角三角形，则 ，解不等式再根据已知条件可得答案.
【详解】设 ， ，则 ，
因为 平面 ，底面四边形 为矩形，
所以 ，则 ，
， ，
若在 边上存在点 ，使得 为钝角三角形，
则 ，即
，整理得 ，
要使不等式有解，只需 ，即只需 即可，
因为① ，② ，③ ，④ ，
所以②④或②③.
故答案为：②④或②③.
9．（2022·湖南·临澧县第一中学二模）已知三棱锥 的棱AP，AB，AC两两互相垂直，
，以顶点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则
最长弧的弧长等于___________.【答案】
【分析】将三棱锥 补全为棱长为 的正方体，根据已知条件判断棱锥各面与球面相交所成圆弧
的圆心、半径及对应圆心角，进而求出弧长，即可知最长弧长.
【详解】由题设，将三棱锥 补全为棱长为 的正方体，如下图示：
若 ，则 ，即 在P为球心，4为半径的球面上，且O为底面中心，
又 ， ，
所以，面 与球面所成弧是以 为圆心，2为半径的四分之一圆弧，故弧长为 ；
面 与与球面所成弧是以 为圆心，4为半径且圆心角为 的圆弧，故弧长为 ；
面 与球面所成弧是以 为圆心，4为半径且圆心角为 的圆弧，故弧长为 ；
所以最长弧的弧长为 .
故答案为： .
10．（2022·北京四中高三开学考试）正方体 棱长为3，对角线 上一点P（异于A，
两点）作正方体的截面 ，且满足 ，有下列命题：①截面多边形只可能是三角形或六边形；②截
面多边形只可能是正多边形；③截面多边形的周长L为定值；④设 ，截面多边形的面积为S，则函
数 是常数函数．其中所有正确命题的序号是______．
【答案】①【分析】根据正方体的性质，结合线面垂直的判定可得 面 、 面 ，以截面 为面
、面 为临界截面，讨论 的位置判断截面图形的性质，即可判断①②③，再由
时截面 为正三角形且边长为 即可判断④.
【详解】连接 ，由 在 上的射影分别为 ，
又 ，即 ， ，
所以 面 ，同理 面 ，即截面 可能为面 、面 ，此时截面为正三角形；
而当 在 与面 、面 的交点之间运动时，根据正方体的性质知：截面 为六边形，但不一定
是正六边形，即截面交相关棱于中点时才是正六边形(如上图示)，
而当 在 与面 交点左下方、面 交点右上方运动时，截面 为正三角形，
所以①正确，②错误；
显然 在 与面 交点左下方，截面周长小于截面 的周长，故③错误；
由题设，当 时截面 为正三角形且边长为 ，所以 ，故 不
是常数函数，④错误.
故答案为：①.
【点睛】关键点点睛：根据正方体的性质及线面垂直的判定找到 在移动过程中截面形状发生变化的临界
截面，进而判断临界截面两侧截面多边形的性质.11．（2022·北京·北大附中高三开学考试）在棱长为1的正方体 中，E为侧面 的中
心，F在棱AD上运动.若点P是平面 与正方体的底面ABCD的公共点，则所有满足条件的点P构成图
形的面积为___________.
【答案】
【分析】讨论 或 重合的情况，根据正方体的性质即可确定 从 到 的过程中P所构成图形，
进而求其面积即可.
【详解】当 重合时，如下图示：由正方体性质知面 即为面 ，与底面交线为 ，且
为 的中点，
所以，此时 在线段 上，
当 重合时，如下图示：由正方体性质知面 即为面 ，与底面交线为 ，所以，此时 在线段 上，
综上， 从 到 的过程中，梯形 (第一个图中)即为P构成图形，又正方体的棱长为1，
所以，面积为 .
故答案为： .
12．（2021·河北邯郸·高三期末）已知 为正方体 表面上的一个动点， ， 是棱
延长线上的一点，且 ，若 ，则动点 运动轨迹的长为___________.
【答案】
【分析】由题意可知， 且点 的轨迹是以 为球心， 为半径的球与正方体表面的交线，作出
草图，根据弧长公式即可求出结果.
【详解】因为 ， 是棱 延长线上的一点，且 ，所以 ，
由勾股定理，可知 ，
因为 ，所以点 的轨迹是以 为球心， 为半径的球与正方体表面的交线，如下如所示：所以动点 运动轨迹在平面 上的交的弧线是以 为圆心， 为半径的圆弧，其中该圆弧所
对圆心角为 ；在平面 上的交的弧线是以 为圆心， 为半径的圆弧，其中该圆弧所对
圆心角为 ；在平面 上的交的弧线是以 为圆心， 为半径的圆弧，其中该圆弧所对圆心角
为 ；
所以动点 运动轨迹的长为 .
故答案为： .
题型三：分类与整合思想
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体 棱长为 是棱 上一点，点 在棱 上
运动，使得对任意的点，直线 与正方体的所有棱所成的角都大于 ，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】根据正方体的结构特征，只需直线 与直线 三条直线所成的角都大于 即可，分
别研究直线 与直线 所成的角最小值，直线 与直线 所成的角最小值，直线 与直线 所成
的角最小值，即可得出答案.
【详解】解：在正方体 中，
因为 互相平行，
互相平行，
互相平行，
则只需直线 与直线 三条直线所成的角都大于 即可，
对于直线 与直线 ，
根据正方体的结构特征可知， 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
当 点不动时，点 从 的过程中，直线 与直线 所成的角逐渐增大，
因此当 点位于 点时， 点位于 点时，直线 与直线 所成的角最小，
此时直线 与直线 所成的角为 ，则 点位于 的任何位置都符合题意；
对于直线 与直线 ，
当 点不动时，点 从 的过程中，直线 与直线 所成的角逐渐减小，
因此当 点位于 点时， 点位于 点时，直线 与直线 所成的角最小，
此时直线 与直线 所成的角为 ，则 点位于 的任何位置都符合题意；
对于直线 与直线 ，过 作 ，当 点不动时，点 从 的过程中，直线 与直线 所成的角逐渐增大，
因此当 点位于 点时， 点位于 点时，直线 与直线 所成的角最小，
则 ，所以 ，所以 ，
综上所述， .
故选：A.
2．（2022·上海·高三专题练习）如果点 是两条异面直线 、 外一点，则过点 且与 、 都平行的平
面个数的所有可能值是（ ）
A．1 B．2 C．0或1 D．无数
【答案】C
【分析】讨论点 与其中一条直线所成平面与另一直线平行或不平行的情况下，判断过 且与 、 都平
行的平面个数即可.
【详解】1、若点 与直线 构成的平面与直线 平行，则过 且与 、 都平行的平面个数为0；
2、若点 与直线 构成的平面与直线 平行，则过 且与 、 都平行的平面个数为0；
3、若点 与直线 不与直线 平行，或点 与直线 不与直线 平行，则点 且与 、 都平行的平面
个数为1.
故选：C
3．（2021·全国·高三专题练习）到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为（ ）
A．1 B．4
C．7 D．8
【答案】C【分析】不共面的空间四点可构成三棱锥，结合三棱锥的，分截面两侧分别为1个点与3个点，各2个点
求解即可.
【详解】当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥．
当平面一侧有一点，另一侧有三点时，如图，
令截面与三棱锥的四个面之一平行，第四个顶点到这个截面的距离与其相对的面到此截面的距离相等，这
样的平面有4个；
当平面一侧有两点，另一侧有两点时，如图，
当平面过AB，BD，CD，AC的中点时，满足条件．因为三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面
有3个．所以满足条件的平面共有7个，
故选：C
4．（2022·全国·高三专题练习）在四棱锥 中，底面 为正方形， ， 为等边三
角形，线段 的中点为 .若 ，则此四棱锥的外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取 的中点 ，连接 ， ，由题意可得 ，求出四棱锥的高，及底面外接圆的圆心
到P在底面的投影的距离，设正方形 的中心为 ，过 作底面的垂线 ，则四棱锥
的外接球的球心在 上，分别在两个直角三角形中求出外接球的半径与直角边的关系求出外接球的半径，
进而求得外接球的表面积.
【详解】取 的中点 ，连接 ， ，
由底面 为正方形， ， 为等边三角形，
又 ，
设正方形 的对角线交于点 ，过 作底面的投影 ，则由题意可得 在 上，
由射影定理得 ，而 ，
， ，
过 作底面的垂线 ，则四棱锥 的外接球的球心在 上，
设 为四棱锥 的外接球球心，半径为 ，则
过 作 于 ，则四边形 为矩形，
（1）若四棱锥 的外接球球心在四棱锥内部，
在 中， ，即
在 中， ，即
联立解得： ，不符合题意，舍去；（2）若四棱锥 的外接球球心在四棱锥外部，
在 中， ，即
在 中， ，即
联立解得： ， ，
所以四棱锥的外接球的表面积为
故选：B
【点睛】方法点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆
的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段 两两互相垂直，一般把有关元素“补形”成为一
个球内接长方体，利用 求解．
5．（2022·全国·高三专题练习）直线AB与直二面角 的两个面分别交于A，B两点，且A，B都不在棱l上，设直线AB与 所成的角分别为 和 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据直线AB与平面的位置，分两种情况：当 时， ；当 与l不垂直时，分别
过点A，B向平面 作垂线，垂足为 ， ，连接 ， ，由已知 ，可知 ，
，由 ，知
【详解】当 时， .
当 与l不垂直时，如图，分别过点A，B向平面 作垂线，垂足为 ， ，连接 ， .
由已知 ，所以 ， ，因此 ， .
由 ，知 ，即
综上可知，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查二面角及线面角，解题的关键是通过面面垂直的性质定理转化为线面垂直
即可找到线面角，考查学生的数形结合思想及转化与化归思想，属于基础题.
6．（2020·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））在正方体 中， 、 分别在 和 上
（异于端点），则过三点 、 、 的平面被正方体截得的图形不可能是（ ）
A．正方形 B．不是正方形的菱形
C．不是正方形的矩形 D．梯形
【答案】A【解析】作出图形，设正方体的棱长为 ，设 ，利用勾股定理可判断A选项中的截面图
形不可能，结合A选项的推导可判断B选项中的截面图形可能，取 可判断C选项中图形可能，取
可判断D选项中截面图形可能.综合可得出结论.
【详解】对于A选项，设正方体 的棱长为 ，如下图所示：
设 ， 平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面
， ，同理 ，
若截面 为正方形，则 ，
过点 作 交 于点 ，易知 ， ，则 ，
， ， ，
由勾股定理得 ，即 ，解得 ，
所以，截面不可能是正方形；
对于B选项，由A选项可知，当 时，截面是不为正方形的菱形；
对于C选项，如下图所示，当 时，由于 平面 ， ， 平面 ，
平面 ， ，
平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，由面面平行的性质定理可得 ，
， ， ，
此时，四边形 为矩形但不是正方形；
对于D选项，如下图所示，
平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，由面面平
行的性质定理可得 ，
当 时，过点 作 交 于点 ，易知 且 ，
此时，截面图形为梯形.
故选：A.
【点睛】本题考查正方体截面图形的判断，考查空间想象能力与推理能力，属于中等题.
二、填空题
7．（2021·全国·模拟预测（理））如图，水平桌面上放置一个棱长为1米的正方体水槽，水面高度恰为正
方体棱长的一半，在该正方体侧面 上有一个小孔 ，小孔 (孔的大小不计)到 的距离为0.75米，现将该正方体水槽绕 倾斜（ 始终在桌面上），则当水恰好流出时，则整个正方体水槽在水平桌面上
的投影面积大小为_______平方米．
【答案】
【分析】水槽的投影为正方形 和正方形 在桌面上的投影，故找到侧面与水平面的夹角即可
求出投影.
【详解】如图，过 作 于 ，易知 ，
则 ，因为水平面与桌面平行，
所以，平面 和平面 分别与桌面所成角的余弦值分别为
，
水槽的投影为：正方形 和正方形 在桌面上的投影.
所以投影面积为 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键点是要找到侧面与水平面的夹角，从而求得投影面积.三、解答题
8．（2021·全国·高三专题练习）已知斜三棱柱 的底面是直角三角形， ，且
， ， ，侧棱与底面成60°，求它的体积.
【答案】 或 .
【分析】证明平面 平面 ，根据点 在直线 上的位置不确定，将其分为①点H在线段 的
延长线上；②点H在线段 上；③点H在线段 的延长线上，三种情况进行讨论．
【详解】解：因为 ，故 ，
又 ，且 ，故 平面 ，
又 平面 ，故平面 平面 ，
则点 在平面 上的射影一定在直线 上，
过 作 垂直 ，交 于H，设 .
①若点H在线段 的延长线上，联结 ， ，如图所示，
则 是 与底面所成的角，即 ， .
在 中， .
在 中， ，故 ，解得 .
所以 .
②若点H在线段 上，如图所示.
在 中， ，即 ，
解得 （此时点H与点B重合）
所以 .
③若点H在线段 的延长线上，
在 中，∵ ，
∴ ，解得 ，不合题意
综上所述，斜三棱柱 的体积为 或 .
题型四：转化与划归思想
一、单选题
1．（2022·四川泸州·三模（理））已知三棱锥 的底面 为等腰直角三角形，其顶点P到底面
ABC的距离为3，体积为24，若该三棱锥的外接球O的半径为5，则满足上述条件的顶点P的轨迹长度为
（ ）A．6π B．30π
C． D．
【答案】D
【分析】利用三棱锥 的体积，求解底边边长，求出 的外接圆半径，
以及球心 到底面 的距离，判断顶点 的轨迹是两个不同截面圆的圆周，
进而求解周长即可．
【详解】依题意得，设底面等腰直角三角形 的边长为 ，
三棱锥 的体积
解得：
的外接圆半径为
球心 到底面 的距离为
，
又 顶点P到底面ABC的距离为3，
顶点 的轨迹是一个截面圆的圆周
当球心在底面 和截面圆之间时，
球心 到该截面圆的距离为 ，
截面圆的半径为 ，
顶点P的轨迹长度为 ；
当球心在底面 和截面圆同一侧时，
球心 到该截面圆的距离为 ，
截面圆的半径为 ，
顶点P的轨迹长度为 ；
综上所述，顶点P的轨迹的总长度为故选：D．
【点睛】本题考查空间几何体外接球的问题以及轨迹周长的求法，考查
空间想象能力、转化思想以及计算能力，题目具有一定的难度．
2．（2022·全国·江西科技学院附属中学高三阶段练习（理））已知正三棱锥 的底面边长为 ，
外接球表面积为 ， ，点M，N分别是线段AB，AC的中点，点P，Q分别是线段SN和平面SCM
上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据外接球表面积求得外接球半径，进而求得三棱锥的高，并推出侧面为等腰直角三角形，作辅
助线，将 转化为一条线段，从而确定 最小时的线段的位置，再结合三角函数值，解直角
三角形 ,求得答案.
【详解】依题意， ，解得 ，
由 是正三角形可知：其外接圆半径为 ，
设点S到平面ABC的距离为h，故 ，
解得 或 ，
则 或 （舍去），
故 ，则 ,而 ，故 为等腰直角三角形， ，
故 为等腰直角三角形， ,则 ,
又 ,故 平面SCM，取CB中点F，连接NF交CM于点O，则 ,则 平面SCM ,
故 平面SCM，则 ，
要求 最小，首先需PQ最小，此时可得 平面SCM，则 ；
再把平面SON绕SN旋转，与平面SNA共面，即图中 位置，
当 共线且 时， 的最小值即为 的长，
由 为等腰直角三角形，
故 ， ，
∴ ，即 ，∴ ，
可得 ， ，
故选：B.
【点睛】本题考查了空间几何体上线段和最小值的求解，涉及到几何体的外接球以及空间的线面位置关系
等问题，解答时要发挥空间想象，明确点线面的位置关系，并能进行相关计算，解答的关键是要将两线段
的和转化为一条线段，才可求得线段和的最小值.
3．（2022·广西·高三阶段练习（理））如图，四棱柱 的底面是边长为2的正方形，侧棱
平面ABCD，且 ，E、F分别是AB、BC的中点，P是线段 上的一个动点（不含端点），
过P、E、F的平面记为 ，Q在 上且 ，则下列说法正确的个数是（ ）．①三棱锥 的体积是定值；
②当直线 时， ；
③当 时，平面 截棱柱所得多边形的周长为 ；
④存在平面 ，使得点 到平面 距离是A到平面 距离的两倍．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】对于①：先利用线面平行的判定定理得到线面平行，即点到平面的距离为定值，再利用三角形面
积是定值和棱锥的体积公式进行判定；对于②：先作出两平面的交线，利用线面平行得到面面平行，再利
用全等三角形进行求解；对于③：利用②结论判定截面的形状，进而求其周长；对于④：利用相似比得到
推出矛盾，判定④错误.
【详解】对于①:因为 ， 平面 ，
平面 ，所以 平面 ，
因为 ，所以点P到平面 的距离为定值，
而 的面积为定值，所以三棱锥 的体积是定值，
即三棱锥 的体积是定值，故①正确；
对于②：如图，延长EF交DC的延长线于点M，设平面 交棱 于点W，连接MW，并延长MW交 于点P，
因为 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，
因为F为BC的中点，则W为CQ的中点，
因为 ，则 ， ， ，
所以 ≌ ，则 ，
因为 ，则 ，
则 ，即②错误；
对于③：如图，设直线EF分别交直线DA、DC于点N、M，
连接PN、PM，分别交 、 于点R、S，连接RE、SF，
由②可知， ，同理可知 ，
因为 ， ，则 为等腰直角三角形，
则 ，同理可知， 也为等腰直角三角形，同理可知， ，∴ ，
同理 ，由勾股定理可得 ，
则截面的周长为 ，即③正确；
对于④：设截面 交棱 于点R，
假设存在平面 ，使得点 到平面 距离是A到平面 距离的两倍，
则 ，可得 ，
因为 ，则 ，则 ，不符合题意；
即不存在平面 ，使得点 到平面 距离是A到平面 距离的两倍，
故④错误．
综上所述，①③正确.
故选：B.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥 的所有棱长为1． 是底面 内部一个动点（包
括边界），且 到三个侧面 ， ， 的距离 ， ， 成单调递增的等差数列，记 与 ，
， 所成的角分别为 则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】由于 是底面 内部的一个动点， 是底面 的一条动斜线，得到动斜线 与
底面 的夹角 ，再找 的余弦值与 的余弦值之间的关系，再利用边角转化，可
以得到目标角的关系.
【详解】解：依题意知正四面体 的顶点 在底面 的射影是正 的中心 ， ,
,连 ,则 ,
与 的夹角为
又 ，其中 表示直线
与 的夹角， 表示直线 与 的夹角， 是斜线 与底面 的夹角
.
同理可以将 ， 转化，
，其中 表示直线 与 的夹角，
，其中 表示直线 与 的夹角，
由于 是公共的，因此题意即比较 与 ， ， 夹角的大小，
设 到 ， ， 的距离为 ， ， 则 ，其中 是正四面体相邻两个面所成角，
，
所以 ， ， 成单调递增的等差数列，然后在 中解决问题，角平分线上的点到两边的距离相等
由于 ，可知 在如下图 的区域（包括BD边界）
从下图中可以看出， 与 所成角小于 与 所成角，所以 ， 与 所成角大于 与
所成角，所以 ，所以ABC都错.故选：D．
5．（2022·全国·高三专题练习）在立体几何探究课上，老师给每个小组分发了一个正四面体的实物模型，
同学们在探究的过程中得到了一些有趣的结论.已知直线 平面 ，直线 平面 ，F是棱BC上一
动点，现有下列三个结论：
①若 分别为棱 的中点，则直线 平面 ；
②在棱BC上存在点F，使 平面 ；
③当F为棱BC的中点时，平面 平面 .
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．③ B．①③ C．①② D．②③
【答案】A
【分析】将正四面体放在正方体中，如图，由正方体的性质判断各选项．
【详解】可将正四面体放在正方体中研究，如图，
对于①，由直线 平面 ，直线 平面 ，知平面 是与左右两个侧面平行的平面，
是前后两个侧面的中心（对角线交点），则直线 平面 或直线 平面 ，故①错误.
对于②，正方体的左、右两个侧面与平面 平行，因此，与平面 垂直的直线只能是与其四条侧棱平行或
重合的直线，故②错误.
对于③，平面 就是平面 ，由 与侧面垂直，得面面垂直，故③正确，
故选：A．二、多选题
6．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）某地举办数学建模大赛，本次大赛的冠军奖杯由一个铜球和
一个托盘组成，如图①，已知球的表面积为16 ，托盘由边长为8的等边三角形铜片沿各边中点的连线垂
直向上折叠面成，如图②，则下列结论正确的是（ ）
A．直线AD与平面DEF所成的角为
B．经过三个顶点A，B，C的球的截面圆的面积为
C．异面直线AD与CF所成角的余弦值为
D．球上的点到底面DEF的最大距离为
【答案】AC
【分析】根据直线与平面所成角的定义，确定所求解的角判断A；求出 外接圆的面积判断B；作出
异面直线所成的角，并求出这个角判断C；求出球心到平面 的距离判断D.
【详解】根据图形的形成可知， 三点在底面 上的投影分别是 三边中点 ，如图所示，
对于A， 面 ， 就是直线AD与平面DEF所成的角，
是等边三角形， ，A正确；
对于B， 与 全等且所在平面平行，截面圆就是 的外接圆与 的外接圆相同，
由题意知 的边长为 ，其外接圆半径为 ，
圆的面积 ，B错误；
对于C，由上述条件知， 且 ，而 且 ，
四边形 是平行四边形，
所以 是异面直线AD与CF所成的角（或其补角）.
又 ,
，C正确；
对于D，由上述条件知， ，设 是球心，球半径为 ，
由 ，解得： ，则 是正四面体，棱长为 ，
设 为 的中心，如图：则 面 ，又 面 ， ，
，又
球上的点到底面DEF的最大距离为 ，D错误.
故选：AC.
三、填空题
7．（2022·全国·高三专题练习）已知 为正方体 表面上的一动点，且满足
，则动点 运动轨迹的周长为__________.
【答案】
【分析】首先根据条件确定P点所处的平面，再建立坐标系求出动点P的轨迹方程，据此求出轨迹的长.
【详解】由 可知，正方体表面上到点A距离最远的点为 ，
所以P点只可能在面 ，面 ，面 上运动，
当P在面 上运动时，如图示，建立平面直角坐标系，
则 ,
设 ，由 得： ，
即 ，即P点在平面ABCD内的轨迹是以E（4,0）为圆心，以 为半径的一段圆弧，因为 ,故 ,
所以P点在面ABCD内的轨迹的长即为
同理，P点在面 内情况亦为 ；
P点在面 上时，因为 ， ,
所以 ，
所以此时P点轨迹为以B为圆心，2为半径的圆弧，
其长为 ，
综上述，P点运动轨迹的周长为 ，
故答案为： .
8．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为6的正方体 中，点 是线段 的中点， 是
正方形 （包括边界）上运动，且满足 ，则 点的轨迹周长为________.
【答案】
【分析】由题意易知 ，由此可得 ，在平面 上，建立平面直角坐标系，可知 点的轨迹为圆 与四边形 的交点，由弧长公式可求解.
【详解】如图，在棱长为6的正方体 中，
则 平面 ， 平面 ，
又 ， 在平面 上， ， ，
又 ， ，
，即 ，
如图，在平面 中，以 为原点， 分别为 轴建立平面直角坐标系，
则 ， ， ，
由 ，知 ，
化简整理得 ， ，圆心 ，半径 的圆，
所以 点的轨迹为圆 与四边形 的交点，即为图中的
其中， ， ，则
由弧长公式知
故答案为： .题型五：特殊与一般思想
一、单选题
1．（2021·江西·三模（理））设α、β为两个不重合的平面，能使α//β成立的是
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α内有无数个点到β的距离相等 D．α、β垂直于同一平面
【答案】B
【分析】应用几何体特例，如立方体可排除相关选项；而由面面平行的判定可知B正确
【详解】应用立方体，如下图所示：
选项A：α内有无数条直线可平行于l，即有无数条直线与β平行，但如上图α与β可相交于l，故A不一定
能使α//β成立；
选项B：由面面平行的判定，可知B正确
选项C：在α内有一条直线平行于l，则在α内有无数个点到β的距离相等，但如上图α与β可相交于l，故
C不一定能使α//β成立；
选项D：如图α⊥γ，β⊥γ，但α与β可相交于l，故D不一定能使α//β成立；
故选：B
【点睛】本题考查了面面平行的判定，应用特殊与一般的思想排除选项，属于简单题
2．（2021·浙江·模拟预测）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，且直线 ，直线
，下列命题为真命题的是
A．“ ”是“ ”的充分条件
B．“ ”是“ ”的既不充分又不必要条件C．“ ”是“ ”的充要条件
D．“ ”是“ ”的必要条件
【答案】B
【分析】根据线线、线面、面面之间的关系判断结论间是否互为充分、必要条件，进而确定命题的真假
【详解】线面垂直性质： 有 ，但 ，不能得出 ，A错误
时，根据线面平行性质的条件知m若在平面β内，不能得出 ，反之 ，β内的直线也不一定
与m平行，即不能得出 ，既不充分也不必要，B正确
时，m、n可能是异面直线，不一定平行， 时，α、β也可能相交，不一定平行，C错误
两个平面垂直，分别在这两个平面的两条直线可能相交，可以平行，不一定垂直，D错误
故选：B
【点睛】本题考查了空间中的平行、垂直关系，结合线线、线面、面面相关的判定、性质定理判断各结论
是否互为充分、必要条件
3．（2020·四川省遂宁市第二中学校模拟预测（理））已知圆锥 的底面半径为 ，当圆锥的体积为
时，该圆锥的母线与底面所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先理解圆锥体中母线与底面所成角的正切值为它的高与底面半径的比值，结合圆锥的体积公式
及已知条件即可求出正切值
【详解】设圆锥的高为 ，则由题意，有
∴ ，即为母线与底面所成角的正切值
故选：D
【点睛】本题考查了圆锥体，理解母线与底面所成角即线面角的确定，由已知条件结合圆锥的体积公式求线面角的正弦值
4．（2020·重庆八中高三阶段练习（理））已知 ， 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则
下列说法正确的是
A．若 与 所成的角等于 与 所成的角，则
B．若 与 所成的角等于 与 所成的角，则
C．若 ， ，则 与 所成的角等于 与 所成的角
D．若 ，则 与 所成的角不可能等于 与 所成的角
【答案】C
【分析】在正方体中，举出反例，可判断四个选项的正确性.
【详解】解：A:如图，在正方体中，设下底面为 ，点 为边上中点，此时 与 所成的角等于 与 所
成的角，其正切值均为 ，但 与 相交，不平行，则A错误；
B:如图，在正方体中，设其下底面为 ，左侧面为 ，此时 与 所成的角等于 与 所成的角均为 ，
但此时 ，则B错误；
D：如图，在正方体中，设下底面为 ，此时 ，但 与 所成的角与 与 所成的角相等，为 ，
则D错误.
故选:C.
【点睛】本题考查了直线与平面所成角，考查了直线与平面的位置关系.对于此类问题，常结合具体的几何
体举出反例说明选项错误，利用排除法选出正确答案.
5．（2020·河北·石家庄二中模拟预测（理））过正方体 的顶点 作平面 ，使每条棱在
平面 的正投影的长度都相等，则这样的平面 可以作（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D【解析】每条棱在平面 的正投影的长度都相等，等价于每条棱所在直线与平面 所成角都相等，从而棱
， ， 所在直线与平面 所成的角都相等，三棱锥 是正三棱锥,直线 ， ， 与
平面 所成角都相等，过顶点 作平面 平面 ，由此能求出这样的平面 的个数.
【详解】在正方体 中，每条棱在平面 的正投影的长度都相等 每条棱所在直线与平面
所成的角都相等 棱 所在直线与平面 所成的角都相等，易知三棱锥 是正三棱
锥，直线 与平面 所成的角都相等.过顶点 作平面 平面 ，则直线
与平面 所成的角都相等.同理，过顶点 分别作平面 与平面 、平面 、平面 平行，直线
与平面 所成的角都相等.所以这样的平面 可以作4个，
故选：D.
【点睛】本题考查立体几何中关于线面关系和面面关系的相关概念，属于简单题
6．（2021·新疆维吾尔自治区喀什第六中学高三阶段练习）如图，在棱长为2的正方体 中，
是 的中点，点 是侧面 上的动点，且 截面 ，则线段 长度的取值范围是
（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取CD的中点为N, 的中点为R, 的中点为H,证明平面MNRH//平面 , 平面 ,线段MP扫过的图形为 ,通过证明 ,说明 为直角,得线段 长度的取值范围
为 即可得解.
【详解】取CD的中点为N, 的中点为R, 的中点为H,作图如下:
由图可知, ,
所以四边形 为平行四边形,
所以 ,
因为 ,
所以 ,
因为 ,
故平面MNRH//平面 ,
因为 截面 ,
所以 平面 ,线段MP扫过的图形为 ,
由 知, ,
在 中, ,
即 ,所以 ，
所以 ,即 为直角,故线段 长度的取值范围为 ,即 ,
故选:B
【点睛】本题考查面面平行的判定定理与性质定理及空间两点间的距离;重点考查转化与化归的思想;属于
难度大、抽象型试题.
二、填空题
7．（2022·陕西·二模（理））在内接于球 的四面体 中，有 ， ，
，若球 的最大截面的面积是 ，则 的值为______．
【答案】
【分析】将四面体放入到长方体中，设长方体的长，宽，高分别是 ， ， ，
得到 ，若球 的最大截面的面积是 ，球的最大截面即是大圆，
设球的半径为 ，代入公式求解即可.
【详解】如下图所示：将四面体放入到长方体中， 与 ， 与 ， 与 相当于一个长方体的
相对面的对角线，
设长方体的长，宽，高分别是 ， ，
则 ，所以 ，
若球 的最大截面的面积是 ，球的最大截面即是大圆，
设球的半径为 ，则 ，
所以 ， ，所以 ，所以 ，解得 .
故答案为： .
8．（2021·全国·高三专题练习（文））已知四边形 是等腰梯形， ， ， ，
，梯形 的四个顶点在半径为 的球面上，若 是球面上任意一点，则点 到平面
的距离的最大值为____________．
【答案】
【分析】当 与球心的连线⊥平面 时， 点到平面 的距离的最大值，此时构造球心三角形可
以解得球心到平面 的距离，从而求得最大值.
【详解】
因为四边形 是等腰梯形，易知 ，
如图所示，连接AC，由余弦定理可得 ，
因为四边形 的外接圆也是 的外接圆，
所以由正弦定理可得，四边形 的外接圆的半径为 ．
设球心为 ，四边形 的外接圆的圆心为 ，
在 中，可知 ，即 ，
解得 ，
所以点 到平面 的距离的最大值为 ．故答案为： .
【点睛】思路点睛：动点在 上时，距离平面距离最大，借助球心三角形可以解得该值.
