文档内容
猜想 03 一元一次方程（易错必刷 30 题 5 种题型专项训练）
一．有等式的性质（共4小题） 二．一元一次方程的解（共2小题）
三．解一元一次方程（共9小题） 四．由实际问题抽象出一元一次方程（共2小题）
五．一元一次方程的应用（共13小题）
一．等式的性质（共4小题）
1．（2023秋•辽宁期中）下列各组等式变形中，不一定成立的是（ ）
A．如果x＝y，那么ax＝ay
B．如果 ，那么x＝y
C．如果x﹣b＝y﹣b，那么x＝y
D．如果x＝y，那么
【分析】根据等式的性质进行判断即可．
【解答】解：A、如果x＝y，那么ax＝ay，原变形成立，故此选项不符合题意；
B、如果a+ ＝a+ ，那么x＝y，原变形成立，故此选项不符合题意；
C、如果x﹣b＝y﹣b，那么x＝y，原变形成立，故此选项不符合题意；
D、如果x＝y，a≠0，则 ＝ ，原变形不一定成立，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质．等式的性质：性质1、等式两边加同
一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
2．（2022秋•广平县期末）等式就像平衡的天平，能与如图的事实具有相同性质的是（ ）
A．如果a＝b，那么ac＝bcB．如果a＝b，那么 ＝ （c≠0）
C．如果a＝b，那么a+c＝b+c
D．如果a＝b，那么a2＝b2
【分析】利用等式的性质对每个等式进行变形即可找出答案．
【解答】解：观察图形，是等式a＝b的两边都加c，得到a+c＝b+c，利用等式性质1，所以成立．
故选：C．
【点评】本题考查了等式的基本性质，解题的关键是掌握等式的基本性质：等式性质：1、等式两边加
同一个数（或式子）结果仍得等式；2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
3．（2023秋•巴彦县期中）已知等式m＝n，则下列式子不成立的是（ ）
A．m﹣1＝n﹣1 B．﹣3m＝﹣3n C． D．m+1＝n+2
【分析】根据等式的性质解答即可．
【解答】解：A、在等式m＝n的两边同时减去1得：m﹣1＝n﹣1，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、在等式m＝n的两边同时乘以﹣3得：﹣3m＝﹣3n，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、在等式m＝n的两边同时3次方得：m3＝n3原变形正确，故此选项不符合题意；
D、在等式m＝n的两边同时加1得：m+1＝n+1，原变形错误，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了等式的性质，解决本题的关键是熟记等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同
一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
4．（2023秋•黄冈期中）下列说法中，一定正确的是（ ）
A．若4x﹣1＝3x+1，则x＝0 B．若ac＝bc，则a＝b
C．若a＝b，则 D．若 ，则a＝b
【分析】根据等式的性质，分别分析判断即可．
【解答】解：（A）4x﹣1＝3x+1，
4x﹣3x＝1+1，
x＝2．
∴A不正确，不符合题意．
（B）ac＝bc，
ac﹣bc＝0，
（a﹣b）c＝0，a＝b或c＝0．
∵当c＝0时，a和b可以是任意值，总能使原等式成立，
∴B不正确，不符合题意．
（C）a＝b，
当c≠0时， ＝ ．
∴C不正确，不符合题意．
（D），
等式两边同时乘以5，
得a＝b．
∴D正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查等式的性质，掌握并灵活运用它是本题的关键．
二．一元一次方程的解（共2小题）
5．（2023秋•渝中区校级期中）我们把不超过有理数 x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，又把x﹣
[x]称为x的小数部分，记作{x}，则有x＝[x]+{x}．如：[1.3]＝1，{1.3}＝0.3，1.3＝[1.3]+{1.3}．下列说
法中正确的有（ ）个．
①[2.8]＝2；②[﹣5.3]＝﹣5；③若1＜|x|＜2，且{x}＝0.4，则x＝1.4或x＝﹣1.4；④方程4[x]+1＝{x}
+3x的解为x＝0.25或x＝2.75．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】运用题目定义和有理数、一元一次方程的知识进行逐一辨别、求解．
【解答】解：∵[2.8]＝2，
∴说法①正确；
∵[﹣5.3]＝﹣6，
∴说法②不正确；
∵若1＜|x|＜2，且{x}＝0.4，则x＝1.4或x＝﹣1.6，
∴说法③不正确；
∵当x＝0.25时，4×[0.25]+1＝4×0+1＝0+1＝1，
{0.25}+3×0.25＝0.25+0.75＝1，
∴x＝0.25或x＝2.75是方程4[x]+1＝{x}+3x的解，
∴说法④正确，∴说法中正确的有2个，
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的概念和一元一次方程的解方面新定义问题的解决能力，关键是能准确理解
并运用以上知识和定义．
6．（2022秋•仓山区期末）下列判断正确的有 ③④ ．（填序号即可）
①若a+b＝0，则a与b的同一偶数次方相等；②若a＞b，则a的倒数小于b的倒数；③若|a|＞2，则
在数轴上表示有理数a的点一定在﹣2的左侧，2的右侧；④ax2+a＝0，可以看作是关于a的一元一次
方程，且其解为a＝0．
【分析】①根据正数的任何次幂都为正，负数的偶次幂为正；
②通过举例说明；
③可以数形结合；
④根据一元一次方程的定义及解来判断．
【解答】解：①若a+b＝0，分两种情况：（1）a，b都不为0，命题自然是正确的；（2）a＝b＝0时，
有一种特殊情况，即0的0次方，0次方的底数不可为0，∴此命题是错的；
②若a＞b，则a的倒数小于b的倒数，如2＞﹣3， ＞﹣ ，∴错误；
③若|a|＞2，则在数轴上表示有理数a的点一定在﹣2的左侧，2的右侧，正确；
④ax2+a＝0，
（x2+1）a＝0，
∵x2+1≥1，
∴a＝ ＝0，
∴其解为a＝0，正确；
故答案为：③④．
【点评】本题考查解一元一次方程的定义、一元一次方程的解、数轴、绝对值，掌握一元一次方程的定
义及解，通过举例说明及数形结合可以把复杂的问题直观化，这是解题的关键．
三．解一元一次方程（共9小题）
7．（2023秋•淮安区期中）解方程：
（1）2x+17＝32﹣3x；（2） ＝1．
【分析】（1）按照移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可．
【解答】解：（1）2x+3x＝32﹣17，
5x＝15，
x＝3；
（2）3（x﹣2）+2（5﹣2x）＝6，
3x﹣6+10﹣4x＝6，
3x﹣4x＝6+6﹣10，
﹣x＝2，
x＝﹣2．
【点评】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
8．（2023秋•岳麓区校级期中）下列方程变形中，正确的是（ ）
A．由 ＝0，得y＝3 B．由2x＝3，得 x＝
C．由2a﹣3＝a，得a＝3 D．由2b﹣1＝3b+1，得b＝2
【分析】按照解一元一次方程的步骤进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、由 ＝0，得y＝0，故A不符合题意；
B、由2x＝3，得 x＝ ，故B不符合题意；
C、由2a﹣3＝a，得a＝3，故C符合题意；
D、由2b﹣1＝3b+1，得b＝﹣2，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
9．（2022秋•长兴县期末）解方程 ，去分母后正确的结果是（ ）
A．4x﹣2﹣3+9x＝1 B．4x﹣2﹣3﹣9x＝1
C．4x﹣2﹣3+9x＝6 D．4x﹣2﹣3﹣9x＝6
【分析】按照解一元一次方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解： ，去分母，方程两边同时乘6得：
2（2x﹣1）﹣3（1+3x）＝6，
去括号得：
4x﹣2﹣3﹣9x＝6，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
10．（2023秋•工业园区校级期中）现定义运算“*”，对于任意有理数a与b，满足a*b＝
，譬如5*3＝3×5﹣3＝12， ，若有理数x满足x*3＝12，则x的值为（ ）
A．4 B．5 C．21 D．5或21
【分析】根据“*”的定义，分别当x≥3和x＜3时写出对应的方程并求解即可．
【解答】解：若x≥3，3x﹣3＝12，解得x＝5；
若x＜3，x﹣9＝12，解得x＝21（不符合题意，舍去）．
综上，x＝5，
故选：B．
【点评】本题考查解一元一次方程等，熟练掌握求解一元一次方程的方法是本题的关键．
11．（2023秋•青羊区校级期中）如果4a﹣9与3a﹣5互为相反数，那么a2﹣a+1的值等于 3 ．
【分析】根据相反数的性质列方程并求解，将a的值代入a2﹣a+1求值即可．
【解答】∵4a﹣9与3a﹣5互为相反数，
∴4a﹣9+3a﹣5＝0，解得a＝2．
将a＝2代入a2﹣a+1，得a2﹣a+1＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查相反数和解一元一次方程，掌握相反数的性质是本题的关键．
12．（2022秋•兴山县期末）解方程： ﹣ ＝1．
【分析】根据解一元一次方程的一般步骤解出方程．
【解答】解：去分母，得2（2x﹣1）﹣3（x+1）＝6
去括号，得4x﹣2﹣3x﹣3＝6
移项，得4x﹣3x＝6+2+3
合并同类项，得x＝11．【点评】本题考查的是一元一次方程的解法，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合
并同类项、系数化为1．
13．（2022秋•青川县期末）解下列方程：
（1）2x﹣（x+10）＝3x+2（x+1）；
（2） ．
【分析】（1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解一元一次方程的一般步骤解出方程；
（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解一元一次方程的一般步骤解出方程．
【解答】解：（1）2x﹣（x+10）＝3x+2（x+1），
去括号，得2x﹣x﹣10＝3x+2x+2，
移项，得2x﹣x﹣3x﹣2x＝2+10，
合并同类项，得﹣4x＝12，
系数化为1，得x＝﹣3；
（2） ，
去分母，得3（x﹣1）﹣2（2x﹣1）＝6x+6，
去括号，得3x﹣3﹣4x+2＝6x+6，
移项，得3x﹣4x﹣6x＝6+3﹣2，
合并同类项，得﹣7x＝7，
系数化为1，得x＝﹣1．
【点评】本题考查解一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步骤，使方程逐渐向 x＝a形式转化
是解题关键．
14．（2022秋•南海区校级期末）解下列方程．
（1）5（x﹣2）﹣1＝﹣2（2x+1）；
（2） ．
【分析】（1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解一元一次方程的一般步骤解出方程；
（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解一元一次方程的一般步骤解出方程；
【解答】（1）解：去括号，得5x﹣10﹣1＝﹣4x﹣2，
移项，得5x+4x＝﹣2+10+1，
合并同类项，得9x＝9，
把系数化为1，得x＝1；（2）解：去分母，得4（2y﹣1）﹣12＝﹣3（y+2），
去括号，得8y﹣4﹣12＝﹣3y﹣6，
移项，得8y+3y＝﹣6+4+12，
合并同类项，得11y＝10，
把系数化为1，得 ．
【点评】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤，使方程逐渐向 x＝a形式转化是解题
关键．
15．（2022秋•平原县校级期末）解下列一元一次方程
（1）﹣3x+7＝4x+21；
（2） ﹣1＝ +x；
（3）9y﹣2（﹣y+4）＝3；
（4） ﹣ ＝ ．
【分析】首先熟悉解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．
【解答】解：（1）移项得：﹣3x﹣4x＝21﹣7，
合并得：﹣7x＝14，
系数化为1得：x＝﹣2；
（2）去分母得：2（x+4）﹣10＝5（x﹣2）+10x，
去括号得：2x+8﹣10＝5x﹣10+10x，
移项得：2x﹣15x＝﹣8，
系数化为1得：x＝ ；
（3）去括号得：9y+2y﹣8＝3，
移项合并得：11y＝11，
系数化为1得：y＝1；
（4）方程可变形为 ﹣ ＝4﹣8x，
去分母得：9（30x﹣15）﹣2（20x﹣10）＝18（4﹣8x）整理得：270x﹣135﹣40x+20＝72﹣144x
移项合并得：374x＝187
系数化为1得：x＝ ．
【点评】熟悉解一元一次方程的步骤，尤其是第四小题注意首先对各个分式进行化简整理，小数化为整
数，在进行解方程的步骤：去分母．
四．由实际问题抽象出一元一次方程（共2小题）
16．（2022秋•永川区期末）有m辆客车及n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆
客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①40m+10＝43m﹣1；② ；③
；④40m+10＝43m+1，其中正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
【分析】首先要理解清楚题意，知道总的客车数量及总的人数不变，然后采用排除法进行分析从而得到
正确答案．
【解答】解：根据总人数列方程，应是40m+10＝43m+1，①错误，④正确；
根据客车数列方程，应该为 ，②错误，③正确；
所以正确的是③④．
故选：D．
【点评】此题的关键是能够根据不同的等量关系列方程．
17．（2022秋•市北区校级期末）某车间28名工人生产螺栓和螺母，螺栓与螺母个数比为1：2刚好配套，
每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，求多少人生产螺栓？设：有x名工人生产螺栓，其余人生产
螺母．依题意列方程应为（ ）
A．12x＝18（28﹣x） B．2×12x＝18（28﹣x）
C．12×18x＝18（28﹣x） D．12x＝2×18（28﹣x）
【分析】螺栓与螺母个数比为1：2刚好配套，那么螺母的个数较多，要想让螺栓的个数和螺母的个数
相等，等量关系为：2×生产的螺栓的个数＝螺母的个数，把相关数值代入即可．
【解答】解：∵有x名工人生产螺栓，
∴有（28﹣x）名工人生产螺母，
∵每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，∴螺栓有12x，螺母有18×（28﹣x）个，
故方程为2×12x＝18（28﹣x），
故选：B．
【点评】考查用一元一次方程解决工程问题，得到螺栓和螺母数量的等量关系是解决本题的关键．
五．一元一次方程的应用（共13小题）
18．（2022秋•华容区期末）一商家进行促销活动，某商品的优惠措施是“第二件商品半价”．现购买 2
件该商品，相当于这2件商品共打了（ ）
A．5 折 B．5.5折 C．7折 D．7.5折
【分析】根据题意设第一件商品x元，买两件商品共打y折，利用价格列出方程即可求解．
【解答】解：设第一件商品x元，买两件商品共打了y折，根据题意可得：
x+0.5x＝2x• ，
解得：y＝7.5
即相当于这两件商品共打了7.5折．
故选：D．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，找到正确的等量关系是解题关键．
19．（2022秋•九龙坡区校级期末）某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过 60立方米，按
每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．已知某用户4月份的煤气
费平均每立方米0.88元，那么4月份该用户应交煤气费（ ）
A．60元 B．66元 C．75元 D．78元
【分析】4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么煤气一定超过60立方米，等量关系为：60×0.8+超
过60米的立方数×1.2＝0.88×所用的立方数，把相关数值代入即可求得所用煤气的立方米数，乘以 0.88
即为煤气费．
【解答】解：设4月份用了煤气x立方，
则60×0.8+（x﹣60）×1.2＝0.88×x，
解得：x＝75，
75×0.88＝66元，
故选：B．
【点评】考查用一元一次方程解决实际问题，判断出煤气量在60立方米以上是解决本题的突破点；得
到煤气费的等量关系是解决本题的关键．
20．（2023•南岗区校级开学）轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若船速为26千米/小时，水速为2千米/时，则A港和B港相距 50 4 千米．
【分析】轮船航行问题中的基本关系为：
（1）船的顺水速度＝船的静水速度+水流速度；
（2）船的逆水速度＝船的静水速度一水流速度．若设A港和B港相距x千米，则从A港顺流行驶到B
港所用时间为 小时，从B港返回A港用 小时，根据题意列方程求解．
【解答】解：设A港和B港相距x千米．
根据题意，得 ，
解之得x＝504．
故填504．
【点评】本题的相等关系，逆流航行时间﹣顺流航行时间＝3．注意：船的顺水速度、逆水速度、静水
速度、水流速度之间的关系．
21．（2023秋•和平区校级月考）如图1所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，
再向左移动5个单位长度，可以发现终点表示的数是﹣2，已知点A，B是数轴上的点，请参照图并思考，
完成下列各题．
（1）如果点A表示数﹣4，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是 3 ，A、B两点间
的距离是 7 ；
（2）如果点A表示数5，将点A向左移动9个单位长度，再向右移动11个单位长度，那么终点B表示
的数是 7 ，A、B两点间的距离为 2 ；
（3）一般地，如果A点表示的数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度，那
么，请你猜想终点B表示的数是 m + n ﹣ p ，A、B两点间的距离是 | n ﹣ p | ．
（4）如图2，在数轴上从左到右边依次有A，B，C三点，点A与点B之间的距离为3，点B与点C之
间的距离为5，如果P，Q两点同时出发，点P以每秒钟2个单位长度的速度从点A向右运动，点Q以
每秒钟4个单位长度从点C向左运动，经过 或 4 秒后，点P与点B的距离和点Q与点B的距离相
等．【分析】（1）根据数轴上的点向右平移加，可得B点表示的数，根据数轴上两点间的距离是大数减小
数，可得答案；
（2）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得B点表示的数，根据数轴上两点间的距离是大数
减小数，可得答案；
（3）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得B点表示的数，根据数轴上两点间的距离是大数
减小数，可得答案；
（4）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得B点表示的数，根据数轴上两点间的距离是大数
减小数，可得答案；
【解答】解：（1）∵点A表示数﹣4，
∴点A向右移动7个单位长度，终点B表示的数是﹣4+7＝3．
∴A，B两点间的距离是|﹣4﹣3|＝7．
故答案为：3；7．
（2）∵点A表示数5，
∴将A点向左移动9个单位长度，再向右移动11个单位长度．
∴终点B表示的数是5﹣9+11＝7，A，B两点间的距离7﹣5＝2．
故答案为：7；2．
（3）∵点A表示数m，∴将A点向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度，
那么终点B表示的数是m+n﹣p，A、B两点间的距离是|n﹣p|；
故答案为：m+n﹣p；|n﹣p|．
（4）如图，∵AB＝3，BC＝5，
∴AC＝2．
令B对应的数为0，
∴A对应的数为3，C对应的数为5．
由题意，设t秒后点P与点B的距离和点Q与点B的距离相等，
①当Q在B右侧时，t秒后，PB＝3+2t，QB＝5﹣4t，
∴3+2t＝5﹣4t．
∴t＝ （秒）．
②当Q在B左侧时，t秒后，PB＝3+2t，QB＝4t﹣5，
∴3+2t＝4t﹣5．
∴t＝4（秒）．故答案为： 或4．
【点评】本题考查的是数轴的定义及数轴上两点之间的距离公式，弄清题中的规律是解本题的关键．
22．（2023•揭阳开学）淘气家今年八月份用电量是900千瓦时， （ 2 ） ，七月份用电量是多少千瓦时？
请你在下面3个选项中选择合适的一个信息填在横线上（填序号），再列式计算解决问题．
（1）淘气家今年第三季度用电2000千瓦时；
（2）八月份的用电量比七月份多了20%；
（3）六月份用电量与七月份用电量的比是4：5．
【分析】依据题意，逐个分析，把握相等关系即可得解．
【解答】解：由题意，添加（2）八月份的用电量比七月份多了20%，可以得解．
其他信息添加后无法求出七月份用电量．
设七月份用电量是x千瓦时，
∴（1+20%）x＝900．
∴x＝750．
答：七月份用电量为750千瓦时．
故答案为：（2）．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题时要熟练掌握并理解．
23．（2022秋•坪山区校级期末）某市两超市在元旦期间分别推出如下促销方式：
甲超市：全场均按八八折优惠；
乙超市：购物不超过300元，不给与优惠；超过300元而不超过600元一律打九折；超过600元时，其
中的600元优惠10%，超过的部分打八折；已知两家超市相同商品的标价都一样．
（1）当一次性购物总额是500元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？
（2）当购物总额是多少时，甲、乙两家超市实付款相同？
（3）某顾客购物总额相同，其在乙超市实付款584元，问其在甲超市需实付款多少元？
【分析】（1）根据两超市的促销方式，可分别求出在甲、乙两超市购买所需费用；
（2）设当购物总额是x元时，甲、乙两家超市实付款相同，根据两超市的促销方式及实付款相同，即
可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）设该顾客购物总额为y元，利用在乙超市购买实付款＝600×0.9+0.8×超过600元的部分，即可得出
关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再将其代入0.88y中即可求出结论．
【解答】解：（1）在甲超市实付款为：500×0.88＝440（元）；
在乙超市实付款为：500×0.9＝450（元）．∴在甲超市购买实付款为440元，在乙超市购买实付款为450元；
（2）设当购物总额为x元时，两家超市实付款相同，显然x＞600，根据题意得：0.88x＝600×0.9+0.8
（x﹣600），
解之得，x＝750．
∴当购物总额为750元时，两家超市实付款相同．
（3）设该顾客购物总额为y元，显然y＞600，
根据题意得：600×0.9+0.8（y﹣600）＝584，
解之得，y＝655；
∴0.88y＝0.88×655＝576.4（元），
∴其在甲超市需实付款576.4元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
24．（2023秋•工业园区月考）如图．在一条不完整的数轴上一动点A向左移动4个单位长度到达点B，再
向右移动7个单位长度到达点C．
（1）若点A表示的数为0，求点B、点C表示的数；
（2）如果点A、C表示的数互为相反数，求点B表示的数．
（3）在（1）的条件之下，若小虫P从点B出发，以每秒0.5个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时
另一只小虫Q恰好从C点出发，以每秒0.2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设两只小虫在数轴上的
D点相遇，求D点表示的数是多少？
【分析】（1）依据点A表示的数为0，利用两点间距离公式，可得点B、点C表示的数；
（2）依据点A、C表示的数互为相反数，利用两点间距离公式，可得点B表示的数；
（3）设小虫P与小虫Q的运动的时间为t，根据两小虫运动路程之和为7列出方程并解答．
【解答】解：（1）若点A表示的数为0，
∵0﹣4＝﹣4，
∴点B表示的数为﹣4，
∵﹣4+7＝3，
∴点C表示的数为3；
（2）若点A、C表示的数互为相反数，
∵AC＝7﹣4＝3，∴点A表示的数为﹣1.5，
∵﹣1.5﹣4＝﹣5.5，
∴点B表示的数为﹣5.5；
（3）设小虫P与小虫Q的运动的时间为t，
依题意得：0.5t+0.2t＝7，
解得t＝10，
则点D表示的数是：0.5×10﹣4＝1．
答：点D表示的数是1．
【点评】考查了数轴，一元一次方程的应用，以及相反数．关键是能根据题意列出算式，是一道比较容
易出错的题目．
25．（2023秋•思明区校级期中）我们规定：对于数轴上不同的三个点M，N，P，当点M在点N左侧时，
若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的k倍，且k为正整数，（即PM＝kPN），则称点P是
“[M，N]整k关联点”
如图，已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为x ＝﹣2，x ＝4．
A B
（1）原点O 不是 （填“是”或“不是”）“[A，B]整k关联点”；
（2）若点C是“[A，B]整2关联点”，则点C所表示的数x ＝ 2 或 1 0 ；
C
（3）若点A沿数轴向左运动，每秒运动2个单位长度，同时点B沿数轴向右运动，每秒运动1个单位
长度，则运动时间为 2 秒时，原点O恰好是“[A，B]整k关联点”，此时k的值为 1 ．
（4）点Q在A，B之间运动，且不与A，B两点重合，作“[A，Q]整2关联点”，记为A'，作“[Q，B]
整3关联点”，记为B'，且满足A'，B'分别在线段AQ和BQ上．当点Q运动时，若存在整数m，n，使
得式子mQA'+nQB'为定值，求出m，n满足的数量关系．
【分析】（1）根据已知条件及新定义即可判定；
（2）根据已知条件及新定义得出等式，再分类讨论点C的位置，得出满足条件x 的值；
C
（3）设运动t秒，根据数轴是两点距离的计算方法用含t的代数式表示OA、OB，再根据新定义得出关
于等量关系，由“k是正整数”求出k、t即可；
（4）设点Q表示的数为x ，根据新定义、已知条件，得出用m、n、x 表示mQA'+nQB'的代数式，再
Q Q
由“点Q运动时，式子mQA'+nQB'为定值”知：关于x 的代数式中x 的系数为0，从而得出整数m、n
Q Q
满足的数量关系．【解答】解：（1）∵x ＝﹣2，x ＝4，
A B
∴OA＝2，OB＝4，
∴OA＝ OB，
∴原点O不是“[A，B]整k关联点”，
故答案为：不是；
（2）∵x ＝﹣2，x ＝4，
A B
∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，
若点C是“[A，B]整2关联点”，则AC＝2BC，
当点C在线段AB上时，BC＝ AB＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝2，
此时，点C所表示的数为x ＝2；
C
当点C在线段AB的延长线上时，BC＝AB＝6，
∴OC＝OB+BC＝10，
此时，点C所表示的数为x ＝10，
C
综上所述，点C所表示的数x ＝2或10，
C
故答案为：2或10；
（3）若点A沿数轴向左运动，每秒运动2个单位长度，点B沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，
设运动t秒，
则OA＝﹣（﹣2﹣2t）＝2+2t，OB＝4+t，
当原点O恰好是“[A，B]整k关联点”时，
OA＝kOB（k是正整数），即有2+2t＝k（4+t），
整理得，（2﹣k）t＝4k﹣2，
∵k是正整数，
∴4k﹣2＞0，
而t≥0，
∴2﹣k＞0，即有0＜k＜2且k是正整数，
∴k＝1，
∴t＝4×1﹣2＝2，
即运动时间为2秒时，原点O恰好是“[A，B]整k关联点”，此时k的值为1，
故答案为：2；1；（4）点Q在A、B之间运动，且不与A、B两点重合，作“[A，Q]整2关联点”，记为A'，作“[Q，B]
整3关联点”，记为B，且满足A'、B′分别在线段AQ和BQ上，
设点Q表示的数为x ，则
Q
AQ＝x ﹣x ＝x +2，A'A＝2A'Q，
Q A Q
BQ＝x ﹣x ＝4﹣x ，B′Q＝3B'B，
B Q Q
∴QA′＝ AQ＝ ，QB′＝ BQ＝ ＝3﹣ x ，
Q
∴mQA'+nQB′＝ m+（3﹣ x ）n＝（ m﹣ n）x + m+3n，
Q Q
当点Q运动时，若存在整数m、n，使得式子mQA'+nQB′为定值，则 m﹣ n＝0，
∴m＝ n．
即整数m、n满足的数量关系是m＝ n．
【点评】本题是数轴上新定义应用题，主要运用“数轴上表示数a、b（a＞b）的两点之间的距离为a﹣
b”来解题．
26．（2022秋•吉州区期末）已知数轴上顺次有A、B、C三点，分别表示数a、b、c，并且满足（a+12）
2+|b+5|＝0，b与c互为相反数．一只电子小蜗牛从A点向正方向移动，速度为2个单位/秒．
（1）请求出A、B、C三点分别表示的数；
（2）运动多少秒时，小蜗牛到点B的距离为1个单位长度；
（3）设点P在数轴上点A的右边，且点P分别到点A、点B、点C的距离之和是20，那么点P所表示
的数是 ﹣ 8 或﹣ 2 ．
【分析】（1）由平方的非负性，绝对值的非负性，相反数的定义求出A、B、C三点分别表示的数为﹣
12，﹣5，5；
（2）由绝对值在数轴上求两点之间的距离，一元一次方程求出小蜗牛到点 B的距离为1个单位长度时
的时间为3秒或4秒；
（3）由限制条件的点P到A、B、C三点的距离和为20，求出点B表示的数为﹣8或﹣2．
【解答】解：（1）∵（a+12）2+|b+5|＝0，
∴a+12＝0，b+5＝0，
解得：a＝﹣12，b＝﹣5，又∵b与c互为相反数，
∴b+c＝0，
∴c＝5；
（2）若小蜗牛运动到B前相距1个单位长度时，
运动时间为x秒，
∵AB的距离为|﹣12﹣（﹣5）|＝7，
∴2x+1＝7，
解得：x＝3；
若小蜗牛运动到B后相距1个单位长度时，
运动时间为y秒，依题意得：
2y＝7+1，
解得：y＝4，
综合所述：经过3秒或4秒时，小蜗牛到点B的距离为1个单位长度；
（3）设点P表示数为z，
∵AC的距离为|﹣12﹣5|＝17，
BC的距离为|5﹣（﹣5）|＝10，
∴点P只能在AC之间，不可能在点C的右边；
又∵PA+PC＝17，PA+PB+PC＝20，
∴|PB|＝3
∴|z﹣（﹣5）|＝3，
解得：z＝﹣8或z＝﹣2．
【点评】本题综合考查了绝对值的非负性，平方的非负性，一元一次方程的应用，数轴上的点与实数的
对应关系等相关知识点，重点掌握一元一次方程的应用，易错点是分类计算中做到不重不漏．
27．（2022秋•开江县校级期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是
该市民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：
自来水销售价格 污水处理价格
每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨
17吨及以下 a 0.90
超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.90
超过30吨的部分 6.00 0.90
（说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用+污水处理费）已知小王家2018年7月用水16吨，交水费43.2元．8月份用水25吨，交水费75.5元．
（1）求a、b的值；
（2）如果小王家9月份上交水费156.1元，则小王家这个月用水多少吨？
（3）小王家10月份忘记了去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水50吨，其中10月份用
水超过30吨，一共交水费215.8元，其中包含30元滞纳金，求小王家11月份用水多少吨？（滞纳金：
因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”）
【分析】（1）16吨小于17吨，用16乘以自来水每吨的销售价格与污水处理单价之和，等于 432元，
得方程①；25＝17+8，按照两段的价格计算，得出方程②，解方程组即可求得a和b；
（2）设小王家这个月用水x吨，分17吨以下、17～30吨、30吨以上三部分相加计算，让其等于
156.1，解方程即可；
（3）设小王家11月份用水y吨，由于两个月一共用水50吨，其中10月份用水超过30吨，则分y≤17
和17＜y＜30，分别列方程求解，再结合问题的实际意义可得本题答案．
【解答】解：（1）由题意得：
解①，得a＝1.8，
将a＝1.8代入②，解得b＝2.8
∴a＝1.8，b＝2.8．
（2）1.8+0.9＝2.7，2.8+0.9＝3.7，6.00+0.9＝6.9
设小王家这个月用水x吨，由题意得：
2.7×17+3.7×13+（x﹣30）×6.9＝156.1
解得：x＝39
∴小王家这个月用水39吨．
（3）设小王家11月份用水y吨，
当y≤17时，2.7y+2.7×17+3.7×13+（50﹣30﹣y）×6.9＝215.8﹣30
解得y＝11
当17＜y＜30时，17×2.7+（y﹣17）×3.7+2.7×17+3.7×13+（50﹣30﹣y）×6.9＝215.8﹣30
解得y＝9.125（舍去）
∴小王家11月份用水11吨．
【点评】本题考查了一元一次方程和二元一次方程组在实际问题中的应用，理清题目中的数量关系，并
正确分段是解答本题的关键．
28．（2022秋•望城区期末）已知x＝﹣3是关于x的方程（k+3）x+2＝3x﹣2k的解．（1）求k的值；
（2）在（1）的条件下，已知线段AB＝6cm，点C是线段AB上一点，且BC＝kAC，若点D是AC的中
点，求线段CD的长．
（3）在（2）的条件下，已知点A所表示的数为﹣2，点B所表示的数为4，有一动点P从点A开始以2
个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点B开始以4个单位长度每秒的速度沿
数轴向左匀速运动，当时间为多少秒时，有PD＝2QD？
【分析】（1）把x＝﹣3代入方程，即可求出k；
（2）先求出AC的长，再求出CD的长即可；
（3）设经过x秒时，有PD＝2QD．分别表示出x秒时P与Q在数轴上表示的数，分两种情况进行讨论：
①D在PQ之间；②Q在PD之间．
【解答】解：（1）把x＝﹣3代入方程（k+3）x+2＝3x﹣2k得：﹣3（k+3）+2＝﹣9﹣2k，
解得：k＝2；
（2）当k＝2时，BC＝2AC，AB＝6cm，
∴AC＝2cm，BC＝4cm，
当C在线段AB上时，如图，
∵D为AC的中点，
∴CD＝ AC＝1cm．
即线段CD的长为1cm；
（3）在（2）的条件下，∵点A所表示的数为﹣2，AD＝CD＝1，AB＝6，
∴D点表示的数为﹣1，B点表示的数为4．
设经过x秒时，有PD＝2QD，则此时P与Q在数轴上表示的数分别是﹣2﹣2x，4﹣4x．
分两种情况：
①当点D在PQ之间时，
∵PD＝2QD，
∴﹣1﹣（﹣2﹣2x）＝2[4﹣4x﹣（﹣1）]，解得x＝ ；
②当点Q在PD之间时，
∵PD＝2QD，∴﹣1﹣（﹣2﹣2x）＝2[﹣1﹣（4﹣4x）]，解得x＝ ．
答：当时间为 或 秒时，有PD＝2QD．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离公式，理解题意利用数形结合分情况进行讨论
是解此题的关键．也考查了一元一次方程的解，线段的中点等知识．
29．（2022秋•郧西县期末）美团外卖骑手分为专职和兼职两种，专职骑手月工资 4000元保底，每送一单
外卖可再得3元；兼职骑手没有保底工资，每送一单外卖可得4元．小张是一名专职美团骑手，小李是
一名兼职美团骑手．
（1）若10月小张和小李送出的外卖单数相同，且小张比小李多收入了2500元，求小张送出了多少单
外卖．
（2）根据国家个人所得税率标准，月工资超过5000时，需要交纳个人所得税，税率如下表所示：
级数 工资范围 个人税率
1 不超过5000 0
2 超过5000元至不超过8000元 3%
的部分
3 超过8000元至不超过17000 10%
元的部分
… … …
如果小张在11月交了200元的个人所得税，请问小张在11月送出了多少单外卖？
（3）如果小李在10月和11月两个月共交纳了个人所得税300元，且他每个月的工资都不低于5000元，
请直接写出小李在这两个月中最多送出了 430 0 单外卖，最少送出了 377 5 单外卖．
【分析】（1）设小张送出了送出了a单，根据小张比小李多收入了2500元，建立方程求解即可；
（2）先表示小张送的钱数，再表格中的数据可以表示小张的个人所得税，建立方程求解即可；
（3）根据表格中的数据可以计算出小李这2个月税前总收入的最多和最少值．
【解答】解：（1）设小张送出了送出了a单，则小李也送出了a单，
根据题意可得，4000+3a﹣4a＝2500，解得a＝1500，
∴小张送出了1500单外卖；
（2）∵（8000﹣5000）×3%＝90，
90＜200，
∴小张的收入高于8000，
设小张送出了送出了a单，则小张的收入为4000+3a，
∴3000×3%+（4000+3a﹣8000）×10%＝200，
解得a＝1700，
∴小张11月份送了1700单外卖；
（3）设两个月总收入为x元，
假设两个月的收入都不超过8000，则最多缴纳的个人所得税为：（8000﹣5000）×3%×2＝180＜300，
∴至少有一个月月收入超过8000，
当两个月月收入都超过8000，不超过17000元的部分时，记第一个月为x′元，第二个月收入为x′′
元，即x＝x′+x′′，
则3000×3%+（x′﹣8000）×10%+3000×3%+（x′′﹣8000）×10%＝300，
解得x＝x′+x′′＝17200；
设此时送出了m单，
令4m＝17200，解得m＝4300．
当有一个月收入恰好5000，另一个月一定大于8000元，
∵（8000﹣5000）×3%＝90，（17000﹣8000）×10%＝900，
∴（8000﹣5000）×3%+（x﹣5000﹣8000）×10%＝300，得x＝15100，
设此时送出了m单，
令4m＝15100，解得m＝3775．
假设有一个月的收入不低于17000元，则最少缴纳的个人所得税为：（8000﹣5000）×3%+（17000﹣
8000）×10%＝90+900＝990＞300，不满足，
∴每个月月收入都不超过17000元．
故答案为：4300，3775．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利
用税收标准和分类讨论的方法解答．
30．（2023秋•忠县校级月考）数轴是一种特定的几何图形，利用数轴能形象地表示数，在数轴的问题中，
我们常常用到数形结合的思想，并借助方程解决问题．已知 a、b为常数，且关于 x、y的多项式
（12x2+2ax﹣y+12）﹣（bx2﹣8x+7y﹣13）的值与字母x取值无关，其中a、b分别为点A、点B在数轴
上表示的数，如图1所示，O为原点，点C在原点右侧，且点C与点A到原点的距离相等．
（1）则a＝ ﹣ 4 ，b＝ 1 2 ．
（2）如图2，我们将图1的数轴在点O和点C处各弯折一次，弯折后CB与AO处于水平位置，线段
OC处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“折坡数轴”，其中O为“折坡数轴”原点，在“折坡数轴”上，每个点对应的数就是把“折坡数轴”拉直后对应的数．记 为“折坡数轴”拉直后点A和点
B的距离：即 ＝AO+OC+CB，其中AO、OC、CB代表线段的长度．定义“折坡数轴”上，上坡时点
的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍，动点M
从点A处沿“折坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向右移动到点O，再下坡到点C，然后再沿CB方
向移动，在点M出发的同时，动点N从点B处沿“折坡数轴”以每秒2个单位长度的速度向左移动到
点C，再上坡移动，当移到点O时，立即掉头返回（掉头时间不计），当点N重新回到点B时所有运动
结束，设点N运动时间为t秒，在移动过程中：
①若M，N两点在点Q处相遇，则点Q在“折坡数轴”上所表示的数是多少．
②是否存在某一时刻t，使得 ？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据该代数式的值与字母x取值无关，可知含x的项的系数为0，由此可得出结论；
（2）①由题可知，M、N两点相遇在线段OC上于Q处，根据运动时间相等，可列出方程，求解即可；
②分别求出点M，N在运动时间，结合点M，点N的不同位置，根据 列出方程求解即可．
【解答】解：（1）（12x2+2ax﹣y+12）﹣（bx2﹣8x+7y﹣13）
＝12x2+2ax﹣y+12﹣bx2+8x﹣7y+13
＝（12﹣b）x2+（2a+8）x﹣8y+25，
∵（12x2+2ax﹣y+12）﹣（bx2﹣8x+7y﹣13）的值与字母x取值无关，
∴12﹣b＝0，2a+8＝0，
∴a＝﹣4，b＝12，
故答案为：﹣4，12；
（2）①由题意得：C表示的数为4，OC＝AO＝4，CB＝8，
当M、N两点相遇在线段OC上于Q处，设OM＝x．
则 ＝ ，解得x＝ ，
则Q表示的数为 ，
故M，N的相遇点Q所对应的数 ；
当点N返回时，则在OB上相遇，
设当N返回点C到与点M相遇用时t′，
根据题意可知，2t′＝t′+3，
解得t′＝3，
此时，点M对应的数为：4+t′+3＝10．
故M，N的相遇点Q所对应的数 或10；
②存在，理由如下：∵AO＝4，
∴点M从A到O所需时间为：t＝4，
∵OC＝4，
∴点M从O到C所需时间为：t＝2，
点M从C到B所需时间为t＝8；
∵BC＝8，OC＝4，AO＝4，
∴点N从点B到点C所需时间t＝4，
点N从点C到点O所需时间t＝4，
点N返回时，
点N从点O到点C所需的时间t＝1，
点N从点C到点B所需的时间t＝4，
由此再分类讨论如下：
点N由B向A运动时：
Ⅰ、当点M在OA上时，点N在BC上运动，此时1＜t＜4，
此时MN＝16﹣t﹣2t＝16﹣3t；CN＝8﹣2t，
∴16﹣3t＝3（8﹣2t），
解得t＝ ；
Ⅱ、当点N在OC上时，a）点M在OC上且点M，N相遇前，4＜t＜5 ，
MN＝4﹣[2（t﹣4）+（t﹣4）]＝16﹣3t，CN＝t﹣4，
∴16﹣3t＝3（t﹣4），
解得t＝ ；
b）点M在OC上，且M，N相遇后，即5 ＜t＜6，
此时MN＝2（t﹣4）+（t﹣4）]﹣4＝3t﹣16，CN＝t﹣4，
∴3t﹣16＝3（t﹣4），无解；
c）当点M在OB上时，即6＜t＜8，
此时MN＝CM+CN＝t﹣6+t﹣4＝2t﹣10，NC＝t﹣4，
∴2t﹣10＝3（t﹣4），
解得t＝2，不符合题意；
当点N从点O向点B运动时，点M由点C向右运动，
Ⅰ、当点N在OC上时，即8＜t＜9，
MN＝CM+OC﹣ON＝t﹣6+4﹣4（t﹣8）＝﹣3t+30，
CN＝OC﹣ON＝4﹣4（t﹣8）＝﹣4t+36，
∴﹣3t+30＝3（﹣4t+36），
解得t＝ ；
Ⅱ、当点N在CB上时，即9＜t＜13，
当M，N相遇时，t﹣6＝2（t﹣9），解得t＝12．
在M，N相遇前，即9＜t＜12；
MN＝CM﹣CN＝t﹣6﹣2（t﹣9）＝﹣t+12，
CN＝2（t﹣9）＝2t﹣18，
∴﹣t+12＝3（2t﹣18），解得t＝ ．
在M，N相遇后，即12＜t＜13，
MN＝CN﹣CM＝2（t﹣9）﹣（t﹣6）＝t﹣12，
CN＝2t﹣18，
∴t﹣12＝3（2t﹣18），解得t＝ （不合题意，舍）．综上，符合题意的t的值为： 或 或 或 ．
【点评】本题综合考查了数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者
的关系等相关知识点，重点掌握一元一次方程的应用，易错点是分类计算时不重不漏．
