文档内容
第 02 讲 二次根式的乘法与除法
考点1：二次根式的定义与有意义条件
考点2：双重非负性的应用
考点3：二次根式性质的正向与逆向运用
考点4： 的化简
❑√a2
考点5：性质条件的辨析
重点：
（1）双重非负性
（2）4条核心性质的灵活运用
（2） 与（ 的区别
❑√a2 ❑√a） 2
难点：
（1）含的字母 的化简
❑√a2
（2）非负性的综合应用
知识点1：二次根式的乘法法则
1.二次根式的乘法法则：
（二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变）
2.二次根式的乘法法则的推广
（1）（2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式
乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。
3.二次根式的乘法法则的逆用
（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）
4.二次根式的乘法法则的逆用的推广
【题型1 二次根式的乘法运算】
【典例1】计算：
√1 √1
(1)❑√3×❑√5； (2)❑ ×❑√27； (3)❑√10×❑√7； (4)❑ ×❑√128．
3 2
√ 9
【变式1】计算：❑√5×❑ ；
20
【变式2】计算：
(1)❑√12×❑√3． (2)❑√1000×❑√0.1
√3 √2
(3)❑ ×❑ ． (4)❑√24×❑√3．
2 3
【变式3】计算
3 1
（1） ❑√20×(−❑√15)×(− ❑√27) （2）
2 31
2❑√6xy⋅ ❑√32x y2 (x≥0,y≥0)
4
知识点2：二次根式的除法法则
1.二次根式的除法法则
（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）
2.二次根式的除法法则的推广
注意：
（1）a≥0，b＞0时， 才有意义；
（2）如果被开方数时带分数，应先化成假分数
【题型2 二次根式的除法运算】
【典例2】计算：
❑√18 ❑√15÷❑√5
(1) ． (2) ．
2❑√2 ❑√3
【变式1】化去下列各式分母中的根号：
❑√7 2 3
(1) (2) (3)
(x>0)
(4)
❑√2 ❑√18 ❑√6x2
(a>0,b>0)
❑√2a2b
【变式2】计算：
√x
(1)❑√27a4÷❑√3a2 (a>0)； (2)4❑√6x3÷2❑ (x>0)．
3
【变式3】计算：
❑√40 √ 1 √ 1
(1) ； (2)❑4 ÷❑2 ； (3)6❑√72÷(−3❑√6)．
❑√10 2 4
【题型3 二次根式的乘除法运算】
【典例3】计算：
(1) √1 2 √ 2． (2) √2 ( 1 ) 1 √2．
3❑√45÷❑ × ❑2 3❑ × − ❑√15 ÷ ❑
5 3 3 3 8 2 5
【变式1】计算：
(1)4❑√15×2❑√3÷❑√5． (2)❑√7÷3❑√3×2❑√3÷3❑√7．
【变式2】计算：1 ❑√x2y× ( − 1 ❑ √ y2) ÷ ( − 1 ❑√x2y )
3 4 x 6【变式3】计算：2 ❑√ab2× ( − 3 ❑√a3b ) ÷3❑ √b (b>0)
b 2 a
知识点3：最简二次根式
1. 最简二次根式的概念
（1）被开方数不含分母
（2）被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式
2. 化简二次根式的一般方法
方法 举例
将被开方数中能开得尽得因数或因式进行
开方
若被开方数中含有带
分数，先将被开方数
化成假分数
若被开方数中含有小
数，先将小数化成分
数
化去根号下的分
母
若被开方数时分式，
先将分式分母化成能
转化为平方的形式，
再进行开方运算
(a＞0，b＞0，c＞0）
被开方数时多项式的要先因式分解
（x≥0，y≥0）
3.分母有理化
（1）分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。
方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的
根号。【题型4 最简二次根式的判定】
【典例4】下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
√1
A．❑ B．❑√9a2 C．❑√m3+m5 D．❑√x2+ y2
3
【变式1】下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）．
√1
A．❑ B．❑√27 C．❑√5 D．√32
4
【变式2】下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
√1
A．❑√0.5 B．❑√24 C．❑ D．❑√13
3
√1
【变式3】下列式子：①√37，②❑ ，③❑√9，④❑√0.5，⑤❑√x2+4，⑥❑√a2+a3b，其中最
5
简二次根式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型5 化为最简的二次根式】
【典例5】化简：
√1 1
(1)❑√32； (2)❑ (3)❑√0.5； (4) ．
3 ❑√5
【变式1】化简：
√1 √9
(1)❑√0.5； (2)❑ ； (3)❑√4.5； (4)❑ ．
3 5
【变式2】化简：
√ 1
(1)❑√72； (2)❑√780； (3)❑√375； (4)❑ ；
18√50 √32
(5)❑ ； (6)❑ ．
16 45
【变式3】化简：
√7 √8
(1)❑√12； (2)❑√75； (3)❑ ； (4)❑ ．
4 9
【题型6 已知最简二次根式求参数】
【典例6】已知最简二次根式❑√2x−3与❑√5可以合并，则x的值是 ．
【变式1】若❑√7与最简二次根式❑√a+2是同类二次根式，则a= ．
【变式2】若最简二次根式❑√a+1和❑√8乘积是有理数，则a= ．
【变式3】若❑√2a−4是最简二次根式，则整数a的最小值为 ．
1．下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
❑√0.3 ❑√x+ y3 ❑√24 ❑√x y3
2．计算
(3❑√2) 2
的结果是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．36
3．计算❑√2×❑√6的值为（ ）
A．2❑√2 B．2❑√3 C．3❑√2 D．2❑√6
4．若❑√2=a，❑√20=b，则❑√0.016=（ ）
a3b 1
A．ab B． C．10ab D． ab
100 10
5．化简：（1）❑√16=
（2）❑√12÷❑√3=
6．交警通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的公式是v=16❑√df．
其中v（单位：km/h）表示车速，d（单位：m）表示刹车后车轮滑过的距离，f表示摩擦因数．在某次交通事故中，测得d=10m，f =0.8．则汽车的车速是 km/h．
（结果保留根号）
7．请写出一个正整数m的值使得❑√2m是最简二次根式，m= ．
8．化简：
√2
(1)❑√4×9； (2)❑ ．
5
9．化简：
√4 √ 3 √64×169
(1)❑√49×7； (2)❑ ×0.25； (3)❑ ； (4)❑ ．
9 64 144
10．计算：
(1)√2 ； (2) ❑√9 √54 √3．
❑ ×❑√12 ÷❑ ×❑
3 ❑√12 12 6
11．阅读下面的材料，并完成相应任务．
在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积
的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的
方法进行了验证：
小聪：❑√4×25=❑√100=10，❑√4×❑√25=2×5=10，所以❑√4×25=❑√4×❑√25
小明：
(❑√4×25) 2=4×25=100，(❑√4×❑√25) 2=(2×5) 2=102=100．
这就说明❑√4×25和❑√4×❑√25都是4×25的算术平方根，而4×25的算术平方根只有
一个，所以❑√4×25=❑√4×❑√25
任务：(1)猜想：当a≥0，b≥0时，❑√a×b和❑√a×❑√b之间存在怎样的关系？
(2)运用以上结论，计算：❑√16×36．
(3)解决实际问题：已知一个长方形的长为❑√32，宽为❑√8，求这个长方形的面积．
