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第11 章三角形 培优卷
一、单选题
1. ( 3分 ) 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. 2，2，4 B. 3，4，5 C. 1，4，5 D. 2，5，9
【答案】 B
【考点】三角形三边关系
【解析】【解答】A.2+2＝4，故不能；
B.3+4>5，故可以；
C.1+4=5，故不能；
D.2+5<9，故不能．
故答案为：B．
【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，对每个选项进行判断．
2. ( 3分 ) 若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形是（ ）
A. 锐角三角形 B. 等边三角形
C. 钝角三角形 D. 直角三
角形
【答案】 D
【考点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设一份为k°，则三个内角的度数分别为k°，2k°，3k°．
则k°+2k°+3k°=180°，
解得k°=30°，
∴k°=30°，2k°=60°，3k°=90°，
所以这个三角形是直角三角形．
故选D．
【分析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为k°，根据三角形的内角和等于180°列方程求三个
内角的度数，从而确定三角形的形状．
3. ( 3分 ) 将一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，则∠α的度数为( )
1A. 75° B. 105° C. 135° D. 165°
【答案】 D
【考点】三角形的外角性质
【解析】【解答】由三角形的外角性质得，∠1=45°+90°=135°，∠α=∠1+30°=135°+30°=165°.故答案为：D.
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠1，再求出∠α即可.
4. ( 3分 ) 如图，在 ΔABC 中， ∠C=90° ．若 BD//AE ， ∠CAE=70° ，则 ∠DBC 的度数
是（ ）
A. 10° B. 15° C. 20° D. 25°
【答案】 C
【考点】平行线的性质，三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵在△ACB中，∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵BD∥AE ，
∴∠DBC+∠CBA+∠CAB+∠CAE=180°，
∴∠CAE=180°-90°-70°=20°．
故答案为：C ．
【分析】根据三角形内角和求出∠CAB+∠CBA=90°，利用平行线的性质得出∠DBC+∠CBA+
∠CAB+∠CAE=180°，据此即可求出结论.
5. ( 3分 ) 如图，四边形ABCD 中，AB=AD ， 点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，若∠BAD= α
，则∠ACB的度数为（ ）
21 1
A. α B. 90°- α C. 45° D. α-45°
2 2
【答案】 B
【考点】三角形的外角性质，多边形内角与外角
【解析】【解答】如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E ．
∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，∴AC垂直平分BB'，∴AB=AB'，∴∠BAC=∠B'AC ．
∵AB=AD ， ∴AD=AB'．
1 1
又∵AE⊥CD ， ∴∠DAE=∠B'AE ， ∴∠CAE= ∠BAD= α ．
2 2
1
又∵∠AEB'=∠AOB'=90°，∴四边形AOB'E中，∠EB'O=180°﹣ α ，∴∠ACB'=∠EB'O﹣∠COB'=180°﹣
2
1 1 1
α ﹣90°=90°﹣ α ，∴∠ACB=∠ACB'=90°﹣ α ．
2 2 2
故答案为：B．
【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E ， 依据∠BAC=∠B'AC ， ∠DAE=∠B'AE ， 即可得出
1 1
∠CAE= ∠BAD= α ，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB=∠ACB'=90°﹣
2 2
1
α ．
2
6. ( 3分 ) 一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
3【答案】 B
【考点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
（n﹣2）×180°=2×360，
解得：n=6．
即这个多边形为六边形．
故选：B．
【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360=720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）
•180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值．
7. ( 3分 ) 如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一
种数量关系始终保持不变.请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A. ∠A=∠1+∠2 B. 2∠A=∠1+∠2 C. 3∠A=2∠1+∠2 D. 3∠A=2（∠1+∠2）
【答案】 B
【考点】三角形内角和定理，多边形内角与外角，翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】 解：如图，连接DE，
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°；
∴∠A’+∠B+∠C=180°①；
4在△A'DE中∠A‘+∠A’DE+∠A‘ED=180°②；
在四边形BCDE中∠B+∠C+∠1+∠2+∠A'DE+∠A'ED=360°③；
①+②﹣③得2∠A’=∠1+∠2，
即2∠A=∠1+∠2.
故答案为：B.
．
【分析】在△ABC、四边形BCDE和△A'D中，分别根据内角和列式，三式联立再结合折叠的性质可得
2∠A’=∠1+∠2，则知结果.
8. ( 3分 ) 将一副三角板按如图放置，有下列结论：①若∠2=30°，则AC∥DE；
②∠BAE+∠CAD=180°；③若BC∥AD，则∠2=30°；④若∠CAD=150°，则
∠4=∠C.其中正确的是（ ）
A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④
【答案】 A
【考点】平行线的判定与性质，三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠2=30°，∠CAB=90°
∴∠1=60°
∵∠E=60°
∴∠1=∠E
∴AC∥DE，即①正确；
∵∠CAB=∠DAE=90°
∴∠BAE+∠CAD=90°-∠1+90°+∠1=180°，即②正确；
∵BC∥AD，∠B=45°
∴∠3=∠B=45°
∵∠2+∠3=∠DAE=90°
∴∠2=45°，即③错误
∵∠CAD=150°，∠BAE+∠CAD=180°
5∴∠BAE=30°
∵∠E=60°
∴∠BOE=∠BAE+∠E=90°
∴∠4+∠B=90°
∵∠B=45°
∴∠4=45°
∵∠C=45°
∴∠4=∠C，即④正确
故答案为：A.
【分析】根据平行线的性质和判定、三角形的内角和定理逐个判断得到答案即可。
9. ( 3分 ) 如图，在平面直角坐标系中，点 A ， A ， A ，…， A 在 x 轴上，点 B ， B ，
1 2 3 n 1 2
√3
…， B 在直线 y= x 上，若点 A 的坐标为 (1,0) ，且 △A B A ， △A B A ，…，
n 3 1 1 1 2 2 2 3
△A B A 都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为 S ， S ，．．，
n n n+1 1 2
S ，则 S 可表示为（ ）
n n
A. 22n√3 B. 22n−1√3 C. 22n−2√3 D. 22n−3√3
【答案】 D
【考点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵ △A B A ， △A B A ，…， △A B A 都是等边三角形，
1 1 2 2 2 3 n n n+1
∴ A B //A B //A B //⋅⋅⋅//A B ， B A //B A //B A //⋅⋅⋅//B A ，
1 1 2 2 3 3 n n 1 2 2 3 3 4 n n+1
√3
∵直线 y= x 与 x 轴的成角 ∠B OA =30∘ ， ∠OA B =120∘ ，
3 1 1 1 1
∴ ∠OB A =30° ，
1 1
∴ OA =A B ，
1 1 1
∵ A (1,0) ，
1
∴ A B =1 ，
1 1
6同理 ，…， ，
∠OB A =30∘ ∠OB A =30∘
2 2 n n
∴ ， ，…， ，
B A =OA =2 B A =4 B A =2n−1
2 2 2 3 3 n n
易得 ，…， ，
∠OB A =90∘ ∠OB A =90∘
1 2 n n+1
∴ ， ，…， ，
B B =√3 B B =2√3 B B =2n√3
1 2 2 3 n n+1
1 √3 √3 1 1
∴ S = ×1× = ， S = ×2×√3=√3 ，…， S = ×2n−1×2n-2√3=22n−4√3 ；
1 2 2 4 2 2 n 2
故答案为：D．
【分析】先求出 ，…， ，再根据三角形的面积公式计算求解即可。
∠OB A =30∘ ∠OB A =30∘
2 2 n n
10. ( 3分 ) 如图，在纸片 ΔABC 中， AB=AC=12，∠B=30° ，折叠纸片，使点 B 落在 AC 的中
点 D 处，折痕为 EF ，则 ΔDEF 的面积为（ ）
49√3 56√3
A. B. 10√3 C. 11√3 D.
5 5
【答案】 A
【考点】三角形的面积，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形
【解析】【解答】解：过点D作AB的垂线，垂足为G ，
∵∠BAC=120°，
∴∠GAC=60°，
1 1 √3
∴DG=ADsin∠GAC= AC·sin∠GAC= ×12× = 3√3 ，
2 2 2
71 1 1
AG=ADcos∠GAC= AC·cos∠GAC= ×12× =3，
2 2 2
设AE=x ， 则BE=12-x=DE ，
在Rt△DGE中， DE2=GE2+GD2 ，
即 ，
(12−x) 2=(x+3) 2+27
18
解得：x= ，
5
1 1 18 27
∴S ADE= DE×AE= × ×3√3 = √3 ，
△
2 2 5 5
过D作CF的垂线，垂足为H ， 过A作BC的垂线，垂足为N ，
1
∴AN= AB=6，BN= √122−62=6√3 ，
2
∴BC= 12√3 ，
设DF=y ，
则CF=BC-DE= 2×AB⋅cos∠B−y = 12√3−y ，
1 √3
DH=CD·sin∠C= b× =3 ，CH=CD·cos∠C= 6× =3√3 ，
2 2
则有 ，即 ，
DH2+FH2=DF2 32+(12√3−y−3√3) 2= y2
14√3
解得： y= ，
3
1 1 14√3
则S DFC= DH⋅CF= ×3×(12√3− )=11√3 ，
△ 2 2 3
1
∴S DEF= ×（S ABC-S DEA-S DFC）
△ △ △ △
2
1 1
= ×( ⋅BC⋅AN−S −S )
2 2 △DEA △DFC
1 1 27
= ×( ×12√3×6− √3−11√3)
2 2 5
49
= √3
5
故选A．
【分析】过点D作AB的垂线，垂足为G ， 过D作CF的垂线，垂足为H ， 过A作BC的垂线，垂足
81
为N ， 分别求出△DEA和△DFC的面积，利用S DEF= ×（S ABC-S DEA-S DFC）可得结果．
△ 2 △ △ △
二、填空题
11. ( 4分 ) 已知一个多边形的内角和等于900°，则这个多边形的边数是________．
【答案】 7
【考点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设所求正n边形边数为n，
则（n﹣2）•180°=900°，
解得n=7．
故答案为：7．
【分析】根据多边形的内角和计算公式作答．
12. ( 4分 ) 一个正多边形的每个内角等于 150∘ ，则它的边数是________.
【答案】 十二
【考点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵一个正多边形的每个内角为150°，
∴它的外角为30°，
360°÷30°＝12，
故答案为：十二.
【分析】根据多边形的每一个外角与每一个相邻的内角互补算出多边形的每一个外角的度数，由于任何
多边形的外角和都是360°，故用360°除以每一个外角的度数即可算出该多边形的边数。
13. ( 4分 ) 四边形ABCD中， ∠A=100° ， ∠C=70° ，点M、N分别在AB、BC上，将 △BMN
沿MN翻折，得 △FMN .若 MF//AD ， FN//DC ，则 ∠D= ________°；
【答案】 95
【考点】三角形内角和定理，多边形内角与外角，翻折变换（折叠问题）
9【解析】【解答】解：∵MF∥AD，FN∥DC，∠A＝100°，∠C＝70°，
∴∠BMF＝∠A＝100°，∠FNB＝∠C＝70°，
∵将△BMN沿MN翻折，得△FMN，
∴∠FMN＝∠BMN＝50°，∠FNM＝∠MNB＝35°，
∴∠F＝∠B＝180°﹣50°﹣35°＝95°，
∴∠D＝360°﹣100°﹣70°﹣95°＝95°.
故答案为：95.
【分析】根据平行线的性质可得∠BMF和∠FNB，根据折叠的性质可得∠FMN＝∠BMN，∠FNM＝
∠MNB，再利用三角形的内角和即可求出∠B的度数，然后即可根据四边形的内角和求出∠D的度数.
14. ( 4分 ) 已知一个多边形的每个外角都是30°，则这个多边形为________边形
【答案】 12
【考点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
则n=360°÷30°=12.
故答案为：12.
【分析】由已知一个多边形的每个外角都是30°，用360°除以每一个外角的度数即可。
15. ( 4分 ) 五边形的内角和等于________ 度．
【答案】 540
【考点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：五边形的内角和=（5﹣2）•180°=540°．
故答案为：540．
【分析】直接根据n边形的内角和=（n﹣2）•180°进行计算即可．
16. ( 4分 ) 如图，AD是△ABC的高，AE，BF分别平分∠BAC、∠ABC，且相交于点G，AD与BF相交
于点H，∠C=70°，∠AEC=85°，则∠AHB=________．
【答案】 120°
【考点】三角形的角平分线、中线和高，三角形的外角性质
10【解析】【解答】解： ∵AD是△ABC的高，∠C=70°，∠AEC=85°，
∴∠EAD=20°，∠CAD=5°，
∴∠CAE=25°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=50°，
∴∠ABC=180°﹣50°﹣70°=60°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠CBG=30°，
∴∠AHB=∠CBG+∠BDH=30°+90°=120°，
故答案为：120°
【分析】根据AD是△ABC的高和已知角的度数，可得到∠CAE=25°，根据AE平分∠BAC，可得
∠BAC=50°，进而得出∠ABC的度数，依据BF平分∠ABC，可得∠CBG=30°，最后根据三角形外角性质，
可得到∠AHB=∠CBG+∠BDH即可求得答案.
17. ( 4分 ) 如图， D,E,F 分别是 ΔABC 的边 AB,BC,AC 上的中点，连接 AE,BF,CD 交于点
G， AG:≥=2:1 ， ΔABC 的面积为6，设 ΔBDG 的面积为 S ， ΔCGF 的面积为 S ，则
1 2
S +S = ________．
1 2
【答案】 2
【考点】三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积
【解析】【解答】解：∵D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC上的中点，
∴AD=DB，AF=CF，BE=EC，
∴△BDG的面积=△ADG的面积，△CFG的面积=△AGF的面积，△BEG的面积=△ECG的面积．
∵AG=2GE，
∴△ABG的面积=2△BEG的面积，△ACG的面积=2△ECG的面积，
∴△ADG，△BDG，△BEG，△AFG，△FCG，△ECG的面积相等，
1
∴S+S = •S =2，
1 2 △ABC
3
故答案为：2．
11【分析】借助三角形中线平分三角形的面积和等高的三角形面积之比等于底之比可求得图中六个小三角形
（△ADG，△BDG，△BEG，△AFG，△FCG，△ECG）面积相等，由此可得解．
18. ( 4分 ) 过四边形的一个顶点可以画一条对角线，且把四边形分成两个三角形；过五边形的一个顶点可
以画两条对角线，且把五边形分成三个三角形；......猜想：过n边形的一个顶点可以画________条对角线，
且把n边形分成 ________个三角形.
【答案】 (n−3)；(n−2)
【考点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成2个三角形；从五边
形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将五边形分成3个三角形；从六边形的一个顶点出发，可以引3
条对角线，将六边形分成4个三角形；从n边形的一个顶点出发，可以引 (n−3) 条对角线，将n边形分
成 (n−2) 个三角形
故答案为： (n−3) ， (n−2) .
【分析】根据四边形可以 4−3=1 条对角线，被分成了4-2=2个三角形，五边形可以引 5−3=2 条对角
线，被分成了5-2=3个三角形，依此类推，n边形可以引 (n−3) 条对角线，被分成 (n−2) 个三角形.
三、作图题
19. ( 10分 ) 如图所示，已知锐角∠AOB及一点P．
（1）过点P作OA、OB的垂线，垂足分别是M、N；（只作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）猜想∠MPN与∠AOB之间的关系，并证明．
【答案】 （1）解：过点P作OA、OB的垂线PM、PN如图所示；
12（2）猜想：∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB．
理由：左图中，在四边形PMON中，∵∠PMO=∠PNO=90°，
∴∠MPN+∠AOB=180°．
右图中，∵∠PJM=∠OJN，∠AMJ=∠JNO=90°，
∴∠MPN=∠AOB．
【考点】余角、补角及其性质，多边形内角与外角，作图-垂线
【解析】【分析】(1)根据垂线的定义画出图形即可解决问题；(2)根据四边形内角和为360º或“8字型”性
质即可解决问题.
20. ( 5分 ) 在图中分别画出三角形BC边上的高．
【答案】 解：如图所示：
【考点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】根据三角形BC边上的高即为过点A向BC作垂线，进而得出答案．
四、解答题
21. ( 7分 ) 如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A
的度数．
【答案】 解：∵DE=EB
13∴设∠BDE=∠ABD=x，
∴∠AED=∠BDE+∠ABD=2x，
∵AD=DE，
∴∠AED=∠A=2x，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x，
∵BD=BC，
∴∠C=∠BDC=3x，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=3x，
在△ABC中，3x+3x+2x=180°，
解得x=22.5°，
∴∠A=2x=22.5°×2=45°．
【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质
【解析】【分析】根据同一个三角形中等边对等角的性质，设∠ABD=x，结合三角形外角的性质，则可用
x的代数式表示∠A、∠ABC、∠C，再在△ABC中，运用三角形的内角和为180°，可求∠A的度数．
22. ( 7分 ) 已知：如图所示，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数．
【答案】 解：在△ABC中，AB=AD=DC，
∵AB=AD，在三角形ABD中，
1
∠B=∠ADB=（180°﹣26°）× =77°，
2
又∵AD=DC，在三角形ADC中，
141 1
∴∠C= ∠ADB =77°× =38.5°
2 2
【考点】三角形内角和定理
【解析】【分析】由题意，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°根据等腰三角形的性质可以求出底角，
再根据三角形内角与外角的关系即可求出内角∠C．
23. ( 7分 ) 如图，AB∥CD，∠ABE＝60°，∠D＝50°，求∠E的度数．
【答案】 解：因为AB∥CD，
所以∠CFE＝∠ABE＝60°．
因为∠D＝50°，
所以∠E＝∠CFE－∠D＝60°－50°＝10°．
【考点】平行线的性质，三角形的外角性质
【解析】【分析】根据平行线的性质（两直线平行，同位角相等）可得出∠CFE=∠ABD，再根据三角形的
外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得出∠E=∠CFE-∠D，代入数值计算即可.
24. ( 7分 ) 如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．若△ABC的面积为40，BD=5，则△BDE
中BD边上的高为多少？
【答案】 解：∵AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，
1 1
∴S ＝ S ， S ＝ S ，
△ABD
2
△ABC △BDE
2
△ABD
1 1 1
∴S ＝ × S ＝ S ，
△BDE
2 2
△ABC
4
△ABC
∵△ABC的面积为40，
151
∴S ＝ ×40＝10，
△BDE
4
设△BDE中BD边上的高为x，
∵BD＝5，
1
∴ ×5•x＝10，
2
解得x＝4，
故△BDE中BD边上的高为4
【考点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】由D为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，再由等底同高的三角形面积相等，得到
△BDE的面积=△ABC的面积÷4；求出△BDE中BD边上的高.
25. ( 15分 ) 如图1，AB与CD相交于点O，若∠D=38°，∠B=28°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP
相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试求：
（1）∠P的度数；
1 1
（2）设∠D=α，∠B=β，∠DAP= ∠DAB，∠DCP= ∠DCB，其他条件不变，如图2，试问∠P与
3 3
∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系（用α、β表示∠P），直接写出结论．
【答案】 （1）解：根据三角形的内角和定理，∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，
∴∠DAP-∠DCP=∠P-∠D，
∠DAO+∠D=∠BCO+∠B，
∴∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，
∵AP、CP分别为∠DAB和∠BCD的平分线，
∴∠DAO=2∠DAP，∠BCO=2∠DCP，
∴∠DAO-∠BCO=2（∠DAP-∠DCP），
∴∠B-∠D=2（∠P-∠D），
1
整理得，∠P= （∠B+∠D），
2
16∵∠D=38°，∠B=28°，
1
∴∠P= （38°+28°）=33°
2
（2）解：根据三角形的内角和定理，∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，
∴∠DAP-∠DCP=∠P-∠D，
∠DAO+∠D=∠BCO+∠B，
∴∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，
1 1
∵∠DAP= ∠DAB，∠DCP= ∠DCB，
3 3
∴∠DAO-∠BCO=3（∠DAP-∠DCP），
∴∠B-∠D=3（∠P-∠D），
1
整理得，∠P= （∠B+2∠D），
3
∵∠D=α，∠B=β，
1
∴∠P= （β+2α）
3
【考点】三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）先根据三角形的内角和可得∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，从而推导得出∠DAO-
∠BCO=∠B-∠D，然后根据角的关系进行整理可得∠P的度数；
（2）由（1）可得∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，利用已知角的关系整理可得∠P与α、β的关系.
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