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全等三角形 培优
一、单选题
1. ( 3分 ) 如图，若BC=EC，∠BCE=∠ACD，则添加不能使△ABC≌△DBC的条件是（ ）
A. AB=DE B. ∠B=∠E C. AC=DC D. ∠A=∠D
【答案】 A
【考点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵∠BCE=∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，
∴∠ACB=∠DCE，
A、根据BC=CE，AB=DE，∠ACB=∠DCE不能推出△ABC≌△DEC，故本选项正确；
B、因为∠ACB=∠DCE，∠B=∠E，BC=CE，所以符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DEC，故本选项错误；
C、因为BC=CE，∠ACB=∠DCE，AC=CD，所以符合SAS定理，即能推出△ABC≌△DEC，故本选项错误；
D、因为∠A=∠D，∠ACB=∠DCE，BC=CE，所以符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DEC，故本选项错
误；
故答案为：A．
【分析】已知条件中已经有一边一角，需要证明全等，再可以添加角，也可以添加边，边的话只能添加
AC=DC，角的话另两组角随便添加即可。
2. ( 3分 ) 如图,某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三块,现在要到玻璃店配一块与原来完全相同的玻璃,
最省事的方法是( )
1A. 带①和②去 B. 只带②
去 C. 只带③
去 D. 都带去
【答案】 C
【考点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：①仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形；
②仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形；
③不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，符合ASA判定.故C选项正确.
故答案为：C.
【分析】首先确定①②③的玻璃片中含有原三角形的哪些条件，然后根据这三小块玻璃中的条件，利用
全等三角形的判定方法进行解答即可.
3. ( 3分 ) 如图，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列结论：①DE＝
DF；②BD＝CD；③AE＝AF；④∠ADE＝∠ADF，其中正确结论的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】 C
【考点】全等三角形的判定与性质，角平分线的性质
【解析】【解答】∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵AD=AD
∴Rt△ADE≌Rt△ADF，（HL）
2∴AE＝AF，∠ADE＝∠ADF.
故①③④正确;
∵只有等腰三角形顶角的平分线才是底边的中线，
∴②错误.
故答案为：C.
【分析】由角平分线的性质可得DE=DF，用HL定理可证△ADF≌△ADE，由全等三角形的性质可得
AE=AF，∠ADE=∠ADF.
4. ( 3分 ) 下列说法正确的是（ ）
A. 五边形的内角和是720°
B. 有两边相等的两个直角三角形全等
m 1−x
C. 若关于 x 的方程 = 有增根，则 m=1
x−2 x−2
D. 若关于 x 的不等式 x+5<2a 恰有2个正整数解，则 a 的最大值是4
【答案】 D
【考点】分式方程的增根，一元一次不等式的特殊解，直角三角形全等的判定，多边形内角与外角
【解析】【解答】五边形的内角和 =(5−2)⋅180°=540 ，所以，A错误；
B选项所述相等的两边中，可能出现一个直角三角形的直角边和另一个三角形
的斜边相等的情形，这种情况下两三角形不全等，所以，B错误；
m 1−x
选项C中的方程 = 的增根只能是 x=2 ，且 x=2 应是整式方程 m=1−x 的根，由此可得，
x−2 x−2
m=−1 .故C错误；
故答案为：D.
【分析】A、根据多边形的内角和（n-2）·180°进行计算，然后判断即可.
B、斜边与一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，据此判断即可.
C、根据分式方程的增根定义，求出m的值，然后判断即可.
D、先求出不等式的解集，根据恰有2个正整数解，求出a的范围，从而求出a的最大值.
5. ( 3分 ) 如图，已知∠1＝∠2，要使△ABD≌△ACD，需从下列条件中增加一个，错误的选法是
（ ）
3A. ∠ADB＝∠ADC B. ∠B＝∠C C. AB＝AC D. DB＝DC
【答案】 D
【考点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A符合题意；理由：
在△ABD和△ACD中，
∵∠1=∠2，AD=AD，∠ADB=∠ADC，
∴△ABD≌△ACD（ASA）；
B符合题意；理由：
在△ABD和△ACD中，
∵∠1=∠2，∠B=∠C，AD=AD
∴△ABD≌△ACD（AAS）；
C符合题意；理由：
在△ABD和△ACD中，
∵AB=AC，∠1=∠2，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SAS）；
D不符合题意，由这些条件不能判定三角形全等；
故答案为：D．
【分析】由全等三角形的判定方法ASA证出△ABD≌△ACD，得出A符合题意；由全等三角形的判定方法
AAS证出△ABD≌△ACD，得出B符合题意；由全等三角形的判定方法SAS证出△ABD≌△ACD，得出C符
合题意．由全等三角形的判定方法得出D不符合题意；
6. ( 3分 ) 如图，AD是△ABC的角平分线，若AB=10，AC=8，则S ：S =（ ）
△ABD △ADC
4A. 1：1 B. 4：5 C. 5：4 D. 16：25
【答案】 C
【考点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴DE=DF，
1 1
∴S ：S = AB•DE： AC•DF=AB：AC，
△ABD △ADC
2 2
∵AB=10，AC=8，
∴S ：S =10：8=5：4．
△ABD △ADC
故选C．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得
DE=DF，再根据等高的三角形的面积等于底边的比解答．
7. ( 3分 ) 已知：如图所示，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（ ）
5A. ∠1=∠2 B. ∠A=∠2 C. △ABC≌△CED D. ∠A与∠D互为余角
【答案】 A
【考点】三角形全等及其性质，三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠B=∠E=90°，
∴∠2+∠D=90°，
∴∠1=∠D，
∵AC=CD，
∴△ABC≌△CED（AAS），故C正确，
∴∠A=∠2，故B正确，
∴∠A+∠D=90°，故D正确，
∴A选项错误；
故答案为：A.
【分析】根据垂直的定义可得∠1+∠2=90°，∠2+∠D=90°，据此判断A；根据同角的余角相等，可得
∠1=∠D，根据AAS可证△ABC≌△CED，可得∠A=∠2，从而可得∠A+∠D=90°据此判断B，C，D；
8. ( 3分 ) 已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P
从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值
为（ ）秒时．△ABP和△DCE全等．
A. 1 B. 1或3 C. 1或7 D. 3或7
【答案】 C
【考点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：因为AB=CD，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，
由题意得：BP=2t=2，
所以t=1，
6因为AB=CD，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，
由题意得：AP=16﹣2t=2，
解得t=7．
所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．
故选C．
【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2和AP=16﹣2t=2即可求得．
9. ( 3分 ) 如图 AD 是 △ABC 的角平分线， DE⊥AB 于E，点F，G分别是 AB ， AC 上的点，
且 DF=DG ， △ADG 与 △≝¿ 的面积分别是10和3，则 △ADF 的面积是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】 A
【考点】三角形的面积，直角三角形全等的判定（HL），角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC
∴DF=DH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
DE＝DG
{ ，
DF＝DH
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴S =S =3，
△EDF △GDH
同理Rt△ADF≌Rt△ADH，
∴S =S = S -S =10-3=7
△ADF △ADH △ADG △GDH
7∴S = S −S =7-3=4 ，
△AED △ADF △EDF
故答案为：A.
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，然后利用“HL”
证明Rt△DEF和Rt△DGH全等，根据全等三角形的面积相等可得S =S ， 然后根据S =S
△EDF △GDH △ADF △ADH
列出方程求解即可.
√55
10. ( 3分 ) 如图，已知直线AB：y＝ x+√55 分别交x轴、y轴于点B、A两点，C（3，0），D、E
3
分别为线段AO和线段AC上一动点，BE交y轴于点H，且AD＝CE．当BD+BE的值最小时，则H点的
坐标为（ ）
√55
A. (0, ) B. （0，5）
2
C. （0，4） D. (0,√55)
【答案】 C
【考点】三角形全等及其性质，三角形全等的判定
【解析】【解答】解：由题意A（0， √55 ），B（0﹣3，0），C（3，0），
∴AB＝AC＝8，
取点F（3，8），连接CF，EF，BF．
∵C（3，0），
∴CF∥OA，
∴∠ECF＝∠CAO，
8∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴∠CAO＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠ECF，
∵CF＝AB＝8，AD＝EC，
∴△ECF≌△DAB（SAS），
∴BD＝EF，
∴BD+BE＝BE+EF，
∵BE+EF≥BF，
∴BD+BE的最小值为线段BF的长，
∴当B，E，F共线时，BD+BE的值最小，
4
∵直线BF的解析式为：y＝ x+4，
3
∴H（0，4），
∴当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为（0，4），
故答案为：C．
【分析】根据题意，首先证明AB=AC=8，取点F（3,8），证明得到△ECF≌△DAB，即可得到BD=EF，
即BD+BE的最小值为BF的长度，得到答案即可。
二、填空题
11. ( 4分 ) 如图，∠1+∠2+∠3+∠4=________度．
【答案】 360
【考点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图：连接AC
9∵∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，∠DAC+∠ACD+∠ADC=180°，
∴∠BAC+∠ACB+∠ABC+∠DAC+∠ACD+∠ADC=360°，
即∠1+∠2+∠3+∠4=360°．
故答案为:360.
【分析】连接∠2 和∠4 的顶点，可得两个三角形，根据三角形的内角和定理即可求出答案．
12. ( 4分 ) 已知△ABC≌△DEF，∠A=80°，∠C=75°则∠E=________°
【答案】 25°
【考点】三角形内角和定理，三角形全等及其性质
【解析】【解答】∵△ABC≌△DEF，∠A=80°，∠C=75°，
∴∠D=∠A=80°，∠F=∠C=75°，
∴∠E=180°-∠D-∠F=25°．
【分析】根据△ABC≌△DEF，可得∠D=∠A，∠F=∠C，则∠E=180°-∠D-∠F可求解。
13. ( 4分 ) 如图，在 ΔABC 中， ∠C=90° ， AC=BC ， BD 平分 ∠ABC 交 AC 于点 D ，
DE⊥AB 于点 E .若 AB=10cm ，则 ΔADE 的周长为________cm.
【答案】 10
【考点】三角形全等及其性质，三角形全等的判定
【解析】【解答】∵BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥AB于E，
∴∠DBE=∠DBC，∠BED=∠C=90°，BD=BD，
∴△BDE≌△BDC（AAS），
∴DE=DC，BE=BC，
∴△ADE的周长=DE+DA+AE=DC+DA+AE=CA+AE=BC+AE=BE+AE=AB=10cm．
10故答案为：10.
【分析】依题意可证△BDE≌△BDC，则有DE=DC，BE=BC，故
DE+DA+AE=DC+DA+AE=CA+AE=BC+AE=BE+AE=AB，再根据AB长即可得出结论．
14. ( 4分 ) 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，
DE= √3 ，则BC=________．
【答案】 3 √3
【考点】角平分线的性质，含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE= √3 ，
又∵直角△BDE中，∠B=30°，
∴BD=2DE=2 √3 ，
∴BC=CD+BD= √3 +2 √3 =3 √3 ．
故答案为：3 √3 ．
【分析】根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角△BDE中，根据30°的锐角所对的直角边等
于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得．
15. ( 4分 ) 如图，△ABC≌△ADE，∠EAC=35°，则∠BAD=________°．
【答案】 35
【考点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC，
∵∠EAC=35°，
∴∠BAD=35°，
11故答案为：35．
【分析】根据全等三角形性质得出∠BAC=∠DAE，求出∠BAD=∠EAC，代入求出即可．
16. ( 4分 ) 如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=________．
【答案】 120°
【考点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C=∠C′=24°，
∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=120°，
故答案为：120°．
【分析】根据全等三角形的性质求出∠C的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
17. ( 4分 ) 如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E ，
1
第二次操作，分别作∠ABE 和∠DCE 的平分线，交点为E ，
1 1 2
第三次操作，分别作∠ABE 和∠DCE 的平分线，交点为E ， …，
2 2 3
第n次操作，分别作∠ABE 和∠DCE 的平分线，交点为E ．
n﹣1 n﹣1 n
若∠E＝1度，那∠BEC等于________度。
n
【答案】 2n
【考点】角平分线的性质，探索数与式的规律，探索图形规律
【解析】【解答】解：如图①，过E作EF∥AB，
12∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B＝∠1，∠C＝∠2，
∵∠BEC＝∠1+∠2，
∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE；
如图②，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E ，
1
1 1 1
∴∠CE B＝∠ABE +∠DCE ＝ ∠ABE+ ∠DCE＝ ∠BEC．
1 1 1
2 2 2
∵∠ABE 和∠DCE 的平分线交点为E ，
1 1 2
1 1 1 1
∴∠BE C＝∠ABE +∠DCE ＝ ∠ABE + ∠DCE ＝ ∠CE B＝ ∠BEC；
2 2 2 1 1 1
2 2 2 4
如图②，∵∠ABE 和∠DCE 的平分线，交点为E ，
2 2 3
1 1 1 1
∴∠BE C＝∠ABE +∠DCE ＝ ∠ABE + ∠DCE ＝ ∠CE B＝ ∠BEC；
3 3 3 2 2 2
2 2 2 8
…
1
以此类推，∠E＝ ∠BEC．
n 2n
∴当∠E＝1度时，∠BEC等于2n度．
n
故答案为：2n ．
【分析】根据平行线的性质结合角平分线的性质，计算得到规律，利用规律求出答案即可。
18. ( 4分 ) 如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠B=∠C ,BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在
线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的
运动速度为________厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
13【答案】 4或6
【考点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：设点Q的速度为x，则运动t秒时，CQ=xt，P点的速度为4，则BC=16
∴BP=4t，PPC=（16-4t）
又∵AB=AC=24，点D为AB的中点
1
∴BD= AB=12
2
∵∠B=∠C
∴运动t秒时，△BPD与△CQP全等共有两种情况
①当△BPD≌△CQP时，
则有BD=CP，BP=CQ
即12=16-4t，4t=xt
即t=1
∴由4t=xt可知，x=4
②当△BPD≌△CPQ时，
则有BD=CQ，BP=CP
即12=xt，4t=16-4t
∴t=2，x=6
【分析】根据题意，设Q点的运动速度为x，根据其运动情况表示出线段的数量关系，根据三角形全等的
性质计算得到答案即可。
三、解答题
19. ( 7分 ) 已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=CD．求证：D在∠BAC的平分
线上．
14【答案】 证明：在△BDE和△CDF中，
∠BED=∠CFD=90∘
∵ { ∠BDE=∠CDF ，
BD=CD
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE=DF，
又∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴D在∠BAC的平分线上
【考点】全等三角形的判定与性质，角平分线的性质
【解析】【分析】首先根据已知条件易证△BDE≌△CDF（AAS），则DE=DF，再由角平分线性质的逆定
理可得D在∠BAC的平分线上．
20. ( 7分 ) 如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点E、F，DE=CF，AE=BF，求证：AC∥BD．
【答案】 证明：∵DE⊥AB，CF⊥AB，
∴∠DEB=∠AFC=90°，
∵AE=BF，
∴AF=BE，
在△DEB和△CFA中，
DE=CF
{∠DEB=∠AFC ，
AF=BE
△DEB≌△CFA，
∴∠A=∠B，
15∴AC∥DB．
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】欲证明AC∥BD，只要证明∠A=∠B，只要证明△DEB≌△CFA即可．
21. ( 8分 ) 如图1，已知点D在A上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M为BC的中点
（1）求证：△BMD为等腰直角三角形．
（2）将△ADE绕点A逆时针旋转45°，如图2中的“△BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明
理由．
（3）将△ADE绕点A任意旋转一定的角度，如图3中的“△BMD为等腰直角三角形”是否均成立？说明
理由．
【答案】 （1）证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠BAC=45°∠ADE=∠EBC=∠EDC=90°，
∵点M为BC的中点，
1 1
∴BM= EC，DM= EC，
2 2
∴BM=DM，BM=CM，DM=CM，
∴∠BCM=∠MBC，∠DCM=∠MDC，
∴∠BME=∠BCM+∠MBC=2∠BCE，
16同理∠DME=2∠ACM，
∴∠BMD=2∠BCM+2∠ACM=2∠BCA=2×45°=90°
∴△BMD是等腰直角三角形．
（2）解：如图2，△BDM是等腰直角三角形，
理由是：延长ED交AC于F，
∵△ADE和△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠EAD=45°，
∵AD⊥ED，
∴ED=DF，
∵M为EC中点，
∴EM=MC，
1
∴DM= FC，DM∥FC，
2
∴∠BDN=∠BND=∠BAC=45°，
∵ED⊥AB，BC⊥AB，
∴ED∥BC，
∴∠DEM=NCM，
在△EDM和△CNM中
{∠DEM=∠NCM
)
EM=CM ∴△EDM≌△CNM（ASA），
∠EMD=∠CMN
∴DM=MN，
∴BM⊥DN，
∴△BMD是等腰直角三角形．
（3）解： △BDM是等腰直角三角形，
17理由是：如图：过点C作CF∥ED，与DM的延长线交于点F，连接BF，
可证得△MDE≌△MFC，
∴DM=FM，DE=FC，
∴AD=ED=FC，
作AN⊥EC于点N，
由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°，
可证得∠DEN=∠DAN，∠NAB=∠BCM，
∵CF∥ED，
∴∠DEN=∠FCM，
∴∠BCF=∠BCM+∠FCM=∠NAB+∠DEN=∠NAB+∠DAN=∠BAD，
∴△BCF≌△BAD，
∴BF=BD，∠DBA=∠CBF，
∴∠DBF=∠DBA+∠ABF=∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°，
∴△DBF是等腰直角三角形，
∵点M是DF的中点，
则△BMD是等腰直角三角形.
【考点】全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质得出∠ACB=∠BAC=45°∠ADE=∠EBC=∠EDC=90°，推出BM=DM，
BM=CM，DM=CM，推出∠BCM=∠MBC，∠ACM=∠MDC，求出∠BMD=2∠BCM+2∠ACM=2∠BCA=90°
即可．
1
（2）延长ED交AC于F，求出DM= FC，DM∥FC，∠DEM=NCM，根据ASA推出△EDM≌△CNM，推
2
18出DM=BM即可．
（3）过点C作CF∥ED，与DM的延长线交于点F，连接BF，推出△MDE≌△MFC，求出DM=FM，
DE=FC，作AN⊥EC于点N，证△BCF≌△BAD，推出BF=BD，∠DBA=∠CBF，求出∠DBF=90°，即可得
出答案．
22. ( 9分 ) 如图，已知在AB、AC上各取一点E、D，使AE=AD，连结BD、CE相交于点O，连结AO，
∠1=∠2，求证：∠B=∠C.
【答案】 证明：在△AEO与△ADO中，
AE=AD，∠BAO=∠CAO，OA=OA，
∴△AEO≌△ADO（SAS）；
∴OE=OD，∠AEO=∠ADO，
∴∠BEO=∠CDO，
在△BEO与△CDO中，
∠BEO=∠CDO，OE=OD，∠BOE=∠COD，
∴△BEO≌△CDO（ASA），
∴∠B=∠C.
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】先根据“SAS”可证△AEO≌△ADO，再根据“ASA”可证△BEO≌△CDO，利用全等三角形
的对应角相等即可求出结论.
23. ( 9分 ) 如图，∠A=∠D=90°，BE平分∠ABC，且点E是AD的中点，求证：BC=AB+CD。
【答案】 证明：过点E作EF⊥BC于点F，则∠EB=∠A=90°，
19又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBE，∵BE=BE，
∴△ABE≌△FBE(AAS)，
∴AE=EF，AB=BF
又点E是AD的中点，
∴AE=ED=EF
Rt△CDE≌Rt△CFE(HL)，
∴CD=CF，
∴BC=CF+BF=AB+CD．
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】过点E作EF⊥BC于点F，根据已知条件易证△ABE≌△FBE(AAS)，利用全等三角形的性
质得AE=EF，AB=BF；然后利用中点的定义可得AE=ED=EF，故可证得Rt△CDE≌Rt△CFE(HL)，利用全
等三角形的性质得CD=CF，从而可得BC=CF+BF=AB+CD．
24. ( 9分 ) 如图，已知 △ABC 中， AD⊥BC 于 D ， AB+BD=CD ，求证： ∠ABC=2∠C .
【答案】 解：如图，在线段CD上截取DE=BD，
∵AD=AD，∠ADB=∠ADE，BD=DE
20∴△ADB≌△ADE（SAS）
∴AE=AB，∠ABC=∠AED，
∴AB+BD=AE+DE，
∵AB+BD=CD，
∴CD=AE+DE，
∵CD=CE+DE，
∴AE=CE
∴∠C=∠CAE，
∴∠AED=∠C+∠CAE=2∠C，
∴ ∠ABC=2∠C ．
【考点】三角形全等及其性质，三角形全等的判定
【解析】【分析】在线段CD上截取DE=BD，由“SAS”可证△ADB≌△ADE，可得AE=AB，
∠ABC=∠AED，由线段和差关系可证AE=CE，即可得结论．
25. ( 9分 ) 如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交
于点F.
求证：DF=EF.
【答案】 证明：过D点作DG∥AE交BC于G点，如图，
∴ ∠1=∠2，∠4=∠3 ，
∵ AB=AC ，
∴ ∠B=∠2 ，
∴ ∠B=∠1 ，
∴ DB=DG ，
而 BD=CE ，
21∴ DG=CE ，
在 △DFG 和 △EFC 中
∠4=∠3
{∠DFG=∠EFC
DG=CE
∴ △DFG≌△EFC ，
∴ DF=EF .
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】作DG∥AE交BC于G点，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得DB=DG，根据全等
三角形的判定易得△DFG≌△EFC，即可得到结论.
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