文档内容
第13讲 共顶点双等腰三角形模型（原卷版）
第一部分 典例剖析+针对训练
类型一 双等边三角形构成的手拉手模型
典例1如图，以△ABC的边AB，AC为边，向外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD相交于点F．
（1）求证：DC＝BE．
（2）求∠DFE的度数．
（3）求证：FA平分∠DFE．
（4）求证：DF＝AF+BF．
针对练习1
1．已知，如图，以△ABC的边AB、AC为边，分别在△ABC外作等边△ABD，等边△ACE．
（1）如图1，求证：BE＝CD；
（2）如图1，求∠BOC的度数；
（3）如图1，求证：AO平分∠DOE；
（4）如图2，求证：AO+BO＝DO；
（5）如图3，若点P为CD的中点，点Q为BE的中点，求证：△APQ为等边三角形．类型二 双等腰直角三角形构成的手拉手模型
典例2（2020秋•江阴市期中）如图，分别以△ABC的边AB，AC为边向外作等腰直角三角形△ABD和
△ACE，∠BAD＝90°，∠CAE＝90°．
（1）如图①，连接BE、CD，求证：BE＝CD；
（2）如图②，连接DE，求证：S ＝S ．
ABC ADE
△ △
针对练习2
2．（2021秋•德清县期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．
（1）如图1，点D是CA延长线上的一点，点E在线段AB上，且AD＝AE，连结BD和CE，延长CE
交BD于点F．求证：BD＝CE；
（2）在（1）的条件下，若点F为BD的中点，求∠ABD的度数；
（3）如图2，点P是△ABC外一点，∠APB＝45°，猜想PA，PB，PC三条线段长度之间存在的数量关
系，并证明你的结论．类型三 一般双等腰三角形构成的手拉手模型
典例3（2022春•渝中区校级月考）证明题
在等腰△ABC与等腰△ADE中，∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE．
（1）如图1，当点E，D，B三点在同一直线上时，且BE⊥AC，∠BAC＝50°，求∠EBC的度数；
（2）如图2，将△ADE绕A点旋转，当ED延长线交于BC的中点M时，连接BD，CE，求证：∠BDM
＝∠MEC．
针对练习3
3．（2021春•普宁市期末）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作
△ADE，使AE＝AD，
∠DAE＝∠BAC，连接CE，设∠BAC＝α，∠DCE＝β．
（1）如图1，点D在线段BC上移动时，试说明△ABD≌△ACE
（2）如图2，点D在线段BC的延长线上移动时，探索角α与β之间的数量关系并证明；
（3）当点D在线段BC的反向延长线上移动时，请在备用图上根据题意画出图形，并猜想角α与β之间
的数量关系是 α ＝ β ，线段BC、DC、CE之间的数量关系是 ．第二部分 专题提优训练
1．（2021秋•武昌区期中）如图△AOB和△ACD是等边三角形，其中AB⊥x轴于E点．
（1）如图，若OC＝5，求BD的长度；
（2）设BD交x轴于点F，求证：∠OFA＝∠DFA；
（3）如图，若正△AOB的边长为4，点C为x轴上一动点，以AC为边在直线AC下方作正△ACD，连
接ED，求ED的最小值
2．（2011秋•江夏区期末）已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，
∠DAB＝∠CAE，连接DC与BE，G、F分别是DC与BE的中点．
（1）如图1，若∠DAB＝60°，则∠AFG＝ ；
（2）如图2，若∠DAB＝90°，则∠AFG＝ ；
（3）如图3，若∠DAB＝α，试探究∠AFG与α的数量关系，并给予证明．3．（2019秋•越秀区校级期中）如图，已知△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，连接BD，EC⊥BC
于点C，CE＝BD．求证：△ADE是等边三角形．
4．（2014秋•和平区期末）如图，△ABC中，∠CAB+∠CBA＝120°，点D，E分别在边AC，BC上，且
AD＝BE，以DE为边作等边△DEF，连接AF，BF．
求证：△FAB是等边三角形．
5．（2017春•水城县校级期末）已知：如图△ABC是等边三角形，D、E分别是BC，AC上两点且BD＝
CE，以AD为边在AC一侧作等边△ADF．求证：EF∥BC．6．如图，在△ABC中，分别以AB、AC为边作等边△ABD与等边△ACE，连接BE、CD，BE的延长线与
CD交于点F，连接AF，求证：
（1）BE＝CD；
（2）FA平分∠EFC；
（3）∠BFD＝60°；
（4）FE+FC＝FA．
7．（2016秋•西华县期中）如图①，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接
BD，CE，BD和CE相交于点F，若△ABC不动，将△ADE绕点A任意旋转一个角度．
（1）求证：△BAD≌△CAE．
（2）如图①，若∠BAC＝∠DAE＝90°，判断线段BD与CE的关系，并说明理由；
（3）如图②，若∠BAC＝∠DAE＝60°，求∠BFC的度数；
（4）如图③，若∠BAC＝∠DAE＝α，直接写出∠BFC的度数（不需说明理由）
