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第13章 轴对称 培优
一、单选题
1. ( 3分 ) 平面直角坐标系中，点P(﹣2，3)关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A. (2，﹣3) B. (﹣2，3) C. (﹣2，﹣3) D. (2，3)
【答案】 C
【考点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵关于x轴对称点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴点P（﹣2，3）关于x轴的对称点坐标是（﹣2，﹣3），
故答选：C．
【分析】关于x轴对称点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数；可得.
2. ( 3分 ) 下列图案中，既是中心对称图形也是轴对称图形的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】 B
【考点】轴对称图形
【解析】【解答】解：第一个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第二个图形是轴对称图形，是中心对称图形；
第三个图形不是轴对称图形，是中心对称图形；
第四个图形是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选：B．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．
3. ( 3分 ) 在下列命题中，正确的是（ ）
A. 一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四
边形是矩形
C. 有一组邻边相等的四边形是菱形 D. 对角线互
1相垂直平分的四边形是菱形
【答案】 D
【考点】平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定
【解析】【解答】解：A、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，错误；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，错误；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，错误；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确；
故答案为：D.
【分析】分别利用矩形的判定方法、以及菱形的判定与性质和平行四边形的判定方法分析得出答案.
4. ( 3分 ) 如图，已知AB=AC=BD，那么∠1与∠2之间的关系是（ ）
A. ∠1=2∠2 B. 2∠1+∠2=180° C. ∠1+3∠2=180° D. 3∠1-∠2=180°
【答案】 D
【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC=BD，
∴∠BAD=∠1，∠B=∠C，
∴∠B=180°－2∠1=∠C，
∵∠C=∠1－∠2，
∴180°－2∠1=∠1－∠2，
∴3∠1－∠2=180°.
故答案为：D.
【分析】根据等边对等角可得∠BAD=∠1，∠B=∠C，利用三角形的内角和可得∠B=180°－2∠1=∠C，由
三角形外角的性质可得∠C=∠1－∠2，从而可得180°－2∠1=∠1－∠2，据此即得结论.
5. ( 3分 ) 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的图形是( )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 长方形
D. 梯形
【答案】 C
2【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、长方形是轴对称图形，是中心对称图形；
D、梯形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形.
故答案为：C.
【分析】把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对
称图形,把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能与原图形完全重合，那么这个图形就是中心对称图形，
据此作出判断即可.
6. ( 3分 ) 在平面直角坐标系中，点P（3，-4）关于x轴对称的点的坐标是 ( )
A. （3，4） B. （3，－4）
C. （－3，－4） D. （4，
3）
【答案】 A
【考点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y)，关于x轴的对称点的坐标是（x，-y)，据此即可求得点
（3，-4)关于x轴对称的点的坐标．
【解答】∵点（3，-4)关于x轴对称；
∴对称的点的坐标是（3，4)．
故选A．
【点评】这一类题目是需要识记的基础题
7. ( 3分 ) 如图，已知 ∠AOB=60° ，点P在边 OA 上， OP=12 ，点M，N在边 OB 上，
PM=PN ，若 MN=2 ，则 OM= （ ）
A. 8 B. 6 C. 5 D. 3
3【答案】 C
【考点】等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过P作PQ⊥MN，
∵PM=PN，
∴MQ=NQ=1，
在Rt△OPQ中，OP=12，∠AOB=60°，
∴∠OPQ=30°，
1
∴OQ= OP =6，
2
则OM=OQ-QM=6-1=5.
故答案为：C.
【分析】过P作PQ⊥MN，根据等腰三角形的性质可得MQ=NQ=1，然后在Rt△OPQ中根据含30°角的直
角三角形的边之间的关系可求出OQ的值，进而得到OM的值.
8. ( 3分 ) 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC为等腰三角形，
且S =1.5，则满足条件的格点C有（ ）
△ABC
A. 1个 B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】 B
【考点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如上图：分情况讨论．
4①AB为等腰△ABC底边时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个．
因为S =1.5，
△ABC
所以满足条件的格点C只有两个，如图中蓝色的点．
故选B．
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的
一条腰；然后根据S =1.5，再确定点C的位置．
△ABC
9. ( 3分 ) 如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=100°，点M是射线AB上的一个动点，过点M作
MN∥BC交射线AC于点N，连结BN。若△BMN中有两个角相等，则∠MNB的度数不可能是( )
A. 25° B. 30° C. 50° D. 65°
【答案】 B
【考点】平行线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当M在AB上时，
∵MN∥BC，
∴∠BMN=180°-∠ABC=180°-50°=130°，
∵MN=MB，
180°−∠BMN 180°−50°
∴∠MBN=∠BMN= = =65° ，
2 2
②当M在AB的延长线上时，
∵MN∥BC，
∴∠BMN=∠ABC=50°，
ⅰ当BM=BN，如图，
5∠MNB=∠BMN=50°，
ⅱ当NM=NB时，如图，
∠MNB=180°−2×50°=80°；
故答案为：B.
【分析】分两种情况讨论，即①当M在AB上时，②当M在AB的延长线上时，其中②再分两种情况，
即ⅰ当BM=BN，ⅱ当NM=NB时，分别根据平行线的性质，结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定
理求解即可.
10. ( 3分 ) 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且
CD=DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是( )
1
①OG= AB ；②与△DEG全等的三角形共有5个；③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等；④由点
2
A、B、D、E构成的四边形是菱形
A. ①③④ B. ①④ C. ①②③ D. ②③④
【答案】 A
【考点】三角形全等的判定，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质
【解析】【解答】
①∵四边形ABCD为菱形， 且CD=DE
6∴AB=DE, AB∥DE
∴∠BAG=∠EDG，∠ABG=∠E
∴△ABG≌△EDG（ASA）
∴BG=EG,点G为BE中点，
∵O为BD中点，
∴OG为△BDE中位线
1 1
∴OG= DE= AB，故本选项正确。
2 2
②∵四边形ABCD为菱形， ∠BAD=60°，
∴△BCD与△ABD都是等边三角形，
∵点O为对角线交点
∴OA=OC,OB=OD,
∴△BOC≌△DOC≌△BOA≌△DOA
∵AG=DG，
∴点G为AD中点，且BG⊥AD
∴△DGB≌△AGB
易证△DGB≌△DOC
∴△BOC≌△DOC≌△BOA≌△DOA≌△DGB≌△AGB≌△DGE
∴和△DEG全等的三角形共有6个。故本选项错误。
③∵点O为BD中点，
∴S =S
△OBG △ODG
∵△ABG≌△EDG
∴S =S
△ABG △DEG
∴S =S +S =S +S =S ， 故本选项正确。
四 边 形ODE△GDEG △ODG △ABG △OBG 四 边 形OBAG
④连接AE
∵AB=CD=DE,且AB∥CE，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∵△BCD为等边三角形，
∴BD=CD=DE
∴四边形ABDE为菱形。故本选项正确。
7所以结论成立的是①③④。
故答案为：A
【分析】考查菱形的性质、菱形的判定方法、三角形中位线定理、等边三角形的性质、全等三角形的判定
方法，解题时注意前面选项的结论在后面证明过程中的运用。
二、填空题
11. ( 4分 ) 在 ΔABC 中, AB=AC ， AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线相交所得的钝角为 130° ，
则 ∠B 等于________ 度。
【答案】 70或20
【考点】角的运算，线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的钝角为130°，
即∠EDC=130°，∠ADE=50°，∠AED=90°，
①如图1，当△ABC是锐角三角形时，∠A=90°－∠ADE=90°－50°=40°．
180°−40°
∵AB=AC ， ∴∠B=∠C = = 70°，
2
②如图2，当△ABC是钝角三角形时，∠BAC=∠ADE+∠AED=50°+90°=140°．
180°−140°
∵AB=AC ， ∴∠B=∠C = = 20°．
2
综上所述：底角B的度数是70°或20°．
故答案为：70或20．
【分析】首先根据题意作图，然后由AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的钝角为130°，即可得
8∠ADE=50°，∠AED=90°，然后分两种情况讨论：
①当三角形是锐角三角形时，即可求得∠A的度数，
②当三角形是钝角三角形时，可得∠A的邻补角的度数；又由AB=AC ， 根据等边对等角与三角形内角
和的定理，即可求得底角B的大小．
12. ( 4分 ) 如图，矩形 ABCD 中，AB=6，BC=8，过对角线交点O作 OE⊥AC 交 AD 于 E， 则
AE 的长是________ .
25
【答案】
4
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵OE⊥AC，四边形ABCD是矩形，
∴∠AOE=∠ADC=90°，
又∵∠EAO=∠CAD，
∴△AEO∽△ACD，
AE AO
∴ = ，
AC AD
∵AB=6，BC=8，结合勾股定理，
∴AC=10，AO=5，AD=BC=8，CD=AB=6，
AO⋅AC 5×10 25
∴ AE= = = ，
AD 8 4
25
故答案为： .
4
【分析】根据OE⊥AC，∠AOE=90°，由矩形的性质可知，∠ADC=∠AOE=90°，又因为
AE AO
∠EAO=∠CAD，可推出△AEO∽△ACD，则 = ，结合矩形的性质，对边相等，对角线平分且相等，
AC AD
计算出AE的长度即可.
13. ( 4分 ) 矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为
EF，则CF=________cm．
921
【答案】
5
【考点】勾股定理，矩形的性质，轴对称的性质
【解析】【解答】解：由折叠性质可知 CF=C'F ，
由矩形性质可得 DC'=BC=AD=4 ，DC=AB=10， ∠C'=∠C=90∘
设 CF=C'F=x ，则DF=10-x
在 Rt△DC'F 中， 42+x2=(10−x) 2
21
解得： x=
5
21
∴CF=
5
21
故答案为： ．
5
【分析】根据折叠的性质可知 CF=C'F ．设 CF=C'F=x ，由矩形性质则得到DF为10-x，于是可知
AE=10-x；在 Rt△DC'F 中，利用勾股定理即可求出 C'F 的长，从而使问题得解．
14. ( 4分 ) 如图，依据尺规作图的痕迹，计算 ∠α= ________．
【答案】 56°
【考点】三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，作图-角的平分线，作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】根据图示可知AF平分∠DAC，EF垂直平分AC，
10∵AD//BC，∴∠DAC=∠ACB=68°，
1
∵AF平分∠DAC，∴∠FAE= ∠ DAC=34°，
2
∵EF⊥AC，∴∠AEF=90°，∴∠AFE=90°-∠FAE=56°，
∴∠α=∠AFE=56°，
故答案为：56°.
【分析】根据图示可知AF平分∠DAC，EF垂直平分AC，根据垂直于同一条直线的两条直线互相平行得
1
出AD//BC，根据二直线平行内错角相等得出∠DAC=∠ACB=68°，根据角平分线的定义得出∠FAE= ∠
2
DAC=34°，然后根据直角三角形的两锐角互余得出∠AFE的度数，最后根据对顶角相等得出
∠α=∠AFE=56°。
15. ( 4分 ) 如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的边OA 在x轴上，OC在y轴上，OA=1，
OC=2，对角线 AC的垂直平分线交AB 于点E，交AC于点D.若y轴上有一点P（不与点C重合），能使
△AEP是以为 AE 为腰的等腰三角形，则点 P的坐标为________.
113 3 1
【答案】 (0, ) ， (0,− ) 或 (0, )
4 4 2
【考点】坐标与图形性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理
【解析】【解答】解：∵对角线 AC的垂直平分线交AB 于点E，
∴AE=CE，
∵ 长方形OABC中，OA=1，OC=2，
∴AB=OC=2，BC=OA=1，
∴设AE=m，则BE=2-m，CE=m，
∴在Rt∆BCE中，BE2+ BC2=CE2 ， 即：（2-m）2+12=m2 ，
5
解得：m= ，
4
5
∴E（1， ），
4
设点P坐标为（0，y），
∵△AEP是以为 AE 为腰的等腰三角形，
5 3
当AP=AE，则(1-0)2+(0-y)2= (1-1)2+(0- )2 ， 解得：y= ± ，
4 4
5 5 1
当EP=AE，则(1-0)2+( -y)2= (1-1)2+(0- )2 ， 解得：y= ，
4 4 2
3 3 1
∴点 P的坐标为 (0, ) ， (0,− ) ， (0, ) ，
4 4 2
3 3 1
故答案为： (0, ) ， (0,− ) ， (0, ) .
4 4 2
【分析】设AE=m，根据线段垂直平分线的性质得出AE=CE，根据勾股定理求出m的值，得到点E的坐标，
设点P坐标为（0，y）根据两点间的距离公式，分当AP=AE与当EP=AE时两种情况列出方程，求解即可
得到答案.
16. ( 4分 ) 如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，DE⊥AC于点E，F为BC上一点，若
DF=AD，△ACD与△CDF的面积分别为10和4，则△AED的面积为________。
12【答案】 3
【考点】全等三角形的判定与性质，角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DG⊥BC于点G,
∵DE⊥AC，CD平分∠ACB，
∴DE=DG，∠AED=∠DGF=90°，
在Rt△AED和Rt△DGF中
{AD=DF)
DE=DG
∴Rt△AED≌Rt△DGF（HL）；
∴S =S ，
△AED △DGF
同理可证：S =S ，
△CED △DGC
∵S =S +S
△ADC △ADE △CED
=S +S
△ADE △DGC
=S +S +S
△ADE △CDF △DFG
=S +S +S
△ADE △CDF △ADE
∴2S +4=10
△ADE
解之：S =3.
△ADE
13故答案为：3.
【分析】过点D作DG⊥BC于点G，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，易证DE=DG，利用HL
证明△AED≌△DFG，利用全等三角形的面积相等，就可推出S =S ， 同理可得S =S ，
△AED △DGF △AED △DGF
再证明S =S +S +S ， 然后代入求值即可。
△ADC △ADE △CDF △ADE
17. ( 4分 ) 如图，在平面直角坐标系中，等边△AB C ， 等边△AB C ， 等边△AB C ， …中
1 1 1 2 2 2 3 3 3
AB ， AB ， AB ， …平行于x轴，点C ， C ， C ， …在y轴正半轴上，三边垂直平
1 1 2 2 3 3 1 2 3
分线的交点在原点，AB ， AB ， AB ， …的长依次为 √3 ， 2√3 ， 3√3 ，….以此类推，
1 1 2 2 3 3
则等边△A B C 的顶点A 的坐标为________.
2020 2020 2020 2020
【答案】 （-1010 √3 ，-1010）
【考点】等边三角形的性质，含30°角的直角三角形，探索数与式的规律
【解析】【解答】解：AB 、AB 、AB ， ……分别与x轴交于点D、D、D ， ……，连接OA 、
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1
OA 、OA3……，如图，则C D⊥A B ， C D⊥A B ， C D⊥A B ， ….
2 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
∵△A B C 、△AB C 、△AB C ， ……都是等边三角形，
1 1 1 2 2 2 3 3 3
141 √3 1 1 3√3
∴AD= AB = ， AD= AB =√3 ， AD= AB = .
1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 2 3 3 2
∵∠OA D=∠OA D=∠OA D=30°，
1 1 2 2 3 3
√3 1 √3 √3 3
∴OD = AD= ， OD = AD=1，OD = AD= ，
1 3 1 1 2 2 3 2 2 3 3 3 3 2
√3 1 3√3 3
∴A（- ， ），A（-√3 ， -1），A（- ， - ），
1 2 2 2 3 2 2
1 2020
∴等边△A B C 的顶点A 的横坐标为- ×2020√3=-−1010√3 ， 纵坐标为 =1010，
2020 2020 2020 2020 2 2
∴A （−1010√3 ， -1010）.
2020
故答案为：（−1010√3 ， -1010）.
【分析】AB 、AB 、AB ， ……分别与x轴交于点D、D、D ， ……，连接OA 、OA 、
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2
√3 3√3
OA3……，根据等边三角形的性质得到：AD= ， AD=√3 ， AD= ，
1 1 2 2 2 3 3 2
∠OA D=∠OA D=∠OA D=30°，然后利用含30°的直角三角形的三边的关系求出OD ， OD ，OD 的值，
1 1 2 2 3 3 1 2 3
从而得到A ， A ， A 的坐标，然后利用这些坐标的规律即可写出A 的坐标.
1 2 3 2020
18. ( 4分 ) 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，6），点B为x轴上一动点，以AB为边
在直线AB的右侧作等边三角形ABC.若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为________.
9
【答案】
2
【考点】垂线段最短，等边三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F，
15∵点A的坐标为（0，6），
∴OA＝6，
∵点P为OA的中点，
∴AP＝3，
∵△AEP是等边三角形，EF⊥AP，
3
∴AF＝PF＝ ，AE＝AP，∠EAP＝∠BAC＝60°，
2
∴∠BAE＝∠CAP，
在△ABE和△ACP中，
AE=AP
{∠BAE=∠CAP
AB=AC
∴△ABE≌△ACP（SAS），
∴BE＝PC，
∴当BE有最小值时，PC有最小值，
即BE⊥x轴时，BE有最小值，
3 9
∴BE的最小值为OF＝OP＋PF＝3＋ ＝ ，
2 2
9
∴PC的最小值为 .
2
9
故答案为： .
2
【分析】以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F，由“SAS”可证△ABE≌△ACP，
可得BE＝PC，则
BE有最小值时，PC有最小值，即可求解.
16三、作图题
19. ( 8分 ) △ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
（1）作出△ABC关于y轴对称的三角形△AB C ；将△ABC向下平移3个单位长度，画出平移后的
1 1 1
△AB C .
2 2 2
（2）求△AB C .的面积
2 2 2
【答案】 （1）解：如图所示，△AB C ， △AB C 即为所求；
1 1 1、 2 2 2
1 1 1
（2）解：△AB C 的面积为 ×（1+2）×2- ×1×1- ×1×2=1.5
2 2 2 2 2 2
【考点】作图﹣轴对称，作图﹣平移，几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及轴对称的性质，分别做出点A、B、C关于y轴的对称点 A
1、
B 、C 再首尾顺次相连即可得出所求的 AB C 利用方格纸的特点及平移的方向及距离，将点ABC向
1 1， △ 1 1 1；
下平移3个单位长度得到其对应点AB C ， 再首尾顺次相连即可；
2 2 2
（2）利用割补法，根据 △AB C .的面积 =上底为1、下底为2的梯形的面积减去周围两个三角形的面积
2 2 2
17即可算出答案。
20. ( 8分 ) 如图,在平面直角坐标系中,A(−3,2),B(−4,−3),C(−1,−1).
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△ A B C ；
1 1 1
（2）写出点△ A , B , C 的坐标(直接写答案): A ________; B ________; C ________；
1 1 1 1 1 1
（3）△ A B C 的面积为________；
1 1 1
（4）在y轴上画出点P，使PB+PC最小
【答案】 （1）解：如图，△AB C 即为所求；
1 1 1
（2）(3,2)；(4,-3)；(1,-1)
（3）6.5
（4）解：如图，连接BC 与y轴的交点为P，点P即为所求.
1
18【考点】三角形的面积，关于坐标轴对称的点的坐标特征，作图﹣轴对称，轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（2）由点的位置可知： A (3,2), B (4,-3), C (1,-1)；
1 1 1
故答案为： A (3,2), B (4,-3), C (1,-1)；
1 1 1
1 1 1 13
（ 3 ） S=3×5− ×1×5− ×2×3− ×2×3= =6.5，
2 2 2 2
故答案为：6.5；
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点A、B 、C 再连接即可；
1 1 1，
（2）根据点A、B 、C 的位置即可解决问题；
1 1 1
（3）利用分割法计算即可；
（4）连接BC 与y轴的交点即为所求的点P.
1
21. ( 5分 ) 如图，已知O是∠PAB的一边AB上的点，按要求作图：
①过O作AP的垂线；
②作∠A的补角∠CAP；
③作∠CAP的平分线．
【答案】 解：①如图所示，OH即为所求；
②如图所示，∠CAP即为所求；
③如图所示，射线AQ即为所求．
【考点】余角、补角及其性质
【解析】【分析】①过直线AP外一点O作AP的垂线OH即可；②反向延长AB至C，即可得到∠A的补
角∠CAP；③根据角平分线的作法，作出∠CAP的平分线AQ即可．
四、解答题
1922. ( 8分 ) 如图，点E,F是□ABCD的对角线BD上两点，且BE=DF.求证：四边形AECF是平行四边形.
【答案】 ∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD,AB=CD
∴∠ABE=∠CDF
AB=CD
在 ΔABE 和 ΔCDF 中， {∠ABE=∠CDF
BE=DF
∴ΔABE≅ΔCDF(SAS)
∴AE=CF,∠AEB=∠CFD
∴180°−∠AEB=180°−∠CFD ，即 ∠AEF=∠CFE
∴AE//CF
∴ 四边形AECF是平行四边形.
【考点】平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】先根据平行四边形的性质得出 AB//CD,AB=CD ，再根据平行性的性质可得
∠ABE=∠CDF ，然后根据三角形全等的判定定理与性质得出 AE=CF,∠AEB=∠CFD ，从而可得
∠AEF=∠CFE ，由平行线的判定可得 AE//CF ，最后根据平行四边形的判定即可得证.
23. ( 8分 ) 笔记本电脑为外出工作提供了极大的便利，其配件电脑支架也是我们用笔记本电脑办公时不可
或缺的。如图1为某笔记本电脑支架的侧面(边沿部分忽略不计)，我们抽象出如图2的几何图形，测得∠A
照30°，AB=AC=20cm，D为AB上一点，且∠BCD=30°，求BC的长。
【答案】 解：如答案图，过点D作DE⊥AC ，垂足为E
∵AB=AC=20cm，CA=30。∴∠B=∠ACB =75°，
20又∵∠BCD=30°，∠BDC=75°，∠ACD=45°，BC=CD
∵DE⊥AC，∴∠CDE =45。∴CE=DE
设DE=CE=x，
DE DE x
在Rt△ADE中，tanA= ，∴AE= = == √3 x，AC=CE+AE=x+ √3 x，
AE tanA tan30°
∴(1+ √3 )x=20，∴x=10( √3 -1)
第18题答案图在Rt△CDE中，CD= √2 x=10( √6 - √2 )，∴BC=10( √6 - √2 )
答：底边BC的长为10( √6 - √2 )cm
【考点】等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义
【解析】【分析】 过点D作DE⊥AC ，垂足为E，根据等腰三角形的判断与性质得出BC=CD ，
DE
CE=DE， 设DE=CE=x， 利用tanA= ，求出AE= √3 x，利用AC=CE+AE得出x+ √3 x=20， 求
AE
出x的值，从而求出CD的长，即可得出BC的长.
24. ( 9分 ) 如图，AD⊥BC于D，BD=AC+DC，若∠BAC=110°，求∠C的度数.
【答案】 解：如图，以A为圆心，AC长为半径画弧，交BC于点E，连接AE，
则AE=AC，CD=DE，∠CAD=∠EAD，又BD=AC+DC，BD=BE+DE，
∴AE=AC=BE，∴∠B=∠BAE
∴令∠C=x，则∠CAD=90°-x，∠B=∠BAE=110°-2（90°-x）=110°-180°+2x=2x-70°，
140 °
∴由三角形内角和定理得：x+2（90°-x）+2（2x-70°）=180°，解得：x= ( ) .
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【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质
【解析】【分析】 以A为圆心，AC长为半径画弧，交BC于点E，连接AE，由等腰三角形的性质可得
CD=DE ， ∠CAD=∠EAD ， 进而得出 AE=AC=BE ，根据等边对等角得出 ∠B=∠BAE ，并设
21∠C=x，然后用哪个含x的式子表示出∠CAD及∠B与∠BAE，最后根据三角形的内角和定理列出方程，
解方程可以得到∠C的度数.
25. ( 12分 ) 如图，△ABC中，∠CAB的平分线与BC的垂直平分线DG相交于D，过点D作DE⊥AB，
DF⊥AC，求证：BE＝CF．
【答案】 证明：连接BD、CD，
∵∠CAB的平分线与BC的垂直平分线DG相交于D，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴BD=CD，DE=DF．
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE=CF．
【考点】全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】连接BD、CD，根据线段垂直平分线的性质，得BD=CD，根据角平分线的性质，得
DE=DF，再根据两个三角形是直角三角形即可证明Rt△CDF≌Rt△BDE，从而可得出结果．
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