文档内容
第13讲 共顶点双等腰三角形模型（解析版）
第一部分 典例剖析+针对训练
类型一 双等边三角形构成的手拉手模型
典例1如图，以△ABC的边AB，AC为边，向外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD相交于点F．
（1）求证：DC＝BE．
（2）求∠DFE的度数．
（3）求证：FA平分∠DFE．
（4）求证：DF＝AF+BF．
思路引领：（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质得出DC＝BE即可；
（2）根据全等三角形的性质和角的关系得出∠DFE＝120°即可；
（3）过点A作AP⊥DC于P，AQ⊥BE于Q，根据三角形面积公式和角平分线的性质解答即可；
（4）在DF上截取DM＝BF，连接AM，根据全等三角形的判定和性质解答即可．
证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝∠AEC＝∠ACE＝60°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，
即∠DAC＝∠BAE，
在△DAC与△BAE中，
{
AD=AB
∠DAC=∠BAE，
AC=AE
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴DC＝BE；
（2）∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADF＝∠ABF，∵∠AGD＝∠FGB，
∴∠BFG＝∠DAG＝60°，
∴∠DFE＝120°；
（3）过点A作AP⊥DC于P，AQ⊥BE于Q，
∵△DAC≌△BAE，
1 1
∴S = DC⋅AP=S = BE⋅AQ，
△DAC 2 △BAE 2
∵DC＝BE，
∴AP＝AQ，
∵AP⊥DC，AQ⊥BE，
∴FA平分∠DFE；
（4）在DF上截取DM＝BF，连接AM，
在△ADM与△ABF中，
{
AD=AB
∠ADM=∠ABF，
DM=BF
∴△ADM≌△ABF（SAS），
∴AM＝AF，∠DAM＝∠BAF，
∵∠DAB＝60°，
∴∠DAM+∠MAG＝60°，
∴∠BAF+∠MAG＝60°，
即∠MAF＝60°，
∴△AMF是等边三角形，
∴MF＝AF，
∴DF＝DM+MF＝AF+BF．
解题秘籍：本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．
针对练习1
1．已知，如图，以△ABC的边AB、AC为边，分别在△ABC外作等边△ABD，等边△ACE．
（1）如图1，求证：BE＝CD；
（2）如图1，求∠BOC的度数；
（3）如图1，求证：AO平分∠DOE；
（4）如图2，求证：AO+BO＝DO；
（5）如图3，若点P为CD的中点，点Q为BE的中点，求证：△APQ为等边三角形．
思路引领：（1）根据等边三角形性质得出AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠BDA＝∠DBA＝∠CAE＝
60°，求出∠BAE＝∠DAC．根据SAS证△ABE≌△ADC即可；
（2）根据全等求出∠ADC＝∠ABE，在△DOB中根据三角形的内角和定理和∠ADB＝∠DBA＝60°即可
求出答案；
（3）过点A分别作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足为点M，N．根据三角形的面积公式求出AN＝AM，根据
角平分线性质求出即可；
（4）通过△DAC≌△BAE，得到∠1＝∠2，于是得到∠4＝∠DAB＝60°，如图2，作等边三角形BOF，
由于△BDF≌△BAO得到DF＝AO，于是证得结论；
（5）由（4）证得△DAC≌△BAE，得到∠1＝∠2，CD＝BE，根据点P为CD的中点，点Q为BE的中
点，于是得到PD＝BQ，推出△ADP≌△ABQ，得到AP＝AQ，∠3＝∠4，根据等量代换即可得到结论．
（1）证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠BDA＝∠DBA＝∠CAE＝60°，
∴∠BAC+∠CAE＝∠BAC+∠BAD，
即∠BAE＝∠DAC．
在△ABE和△ADC中
{
AB=AD
∵ ∠BAE=∠DAC
AE=AC∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE＝DC．
（2）解：由（1）知：△ABE≌△ADC，
∴∠ADC＝∠ABE
∴∠ADC+∠BDO＝∠ABE+∠BDO＝∠BDA＝60°
∴在△BOD中，∠BOD＝180°﹣∠BDO﹣∠DBA﹣∠ABE
＝180°﹣∠DBA﹣（∠ADC+∠BDO）
＝180°﹣60°﹣60°
＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°．
（3）证明：如图1，过点A分别作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足为点M，N．
∵由（1）知：△ABE≌△ADC，
∴S ＝S
ABE ADC
△1 △ 1
∴− BE•AM= CD•AN，
2 2
∴AM＝AN，
∴点A在∠DOE的平分线上，
即OA平分∠DOE；
（4）证明：∵∠DAC＝60°+∠BAC，∠BAE＝∠BAC+60°，
∴∠DAC＝∠BAE，
{
AD=AB
在△DAC与△BAE中， ∠DAC=∠BAE，
AC=AE
∴△DAC≌△BAE，
∴∠1＝∠2，
∴∠4＝∠DAB＝60°，
如图2，作等边三角形BOF，
∵∠DBF＝∠DBA﹣∠FBA＝60°﹣∠FBA＝∠2，
{
BD=BA
在△BDF与△BAO中， ∠DBF=∠2，
BF=BO
∴△BDF≌△BAO
∴DF＝AO，∴OD＝OF+FD＝OB+OA，
（5）证明：由（4）证得△DAC≌△BAE，
∴∠1＝∠2，CD＝BE，
∵点P为CD的中点，点Q为BE的中点，
∴PD＝BQ，
{AD=AB
在△ADP与△ABQ中， ∠1=∠2，
DP=BQ
∴△ADP≌△ABQ，
∴AP＝AQ，∠3＝∠4，
∴∠3+∠PAB＝60°，
∴∠PAB+∠4＝60°，
∴△APQ为等边三角形．
解题秘籍：本题考查了等边三角形性质和判定，三角形的面积，全等三角形的性质和判定，三角形的内
角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
类型二 双等腰直角三角形构成的手拉手模型
典例2（2020秋•江阴市期中）如图，分别以△ABC的边AB，AC为边向外作等腰直角三角形△ABD和△ACE，∠BAD＝90°，∠CAE＝90°．
（1）如图①，连接BE、CD，求证：BE＝CD；
（2）如图②，连接DE，求证：S ＝S ．
ABC ADE
△ △
思路引领：（1）证△CAD≌△EAB（SAS），即可得出BE＝CD；
（2）作 DG⊥EA 于 G，BH⊥AC 于 H，由等腰直角三角形的性质得 AD＝AB，AE＝AC，证
△ADG≌△ABH（AAS），得DG＝BH，由三角形面积公式即可得出结论．
证明：（1）∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝CAE＝90°，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
即：∠CAD＝∠EAB，
在△CAD和△EAB中，
{
AC=AE
∠CAD=∠EAB，
AD=AB
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE＝CD；
（2）作DG⊥EA于G，BH⊥AC于H，如图②所示：
则∠AGD＝∠AHB＝90°，
∵∠CAE＝90°，
∴∠CAG＝90°＝∠BAD，
∴∠DAG＝∠BAH，
∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，∠BAD＝90°，∠CAE＝90°，
∴AD＝AB，AE＝AC，
在△ADG和△ABH中，
{∠AGD=∠AHB
∠DAG=∠BAH，
AD=AB
∴△ADG≌△ABH（AAS），∴DG＝BH，
1 1
又∵S = AC×BH，S = AE×DG，
ABC 2 ADE 2
△ △
∴S ＝S ．
ABC ADE
△ △
解题秘籍：本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及三角形面积等知识；熟练
掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
针对练习2
2．（2021秋•德清县期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．
（1）如图1，点D是CA延长线上的一点，点E在线段AB上，且AD＝AE，连结BD和CE，延长CE
交BD于点F．求证：BD＝CE；
（2）在（1）的条件下，若点F为BD的中点，求∠ABD的度数；
（3）如图2，点P是△ABC外一点，∠APB＝45°，猜想PA，PB，PC三条线段长度之间存在的数量关
系，并证明你的结论．
思路引领：（1）由两个等腰直角三角形得到两个三角形全等的条件，即可；
（2）利用（1）得到的结论，判断出点A，E，F，D四点共圆，即可；
（3）利用三角形相似的判定和性质，再利用勾股定理，即可．
（1）证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠DAB＝90°，在Rt EAC和Rt DAB中，
{ △AD=AE △
∠DAB=∠EAC，
AB=AC
∴Rt EAC≌Rt DAB（SAS），
∴CE△＝BD； △
（2）解：如图1，
由（1）有，Rt EAC≌Rt DAB，
∴∠ABD＝∠A△CE， △
∵∠ACE+∠AEC＝90°，
∴∠ABD+∠AEC＝∠ABD+∠BEF＝90°，
∵∠DAE＝90°，
∴点A，E，F，D四点共圆，
∴∠AFE＝∠ADE＝45°，
∴∠AFD＝45°；
解题秘籍：此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形。
类型三 一般双等腰三角形构成的手拉手模型
典例3（2022春•渝中区校级月考）证明题
在等腰△ABC与等腰△ADE中，∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE．
（1）如图1，当点E，D，B三点在同一直线上时，且BE⊥AC，∠BAC＝50°，求∠EBC的度数；
（2）如图2，将△ADE绕A点旋转，当ED延长线交于BC的中点M时，连接BD，CE，求证：∠BDM
＝∠MEC．思路引领：（1）根据等腰三角形的性质可得∠EBC的度数．
（2）由等腰三角形的性质可得AM⊥BC，由旋转可证△ABD≌△AEC，由∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，
AD＝AE可得∠AED＝∠ACB，则A，E，C，M四点共圆，
可得∠AMC＝∠AEC＝∠ADB，即可证∠BDM＝∠MEC．
解：（1）∵AC＝AB，∠BAC＝50°
∴∠ACB＝∠ABC＝65°
∵BE⊥AC
∴∠EBC＝25°
（2）如图：连接AM
∵AB＝AC，M是BC中点
∴AM⊥BC
∵∠BAC＝∠DAE
∴∠BAD＝∠CAE且AB＝AC，AD＝AE
∴△ADB≌△AEC
∴∠ADB＝∠AEC
∵∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE
∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED
∵∠AED＝∠ACB
∴A，E，C，M四点共圆∴∠AMC＝∠AEC＝90°
∴∠AEC＝∠ADB＝90°
∴∠ADE+∠BDM＝90°，∠AED+∠MEC＝90°，且∠ADE＝∠AED
∴∠BDM＝∠MEC
解题秘籍：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，利用四点共圆证
∠AMC＝∠AEC＝90°是本题的关键．
针对练习3
3．（2021春•普宁市期末）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作
△ADE，使AE＝AD，
∠DAE＝∠BAC，连接CE，设∠BAC＝α，∠DCE＝β．
（1）如图1，点D在线段BC上移动时，试说明△ABD≌△ACE
（2）如图2，点D在线段BC的延长线上移动时，探索角α与β之间的数量关系并证明；
（3）当点D在线段BC的反向延长线上移动时，请在备用图上根据题意画出图形，并猜想角α与β之间
的数量关系是 α ＝ β ，线段BC、DC、CE之间的数量关系是 ．
思路引领：（1）证明∠CAE＝∠BAD，利用SAS定理证明△ABD≌△ACE；
（2）根据△ABD≌△ACE得到∠ABD＝∠ACE，根据三角形内角和定理得到角α与β之间的数量关系；
（3）证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到∠ADB＝∠AEC，BD＝CE，结合图形解答即可．
解：（1）∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，即∠CAE＝∠BAD，
在△ABD和△ACE中，
{
AB=AC
∠BAD=∠CAE，
AD=AE
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）α＝β；
理由如下∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
{
AB=AC
∠BAD=∠CAE，
AD=AE
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ACD＝180°﹣∠ACB＝∠ABD+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC＝∠DCE，即α＝β；
（3）根据题意画出图形如图3所示：
α＝β，BC+CE＝DC；
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
{
AB=AC
∠BAD=∠CAE，
AD=AE
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ADB＝∠AEC，BD＝CE，
由三角形内角和定理得：∠ADB+α＝∠AEC+β，
∴α＝β，
∵BC+BD＝DC，
∴BC+CE＝DC，
故答案为：α＝β；BC+CE＝DC．
解题秘籍：本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和
性质定理是解题的关键．第二部分 专题提优训练
1．（2021秋•武昌区期中）如图△AOB和△ACD是等边三角形，其中AB⊥x轴于E点．
（1）如图，若OC＝5，求BD的长度；
（2）设BD交x轴于点F，求证：∠OFA＝∠DFA；
（3）如图，若正△AOB的边长为4，点C为x轴上一动点，以AC为边在直线AC下方作正△ACD，连
接ED，求ED的最小值
思路引领：（1）先由等边三角形的性质得出 OA＝AB，AC＝AD，∠OAB＝∠CAD＝60°进而得出
∠OAC＝∠BAD，即可判断出△AOC≌△ABD即可得出结论；
（2）借助（1）得出的△AOC≌△ABD，得出∠ABD＝∠AOC＝30°，进而求出∠BFO＝60°，再判断出，
△AOF≌△BOF即可求出∠OFA＝∠DFA＝60°；
（3）如图3中，连接DB并延长至点N，由△AOC≌△ABD（SAS），推出∠AOC＝∠ABD＝150°推出
∠ABN＝30°，则D点在直线BN上运动，过E作EH⊥DN于点H，当D点运动至H时，ED最小；
解：（1）如图1中，
∵点C（5，0）．
∴OC＝5，
∵△AOB和△ACD是等边三角形，
∴OA＝AB，AC＝AD，∠OAB＝∠CAD＝60°，∴∠OAC＝∠BAD，
在△AOC和△ABD中，
{
OA=AB
∠OAC=∠BAD，
AC=AD
∴△AOC≌△ABD，
∴BD＝OC＝5；
（2）如图2中，
∵△AOB是等边三角形，且AB⊥x轴于E点，
∴∠AOE＝∠BOE＝30°，
由（1）知，△AOC≌△ABD，
∴∠ABD＝∠AOC＝30°，
∴∠BFO＝90°﹣∠ABD＝60°，
在△AOF和△BOF中，
{
OA=OB
∠AOF=∠BOF，
OF=OF
∴△AOF≌△BOF，
∴∠AFO＝∠BFO＝60°，
根据平角的定义得，∠DFA＝180°﹣∠AFO﹣∠BFO＝60°，
∴∠OFA＝∠DFA；
（3）如图3中，连接DB并延长至点N，易证：△AOC≌△ABD（SAS），
∴∠AOC＝∠ABD＝150°
∴∠ABN＝30°，
则D点在直线BN上运动
过E作EH⊥DN于点H，当D点运动至H时，ED最小
1
此时，EH= BE＝1．
2
解题秘籍：此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，垂线段最
短等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，属于中考压轴题．
2．（2011秋•江夏区期末）已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，
∠DAB＝∠CAE，连接DC与BE，G、F分别是DC与BE的中点．
（1）如图1，若∠DAB＝60°，则∠AFG＝ ；
（2）如图2，若∠DAB＝90°，则∠AFG＝ ；
（3）如图3，若∠DAB＝α，试探究∠AFG与α的数量关系，并给予证明．
思路引领：（1）连接AG．易证△ADC≌△ABE，可得DC＝BE，∠ADC＝∠ABE，AD＝AB，根据G、
F 分别是 DC 与 BE 的中点，可得 DG＝BF，即可证明△ADG≌△ABF，可得 AG＝AF，∠DAG＝∠BAF，即可求得∠DAB＝∠GAF，即可解题．
（2）根据（1）中结论即可求得∠AFG的值，即可解题；
（3）根据（1）中结论即可求得∠AFG的值，即可解题．
解：（1）连接AG．
∵∠DAB＝∠CAE，
∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE．
{
AD=AB
在△ADC和△ABE中， ∠DAC=∠BAE，
AC=AE
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴DC＝BE，∠ADC＝∠ABE．AD＝AB．
∵G、F分别是DC与BE的中点，
1 1
∴DG= DC，BF= BE，
2 2
∴DG＝BF．
{
AD=AB
在△ADG和△ABF中， ∠ADC=∠ABE，
DG=BF
∴△ADG≌△ABF（SAS），
∴AG＝AF，∠DAG＝∠BAF，
∴∠AGF＝∠AFG，∠DAG﹣∠BAG＝∠BAF﹣∠BAG，
∴∠DAB＝∠GAF．
∵∠DAB＝60°，
∴∠GAF＝60°．
∵∠GAF+∠AFG+∠AGF＝180°，
∴∠AFG＝60°；（2）∵∠DAB＝90°，∠DAB＝∠GAF，（已证）
∴∠GAF＝90°，
∵AG＝AF，
1
∴∠AFG= （180°﹣90°）＝45°；
2
（3）∵∠DAB＝α，∠DAB＝∠GAF，（已证）
∴∠GAF＝α，
∵AG＝AF，
1
∴∠AFG= （180°﹣α）；
2
1
故答案为 60°，45°， （180°﹣α）．
2
解题秘籍：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证
△ADC≌△ABE和△ADG≌△ABF是解题的关键．
3．（2019秋•越秀区校级期中）如图，已知△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，连接BD，EC⊥BC
于点C，CE＝BD．求证：△ADE是等边三角形．
思路引领：利用△ABC 是等边三角形，D 为边 AC 的中点，求得∠ADB＝90°，再用 SAS 证明
△CBD≌△ACE，推出AE＝CD＝AD，∠AEC＝∠BDC＝90°，根据直角三角形斜边上中线性质求出DE
＝AD，即可得出答案．
证明：∵△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，
∴BD⊥AC，即∠ADB＝90°，
∵EC⊥BC，
∴∠BCE＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝90°，∠ECD+∠BCD＝90°，
∴∠ACE＝∠DBC，
∵在△CBD和△ACE中{
BD=CE
∠DBC=∠ACE
BC=AC
∴△CBD≌△ACE（SAS），
∴CD＝AE，∠AEC＝∠BDC＝90°，
∵D为边AC的中点，∠AEC＝90°，
∴AD＝DE，
∴AD＝AE＝DE，
即△ADE是等边三角形，
解题秘籍：此题主要考查学生对等边三角形的判定与性质的理解和掌握，解答此题的关键是先证明
△CBD≌△ACE，然后再利用三边相等证明此三角形是等边三角形．
4．（2014秋•和平区期末）如图，△ABC中，∠CAB+∠CBA＝120°，点D，E分别在边AC，BC上，且
AD＝BE，以DE为边作等边△DEF，连接AF，BF．
求证：△FAB是等边三角形．
思路引领：设AC、BF相交于点O，根据三角形的内角和定理求出∠C＝60°，根据等边三角形的性质可
得DF＝EF，∠DFE＝60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ADF＝
∠BEF，然后利用“边角边”证明△ADF和△BEF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF＝BF，全
等三角形对应角相等可得∠AFD＝∠BFE，再求出∠AFB＝∠DFE＝60°，然后根据等边三角形的判定方
法证明即可．
证明：如图，设AC、BF相交于点O，
∵∠CAB+∠CBA＝120°，
∴∠C＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DF＝EF，∠DFE＝60°，
由三角形的外角性质得，∠ADF＝∠DFE+∠DOF，
∠BEF＝∠C+∠COE，∵∠DFE＝∠C＝60°，∠DOF＝∠COE（对顶角相等），
∴∠ADF＝∠BEF，
在△ADF和△BEF中，
{
AD=BE
∠ADF=∠BEF，
DF=EF
∴△ADF≌△BEF（SAS），
∴AF＝BF，∠AFD＝∠BFE，
∴∠AFB＝∠DFE＝60°，
∴△FAB是等边三角形．
解题秘籍：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与
它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质与三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于求出
∠ADF＝∠BEF．
5．（2017春•水城县校级期末）已知：如图△ABC是等边三角形，D、E分别是BC，AC上两点且BD＝
CE，以AD为边在AC一侧作等边△ADF．求证：EF∥BC．
思路引领：连接CF，根据等边三角形的性质求得 AB＝AC，AD＝AF，∠BAD＝∠CAF，然后证得
△BAD和△CAF全等，得出∠ACF＝∠ABD＝60°，BD＝CF，进而证得△CEF是等边三角形，得出
∠CEF＝∠ACB＝60°，即可证得结论．
证明：连接CF，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵△ADF是等边三角形，∴AD＝AF，∠DAF＝60°，
∴∠BAC＝∠DAF＝60°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAF﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAF，
在△BAD和△CAF中
{
AB=AC
∠BAD=∠CAF，
AD=AF
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF＝∠ABD＝60°，BD＝CF，
∵BD＝CE，
∴CF＝CE，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠CEF＝60°，
∴∠CEF＝∠ACB＝60°，
∴EF∥BC．
解题秘籍：本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定等，证得
△CEF是等边三角形是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，分别以AB、AC为边作等边△ABD与等边△ACE，连接BE、CD，BE的延长线与
CD交于点F，连接AF，求证：
（1）BE＝CD；
（2）FA平分∠EFC；
（3）∠BFD＝60°；
（4）FE+FC＝FA．思路引领：（1）欲证明BE＝CD，只要证明△BAE≌△DAC即可；
（2）作AM⊥BE于M，AN⊥DC于N．只要证明AM＝AN即可解决问题；
（3）利用“八字型”证明∠OFD＝∠OAB即可；
（4）由Rt AME≌Rt ANC，△AFM≌△AFN，可得EM＝CN，FM＝FN，推出EF+CF＝FM+EN+FN
﹣CN＝2FN△，由∠MFN△＝120°，∠AMF＝∠ANF＝90°，推出∠MAN＝60°，推出∠FAN＝∠FAM＝30°，
可得AF＝2FN，由此即可解决问题；
证明：（1）∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠EAC＝60°，
∴∠BAE＝∠DAC，
在△BAE和△DAC中，
{
AB=AC
∠BAE=∠DAC，
AE=AC
∴△BAE≌△DAC，
∴BE＝CD．
（2）作AM⊥BE于M，AN⊥DC于N．
∵△BAE≌△DAC，
∴AM＝AN（全等三角形对应边上的高相等），
∴AFM＝∠AFN，
∴AF平分∠EFC．
（3）设BF交AD于O．
∵△BAE≌△DAC，
∴∠ABO＝∠ODF，
∵∠AOB＝∠DOF，
∴∠OFD＝∠OAB＝60°，即∠BFD＝60°．（4）在Rt AME和Rt ANC中，
{AM=AN△ △
，
AE=AC
∴Rt AME≌Rt ANC，同理可证△AFM≌△AFN，
∴EM△＝CN，FM△＝FN，
∴EF+CF＝FM+EN+FN﹣CN＝2FN，
∵∠MFN＝120°，∠AMF＝∠ANF＝90°，
∴∠MAN＝60°，
∴∠FAN＝∠FAM＝30°，
∴AF＝2FN，
∴EF+CF＝FA．
解题秘籍：本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质．角平分线的判定和性质、直角三角
形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线吗，构造全等三角形解决问题，属于中考常
考题型．
7．（2016秋•西华县期中）如图①，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接
BD，CE，BD和CE相交于点F，若△ABC不动，将△ADE绕点A任意旋转一个角度．
（1）求证：△BAD≌△CAE．
（2）如图①，若∠BAC＝∠DAE＝90°，判断线段BD与CE的关系，并说明理由；
（3）如图②，若∠BAC＝∠DAE＝60°，求∠BFC的度数；
（4）如图③，若∠BAC＝∠DAE＝α，直接写出∠BFC的度数（不需说明理由）思路引领：（1）由等边三角形的性质得出 AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD，从而得出∠BAD＝
∠CAE，即可得出△BAD≌△CAE．
（2）判定BD与CE的关系，可以根据角的大小来判定．由∠BAC＝∠DAE可得∠BAD＝∠CAE，进而
得△BAD≌△CAE，所以∠CBF+∠BCF＝∠ABC+∠ACB．再由∠BAC＝∠DAE＝90°，所以BD⊥CE．
（3）根据①的∠CBF+∠BCF＝∠ABC+∠ACB，所以∠BFC＝∠BAC，再由∠BAC＝∠DAE＝60°，所
以∠BFC＝60°
（4）根据②∠BFC＝∠BAC，所以∠BFC＝α
解：（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE
在△BAD与△CAE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
（2）BD与CE相互垂直，BD＝CE．
由（1）知，△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠BFC＝90°
∴BD⊥CE．
（3）由题①得∠CBF+∠BCF＝∠ABC+∠ACB，
∵∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC+∠ACB，
∴∠BFC＝∠BAC
∴∠BFC＝60°．
（4）由题（1）得∠CBF+∠BCF＝∠ABC+∠ACB，∵∠BAC＝∠DAE＝α，
∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC+∠ACB，
∴∠BFC＝∠BAC
∴∠BFC＝α．
解题秘籍：此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形
的性质以及角之间的关系，判断出∠BAD＝∠CAE是解本题的关键．
