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第15章 轴对称章末题型过关卷
【人教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2024•红花岗区模拟）观察下面A，B，C，D四幅图，其中与如图成轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称的定义判定即可．
【详解】解：与已知图形成轴对称的图形是选项C：
．
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称的性质，解题的关键是理解轴对称的性质，属于中考常考题型．
2．（2025春•柯桥区期末）在△ABC中，已知D为直线BC上一点，若∠ABC＝α，∠BAD＝β，且AB＝
AC＝CD，则β与α之间不可能存在的关系式是（ ）
3 3 3 3
A．β＝90°- α B．β＝180°- α C．β= α-90° D．β＝120°- α
2 2 2 2
【分析】分点D在线段BC上，在BC延长线上，在CB延长线上讨论，根据外角和等于不相邻的两个
内角和及三角形内角和定理可求β与α的等量关系式．
【详解】解：当点D在线段BC上，
∵∠ABC＝α，CA＝AB，∴∠C＝∠ABC＝α，
∵CD＝CA，
180°-∠C 1
∴∠ADC＝∠CAD= =90°- α，
2 2
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
1
∴90°- α＝α+β，
2
3
即β＝90°- α；
2
当点D在线段BC的延长线上，
3
同理可得：β＝180°- α；
2
当点D在线段CB的延长线上，
3
同理可得：β= α﹣90°．
2
故选：D．
【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形外角的性质．注意分类思想的应用是解此题的
关键．
3．（2024•南昌）如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子，我们约定跳棋游
戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内沿直线隔着棋子对称跳行，跳行一次称为一步，已知点 A为乙方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为（ ）
A．2步 B．3步 C．4步 D．5步
【分析】根据题意，结合图形，由轴对称的性质判定正确选项．
【详解】解：观察图形可知：先向右跳行，在向左，最后沿着对称的方法即可跳到对方那个区域，所以
最少是3步．
故选B．
【点睛】此题考查轴对称的基本性质，注意：对称轴垂直平分对应点的连线．通过对称的性质找到最短
的路线是解题的关键．
4．（2025春•龙岗区期末）如图，△ABC中，AC＝DC＝3，BD垂直∠BAC的角平分线于D，E为AC的
中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ）
A．6 B．4.5 C．3 D．2
【分析】首先证明两个阴影部分面积之差＝S ，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大．
△ADC
【详解】解：延长BD，AC相交于点H．设AD交BE于点O．∵AD⊥BH，
∴∠ADB＝∠ADH＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠H+∠HAD＝90°，
∵∠BAD＝∠HAD，
∴∠ABD＝∠H，
∴AB＝AH，
∵AD⊥BH，
∴BD＝DH，
∵DC＝CA，
∴∠CDA＝∠CAD，
∵∠CAD+∠H＝90°，∠CDA+∠CDH＝90°，
∴∠CDH＝∠H，
∴CD＝CH＝AC，
∵AE＝EC，
1 1
∴S = S ，S = S ，
△ABE 4 △ABH △CDH 4 △ABH
∵S ﹣S ＝S ﹣S ＝S ﹣S ＝S ，
△OBD △AOE △ADB △ABE △ADH △CDH △ACD
∵AC＝CD＝3，
1 9
∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为 ×3×3= ．
2 2
故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思
想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
5．（2022秋•兴业县期末）如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2．若点M，N分别在OA，OB
上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
【分析】如图在OA、OB上截取OE＝OF＝OP，作∠MPN＝60°，只要证明△PEM≌△PON即可推出
△PMN是等边三角形，由此即可得结论
【详解】解：如图在OA、OB上截取OE＝OF＝OP，作∠MPN＝60°．
∵OP平分∠AOB，
∴∠EOP＝∠POF＝60°，
∵OP＝OE＝OF，
∴△OPE，△OPF是等边三角形，
∴EP＝OP，∠EPO＝∠OEP＝∠PON＝∠MPN＝60°，
∴∠EPM＝∠OPN，
在△PEM和△PON中，
{∠PEM=∠PON
PE=PO ，
∠EPM=∠OPN
∴△PEM≌△PON（ASA）．
∴PM＝PN，∵∠MPN＝60°，
∴△PNM是等边三角形，
∴只要∠MPN＝60°，△PMN就是等边三角形，
故这样的三角形有无数个．
故选：D．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题
的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．
6．（2022秋•望城区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点
F，DE＝4，则BF的长为（ ）A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】由等腰三角形的性质得到△ABC是△ABD的面积的两倍，然后用等面积法求得DE和BF的关
系，进而得到BF的长．
【详解】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD是△ABC的中线，
1
∴S ＝2S ＝2× ×DE•AB＝DE•AB，
△ABC △ABD 2
1
∵S = AC•BF，
△ABC 2
1
∴ AC•BF＝DE•AB，
2
∵AC＝AB，
1
∴ BF＝DE，
2
∵DE＝4，
∴BF＝8，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、解题的关键是熟练应用等面积法求高．
7．（2022秋•平邑县期中）已知：点A（m﹣1，3）与点B（2，n﹣1）关于x轴对称，则（m+n）的值为
（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．3
【分析】利用关于x轴对称点的性质得出m，n的值，进而求出即可．
【详解】解：∵点A（m﹣1，3）与点B（2，n﹣1）关于x轴对称，
∴m﹣1＝2，n﹣1＝﹣3，
解得：m＝3，n＝﹣2，
则m+n＝1．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，利用横纵坐标关系得出是解题关键．8．（2022秋•思明区校级期末）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF
上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（ ）
1 2 1 1 3
A． a+ b B． a+b C．a+ b D． a
2 3 2 2 2
【分析】首先证明点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM
交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小．
【详解】解：如图，∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
1
∵AF＝CF= a，BF＝b，
2
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，
∴点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），
作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，
∵CA＝CM，∠ACM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AM＝AC，
∵BF⊥AC，
∴FM＝BF＝b，
1
∴△AEF周长的最小值＝AF+FE′+AE′＝AF+FM= a+b，
2
故选：B．【点睛】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题
的关键是证明点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．
9．（2022秋•富川县期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC
1
于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°+ ∠C；②当∠C＝60°
2
时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S ＝ab．其中正确的是（ ）
△ABC
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上
取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，再证得△HAO≌△FAO，得
到AF＝AH，进而判定②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得③正确．
【详解】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
1 1
∴∠OBA= ∠CBA，∠OAB= ∠CAB，
2 2
1 1 1 1
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°- ∠CBA- ∠CAB＝180°- （180°﹣∠C）＝90°+ ∠C，①
2 2 2 2
正确；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
1
∴∠OAB+∠OBA= （∠BAC+∠ABC）＝60°，
2
∴∠AOB＝120°，∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
{
BH=BE
在△HBO和△EBO中， ∠HBO=∠EBO，
BO=BO
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AOH＝∠AOF，
{∠HAO=∠FAO
在△HAO和△FAO中， AO=AO ，
∠AOH=∠AOF
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正确；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OH＝OM＝OD＝a，∵AB+AC+BC＝2b
1 1 1 1
∴S = ×AB×OM+ ×AC×OH+ ×BC×OD= （AB+AC+BC）•a＝ab，③正确．
△ABC 2 2 2 2
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出
辅助线证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，是解决问题的关键．
10．（2022秋•周村区校级期中）如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC＝∠EDC＝72°，
∠AEB＝92°，则∠EBD的度数为（ ）
A．168° B．158° C．128° D．118°
【分析】连接 CE，依据线段 AB，DE 的垂直平分线交于点 C，可得 CA＝CB，CE＝CD，判定
△ACE≌△BCD，可得∠AEC＝∠BDC，设∠AEC＝∠BDC＝α，则∠BDE＝72°﹣α，∠CEB＝92°﹣α，
∠BED＝∠DEC﹣∠CEB＝72°﹣（92°﹣α）＝α﹣20°，即可得到△BDE中，∠EBD＝180°﹣（72°﹣α）
﹣（α﹣20°）＝128°．
【详解】解：如图，连接CE，
∵线段AB，DE的垂直平分线交于点C，
∴CA＝CB，CE＝CD，
∵∠ABC＝∠EDC＝72°＝∠DEC，
∴∠ACB＝∠ECD＝36°，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
{
CA=CB
∠ACE=∠BCD，
CE=CD
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠AEC＝∠BDC，设∠AEC＝∠BDC＝α，则∠BDE＝72°﹣α，∠CEB＝92°﹣α，
∴∠BED＝∠DEC﹣∠CEB＝72°﹣（92°﹣α）＝α﹣20°，
∴△BDE中，∠EBD＝180°﹣（72°﹣α）﹣（α﹣20°）＝128°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键
是依据全等三角形的对应角相等，以及三角形内角和定理得出结论．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2024•南京模拟）如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，BD＝3cm，DE＝4cm，则CD＝ 7 cm．
【分析】先证明△ABD≌△ACE，从而证得BD＝CE＝3cm，进一步计算即可求解．
【详解】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
同理∠ADE＝∠AED，
∴180°﹣∠ADE＝180°﹣∠AED，即∠ADB＝∠AEC，
在△ABD和△ACE中，
{∠ADB=∠AEC
∠B=∠C ，
AB=AC
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD＝CE＝3cm，
∴CD＝DE+CE＝4+3＝7（cm），故答案为：7．
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定与性质，关键是由已知证明△ABD≌△ACE．
12．（2022秋•江阴市校级月考）黑板上写着 ，那么正对着黑板的镜子里的像是 50281
．
【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于
镜面对称．
【详解】解：根据镜面对称的性质，因此18502的真实图象应该是50281．
故答案为：50281．
【点睛】此题主要考查了镜面对称图形的性质，解决此类问题要注意所学知识与实际情况的结合．
13．（2025春•渝中区校级期末）如图，在△ABC中，D为边AC上一点，且BD平分∠ABC，过A作
AE⊥BD于E．若∠ABC＝52°，∠C＝32°，AB＝5.2，BC＝9.8，则AE＝ 2. 3 ．
【分析】延长AE交BC于F，根据角平分线的定义得到∠ABE＝∠FBE，根据趋势进行的性质得到AE
＝EF，AB＝BF＝5.2，推出AF＝CF，于是得到结论．
【详解】解：延长AE交BC于F，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE，
在△ABE和△FBE中，
{∠AEB=∠FEB=90°
BE=BE ，
∠ABE=∠FBE
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AE＝EF，AB＝BF＝5.2，
1
∴∠BAF＝∠BFA= ×（180°﹣52°）＝64°，
2
∵∠C＝32°，
∴∠CAF＝∠AFB﹣∠C＝32°，
∴∠CAF＝∠C，∴AF＝CF，
∵BC＝9.8，
∴CF＝BC﹣BF＝4.6，
∴AF＝4.6，
∴AE＝2.3，
故答案为：2.3．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的
关键．
14．（2025春•碑林区校级期末）已知△ABC中，∠B＝20°，在AB边上有一点D，若CD将△ABC分为两
个等腰三角形，则∠A＝ 100 ° 或 70 ° 或 40 ° 或 10 ° ．
【分析】分（1）BD＝CD；（2）BC＝DC两种情况进行讨论，根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：（1）BD＝CD，
∵∠B＝20°，
∴∠DBC＝20°，
∴∠ADC＝40°，
①AD＝AC时，∠A＝180°﹣40°×2＝100°；
②DC＝DA时，∠A＝（180°﹣40°）÷2＝70°；
③AC＝AD时，∠A＝∠ADC＝40°；
（2）BC＝DC，
∵∠B＝20°，
∴∠BDC＝20°，
∴∠ADC＝180°﹣20°＝160°，
DC＝DA时，∠A＝（180°﹣160°）÷2＝10°．
综上所述∠A＝100°或70°或40°或10°．
故答案为：100°或70°或40°或10°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是熟练掌握等腰三角形的性质，三角
形内角和定理，注意分类思想的应用．
15．（2024•中山市三模）已知等腰三角形的两边a，b的长满足|a-5|+√b-4=0，则该等腰三角形的
周长为 1 3 或 1 4 ．
【分析】先根据非负数的性质求出a，b的值，再根据等腰三角形的性质解答．由于没有明确腰、底分
别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：∵|a﹣5|+√b-4=0，
∴a﹣5＝0，b﹣4＝0，
解得a＝5，b＝4．
当a＝5为底时，腰长为4，4，能组成三角形，故周长为5+4+4＝13．
当b＝4为底时，腰长为5，5，能组成三角形，故周长为4+5+5＝14．
所以周长为：13或14．
故答案为：13或14．
【点睛】本题考查了非负数的性质，等腰三角形的性质，三角形三边关系定理以及周长的求法．注意非
负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．
16．（2025春•锦江区校级期末）已知△ABC为等边三角形，AB＝10，M在AB边所在直线上，点N在AC
边所在直线上，且MN＝MC，若AM＝16，则CN的长为 4 或 3 6 ．【分析】分两种情形：①当点M在AB的延长线上时，作MD⊥AC于D．②当点M在BA的延长线上时，
作MD⊥CN于D．分别求解即可．
【详解】解：由题意可知，BM＝AN＝6，
①如图，当点M在AB的延长线上时，作MD⊥AC于D．
在Rt△AMD中，
∵∠ADM＝90°，∠A＝60°，AM＝16，
1
∴AD= AM＝8，
2
∴CD＝AC﹣AD＝2，
∵MN＝MC，MD⊥CN，
∴DN＝CD，
∴CN＝2CD＝4．
②如图，当点M在BA的延长线上时，作MD⊥CN于D，在Rt△AMD中，
∵∠ADM＝90°，∠DAM＝60°，AM＝16，
1
∴AD= AM＝8，
2
∴CD＝AD+AC＝18，
∵MN＝MC，MD⊥CN，
∴DN＝CD，
∴CN＝2CD＝36，
故答案为：4或36．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形的应用，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考
问题，学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（2025春•彭阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，2），B（﹣3，﹣2）
（1）若点D与点A关于y轴对称，则点D的坐标为 （ 2 ， 2 ） ．
（2）将点B先向右平移5个单位再向上平移1个单位得到点C，则点C的坐标为 （ 2 ， 1 ） ．
（3）求A，B，C，D组成的四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案；（2）根据点向右平移加，向上平移加，可得答案；
（3）根据图形割补法，可得矩形BFDE，根据面积的和差，可得答案．
【详解】解：（1）若点D与点A关于y轴对称，则点D的坐标为 （2，2）；
（2）将点B先向右平移5个单位再向上平移1个单位得到点C，则点C的坐标为（2，﹣1）；
（3）如图 ，
1 1 31
S ＝S ﹣S ﹣S ＝5×4- ×1×4- ×1×5= ．
四边形ABCD 矩形BFDE △ABE △BCF 2 2 2
【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴
对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关
于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
18．（2025春•沙坪坝区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝∠ACB，点D是BC边上一点，且满足∠B＝
∠1，CE平分∠ACB交AD于点E．
（1）若∠ADC＝80°，求∠2的度数；
（2）过点E作EF∥AB，交BD于点F，请说明∠FEC＝3∠3．
【分析】（1）首先利用三角形外角的性质求得∠B＝40°，再利用三角形内角和求出∠ACB的度数，从
而得出答案；
（2）设∠B＝x，则∠1＝x，利用平行线的性质和三角形内角和定理分别表示出∠FEC和∠3，从而解决
问题．
【详解】解：（1）∵∠ADC＝∠B+∠1，∠B＝∠1，∴2∠B＝80°，
∴∠B＝40°，
∵∠BAC＝∠ACB，
∴∠ACB＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠2＝∠3＝35°；
（2）设∠B＝x，则∠1＝x，
∵EF∥AB，
∴∠DEF＝∠1＝x，
1
∴∠ACB＝90°- x，
2
1
∴∠2＝∠3＝45°- x，
4
1 7
∴∠DEC＝180°﹣（∠EDC+∠DCE）＝180°﹣（2x+45°- x）＝135°- x，
4 4
7 3
∴∠FEC＝∠FED+∠CED＝x+135°- x＝135°- x，
4 4
∴∠FEC＝3∠3．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质等知识，利用参数 x分
别表示出∠FEC和∠3，是解题的关键．
19．（2024•宿豫区校级开学）在图①补充2个小方块，在图②、③、④中分别补充3个小方块，分别使它
们成为轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的定义解答即可．
【详解】解：作轴对称图形如下（答案不唯一）：【点睛】此题主要考查了轴对称图形．解题的关键是掌握轴对称图形的定义．轴对称图形的定义：如果
一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对
称轴．
20．（2022秋•裕华区期末）【问题】
已知：如图，在△ABC中，点D为BC边上一点，BD＝BA．EF垂直平分AC，交AC于点E，交BC于
点F，连接AF．当∠B＝30°，∠BAF＝90°时，求∠DAC的度数．
【探究】
若把“问题”中的条件“∠B＝30°”去掉，其它条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？请说明理由．
【拓展】
若把“问题”中的条件“∠B＝30°”去掉，再将“∠BAF＝90°”改为“∠BAF＝α”，其余条件不变，
1
则∠DAC＝ α ．
2
【分析】【问题】
连接AD，AF，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解∠BAD的度数，利用线段垂直平分
线的性质可得∠CAF＝∠C，结合三角形的内角和定理可求得∠AFB及∠C的度数，进而可求解；
【探究】
类比【问题】的解法可求解；
【拓展】
类比【问题】的解法可求解．
【详解】解：【问题】
连接AD，AF，∵AB＝BD，∠B＝30°，
180°-30°
∴∠BAD＝∠BDA= =75°，
2
∵EF垂直平分AC，
∴∠CAF＝∠C，
∵∠B+∠AFB+∠BAF＝180°，∠BAF＝90°，
∴∠AFB＝90°﹣30°＝60°，
∵∠AFB＝∠C+∠CAF＝2∠C，
∴∠C＝∠CAF＝30°，
∴∠CAD＝∠ADB﹣∠C＝75°﹣30°＝45°；
【探究】
连接AD，AF，
∵AB＝BD，
180°-∠B 1
∴∠BAD＝∠BDA= =90°- ∠B，
2 2
∵EF垂直平分AC，
∴∠CAF＝∠C，
∵∠B+∠AFB+∠BAF＝180°，∠BAF＝90°，
∴∠AFB＝90°﹣∠B，
∵∠AFB＝∠C+∠CAF＝2∠C，
1
∴∠C＝∠CAF＝45°- ∠B，
2
1 1
∴∠CAD＝∠ADB﹣∠C=90°- ∠B-（45°- ∠B）＝45°；
2 2
【拓展】
连接AD，AF，∵AB＝BD，
180°-∠B 1
∴∠BAD＝∠BDA= =90°- ∠B，
2 2
∵EF垂直平分AC，
∴∠CAF＝∠C，
∵∠B+∠AFB+∠BAF＝180°，∠BAF＝α，
∴∠AFB＝180°﹣α﹣∠B，
∵∠AFB＝∠C+∠CAF＝2∠C，
1 1
∴∠C＝∠CAF＝90°- α- ∠B，
2 2
1 1 1 1
∴∠CAD＝∠ADB﹣∠C=90°- ∠B-（90°- α- ∠B）= α．
2 2 2 2
1
故答案为： α．
2
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，利用类比推
理求解是解题的关键．
21．（2022秋•绵竹市期末）在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB
的延长线上，且EC＝ED．
（1）如图1，若点E是AB的中点，求证：BD＝AE；
（2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立，请直接写出
BD与AE数量关系，若成立，请给予证明．
【分析】（1）由等边三角形的性质得出AE＝BE，∠BCE＝30°，再根据ED＝EC，得出∠D＝∠BCE＝
30°，再证出∠D＝∠DEB，得出DB＝BE，从而证出AE＝DB；（2）作辅助线得出等边三角形AEF，得出AE＝EF，再证明三角形全等，得出DB＝EF，证出AE＝
DB．
【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点E是AB的中点，
∴CE平分∠ACB，AE＝BE，
∴∠BCE＝30°，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠BCE＝30°．
∵∠ABC＝∠D+∠BED，
∴∠BED＝30°，
∴∠D＝∠BED，
∴BD＝BE．
∴AE＝DB．
（2）解：AE＝DB；
理由：过点E作EF∥BC交AC于点F．如图2所示：
∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，
即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°，
∵DE＝EC，
∴∠D＝∠ECD，∴∠BED＝∠ECF．
在△DEB和△ECF中，
{∠DEB=∠ECF
∠DBE=∠EFC，
DE=EC
∴△DEB≌△ECF（AAS），
∴DB＝EF，
∴AE＝BD．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形的外角以及全等三角形的判定与性质；证明三角
形全等是解决问题的关键．
22．（2022秋•南阳期末）在△ABC中，AB＝AC．
（1）如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝ 15 ° ．
（2）如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝ 20 ° ．
（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？并给予证明．
【分析】（1）等腰三角形三线合一，所以∠DAE＝30°，又因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝75°，
所以∠DEC＝15°；
（2）同理，易证∠ADE＝70°，所以∠DEC＝20°；
（3）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AED＝∠EDC+∠C，∠ADC＝
∠B+∠BAD，再根据等边对等角的性质∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，
进而得出∠BAD＝2∠CDE．
【详解】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAD＝30°，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝75°，
∴∠EDC＝15°；（2）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAD＝40°，
∴∠BAD＝∠CAD＝40°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝70°，
∴∠EDC＝20°；
1
（3）∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC= ∠BAD）；理由如下：
2
∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE，
即∠BAD＝2∠CDE．
故答案为：15°；20°．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，三角形的外角性质进行推理的能
力，熟记性质是解题的关键．
23．（2022秋•东至县期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，
∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；
（2）根据全等易得∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求
三角形的形状；
（3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨
即可．
【详解】证明：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC，
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
解：
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC，α＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°．
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，
∴α＝140°．
③当∠ADO＝∠OAD时，
α﹣60°＝50°，∴α＝110°．
综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
【点睛】综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各
种情况．
