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第15讲 一般三角形及其性质
一、 知识清单梳理
知识点一：三角形的分类及性质 关键点拨与对应举例
（1）按角的关系分类 （2）按边的关系分类
失分点警示：
1.三角形
在运用分类讨论思想计算等腰
的分类 三角形周长时，必须考虑三角
形三边关系.
例：等腰三角形两边长分别是3
和6，则该三角形的周长为15.
2. 三 边 关
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
系
（1）内角和定理：
利用三角形的内、外角的性质
①三角形的内角和等180°； 求角度时，若所给条件含比例，
3.角的关 ②推论：直角三角形的两锐角互余. 倍分关系等，列方程求解会更
系 （2）外角的性质：
简便.有时也会结合平行、折叠、
等腰（边）三角形的性质求解.
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.
②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.
四线 性 质
（1） 角平线上的点到角两边的距离相等
角平分线
（2） 三角形的三条角平分线的相交于一点（内心） （1）角平分线、高结合求角度
4. 三 角 形 （1）将三角形的面积等分 时，注意运用三角形的内角和
中线
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
为180°这一隐含条件.
中 的 重
（2）当同一个三角形中出现两
要线段 高 锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高 条高，求长度时，注意运用面积
相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部
这个中间量来列方才能够求解.
中位线 平行于第三边，且等于第三边的一半
如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α= ∠BAC-∠CAE= (180°-∠B-
∠C）-（90°-∠C）= (∠C-∠B）；
如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O= ∠A+90°；
5. 三角形
中内、外
对于解答选择、填空题，可
如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O= ∠A，∠O’=
角 与 角
以直接通过结论解题，会起
平 分 线
∠O； 到事半功倍的效果.
的 规 律
总结
如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°- ∠A.
知识点二 ：三角形全等的性质与判定
6. 全 等 三
(1)全等三角形的对应边、对应角相等． 失分点警示：运用全等三角
(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． 形的性质时，要注意找准对
角形的性
应边与对应角.
质 (3)全等三角形的周长等、面积等．
一 般 SSS（三边对 SAS（两边和 ASA（两角和它 AAS（两角和其 失分点警示
7. 三 角 形
第 1 页 共 2 页三 角 应相等） 它们的夹角对 们的夹角对应相 中一个角的对边 如图，SSA和AAA不能判
形 全 应相等） 等） 对应相等） 定两个三角形全等.
等
全等的判
定
直 角 (1)斜边和一条直角边对应相等（HL）
三 角 (2)证明两个直角三角形全等同样可以用
形 全 SAS,ASA和AAS.
等
（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个 例：
全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公 如图，在△ABC 中，已知
∠1=∠2，BE=CD，AB=5，
共角、公共边、对顶角等银行条件.
AE=2 ， 则
（2）全等三角形中的辅助线的作法：
CE=3.
①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.
②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由 SAS 可得
△ACD≌△EBD，则AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即 AB+A C ＞ 2A D.
8. 全 等 三
③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.
角形的运
用
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