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专题 特殊的分解因式的方法
方法一：用十字相乘法进行因式分解
方法二：用分组分解法进行因式分解
方法三：用换元法进行因式分解
方法四：添项或拆项进行因式分解
方法五：在实数范围内分解因式
方法一：用十字相乘法进行因式分解
方法介绍：对于一个二次三项式 ，若存在 ， ，且 ，那么
二次三项式 可以分解为：
举例说明：
。∴
对于初中所用的十字相乘法，二次项系数 基本是等于1的，即 。若存在有 ，且
，则 可分解为：
举例说明：
∵ 且
∴
1．阅读下列材料：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以
把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）．
例如：①x2+4x+3＝（x+1）（x+3）；
②x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．
根据材料，把下列式子进行因式分解．
（1）x2﹣6x+8；
（2）x2﹣2x﹣15；
（3）（x﹣4）（x+7）+18．
【分析】根据x2+（m+n）x+mn＝（x+m）（x+n）进行解答即可．
【解答】解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）；
（2）x2﹣2x﹣15＝（x+3）（x﹣5）；
（3）（x﹣4）（x+7）+18
＝x2+3x﹣28+18
＝x2+3x﹣10＝（x﹣2）（x+5）．
2．多项式x2﹣4x+m分解因式的结果是（x+3）（x﹣n），则 的值（ ）
A． B．3 C．﹣3 D．
【分析】根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，把（x+3）（x﹣n）展开，可得x2+（3﹣n）x﹣3n，
则有x2﹣4x+m＝x2+（3﹣n）x﹣3n；利用“两个多项式相等，则对应项的系数相等”得到关于 m、n的
方程组，解出m，n的值，再把m，n值代入 中计算即可．
【解答】解：∵（x+3）（x﹣n）＝x2+（3﹣n）x﹣3n，
∴x2﹣4x+m＝x2+（3﹣n）x﹣3n；
∴
解得：
∴ ，
故选：C．
3．若x2+mx﹣10＝（x﹣5）（x+n），则m+n的值为（ ）
A．5 B．﹣1 C．﹣5 D．1
【分析】利用乘法公式把（x﹣5）（x+n）展开得到x2+（n﹣5）x﹣5n，所以﹣5n＝﹣10，m＝n﹣5，
从而可求出m、n的值，然后计算m+n的值．
【解答】解：∵（x﹣5）（x+n）＝x2+（n﹣5）x﹣5n，
∴﹣5n＝﹣10，m＝n﹣5，
解得n＝2，m＝﹣3，
∴m+n＝﹣3+2＝﹣1．
故选：B．
4．甲、乙两位同学在对多项式x2+bx+c分解因式时，甲看错了b的值，分解的结果是（x﹣4）（x+5），
乙看错了c的值，分解的结果是（x+3）（x﹣4），那么c﹣5b的值为（ ）
A．15 B．﹣15 C．25 D．﹣25
【分析】根据甲看错了b的值推导出c值，乙看错了c的值推导出b值，最后代入c﹣5b计算即可．
【解答】解：（x﹣4）（x+5）＝x2+x﹣20，（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣12，
∵甲看错了b的值，分解的结果是（x﹣4）（x+5），
∴c＝﹣20，
∵乙看错了c的值，分解的结果是（x+3）（x﹣4），
∴b＝﹣1，
∴c﹣5b＝﹣20﹣5×（﹣1）＝﹣15．故选：B．
5．阅读材料：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成（x+a）2的形式，
但对于二次三项式x2+6x﹣27，就不能直接用公式法分解了．此时，我们可以在 x2+6x﹣27中间先加上
一项9，使它与x2+6x的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：x2+6x﹣
27＝（x2+6x+9）﹣9﹣27＝（x+3）2﹣62＝（x+3+6）（x+3﹣6）＝（x+9）（x﹣3）．像这样，把一个
二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法．
利用上述“配方法”分解因式：
（1）x2﹣2x﹣15；
（2）x2+4xy﹣5y2．
【分析】（1）将原式变形为x2﹣2x+1﹣1﹣15，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；
（2）将原式变形为x2+4xy+4y2﹣4y2﹣5y2，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣15
＝x2﹣2x+1﹣1﹣15
＝（x﹣1）2﹣42
＝（x﹣1+4）（x﹣1﹣4）
＝（x+3）（x﹣5）；
（2）x2+4xy﹣5y2
＝x2+4xy+4y2﹣4y2﹣5y2
＝（x+2y）2﹣（3y）2
＝（x+2y+3y）（x+2y﹣3y）
＝（x+5y）（x﹣y）．
6．阅读与思考
整式乘法与因式分解是方向相反的变形，
即由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解，
例如：将x2+3x+2分解因式．
解：因为x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2，所以x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．
请仿照上面的方法，解答下列问题：
（1）分解因式：x2﹣2x﹣8．
（2）分解因式：x3﹣8x2+12x．
（3）若x2+px﹣6可分解为两个一次因式的积，写出整数p所有可能的值．
【分析】（1）模仿例题即可求解；
（2）先提公因式法x，然后模仿例题即可求解；
（3）将常数﹣6进行分解即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣8＝x2+（﹣4+2）x+2×（﹣4）∴x2﹣2x﹣8＝（x﹣4）（x+2）；
（2）原式＝x（x2﹣8x+12），
∵x2﹣8x+12＝x2+（﹣2﹣6）x+（﹣2）×（﹣6），
∴x2﹣8x+12＝（x﹣2）（x﹣6），
∴x3﹣8x2+12x＝x（x﹣2）（x﹣6）；
（3）∵﹣6＝（﹣1）×6＝1×（﹣6）＝2×（﹣3）＝（﹣2）×3，
∴p＝﹣1+6＝5或p＝1﹣6＝﹣5或p＝2﹣3＝﹣1或p＝﹣2+3＝1，p＝0，
因此整数p的值可能为5或﹣5或1或﹣1或0．
7．【教材呈现】人教版八年级上册数学教材121页有“阅读与思考”：
根据多项式的乘法法则，可知（x+p）（x+q）＝x2+px+qx+pq＝x2+（p+t）x+p．
那么，反过来，也有x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）
这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式．
例如，因式分解x2+3x+2．这个式子的二次项系数是1，常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2，符合x2+
（p+q）x+pq类型，于是有x2+3x+2＝（x+1）（x+2）这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右
上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．
这样，我们也可以得到x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．
利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式：
（1）分解因式：
①x2﹣5x﹣24＝ （ x ﹣ 8 ）（ x + 3 ） ；
②x2+8xy+12y2＝ （ x + 2 y ）（ x + 6 y ） ；
【知识应用】
（2）请用上述方法，因式分解：（x2+x）2﹣（x2+x）﹣2；
【拓展提升】
（3）因式分解：x2y+x2﹣3xy+xy2﹣4y2．
【分析】（1）仿照阅读材料中的方法将原式分解即可；
（2）两次利用材料中的方法将原式分解即可；
（3）原式利用分组分解法即可．
【解答】解：（1）①x2﹣5x﹣24＝（x﹣8）（x+3）；
②x2+8xy+12y＝（x+2y）（x+6y）；
故答案为：①（x﹣8）（x+3）；②（x+2y）（x+6y）；
（2）（x2+x）2﹣（x2+x）﹣2＝（x2+x+1）（x2+x﹣2）
＝（x2+x+1）（x﹣1）（x+2）；
（3）x2y+x2﹣3xy+xy2﹣4y2
＝（x2y+xy2）+（x2﹣3xy﹣4y2）
＝xy（x+y）+（x+y）（x﹣4y）
＝（x+y）（xy+x﹣4y）．
8．阅读并解决问题：对于二次三项式x2+4x﹣12，因不能直接运用完全平方公式，此时，我们可以先添一
适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变．这样的方法称为“配方法”．
配方法在代数式求值，解方程，最值问题等方面都有着广泛的应用；
例1．用配方法因式分解：a2+6a+8．
解：原式＝a2+6a+9﹣9+8＝（a+3）2﹣1＝（a+3+1）（a+3﹣1）
＝（a+4）（a+2）．
例2．若M＝a2﹣2a+6，利用配方法求M的最小值：
解：M＝a2﹣2a+6＝a2﹣2a+1﹣1+6＝a2﹣2a+1+5＝（a﹣1）2+5．
∵（a﹣1）2≥0．
∴当a＝1时，M有最小值5．
请利用配方法解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+10a+ 2 5 ；
（2）利用“配方法”分解因式：x2﹣6x+5；
（3）若N＝2x2+4x+8，求N的最小值；
（4）已知整式A＝﹣x2+4x﹣5与B＝x2﹣4x+4，请比较A、B的大小．
【分析】（1）根据完全平方公式的结构特征即可得出答案；
（2）将原式化为x2﹣6x+9﹣4，再利用完全平方公式、平方差公式进行因式分解即可；
（3）将N＝2x2+4x+8化为2（x﹣1）2+6，再根据偶次方的非负性进行解答即可；
（4）利用作差法，计算B﹣A的结果的符号即可．
【解答】解：（1）a2+2a×5+52＝（a+5）2，
故答案为：25；
（2）原式＝x2﹣6x+9﹣4
＝（x﹣3）2﹣4
＝（x﹣3+2）（x﹣3﹣2）
＝（x﹣1）（x﹣5）；
（3）∵N＝2x2+4x+8
＝2（x2﹣2x+4）
＝2[（x﹣1）2+3]
＝2（x﹣1）2+6，而2（x﹣1）2≥0，∴N的最小值为6；
（4）∵B﹣A＝x2﹣4x+4﹣（﹣x2+4x﹣5）
＝x2﹣4x+4+x2﹣4x+5
＝2x2﹣8x+9
＝2（x2﹣4x+ ）
＝2（x2﹣4x+4+ ）
＝2（x﹣2）2+1＞0，
A＜B．
∴
方法二：用分组分解法进行因式分解
9．因式分解：ax﹣ay+2x﹣2y＝ （ x ﹣ y ）（ a + 2 ） ．
【分析】根据题意，先把ax﹣ay+2x﹣2y，分组得（ax﹣ay）+（2x﹣2y），然后再提取公因式，得出a
（x﹣y）+2（x﹣y），最后再提取公因式即可得出答案．
【解答】解：ax﹣ay+2x﹣2y
＝（ax﹣ay）+（2x﹣2y）
＝a（x﹣y）+2（x﹣y）
＝（x﹣y）（a+2）．
故答案为：（x﹣y）（a+2）．
10．因式分解：4y2+25x2﹣1﹣4y4．
【分析】先将原式变形为25x2﹣（4y4﹣4y2+1），再利用完全平方公式、平方差公式分解因式即可．
【解答】解：4y2+25x2﹣1﹣4y4
＝25x2﹣（4y4﹣4y2+1）
＝25x2﹣（2y2﹣1）2
＝（5x+2y2﹣1）（5x﹣2y2+1）．
11．常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如 x2
﹣9y2﹣2x+6y，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因
式就可以完整的分解了，过程为：
x2﹣9y2﹣2x+6y＝（x2﹣9y2）﹣2（x﹣3y）＝（x﹣3y）（x+3y）﹣2（x﹣3y）＝（x﹣3y）（x+3y﹣
2）．
这种方法叫分组分解法，利用这种方法分解因式：
（1）x2﹣2xy+y2﹣16；
（2）xy2﹣2xy+2y﹣4．
【分析】（1）直接将前三项分组，再利用乘法公式分解因式进而得出答案；
（2）直接将前两项和后两项分组利用提取公因式法分解因式即可．【解答】解：（1）原式＝（x﹣y）2﹣16
＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）；
（2）xy2﹣2xy+2y﹣4
＝xy（y﹣2）+2（y﹣2）
＝（y﹣2）（xy+2）．
12．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．经过小组合作交流，
得到了如下的解决方法：
解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）
＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）
＝（2﹣3b）（a﹣2）
解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）
＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）
＝（a﹣2）（2﹣3b）
小明由此体会到，对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利
用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的．这种方法可以称为分组分解法．（温馨提示：因式
分解一定要分解到不能再分解为止）
请你也试一试利用分组分解法进行因式分解：
（Ⅰ）因式分解：x2﹣a2+x+a；
（Ⅱ）因式分解：ax+a2﹣2ab﹣bx+b2．
【分析】认真读懂题意，利用因式分解解决问题．
【解答】解：（Ⅰ）x2﹣a2+x+a
＝（x2﹣a2）+（x+a）
＝（x﹣a）（x+a）+（x+a）
＝（x+a）（x﹣a+1）；
（Ⅱ）ax+a2﹣2ab﹣bx+b2．
＝（ax﹣bx）+（a2﹣2ab+b2）
＝x（a﹣b）+（a﹣b）2
＝（a﹣b）（x+a﹣b）．
13．常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如 x2﹣4y2﹣
2x+4y，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式，就
可以完整分解了，具体分解过程如下：
x2﹣4y2﹣2x+4y
＝（x2﹣4y2）﹣（2x﹣4y）
＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）
这种方法叫分组分解法，请利用这种方法对下列多项式进行因式分解：（1）mn2﹣2mn+2n﹣4；
（2）x2﹣2xy+y2﹣16；
（3）4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3．
【分析】（1）把前两项分为一组，后两项分为一组，再提取公因式即可；
（2）把前三项分为一组，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；
（3）把式子化为两个完全平方公式的形式，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：（1）mn2﹣2mn+2n﹣4
＝（mn2﹣2mn）+（2n﹣4）
＝mn（n﹣2）+2（n﹣2）
＝（n﹣2）（mn+2）；
（2）x2﹣2xy+y2﹣16
＝（x2﹣2xy+y2）﹣16
＝（x﹣y）2﹣42
＝（x﹣y﹣4）（x﹣y+4）；
（3）4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3
＝4x2﹣4x+1﹣y2+4y﹣4
＝（4x2﹣4x+1）﹣（y2﹣4y+4）
＝（2x﹣1）2﹣（y﹣2）2
＝（2x﹣1﹣y+2）（2x﹣1+y﹣2）
＝（2x﹣y+1）（2x+y﹣3）．
14．“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下．
甲：a2﹣2ab﹣4+b2 乙：a2﹣ab﹣a+b
＝（a2﹣2ab+b2）﹣4（分成两组） ＝（a2﹣ab）﹣（a﹣b）（分成两组）
＝（a﹣b）2﹣22（直接运用公式） ＝a（a﹣b）﹣（a﹣b）（提公因式）
＝（a﹣b+2）（a﹣b﹣2） ＝（a﹣b）（a﹣1）．
请在他们解法的启发下解答下列各题．
（1）分解因式9x2﹣6xy+y2﹣16．
（2）若a，b，c分别为△ABC三边的长．
①若满足若ac﹣bc+a2﹣2ab+b2＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
②若满足a2+b2＝12a+8b﹣52，求c的范围．
【分析】（1）将原式分组整理为（9x2﹣6xy+y2）﹣16，再运用完全平方公式可得（3x﹣y）2﹣42，然后
进一步分解因式即可；
（2）①按照分组、运用公式因式分解的步骤将原式整理为（a﹣b）（a﹣b+c）＝0，结合三角形三边
关系可知a﹣b+c＞0，进而可得a﹣b＝0，即可证明结论；②按照移项、分组、运用公式因式分解的步
骤将原式整理为（a﹣6）2+（b﹣4）2＝0，根据非负数的性质解得a、b的值，然后结合三角形三边关系，即可获得答案．
【解答】解：（1）原式＝（9x2﹣6xy+y2）﹣16
＝（3x﹣y）2﹣42
＝（3x﹣y+4）（3x﹣y﹣4）；
（2）①△ABC为等腰三角形，理由如下：
已知ac﹣bc+a2﹣2ab+b2＝0，
变形得（a﹣b）c+（a﹣b）2＝0，
即（a﹣b）（a﹣b+c）＝0，
∵a，b，c分别为△ABC三边的长，
∴a﹣b+c＞0，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
即△ABC为等腰三角形；
②已知a2+b2＝12a+8b﹣52，
整理得a2﹣12a+36+b2﹣8b+16＝0，
即（a﹣6）2+（b﹣4）2＝0，
那么a﹣6＝0，b﹣4＝0，
解得：a＝6，b＝4，
∵a，b，c分别为△ABC三边的长，
∴a﹣b＜c＜a+b，即6﹣4＜c＜6+4，
∴2＜c＜10，
即c的范围为2＜c＜10．
方法三：用换元法进行因式分解
15．分解因式：（x2﹣3x）（x2﹣3x﹣8）﹣20．
【分析】将原式变形后利用十字相乘法因式分解即可．
【解答】解：原式＝（x2﹣3x）2﹣8（x2﹣3x）﹣20
＝（x2﹣3x+2）（x2﹣3x﹣10）
＝（x﹣1）（x﹣2）（x+2）（x﹣5）．
16．下面是某同学对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解的过程：
解：设x2﹣2x＝y
原式＝y（y+2）+1（第一步）
＝y2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2﹣2x+1）2（第四步）
请问：（1）该同学因式分解的结果是否彻底？ 不彻底 （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底则，该因
式分解的最终结果为 （ x ﹣ 1 ） 4 ；
（2）请你模仿上述方法，对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解．
【分析】（1）根据因式分解的步骤进行解答即可；
（2）设x2﹣4x＝y，再根据完全平方公式把原式进行分解即可．
【解答】解：（1）∵（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4，
∴该同学因式分解的结果不彻底．
故答案为：不彻底，（x﹣1）4．
（2）设x2﹣4x＝y
原式＝（y+2）（y+6）+4
＝y2+8y+16
＝（y+4）2
＝（x2﹣4x+4）2
＝（x﹣2）4．
17．下面是某同学对多项式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4进行因式分解的过程，
解：设x2﹣2x＝y
原式＝（y﹣1）（y+3）+4（第一步）
＝y2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2﹣2x+1）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了 C ．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ 不彻底 （填“彻底”或者“不彻底”）
若不彻底．请直接写出因式分解的最后结果 （ x ﹣ 1 ） 4 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解．
【分析】（1）根据完全平方公式得出即可；
（2）根据完全平方公式得出即可；
（3）先换元，再分解因式，再代入，最后求出即可．
【解答】解：（1）运用了两数和的完全平方公式，
故选：C；
（2）原式＝[（x﹣1）2]2＝（x﹣1）4，
故答案为：不彻底，（x﹣1）4；
（3）设x2﹣4x＝y，原式＝y（y+8）+16
＝y2+8y+16
＝（y+4）2
＝（x2﹣4x+4）2
＝（x﹣2）4，
即（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16＝（x﹣2）4．
18．先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．
再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题：
（1）因式分解：1+2（2x﹣3y）+（2x﹣3y）2．
（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；
【分析】（1）将（2x﹣3y）看作一个整体，利用完全平方公式进行因式分解．
（2）令A＝a+b，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解．
【解答】解：（1）原式＝（1+2x﹣3y）2．
（2）令A＝a+b，则原式变为A（A﹣4）+4＝A2﹣4A+4＝（A﹣2）2，
故（a+b）（a+b﹣4）+4＝（a+b﹣2）2．
19．先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，设x+y＝m，则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．
再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．请你写出下列因式
分解的结果：
（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2；
（2）因式分解：25（a﹣1）2﹣10（a﹣1）+1；
（3）因式分解：（y2﹣4y）（y2﹣4y+8）+16．
【分析】（1）设x﹣y＝a，原式变形为1﹣2a+a2，用完全平方公式分解因式，再把x﹣y＝a代入原式；
（2）设a﹣1＝m，原式变形为25m2﹣10m+1，用完全平方公式分解因式，再把a﹣1＝m代入原式；
（3）设y2﹣4y＝a，原式变形为a（a+8）+16，去括号后用完全平方公式分解因式，再把 y2﹣4y＝a代
入原式．
【解答】解：（1）设x﹣y＝a，
原式＝1﹣2a+a2＝（1﹣a）2；
将x﹣y＝a代入，原式＝（1﹣x+y）2；
（2）设a﹣1＝m，原式＝25m2﹣10m+1＝（5m﹣1）2；
a﹣1＝m代入，原式＝（5a﹣6）2；
（3）设y2﹣4y＝a，
原式＝a（a+8）+16
＝a2+8a+16
＝（a+4）2，
将y2﹣4y＝a代入，原式＝（y2﹣4y+4）2＝（y﹣2）4．
故答案分别为：（1﹣x+y）2；（5a﹣6）2；（y﹣2）4．
方法四：添项或拆项进行因式分解
20．何老师安排喜欢探究问题的小明解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题．
例：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0
∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0
∴m+n＝0，n﹣3＝0∴m＝﹣3，n＝3
为什么要对2n2进行了拆项呢？
聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两
个问题，请写出你的解题过程．
解决问题：
（1）若x2﹣4xy+5y2+2y+1＝0，求xy的值；
（2）已知a、b、c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝10a+12b﹣61，c是△ABC中最短边的边长，且c为
整数，那么c可能是哪几个数？
【分析】（1）已知等式变形后，利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出 x与y的值，即可求
出xy的值；
（2）由a2+b2＝10a+12b﹣61，得a，b的值．进一步根据三角形一边边长大于另两边之差，小于它们之
和，则b﹣a＜c＜a+b，即可得到答案．
【解答】解（1）∵x2﹣4xy+5y2+2y+1＝0，
∴x2﹣4xy+4y2+y2+2y+1＝0，
则（x﹣2y）2+（y+1）2＝0，
解得x＝﹣2，y＝﹣1，
故 ；
（2）∵a2+b2＝10a+12b﹣61，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，
∴a＝5，b＝6，∵1＜c＜11，且c为最短边，c为整数，
∴c为2，3，4，5．
21．学习了公式法a2±2ab+b2＝（a±b）2后，老师向同学们提出了如下问题：
①将多项式x2+4x+3因式分解：_____
x2+4x+3＝x2+4x+4﹣1＝（x+2）2﹣1＝（x+2+1）（x+2﹣1）＝（x+3）（x+1）．
②求多项式x2+4x+3的最小值．
由①，得x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，因为（x+2）2≥0，所以（x+2）2﹣1≥﹣1．所以当x＝﹣2时，
x2+4x+3的值最小，且最小值为﹣1．
请你运用上述方法解决下列问题：
（1）将多项式x2+4x﹣12因式分解；
（2）求多项式m2+8m﹣9的最小值．
【分析】（1）利用公式法先把多项式变形成完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式进行因式
分解即可求解；
（2）先利用题目中的方法进行因式分解可得m2+8m﹣9＝（m+4）2﹣25，再根据平方的非负性求解即可．
【解答】解：（1）x2+4x﹣12
＝x2+4x+4﹣16
＝（x+2）2﹣42
＝（x+2﹣4）（x+2+4）
＝（x﹣2）（x+6）；
（2）m2+8m﹣9＝m2+8m+16﹣25＝（m+4）2﹣25，
∵（m+4）2≥0，
∴（m+4）2﹣25≥﹣25，
∴多项式m2+8m﹣9的最小值﹣25．
22．阅读材料，利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我
们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问
题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例：
＝（x+2）2﹣9＝（x+2﹣3）（x+2+3）＝（x﹣1）（x+5）．
根据以上材料，利用多项式的配方法解答下列问题．
（1）分解因式：x2+2x﹣3；
（2）求多项式x2+6x﹣9的最小值；
（3）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长．
【分析】（1）首先根据阅读材料提供的思路，把多项式x2+2x﹣3配方，使代数式中有一个完全平方式：
（x2+2x+1）﹣1﹣3，利用完全平方公式分解因式得到：（x+1）2﹣4，然后再利用平方差公式分解因式即可；
（2）仿照（1）的思路把多项式x2+6x﹣9分解因式得到：（x+3）2﹣18，根据平方的非负性可得：
（x+3）2≥0，所以可知当（x+3）2取最小值0时，代数式（x+3）2﹣18有最小值﹣18，从而得到x2+6x
﹣9的最小值；
（3）首先把等式a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c右边的部分移项到左边，得到：a2﹣6a+b2﹣8b+c2﹣10c+50＝
0，然后配方得到：（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，利用平方的非负性分别求出a、b、c的值，根
据三角形周长公式求出△ABC的周长．
【解答】解：（1）原式＝x2+2x+1﹣1﹣3
＝（x2+2x+1）﹣4
＝（x+1）2﹣22
＝（x+1+2）（x+1﹣2）
＝（x+3）（x﹣1）；
（2）原式＝ ，
＝（x+3）2﹣9﹣9，
＝（x+3）2﹣18，
因为（x+3）2≥0，所以（x+3）2﹣18≥﹣18，
所以多项式x2+6x﹣9的最小值为﹣18；
（3）a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c可变为：
a2﹣6a+9﹣9+b2﹣8b+16﹣16+c2﹣10c+25﹣25+50＝0
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，
所以a＝3，b＝4，c＝5，
所以△ABC的周长＝a+b+c＝12．
23．阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因
式的方法还有分组分解法，拆项法，十字相乘法等等．
（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
①ax+by+bx+ay②2xy+y2﹣1+x2
＝（ax+bx）+（ay+by）＝x2+2xy+y2﹣1
＝x（a+b）+y（a+b）＝（x+y）2﹣1
＝（a+b）（x+y）＝（x+y+1）（x+y﹣1）
（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2+2x
﹣3
＝x2+2x+1﹣4
＝（x+1）2﹣22
＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；
（2）分解因式：a2+4ab﹣5b2；
（3）多项式x2﹣6x+1有最小值吗？如果有，请求出它取最小值时x的值．
【分析】（1）仿照题中的方法，利用分组分解法，分别将各项分解即可；
（2）仿照题中的方法，利用拆项法，分别将各项分解即可；
（3）仿照题中的方法，拆项法，得到多项式的最小值．
【解答】解：（1）a2﹣b2+a﹣b
＝（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）
＝（a﹣b）（a+b+1）；
（2）a2+4ab﹣5b2
＝a2+4ab+4b2﹣9b2
＝（a+2b）2﹣（3b）2
＝（a+2b+3b）（a+2b﹣3b）
＝（a+5b）（a﹣b）；
（3）x2﹣6x+1
＝x2﹣6x+9﹣8
＝（x﹣3）2﹣8
∵（x﹣3）2≥0，
∴（x﹣3）2﹣8≥﹣8，
∴当x＝3时，取最小值为﹣8．
24．阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法、公式法、十字相乘法等，还有分组分解法、拆项
法、配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题．
例如：分解因式：x3﹣4x2+x+6．
（1）请你试一试分解因式：x3﹣7x+6；
（2）请你试一试在实数范围内分解因式：x4﹣5x2+6．
【分析】（1）根据题意原式可化为x3﹣x﹣6x+6，再提取公因式可得x（x2﹣1）﹣6（x﹣1），再应用
平方差进行分解因式可得x（x+1）（x﹣1）﹣6（x﹣1）再提取公因式（x+1）可得（x﹣1）[x（x+1）
﹣6]，可化为（x﹣1）（x2+x﹣6），应用十字相乘法进行分解因式即可得出答案；
（2））原式可化为x4﹣2x2﹣3x2+6再提取公因式可得x2（x2﹣2）﹣3（x2﹣2），再提取公因式（x2﹣2）可得（x2﹣2）（x2﹣3），再应用实数范围内分解因式即可得出答案．
【解答】解：（1）原式＝x3﹣x﹣6x+6
＝x（x2﹣1）﹣6（x﹣1）
＝x（x+1）（x﹣1）﹣6（x﹣1）
＝（x﹣1）[x（x+1）﹣6]
＝（x﹣1）（x2+x﹣6）
＝（x﹣1）（x﹣2）（x+3）；
（2）原式＝x4﹣2x2﹣3x2+6
＝x2（x2﹣2）﹣3（x2﹣2）
＝（x2﹣2）（x2﹣3）
＝（x ）（x﹣ ）（x ）（x﹣ ）．
方法五：在实数范围内分解因式
25．在实数范围内分解因式：2x2﹣4＝ ．
【分析】先提公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可．
【解答】原式＝2（x2﹣2）
＝ ，
故答案为： ．
26．在实数范围内因式分解：3x2y2+10xy+5．
【分析】将原式变形后利用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：原式＝3（x2y2+ xy+ ）
＝3（x2y2+ xy+ ﹣ + ）
＝3[（x2y2+ xy+ ）﹣ + ]
＝3[（xy+ ）2﹣ ]
＝3（xy+ + ）（xy+ ﹣ ）．
27．在实数范围内分解因式：
（1）x（x﹣10）+25
（2）2ax4﹣8ay4
【分析】（1）直接去括号再利用完全平方公式分解因式得出答案；
（2）直接提取公因式2a，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：（1）x（x﹣10）+25
＝x2﹣10x+25＝（x﹣5）2；
（2）2ax4﹣8ay4＝2a（x4﹣4y4）
＝2a（x2+2y2）（x2﹣2y2）
＝2a（x2+2y2）（x+ y）（x﹣ y）．
28．在实数范围内分解因式：9a4﹣4b4．
丽华的解法如下：
解：原式＝（3a2+2b2）（3a2﹣2b2）．
请问丽华因式分解的结果正确吗？如果不正确，把正确的解题过程写出来．
【分析】由于在实数范围内3a2﹣2b2在实数范围内还可以继续分解，由此可对丽华因式分解的结果进行
判断，然后写出正确的解题过程即可．
【解答】解：不正确，
∵3a2﹣2b2在实数范围内还可以继续分解，
∴丽华因式分解的结果不正确，正确的结果如下：
9a4﹣4b4
＝（3a2+2b2）（3a2﹣2b2）
＝．
29．阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么形如a+bi（a，b为实
数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的
加，减，乘法运算类似．例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝5﹣3i．
（1）填空：i3＝ ﹣ i ，2i4＝ 2 ；
（2）计算：①（2+i）（2﹣i）； ②（2+i）2；
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：
已知：（x+3y）+3i＝（1﹣x）﹣yi，（x，y为实数），求x，y的值．
（4）试一试：请你参照i2＝﹣1这一知识点，将m2+25（m为实数）因式分解成两个复数的积．
【分析】（1）根据i2＝﹣1，则i3＝i2•i，i4＝i2•i2，然后计算；
（2）根据平方差公式和完全平方公式计算，出现i2，化简为﹣1计算；
（3）把原式化简后，根据实部对应实部，虚部对应虚部列出方程，求得x，y的值；
（4）利用平方差公式进行变形处理．
【解答】解：（1）∵i2＝﹣1，
∴i3＝i2•i＝﹣1•i＝﹣i，
2i4＝2i2•i2＝2（﹣1）•（﹣1）＝2，
故答案为：﹣i；2；
（2）①（2+i）（2﹣i）＝﹣i2+4＝1+4＝5；
②（2+i）2＝i2+4i+4＝﹣1+4i+4＝3+4i；（3）∵（x+3y）+3i＝（1﹣x）﹣yi，
∴x+3y＝1﹣x，3＝﹣y，
∴x＝5，y＝﹣3；
（4）m2+25＝（m+5i）（m﹣5i）．
30．请阅读以下材料，解决问题．
我们知道：在实数体系中，一个实数的平方不可能为负数，即a2≥0．但是，在复数体系中，如果一个
数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a、b为实数）的数就叫做复
数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运
算类似，例如计算：（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5＝3i；
若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，
则称这两个复数共轭，如1+2i的共轭复数为1﹣2i．
根据材料回答：
（1）填空：①（2+i）（3i﹣1）＝ 5 i ﹣ 5 ；
②将m2+9（m为实数）因式分解成两个复数的积：m2+9＝ （ m + 3 i ）（ m ﹣ 3 i ） ；
（2）若a+bi是（1+2i）2的共轭复数，求（b﹣a）2022的值；
（3）已知（a+i）（b+i）＝2﹣4i，求（a2﹣b2）（i2+i3+i4+…+i2023）的值．
【分析】（1）①根据多项式乘多项式运算法则计算即可；
②根据i2＝﹣1和平方差公式进行分解即可；
（2）根据共轭复数的定义分别求出a、b的值即可求解；
（3）先求出ab＝3，a+b＝﹣4，再由完全平方公式求出a﹣b＝±2，再通过计算可知in的运算结果﹣1，
﹣i，1，i循环出现，求出i2+i3+i4+…+i2023＝﹣1﹣i，最后再求值即可．
【解答】解：（1）①（2+i）（3i﹣1）
＝6i﹣2+3i2﹣i
＝5i﹣2﹣3
＝5i﹣5，
故答案为：5i﹣5；
②m2+9＝（m+3i）（m﹣3i），
故答案为：（m+3i）（m﹣3i）；
（2）（1+2i）2＝1+4i+4i2＝﹣3+4i，
∵a+bi是（1+2i）2的共轭复数，
∴a＝﹣3，b＝﹣4，
∴（b﹣a）2022＝（﹣4+3）2022＝1；
（3）∵（a+i）（b+i）
＝ab+（a+b）i﹣1＝2﹣4i，
∴2＝ab﹣1，a+b＝﹣4，
∴ab＝3，a+b＝﹣4，
∴a﹣b＝±2，
∵i2＝﹣1，i3＝﹣i，i4＝1，i5＝i，i6＝﹣1，i7＝﹣i，…，
∴in的运算结果﹣1，﹣i，1，i循环出现，
∵（2023﹣1）÷4＝505…2，
∴i2+i3+i4+…+i2023＝﹣1﹣i，
当a﹣b＝2时，（a2﹣b2）（i2+i3+i4+…+i2023）＝﹣8（﹣1﹣i）＝8+8i；
当a﹣b＝﹣2时，（a2﹣b2）（i2+i3+i4+…+i2023）＝8（﹣1﹣i）＝﹣8﹣8i；
综上所述：（a2﹣b2）（i2+i3+i4+…+i2023）的值为8+8i或﹣8﹣8i．
