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第17讲 图形变换和动态问题中的全等（原卷版）
第一部分 典例剖析+针对训练
类型一 图形变换中的全等
典例1（2019秋•来宾期末）如图，△ABE和△ADC分别沿着边AB、AC翻折180°形成的，若∠BCA：
∠ABC：∠BAC＝28：5：3，BE与DC交于点F，则∠EFC的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．45°
典例2（2019•广阳区一模）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中
点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重
合），给出以下五个结论：①AE＝CF；②∠APE＝∠CPF；③连接EF，△EPF是等腰直角三角形；
④EF＝AP；⑤S四边形AFPE ＝S△APC ，其中正确的有几个（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
典例3（德惠市期末）如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC沿直线BC向右平移得到
△DEF，连接AD、AE，则下列结论中不成立的是（ ）
A．AD∥BE，AD＝BE B．∠ABE＝∠DEF
C．ED⊥AC D．△ADE为等边三角形
针对训练11．（2020秋•旌阳区校级月考）如图，△ABE、△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的．若
∠BAC：∠ABC：∠ACB＝28：5：3，则∠EFC的度数为（ ）
A．75° B．80° C．95° D．100°
2．（门头沟区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN
于E．
（1）当MN绕点C旋转到图1的位置时，请你探究线段DE、AD、BE之间的数量关系（直接写出结论，
不要求写出证明过程）；
（2）当MN绕点C旋转到图2的位置时，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想，并
加以证明；
（3）当MN绕点C旋转到图3的位置时，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想，并
加以证明．
3．如图①点A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，作CE⊥AD，BF⊥AD，且AE＝DF．
（1）证明：EF平分线段BC；
（2）若△BFD沿AD方向平移得到图②时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．类型二 动态问题中的全等
典例4（2020秋•姜堰区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝5cm，CD为AB边上
的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F．
（1）求证：∠A＝∠BCD；
（2）当CF＝AB时，点E运动多长时间？并说明理由．
典例5（镇康县期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在
线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，BP＝ 3 cm，CQ＝ 3 cm．
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点 Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与
△CQP全等？
（4）若点Q以（3）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿
△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次相遇？针对训练2
4．（邗江区期末）活动一：已知如图 1，AB⊥AD，DE⊥AD，BC⊥CE，且 AB＝CD．求证：
△ABC≌△DCE．
活动二：动手操作，将两个斜边长相等的直角三角形纸片按图 2放置，其中∠ACB＝∠CED＝90°，∠A
＝45°，∠D＝30°．把△DCE绕点C按顺时针方向旋转15°得到△MCN．如图3，连接MB，求证：
△ACB≌△CBM．
活动三：如图4，已知点C坐标为（0，2），B为x轴上一点，△ABC是以BC为腰的在第一象限的等
腰直角三角形，∠BCA＝90°，当B点从原点出发沿x轴正半轴运动时，在图中画出A点运动路线．并
请说明理由．
5．（2021秋•松滋市期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线
AC﹣﹣CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC﹣CA以每秒3个单位
长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设点P
的运动时间为t（秒）：
（1）当P、Q两点相遇时，求t的值；
（2）在整个运动过程中，求CP的长（用含t的代数式表示）；
（3）当△PEC与△QFC全等时，直接写出所有满足条件的CQ的长．第二部分 专题提优训练
1．（2022春•雁塔区校级期末）在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角
形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝42cm，
AP，BQ足够长，PA⊥AB于A，QB⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，
使M，N运动的速度之比3：4，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线AP上取点C，使△ACM
与△BMN全等，则线段AC的长为（ ）
A．18cm B．24cm C．18cm或28cm D．18cm或24cm
2．（2022春•双流区校级期中）如图，AB＝7cm，AC＝5cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，点P在线段AB上以
2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线BD上运动速度为xcm/s，它们运动的时间为t（s）
（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．当点P、Q运动到某处时，有△ACP与△BPQ全等，则相
应的x、t的值为（ ）
7 7 20
A．x＝2，t= B．x＝2，t= 或x= ，t＝1
4 4 7
20 7
C．x＝2，t＝1 D．x＝2，t＝1或x= ，t=
7 4
3．（2022春•东坡区校级期末）如图，△ABC中，AB＝13cm，BC＝11cm，AC＝6cm，点E是BC边的中
点，点D在AB边上，现将△DBE沿着BA方向向左平移至△ADF的位置，则四边形DECF的周长为
17 cm．4．（2022春•安陆市期中）如图，两个直角三角形重叠在一起，将三角形ABC沿AB方向平移2得到三角
形DEF，CH＝2，EF＝4，下列结论：①BH∥EF；②AD＝BE；③DH＝CH；④∠C＝∠BHD；⑤
阴影部分的面积为6．其中正确的结论的序号是 ．
5．（2016秋•宜兴市校级月考）如图，△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，
若∠BAC＝145°，则∠ ＝ ．
θ
6．如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的
过程中，其两边分别与 OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）
OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的序号为 ．
7．（2021秋•铅山县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝10cm．点C在直线l上，
动点P从A点出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动．
点P和点Q分别以每秒1cm和2cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，
分别过点P和Q作PM⊥直线l于M，QN⊥直线l于N．则点P运动时间为 2 或 6 秒时，△PMC与△QNC全等．
8．（2018秋•西城区校级期中）将两个全等的△ABC和△DBE按图1方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝
90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于F．
（1）求证：AF+EF＝DE；
（2）若将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转角a，且60°＜ ＜180°，其他条件不变，如图2，请直接写
出此时线段AF、EF与DE之间的数量关系． α
9．（2021秋•东平县期中）如图（1），AB⊥BD，DE⊥BD，点C是BD上一点，且BC＝DE，CD＝AB．
（1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由；
（2）如图（2），若把△CDE沿直线BD向左平移，使△CDE的顶点C与B重合，此时AC与BE互相
垂直吗？请说明理由．
10．（2013•淄川区模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿AB向下翻折后，再绕点A按顺时针
方向旋转 度（ ＜∠BAC），得到Rt△ADE，其中斜边AE交BC于点F，直角边DE分别交AB、BC
于点G、Hα． α
求证：△AFB≌△AGE．11．（2016•启东市开学）如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，
1
且∠EAF= ∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．
2
12．（2021秋•绥滨县期末）如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于
点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P；
（1）求证：AD＝BE；
（2）试说明AD平分∠BAE；
（3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由．13．（2022春•坪山区校级期中）如图：已知A（a，0）、B（0，b），且a、b满足（a﹣2）2+|2b﹣4|＝
0．
（1）如图1，求△AOB的面积；
（2）如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想线段AC、
BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；
（3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P顺时针旋转90°
至PE，直线AE交y轴Q，点Q，当P点在x轴上移动时，线段BE和线段BQ中，请判断哪条线段长为
定值，并求出该定值．
14．（2021秋•顺平县期末）如图1，AE与BD相交于点C．AC＝EC，BC＝DC．
（1）求证：AB∥DE；
（2）如图2，过点C作PQ交AB于P，交DE于Q，求证：CP＝CQ；
（3）如图3，若AB＝8cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，
沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动
设点P的运动时间为t（s）．连接PQ，当线段PQ经过点C时，求出t的值．
