文档内容
第6章 实 数
一、单选题
1． 的平方根是（ ）
A． B． C．9 D．
【答案】A
【分析】先求得 ，再根据平方根的定义求出即可．
【详解】 ，
的平方根是 ，
故选A．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义，求一个数的平方根，能熟记算术平方根的定义的
内容是解此题的关键．
2．下列实数 ， ， ， ， ， ， 中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据无理数的三种形式求解．
【详解】解： =3，
∴无理数为：3π， ， ，共3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数三种形式：①开方开不
尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
3．若 ，则a的值为（ ）．
A．20 B．200 C．2000 D．0.02
【答案】B
【分析】根据算术平方根的性质，根据1.414×10＝14.14，可推出2×100＝a，即可推出a＝
200．
【详解】解：∵ ，1.414×10＝14.14，
∴2×100＝a，
∴a＝200．
故选：B．
【点睛】本题主要考查算术平方根的性质，关键在于熟练掌握算术平方根的性质，认真的
计算．
4．下列命题：①绝对值最小的实数不存在；②无理数在数轴上对应的点不存在；③与本身
的平方根相等的实数不存在：④最大的负数不存在．其中错误的命题的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C
【分析】利用绝对值的定义，无理数与实数的关系，实数的分类，平方根定义判断即可．
【详解】解：绝对值最小的实数是0，故①错误；实数与数轴上的点一一对应，无理数在
数轴上对应的点是存在的，故②错误；与本身的平方根相等的实数为0，故③错误；不存
在最大的负数，故④正确；
故选：C
【点睛】此题考查了实数，绝对值，平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
5．一个数的平方根与立方根相等，这祥的数有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】A
【分析】一个数的平方根与立方根相等的只有0．
【详解】解：一个数的平方根与立方根相等的只有0．
故选A．
【点睛】本题考查平方根和立方根的概念，熟记这些概念才能求解．
6．如图，在数轴上表示实数 的点可能（ ）．
A．点P B．点Q C．点M D．点N
【答案】C
【分析】确定 是在哪两个相邻的整数之间，然后确定对应的点即可解决问题．
【详解】解：∵9＜15＜16，
∴3＜ ＜4，
∴ 对应的点是M．
故选：C．
【点睛】本题考查实数与数轴上的点的对应关系，解题关键是应先看这个无理数在哪两个
有理数之间，进而求解．
7．若 与 互为相反数，则 的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相反数与立方根的性质计算即可得答案．
【详解】解：∵ 与 是相反数，
∴ = =
∴3x－1=2y－１，整理得：3x=2y，即 ，
故选A．
【点睛】本题主要考查立方根的性质，正数的立方根是正数，负数的立方根还是负数，一
个数只有一个立方根，熟练掌握立方根的性质是解题关键．
8．已知 ，且 ，化简 （ ）．
A． B．1 C． 或 D．3或1或 或
【答案】C
【分析】根据绝对值的性质化简解答即可．
【详解】由题意得： ，解得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ =-2+1=-1，或 =-2-1=-3．
故选C．
【点睛】本题考查了绝对值和有理数的加法法则，能正确去掉绝对值符号是解此题的关键．
9．设某代数式为 ，若存在实数 使得代数式 的值为负数，则代数式 可以是（ ）
A． B． C． D．9
【答案】B
【分析】根据绝对值的非负性以及算术平方根的非负性判断即可．
【详解】解：对于任意的 ，都有 ， ， ，
∵ ，
∴对于任意的 的取值，代数式 的可以为正数、负数或 ，
即存在实数 使得代数式 的值为负数，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了代数式的求值问题，解答此题的关键是判断出： ，
．
10．若a，b均为正整数，且 ， ，则 的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】先估算 、 的范围，然后确定a、b的最小值，即可计算a+b的最小值．【详解】∵ ，∴2 ．
∵a ，a为正整数，∴a的最小值为3．
∵ ，∴1 2．
∵b ，b为正整数，∴b的最小值为1，∴a+b的最小值为3+1=4．
故选B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是：确定a、b的最小值．
二、填空题
11．若 与 互为相反数，则 ________．
【答案】2．
【分析】根据相反数的概念列式，根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代
数式计算即可．
【详解】解：由题意得： ，
则：a−1＝0，b＋1＝0，
解得：a＝1，b＝−1，
则 1＋1＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为
0时，这几个非负数都为0．
12． _____； ______； ______； ______．
【答案】2 3.5
【分析】根据平方根的定义、算术平方根的定义以及立方根的定义，即如果一个数的平方
等于a，这个数就叫做a的平方根；一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 ，那
么这个正数x叫做a的算术平方根，记作 ；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做
a的立方根或三次方根．这就是说，如果 ，那么x叫做a的立方根，记作： ．计
算即可．
【详解】原式=2；
原式 ；
原式 ；
原式 ；
故答案为：2， ， ， ．【点睛】本题主要考查了平方根，算术平方根以及立方根，熟记相关定义是解答本题的关
键．
13．比较大小： ____ ； ____ ； ____ ； ____ ．
【答案】<， <， >， >
【分析】根据实数的比较大小，将根指数不同的根式化为与之相等的同根式比较，利用放
缩法比较，利用中间过渡法比较，利用有理数化为根式形式比较．
【详解】解：∵ ， ，8＜9，
∴ _＜_ ；
∵ ，即 ，
∴ _＜___ ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ __＞__ ；
∵7= ，
_＞__ ．
故答案为＜；＜；＞；＞．
【点睛】本题考查实数的大小比较，掌握实数的比较方法，化为同次根式，比较被开方数
大小，放缩法比较大小，中间过渡法比较是解题关键．
14．已知 ，若 ，则
______； ________； _________；若 ，则
_______．
【答案】214000 214
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的概念依次求解即可．
【详解】解：∵ ，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 且 ，∴ ，
故答案为：214000，±0.1463，-0.1289，214．
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的概念等，属于基础题，熟练掌握其定
义是解决本类题的关键．
15．已知 与 是m的平方根，那么 _____________．
【答案】81或9
【分析】分当 与 是m的同一个平方根时和当 与 是m的两个平方根时，
两种情况讨论求解即可．
【详解】解：当 与 是m的同一个平方根时，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ；
当 与 是m的两个平方根时，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：81或9．
【点睛】本题主要考查了平方根，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
16． __________，其中x的取值范围___________；
____________，其中y的取值范围____________．
【答案】0 任意数 0
【分析】根据算术平方根和立方根的定义进行求解即可得到答案．
【详解】解： ，其中x的取值范围是任意数；
，其中y的取值范围为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：0，任意数；0， ．
【点睛】本题主要考查了算术平方根和立方根的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
17．若 的整数部分是 ，小数部分是 ，则 __．
【答案】 ．
【分析】先确定出 的范围，即可推出a、b的值，把a、b的值代入求出即可．
【详解】解： ，
， ，
．
故答案为： ．
【点睛】考查了估算无理数的大，解此题的关键是确定 的范围8< <9，得出a,b的
值．
18．若将三个数 ， ， 表示在数轴上，其中一个数被墨迹覆盖（如图所示），
则这个被覆盖的数是______．
【答案】
【分析】根据被覆盖的数的范围求出被开方数的范围，然后即可得解．
【详解】设被覆盖的数是 ，根据图形可得
，
∴ ，
∴三个数 ， ， 中符合范围的是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了实数与数轴的关系，根据数轴确定出被覆盖的数的取值范围是解题的
关键．
三、解答题
19．计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） （结果保留小数点后两位）．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）1.89
【分析】（1）直接利用二次根式的化简即可求出结果；（2）分别进行二次根式的化简、开立方、然后合并求解；
（3）先进行绝对值的化简，然后合并即可；
（4）将二次根式化简，然后代入无理数的值运算即可．
【详解】（1）原式= = ；
（2）原式=0.2-2- =0.2-2-0.5=0.2-2.5= ；
（3）原式= = ；
（4）原式 ．
【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了二次根式的化简、绝对值的化简、开立方等知识，
是基础题．
20．求下列各式中的 ：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】（1）0.3；（2） ；（3） 或
【分析】（1）先移项，再求立方根即可；
（2）先两边同时除以49，再求平方根即可；
（3）先开平方，可得两个一元一次方程，再解一元一次方程即可．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）∵ ，
∴ 或 ，
解得： 或 ．
【点睛】本题主要考查学生对平方根、立方根概念的运用，熟练掌握平方根与立方根的定
义是解决本题的关键．
21．已知 ， 是整数，求 的值，并在数轴上表示求得的数．【答案】0， ， ， ， ， ， ，数轴见解析
【分析】根据绝对值的概念可得x的取值范围，从而得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴−2π＜x＜2π，
则x＝−6，−5，−4，−3，−2，−1，0，1，2，3，4，5，6；
将解表示在数轴上如下：
【点睛】本题主要考查绝对值的意义以及数轴，掌握画数轴的三要素，是解题的关键．
22．用计算器求下列各式的值（精确到0.001）：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【答案】（1） ；（2）0.755；（3）235.000；（4）324.000
【分析】根据用计算器求一个数的平方根或立方根，先输入被开方数，再按开方键，结果
用四舍五入法精确到0.001，即可求解．
【详解】解：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【点睛】本题主要考查了利用计算器求一个数的平方根和立方根，熟练掌握计算器各按键
的功能，并注意输入顺序是解题的关键．
23．已知a，b为有理数，且满足 ，试求a，b的值．
【答案】 ，
【分析】先将等式分为有理部分与无理部分，根据它们的和为零，利用有理部分与无理部
分系数为零建构方程组，解方程组即可
【详解】解∵
∴
∵a，b为有理数，
∴ ， 也为有理数
∵ 无理数，
∴
解方程组得【点睛】本题考查有理数与无理数和为零的性质，二元一次方程组，熟悉有理数的和差积
商都是有理数，有理数与无理数和差为无理数，有理数与无理数的积可能为有理数0，其
它均为无理数，有理数与无理数的商可能为0，其它均为无理数．
24．（1）已知 ，求 的立方根；
（2）已知 ，求 的平方根．
【答案】（1）3；（2）
【分析】（1）先根据题意可得 ，由此求出a、b的值，即可求解；
（2）先根据非负性的性质求出x、y的值，然后根据平方根的性质求解即可．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵27的立方根为3，
∴ 的立方根为3；
（2）∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵16的平方根为±4，
∴ 的平方根为±4．
【点睛】本题主要考查了平方根，立方根，非负数的性质，解不等式组，代数式求值，解
题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
25．要生产一种容积为 的球形容器，这种球形容器的半径是多少分米（结果保留小数
点后两位）？（球的体积公式是 ，其中 是球的半径）
【答案】 分米【分析】根据球的体积公式求出半径的立方，然后根据立方根的定义解答．
【详解】解：当V=500升时，有 πR3=500，
则R3= ，
解得R≈4.92．
答：这种球形容器的半径是4.92分米．
【点睛】本题考查了立方根，根据球的体积公式求出半径的立方是解题的关键．
26．天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离 （单位： ）可用公式 来估
计，其中 （单位： ）是眼睛离海平面的高度，如果一个人站在岸边观察，当眼睛离海
平面的高度是1.5米时，能看到多远（精确到 ）？如果登上一个观望台，当眼睛离
海平面的高度是 米时，能看到多远（精确到 ）？
【答案】约 ，约
【分析】分别将h=1.5和h=35代入s2=16.88h后然后求其算术平方根即可得到答案．
【详解】解：把h=1.5代入s2=16.88h得s2=16.88×1.5=25.32，
所以s≈5.03．
即当眼睛离开海平面的高度是1.5m时，能看到5.03km．
把h=35代入s2=16.88h得s2=16.88×35=590.8，
所以s≈24.31．
即当眼睛离开海平面的高度是35m时，能看到24.31km．
【点睛】本题考查了算术平方根的求法，一个非负数的算术平方根只有一个，且为非负数．
27．阅读理解．
∵ ＜ ＜ ，即2＜ ＜3．
∴1＜ ﹣1＜2
∴ ﹣1的整数部分为1，
∴ ﹣1的小数部分为 ﹣2．
解决问题：已知a是 ﹣3的整数部分，b是 ﹣3的小数部分．
（1）求a，b的值；
（2）求（﹣a）3+（b+4）2的平方根，提示：（ ）2＝17．
【答案】（1）a＝1，b＝ ﹣4；（2）±4．
【分析】（1）根据被开饭数越大算术平方根越大，可得a，b的值，
（2）根据开平方运算，可得平方根．
【详解】解：（1）∴ ，
∴4 ＜5，∴1＜ ﹣3＜2，
∴a＝1，b＝ ﹣4；
（2）（﹣a）3+（b+4）2＝（﹣1）3+（ ﹣4+4）2＝﹣1+17＝16，
∴（﹣a）3+（b+4）2的平方根是：± ＝±4．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出4＜
＜5是解题关键．
28．小明和小华做游戏，游戏规则如下：
（1）每人每次抽取四张卡片，如果抽到白色卡片，那么加上卡片上的数或算式；
如果抽到底板带点的卡片，那么减去卡片上的数或算式．
（2）比较两人所抽的4张卡片的计算结果，结果大者为胜者．
请你通过计算判断谁为胜者？
【答案】（1） ； ；（2）小华获胜．
【详解】试题分析：（1）列出两人抽取的算式，计算即可；
（2）比较两人结果大小，即可作出判断．
试题解析：（1）小明抽到卡片的计算结果： ﹣ ﹣ + =3 ﹣ ﹣2 + =
；
小华抽到卡片的计算结果： ﹣3 + ﹣ =2 ﹣ +3﹣ = ，
（2）∵ ＜ ，∴小华获胜．
点睛：此题考查的实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
