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第四课时——二次函数的图像与系数、最值问题与存在性问题
二次函数图像与系数的关系
1．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②2c＜3b；③a+2b＞m
（am+b）（m≠1）；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．其中，正确结论的个数
是（ ）
第1题 第2题
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（6，0），与y轴相交于点C，小红同学得
出了以下结论：①b2﹣4ac＞0；②4a+b＝0；③当y＞0时，﹣2＜x＜6；④a+b+c＜0．其中正确的个
数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其顶点为（ ，1），有下列结论：①ac＜0；
②函数最大值为1；③b2﹣4ac＜0；④2a+b＝0．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第3题 第4题4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，现有下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＜0；③a＜﹣
；④a+b＞n（an+b）（n≠1）；⑤2c＜3b．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为x＝﹣1，有下列结论：①abc＞0；②a+b＜﹣c；
③4a﹣2b+c＞0；④3b+2c＜0；⑤a﹣b＜m（am+b）（其中m为任意实数），其中正确结论的个数
有（ ）
第5题 第6题
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③m为任意
实数，则a+b＞am2+b m；④3a+c＜0；⑤若ax 2+bx ＝ax 2+bx 且x ≠x ，则x +x ＝2．其中正确结论
1 1 2 2 1 2 1 2
的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c给出下列结论：①abc＜0，②4a+2b+c＜0，③a+c＞b，④a+b≤t
（at+b）（t是任意一个实数），⑤当x＜﹣1时，y随x的增大而减少．其中结论正确的个数是
（ ）
第7题 第8题 第9题
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1．下列结论：①ab＞0；②b﹣2a＞0；③4a+c＜2b；④（a+c）2＜b2；⑤m（am+b）+b＜a（m≠﹣1）．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴一个交点在﹣1，﹣2之间，对称轴为直线x＝1，图象如图，
给出以下结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③2a﹣b＝0；④8a+c＜0；⑤ ．其中结
论正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①ac﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③m
（am+b）+b≤a；④（a+c）2＜b2；其中正确结论的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二次函数的最值问题与存在性问题：
11．如图，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为M，连接
MA，MC，AC，过点C作y轴的垂线l．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）直线l上是否存在点N，使得S△MBN ＝2S△MAC ？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，若将原抛物线绕点C逆时针旋转
45°，求新抛物线与y轴交点P坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣2，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c
（a≠0）图象经过A，B，C三点．
（1）求A，C两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点
P的坐标及PD的最大值．13．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（4，0），
AC＝BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF
的长度最大时，求点E的坐标及S△ABF ；
（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的 P点，使△ABP成为直角三角形？若存在，
求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线y＝﹣ x2+m x+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点
D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P
点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置
时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．15．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为 A（﹣2，0），B
（5，0），点C在抛物线上，且直线AC与x轴形成的夹角为45°．
（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P为直线AC上方抛物线上的动点，求点P到直线AC距离的最大值；
（3）将满足（2）中到直线AC距离最大时的点P，向下平移4个单位长度得到点Q，将原抛物线向右
平移2个单位长度，得到抛物线y＝a x2+b x+c （a ≠0），M为平移后抛物线上的动点，N为平移后抛
1 1 1 1
物线对称轴上的动点，是否存在点M，使得以点C，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，
请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
．16．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+6的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点
C．
（1）请求出该二次函数的表达式；
（2）请求出图象的对称轴和顶点坐标；
（3）在二次函数图象的对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．17．如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，
3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M
同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运
动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．18．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与y轴交于点C，与x轴交于点
A、B，点A在原点的左侧，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），且OB＝OC．
（1）写出C点的坐标；
（2）求这个二次函数的解析式；
（3）若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点P运动到什么
位置时，△AGP的面积最大？求此时点P的坐标和△AGP的最大面积．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，其顶点为D，
连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如图1，过点P作PE⊥y轴于点E．求△PAE面积S的最大值；
（3）如图2，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若
不存在请说明理由．20．如图，抛物线y＝﹣ x2+bx+c经过点A（4，0）、B（1，0）两点，点C为抛物线与y轴的交点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点D是直线AC上方的抛物线上一点，求△DCA面积的最大值，以及△DCA面积取得最大值时，
点D的坐标；
（3）点P是直线AC上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、C为
顶点，BC为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．
