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第一章《有理数》同步单元基础与培优高分必刷卷
全解全析
1．D
【分析】分别依据整数的定义、0的性质、和0的意义进行判断即可．
【详解】解：自然数中包括0，当然0也是整数，所以①③都不正确；
0既不是正数也不是负数，所以②正确；
而在实际生活中0具有实际的意义，如0℃，所以④不正确；
故正确的只有②，
故选：D．
【点睛】本题主要考查对0的理解，解题的关键是知道0是整数，也是自然数；0既不是正数也不是负数；0具有
实际的意义．
2．D
【分析】根据正数、负数表示相反意义的量，即可得出答案．
【详解】若增加30kg记作+30kg，则 表示减少 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了正数、负数表示相反意义的量，熟练掌握知识点是解题的关键．
3．A
【分析】根据相反数的定义即可求解．
【详解】解：∵1的相反数是﹣1，
∴a＝1，
∴a+1=2
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相反数，熟记相反数的定义是解题的关键．
4．D
【分析】用科学记数法表示绝对值大于1的数，形如 为正整数，据此解答．
【详解】解：13 657用科学计数法表示应为
故选：D．
【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
5．B
【分析】根据数轴，可得m＜0＜n，而且|m|＞|n|，据此逐项判断即可．
【详解】解：∵m＜0＜n，而且|m|＞|n|，
∴m+n＜0，∴①的结果为负数；
∵m＜0＜n，
∴m﹣n＜0，
∴②的结果为负数；
∵m＜0＜n，而且|m|＞|n|，
∴|m|﹣n＞0，
∴③的结果为正数；
∵m＜0＜n，而且|m|＞|n|，
∴ ，
∴④的结果为正数；
∵m＜0＜n，
∴ ，
∴⑤的结果为正数，
∴式子结果为负数的个数是2个：①、②．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了数轴的特征和应用，以及正数、负数的特征和判断，要熟练掌握．
6．C
【分析】首先求出a、b、c的值；然后根据有理数大小比较的方法判断即可．
【详解】解： ，
，
，
∵7＞ ＞-13，
∴b＞c＞a．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；
③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
7．C
【分析】因为从某个村庄出发，不重复走任意一条小路（四个村庄都要到达），最多需要经过6条小路，从而可
得最长线路长，再确定经过的路径即可．
【详解】解：因为从某个村庄出发，不重复走任意一条小路（四个村庄都要到达），
最多需要经过6条小路，
所以为达到不重复走任意一条小路（四个村庄都要到达）的最长路线的长度为：14+12+16+17+13+15=87km，
路径为： ，
故选：C．【点睛】本题考查的是分析问题的能力，有理数的加法运算，理解题意得出为达到目的最多需要经过6条小路是
解题的关键．
8．C
【分析】根据有理数的乘方和绝对值的定义求解即可．
【详解】解：A选项，两个数的最终结果都为 ，相等，不符合题意；
B选项，两个数的最终结果都为 ，相等，不符合题意；
C选项，两个数的最终结果一个是 ，一个是 ，不相等，符合题意；
D选项，两个数的最终结果都为 ，相等，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘方和绝对值，熟知负数的偶次方是正数，负数的奇次方是负数是解题的关键．
9．B
【分析】根据数轴，得 ； ， ， ，根据绝对值的性质，即可．
【详解】∵ 且 ， ，
∴ ； ；
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值的知识，解题的关键是掌握一个负数的绝对值是它的相反数，绝对值的几何意义．
10．A
【分析】根据相反数，倒数和绝对值的意义求出 然后代值计算即可．
【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是2，
∴ ，
∴ ，
故选A．
【点睛】本题主要考查了绝对值，相反数和倒数的定义，正确得到 是解题的关键．
11．B
【分析】a、b、c三个整数的奇偶性分为：三奇、三偶，二奇一偶，二偶一奇，分类讨论．
【详解】解:当a、b、c三个整数均为三个奇数时： 为偶数，故 ， ， 均为整数；
当a、b、c三个整数为三个偶数时： 为偶数，故 ， ， 均为整数；当a、b、c三个整数为二个奇数、一个偶数时： 中一个为偶数，两个为奇数，故 ， ，
中一个为整数，两个为分数；
当a、b、c三个整数为一个奇数、二个偶数时： 中一个为偶数，两个为奇数，故 ， ，
中一个为整数，两个为分数；
故在 ， ， 这三个数中，整数的个数至少有1个．
故选：B．
【点睛】此题考查了有理数的加法和除法运算以及有理数的分类，对a，b，c，进行分类讨论，是解题的关键．
12．A
【分析】根据正方形的性质，可以把两块阴影部分合并后计算面积，然后，比较S 和S 的大小．
1 2
【详解】解：由图1，得：
S=（7 5）×（7 5）=4，
1
由图2，得
S=（7 5）×（7 5）=4，
2
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算的应用，分别得出S 和S 的面积是解题关键．
1 2
13．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，
小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜
1时，n是负数．
【详解】解：数字86400用科学记数法表示为：
86400=8.64×104．
故答案为： ．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表
示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14． 3，+7 -6，-18 0
【分析】根据正、负数的意义，数的前面加有“+”号的数，就是正数；数的前面加有“-”号的数，就是负数，0既
不是正数也不是负数，据此判断即可．
【详解】解：3、+7是正数，-6、-18是负数，0既不是正数，也不是负数．
故答案为：3、+7；-6、-18；0．【点睛】此题考查正、负数的意义和分类．注意0既不是正数也不是负数．
15．-2
【分析】根据题意，将向左运动记为负，向右运动几位正，易知每5秒向左运动1个单位长度，即可进行解答．
【详解】向左运动3秒记为：-3，向右运动2秒记为：+2，
∴运动10秒：-3+2-3+2=-2，
故答案为：-2．
【点睛】本题主要考查了有理数的加减法，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键．
16．
【分析】根据正整数的概念知所给数中 ， ， 为正整数，得到 ；根据非负数的概念知
所给数中0.23， ，0， ， 为非负数，得到 ，代入求值即可．
【详解】解： ，0.23， ，0， ， ， ， ，
正整数有： ， ， ，即 ，
非负数有：中0.23， ，0， ， ，即 ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查代数式求值，掌握有理数概念及分类是解决问题的关键．
17． 或 ## 或
【分析】设在数轴上到A、B两点距离之和为11的点所表示的数为 ，根据题意列出方程即可求解．
【详解】解：在数轴上到A、B两点距离之和为11的点所表示的数为 ，根据题意可知
当 时，原方程可化为：
解得 ，
当 时，原方程可化为：
此方程无解，
当 时，原方程可化为
解得故答案为： 或
【点睛】本题考查了数轴上两点的距离，解绝对值方程，掌握绝对值的意义是解题的关键．
18．9﹣3|x﹣1|
【分析】先读懂“相关数”的定义，列出对应等式，再根据等式分析各个数的取值范围，去绝对值，进而求出结
果．
【详解】解：依题意有：|x﹣1|+|x﹣1|＝1，①
1
|x﹣2|+|x﹣2|＝1，②
2 1
|x﹣3|+|x﹣3|＝1，③
3 2
|x﹣4|+|x﹣4|＝1，④
4 3
由①可知0≤x，x≤2，若否，则①不成立，
1
由②可知1≤x，x≤3，若否，则②不成立，
1 2
同理可知2≤x，x≤4，3≤x，x≤5，
2 3 3 4
∴x﹣1+|x﹣1|＝1，⑤
1
x﹣2+2﹣x＝1，⑥
2 1
x﹣3+3﹣x＝1，⑦
3 2
3×⑤+2×⑥+⑦，得x+x+x﹣3+3|x﹣1|＝6，
1 2 3
∴x+x+x＝9﹣3|x﹣1|．
1 2 3
故答案为：9﹣3|x﹣1|．
【点睛】本题考查绝对值和新定义问题．解题的关键在于读懂题意，列出等式，根据等式判断出五个数的取值范
围，进而去绝对值符号，最后得出结果．注意可以取特殊值，如x＝1或x＝2，来验证计算的结果是否正确．
19．2475
【分析】观察分母及分子特点，分组相加，利用高斯定理，即可得到结果．
【详解】解：
＝ ．
＝
＝
＝
＝
＝2475．
故答案为：2475．
【点睛】本题考查分数的和，关键是利用分母特点进行分组，还有高斯定理的应用．20．(1)-7
(2)-1
(3)-7
(4)
【分析】（1）先去括号再计算加减法，即可求解；
（2）先计算乘除，再计算减法，即可求解；
（3）直接运用乘法的分配律计算，即可求解；
（4）按照有理数混合运算的顺序，先乘方后乘除最后算加减，有括号的先算括号里面的，即可求解．
（1）
解：（-7）-（-10）+（-8）-（+2）
=-7+10-8-2
=3-8-2
=-5-2
=-7
（2）
解：3×（-1）-4÷（-2）
=-3-（-2）
=-3+2
=-1
（3）
解：
=-7
（4）
解：【点睛】本题考查的是有理数的运算能力，注意：要正确掌握运算顺序，在混合运算中要特别注意运算顺序：先
三级，后二级，再一级；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序；并灵活选用运算律进行简化运
算．
21．(1)195
(2)1410辆
(3)35965元
(4)84750元
【分析】（1）星期三增减量为-5，是比计划少5辆的意思，所以200-5=195；
（2）计划量加上所有的增减量，就是本周的实际量；
（3）求得计划的工资，奖励的工资以及倒扣的工资，即可求解；
（4）求得按照“每周计件工资制”下的工人的工资即可．
（1）
解：200+（-5）=195（辆）；
故答案为：195．
（2）
解：200×7+36+（-26）=1410（辆）；
所以该厂在本周实际生产自行车的数量1410辆．
（3）
解：1410×60+36×15+26×（-20）=84620（元）；
所以该厂工人这一周的前三天工资总额是84620元．
（4）
解：1410×60+10×15=84750（元），
所以此计算方式下这一周工人的工资是84750元，
【点睛】本题考查有理数的加减法，解题的关键是了解增减量的意义，比计划增加的量为正数，比计划减少的量
为负数．
22．(1)
(2)
(3)
(4)【分析】（1）先把 与 相加，再计算减法即可；
（2）先把 与 相乘，再与31相乘即可；
（3）按有理数运算顺序法则计算即可；
（4）按有理数运算顺序法则计算即可．
（1）
解：原式 ；
（2）
原式 ；
（3）
原式 ；
（4）
原式 ．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握相关公式与法则是解题的关键．
23．(1)4，5
(2)1或
(3)6
(4)12
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离等于两点所表示数的绝对值进行解答即可；
（2）根据数轴上两点之间的距离等于两点所表示数的绝对值得到|a+2|=3，即可得结果；
（3）先根据表示数a的点位于﹣4与2之间可知﹣4＜a＜2，再根据绝对值的性质把原式去掉绝对值符号求出a的
值即可；
（4）根据线段上的点到线段两端点的距离的和最小，可得答案．
（1）
由题意可得，
数轴上表示5和1的两点之间的距离是：5－1=4，
表示-3和2两点之间的距离是：2-（-3）=5，
故答案为：4，5；
（2）
若表示数a和-2的两点之间的距离是3，则|a+2|=3，解得a=1或a=-5，
故答案为：1或 ；
（3）∵-4＜a＜2，
∴|a+4|+|a-2|=a+4+2-a=6，
故答案为：6；
（4）
当x＞5时，|x+2|+|x-5|=x+2+x-5=2x-3＞7，
当-2≤x≤5时，|x+2|+|x-5|=x+2+5-x=7，
当x＜-2时，|x+2|+|x-5|=-x-2+5-x=-2x+3＞7，
∴使得|x+2|+|x-5|=7的所有整数为：-2，-1，0，1，2，3，4，5，
∵-2+（-1）+0+1+2+3+4+5=12，
故答案为：12；
【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数轴的特点和分类讨论的数学思想解答．
24．(1)① ；② 或3
(2)
(3) 或
【分析】（1）①根据双倍绝对点的定义得出即可；
②根据题意，，求出b的值即可；
（2）分情况讨论或，根据求出b的值，再求出c的值，找到最小值；
（3）分情况讨论，当PQ在AC左端或右端时，求出临界状态下t的值，即可得到范围．
（1）解：（1）①∵a＝﹣1，c＝2，∴|﹣1﹣b|＝2|﹣1﹣2|，解得b＝5或﹣7，∴点E是点A，C的双倍绝对点，故
答案为E；②∵a＝﹣1，|a﹣c|＝2，∴|﹣1﹣b|＝2×2，解得b＝﹣5或3，故答案为﹣5或3；
（2）（2）∵|b﹣c|＝5，∴c＝b+5或c＝b﹣5，∵a＝3，∴|3﹣b|＝2|3﹣c|，①当c＝b+5时，|3﹣b|＝2|3﹣b﹣5|，
解得b＝﹣7或 ，∴c＝﹣2或 ；②当c＝b﹣5时，|3﹣b|＝2|3﹣b+5|，解得b＝13或 ，∴c＝8或 ，综上，
c最小值为﹣2，故答案为﹣2；
（3）（3）①当PQ在A左端时，Q点最有可能先成为A，C的双倍绝对点，由题意得|t+3﹣3t+2|＝4，解得t＝
或 （舍去），∴t≥ ；由题意得|t+3﹣3t+4|＝4，解得t＝ 或 （舍去），∴t≤ ，综上，t的取值范围为 ≤t≤
．②当PQ在A右端时，P点最有可能最先成为A，C的双倍绝对点，同法可得，满足条件的t的值为 ≤t≤
（t≠5），综上所述．满足条件的t的值为： ≤t≤ 或 ≤t≤ （t≠5）．
【点睛】本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是理解题目中定义的双倍绝对点，利用数轴上两点间距离的计算方法列绝对值方程进行求解．
25．(1)1，-1
(2)-1
(3)3或﹣1或1或﹣3
【分析】（1）根据a，b的取值范围化简绝对值，再计算出结果即可；
（2）根据a，b，c是有理数，且a+b+c＝0，abc＜0，可得b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，进而代入原式中可得
结果；
（3）根据题意可分为四种情况分别为：①当a，b，c都是正数， ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，
③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，④当a，b，c三个数都为负数时，分别求出算式的的结果．
(1)
解：当a＞0时，则 ，
当b＜0，则 ，
故答案为：1，﹣1；
(2)
解：已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0．
∴b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，且a，b，c中两正一负，
∴ ；
(3)
解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为
负数．
①当a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，
则： ；
②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a＞0，b＜0，c＜0，
则： ；
③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，
设a＞0，b＞0，c＜0，则：
＝1+1﹣1
＝1；
④当a，b，c三个数都为负数时，
则：
＝﹣1﹣1﹣1
＝﹣3；
综上所述： 的值为3或﹣1或1或﹣3．
【点睛】本题考查绝对值的化简，能够掌握分类讨论思想是解决本题的关键．
26．(1)9；
(2) 或（6-2a）；
(3)
【分析】（1）利用有理数混合运算的法则计算出a的值，结合数轴即可求得结论；
（2）分两种情况讨论解答：①点C在A，B之间；②点C在B点的右侧；设点C对应的数字为x，依据已知条件
列出等式后化简即可得出结论；
（3）设点M对应的数字为m，点N对应的数字为n，利用依据已知条件列出等式后化简即可得出结论．
（1）
解：∵
=-5，
∴AB=4-（-5）=4+5=9，
故答案为：9．
（2）
解：设点C对应的数字为x，
①点C在A，B之间时，
∵2AC-3BC=6，∴2（x-a）-3（4-x）=6．
化简得：5x=18+2a．
∴x= ．
②点C在B点的右侧时，
∵2AC-3BC=6，
∴2（x-a）-3（x-4）=6．
化简得：-x=-6+2a．
∴x=6-2a．
综上，点C对应的数为 或6-2a．
（3）
解：设点M对应的数字为m，点N对应的数字为n，
由题意得：AM=m-a，AN=a-n，BM=4-m，BN=4-n，
∵AM-BM=2，
∴（m-a）-（4-m）=2．
∴2m-a=6①．
∵当 =3时，BN=6BM，
∴ =3，4-n=6（4-m）．
∴m+3n=4a②，
6m-n=20③，
③×3+②得：19m=60+4a④，
将④代入①得：2× -a=6．
∴a= ．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，二元一次方程组的应用，数轴，数轴上的点对应的数字的特征，利
用数轴上的点对应的数字表示出对应线段的长度是解题的关键．
