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第七章 平行线中的拐点模型
目录
【模型总结】
模型1：猪蹄模型（M型）与锯齿模型
模型2：铅笔头模型
模型3：牛角模型
模型4：羊角模型
模型5：蛇形模型（“5”字模型）
【模型总结】
模型1：猪蹄模型（M型）与锯齿模型
【模型解读】
图1 图2 图3
如图1， 已知：AM BN，结论： APB= A+ B； 已知： APB= A+ B，结论：AM BN.
如图2，已知：AM BN，结论： P+ P= A+ B+ P
① ∥ ∠1 3 ∠ ∠ ②2. ∠ ∠ ∠ ∥
如图3，已知：AM BN，结论： P+ P+...+ P = A+ B+ P+...+ P
∥ ∠ 1 ∠ 3 ∠ ∠ 2n+1∠ 2 2n.
【模型证明】
∥ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠
（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM，
∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，
∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．
（2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P ＝∠P +∠P ，
2 1 3
故答案为：∠A+∠B+∠P ＝∠P +∠P ，
2 1 3
（3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P +…+P ＝∠P +∠P +∠P +…+∠P
2 2n 1 3 5 2n+1
故答案为：∠A+∠B+∠P +…+P ＝∠P +∠P +∠P +…+∠P
2 2n 1 3 5 2n+1
例题：（2025七年级下·全国·专题练习）如图，
，求 的度数．巩固训练
1．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知直线 ，直线 与直线 、 分别相交于C、D两点．
(1)如图 ，有一动点P在线段 之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，
又怎样的数量关系？试说明理由．
(2)如图b，当动点P线段 之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试
写出新的结论并说明理由．
2．（23-24七年级下·黑龙江鹤岗·期末）如图1，已知 ，求证： ；小明想
到了以下方法，请帮助他完成证明过程：
证明：
(1)如图1，过点 作 ，则 ___________．（ ）
，
__________（ ）
____________（ ）
又 ，
．
(2)如图2， ，请写出 的和并说明理由；
(3)如图3， ，请直接写出图3中 的和．
3．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图 ， ，试问 与 的关系是什么？并说
明理由；
①
（2）如图 ， ，试问 与 的关系是什么？请直接写出结论；
（3）如图②， ，试问 与 的关系是什么？请直接写出结论．
③4．（24-25八年级上·全国·期末）如图 ，直线 ，点 在两平行线之间，点 在 上，点 在
上，连接 ． ①
(1)若 ， ，则 的度数为 ．
(2)如图 ，若点 在直线 与 之间， ， ， ，则 的度数为 ．
(3)如图②，在图 基础上，作 平分 ， 平分 ，若设 ， ，则
③． ①
如图 ，若 平分 ， 平分 ，可得 ， 平分 ， 平分 ，可得
，④ ，依次平分下去，则 ．（用含 的式子表示）
(4)在一次综合实践活动课上，张开同学制作了一个如图 所示的“回旋镖”，经测量发现
， ，他很想知道 与 的数量关系，你能告诉他吗？请你写出求解过程．
⑤
模型2：铅笔头模型图1 图2 图3
如图 1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：
AM∥BN.
如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°
如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.
【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ，
∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；
在图2中，过P 作AM的平行线PC，过点P 作AM的平行线PD，
1 1 2 2
∵AM∥BN，∴AM∥PC∥PD∥BN，
1 2
∴∠1+∠APC＝180°，∠PPC+∠PPD＝180°，∠BPD+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝
1 2 1 1 2 2
540°；
在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线，
根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．
例题：（2024七年级下·全国·专题练习）如图1，四边形 为一张长方形纸片．
(1)如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（ 、 、 ），则
__________°．
(2)如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（ 、 、 、 ），则
__________°．
(3)如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（ 、 、 、 、 ），则
___________°．
(4)根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪 刀，剪出 个角，那么这 个角的和是
____________°．
巩固训练1．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）（1）如图 ， ，则 ________；
如图 ， ，则 ______①__，请你说明理由；
②
（2）如图 ， ，则 ________；
（3）利用③上述结论解决问题：如图 ， ， 和 的平分线相交于点F，
，求 的度数． ④
2．（22-23七年级下·广东江门·阶段练习）（1）如图1， ，求 的度数．
解：过点E作 ．
（已作），
（ ）．
又 （已知），
_______ _______（平行关系的传递性），
（两直线平行，同旁内角互补），
（等式性质），
即 _______；
（2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中， ，则 _______；
（3）根据（1）和（2）的规律，图3中 ，猜想： _______；
（4）如图4， ，在B，D两点的同一侧有 共n个折点，则
的度数为_______（用含n的代数式表示）．
3．（23-24七年级下·山东青岛·单元测试）已知：（1） ，P为平行线内一点，请猜测 、
、 的关系并说明理由．
（2）若内部有两个点 ， ，那么 ， 和 ， 又有怎样的数量关系（直接写出结果）（3）内部有n个点呢，你找到了怎样的规律？（直接写出结果）
（4）若内部有n个点的位置这样变化，你找到了怎样的规律？（直接写出结果）
模型3：牛角模型
图1 图2
如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3
如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180°
【模型证明】在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°
图1 图2
∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3.
在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°
∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°.
注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知 ， ， ，则
的度数为 °．
巩固训练
1．（23-24七年级下·全国·期末）直线 ，P 为直线 上方一点，连接 ．
(1)如图1，若 ，求 的度数；
(2)如图1，设 ，求 的度数（用含α、β的式子表示）；
(3)如图2，N为 内部一点， ，连接 ，若 ，求 的值．
模型4：羊角模型
图1 图2
如图1，已知：AB DE，结论： .
如图2，已知：AB∥DE，结论： .
【模型证明】在图∥1中，过C作AB的平行线CF， ＝ FCB
∴∠ ∠
图1 图2
AB DE， CF DE， = FCD， = FCD- FCB， = - .
∵ ∥ ∴ ∥ ∴∠ ∠ ∵∠ ∠ ∠ ∴∠ ∠ ∠
