重难点5-2数列前n项和的求法（8题型+满分技巧+限时检测）（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_2024年高考数学热点·重点·难点专练（新高考专用）

重难点 5-2 数列前 n 项和的求法 数列求和是高考数学的必考内容，一般利用等差数列的通项来构建考查裂项求和，构建等差等比数列考查 错位相减法求和，解答题中等差数列、等比数列通项的考查往往是第 1问，数列求和则是第2问。近几年 在数列求和中加大了思维能力的考查，减少了对程序化计算（错位相减、裂项相消）的考查，主要基于新 的情景，要求考生通过归纳或挖掘数列各项间关系发现规律再进行求和。 【题型1 公式法求数列前n项和】 满分技巧 （1）等差数列 的前n项和 ，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列 的前n项和 ，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前n项和： ① ； ② ； ③ ； ** 错误的表达式 ** 【例1】（2023·广东珠海·统考模拟预测）已知 为等比数列，且 ，若 . （1）求数列 的通项公式；（2）若 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）设等比数列 的公比为 ，则依题意有： ，即 ，解得 或 （舍去） 所以 ， （2） ， ，且 ， 是首项为3，公差为2的等差数列， 【变式1-1】（2023·宁夏银川·高三校联考阶段练习）设正项等比数列 且 的等差中项为 . （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，数列 的前n项为 ，数列 满足 ， 为数列 的前 项和，求 . 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）设等比数列 的公比为 ， 由题意，得 ，解得 ，则 ， 所以数列 的通项公式 . （2）由（1）得 ，显然数列 是等差数列， 因此 ， ， 所以 . 【变式1-2】（2023·山西·校考模拟预测）已知等差数列 满足 . （1）求 的通项公式； （2）设数列 的前 项和为 ，且 ，若 ，求 的最小值. 【答案】（1） ；（2）10【解析】（1）设等差数列 的公差为 ， 则 解得 ， 故 . （2）由（1）可得 ，则 ， 所以 ，则数列 是是等差数列， 故 . 因为 ，所以 ，所以 ，所以 或 . 因为 ，所以 的最小值是10. 【变式1-3】（2023·四川德阳·统考一模）已知首项为 的等比数列 的前 项和为 ，且 成 等差数列. （1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的最大项. 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）由题意得 ， 设公比为 ，若 ，此时 ，此时不满足 ； 若 ，则 ， 故 ，即 ， 由于 ，故 ，解得 或1（舍去）， 故 ； （2） ，故 ，所以 ， 令 ， 由对勾函数可知 在 上单调递减， 故当 时， 取得最大值，最大值为 ， 故. 数列 的最大项为 【变式1-4】（2023·山西临汾·校考模拟预测）在数列 中， ，且 ． （1）求 的通项公式； （2）设 为 的前n项和，求使得 成立的最小正整数n的值． 【答案】（1） ；（2）13 【解析】（1）由 可得 ，所以 ， 所以 的奇数项以及偶数项均为公比为3的等比数列， 由 得 ， 由 ，则 ， 因此 的奇数项以1为首项，3为公比的等比数列， 偶数项以3为首项，公比为3的等比数列， 故 ， （2） ， 此时 若 ，则 ，故 ，由于 为单调递增数列，且 ， 所以此时满足 的最小的 为 ， 当 为奇数时，此时 ， 由 ，则 ，故 ， 由于 为单调递增数列， 且 ， 所以此时满足 的最小的 为13， 综上可得使得 成立的最小正整数n为13 【题型2 分组法求数列前n项和】 满分技巧 （1）适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的 和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论． （2）常见类型： ** 错误的表达式 **若a＝b±c，且{b}，{c}为等差或等比数列； n n n n n ** 错误的表达式 **通项公式为a＝的数列，其中数列{b }，{c}是等比数列或等差数列. n n n 【例2】（2023·山西忻州·高三校联考阶段练习）已知数列 的前n项和为 ， ， （ ）. （1）求 的通项公式； （2）设数列 ， 满足 ， ，求数列 的前n项和 . 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）由题意可得 （ ），两式作差，得 （ ）， 则 （ ）， 当 时， ，即 ，将 代入，解得 ， 则 ，适合 （ ），所以 ， ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列， 所以 . （2）由（1得） ， . 故 . 【变式2-1】（2023·江苏无锡·高三校联考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 . （1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 . 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）由 ① 当 时， ，所以 当 时， ② ①②式相减得 ，即 两边同除以 得， ， 又 ，所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列， ，则 （2） ，可知数列 是以 为首项， 为公差的等差数列， 可知数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，【变式2-2】（2023·江西贵溪·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ， ，等比数列 的公比为 ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）令 ，求数列 的前10项和． 【答案】（1） ， ；（2） 【解析】（1）当 时， ， ， ， 等比数列 的公比为 ，则有 ， 由 ，可得 ． 当 时， ． 经检验，当 时， 满足上式，所以 ． （2） ， 设 的前10项和为 ， ． 【变式2-3】（2023·广东广州·统考模拟预测）设数列 的前n项和为 ，且 . （1）求数列 的通项公式； （2）若数列 满足 ，求数列 的前2n项和 . 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）依题意， ， 当 时， ， 当 时， ， 所以 ， 所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 ， 也符合. 所以 . （2）由（1）得 ，所以 . 【变式2-4】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）设数列 满足 ，求数列 的前 项和 ． 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）因为 ， 时， , 两式相减得 ， ， ， ， ， 相乘得 ，所以 ， 当 时符合上式，所以 ； （2） ， 当 为奇数时 ， . 【题型3 并项法求数列前n项和】 满分技巧 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． n 例如， ． 【例3】（2023·陕西西安·高三校考阶段练习）若数列 的通项公式是 ，则该数列的前 100项之和为 . 【答案】100 【解析】因为 ，所以 ， ， ， ， 所以该数列的前100项之和为 . 【变式3-1】（2023·河北邯郸·统考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ． （1）求数列 的通项公式； （2）若数列 ，求数列 的前 项和 ． 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）因为 ， 当 时， ， 当 时， ，则 ， 当 时， 不成立，所以 . （2）由（1）可得 ， 所以 . 【变式3-2】（2023·广东广州·高三统考阶段练习）记 为等差数列 的前n项和，已知 ， . （1）求 的通项公式； （2）记 ，求数列 的前23项的和 . 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）设等差数列公差为d，则 ，解得 ， ，所以 . （2）由（1）可得： ，则 ， 可得 ， 所以 . 【变式3-3】（2023·湖南邵阳·高三校联考阶段练习）已知数列 的前n项和为 ，且 ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和 ． 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）由已知可得 ， 则 ， 上述等式累加可得 ， 所以， ，故当 时， ， 也满足 ，故对任意的 ， . （2）因为 ，故数列 为等差数列， 则 ，所以， ， 对任意的 ，则 ， 当 为偶数时，设 ，则 ， 则 ； 当 为奇数时，设 ，则 ，则 ， 综上所述， . 【变式3-4】（2023·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）已知数列 满足 ， ，且 ． （1）求证：数列 为等比数列； （2）若 ，求数列 的前n项的和 ． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1） ，且 ， ， ，且 ， ， 故数列 是以 为首项， 为公比的等比数列. （2）由（1）知， ， 则有 ， ， ， 各式相加得 ， 又 ，则 ， ， 则当 为奇数时， ； 当 为偶数时， ； 综上所述， .【题型4 逆序相加法求数列前n项和】 满分技巧 如果一个数列{a}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列 n 的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的． 【例4】（2023·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）已知 为正项等比数列，且 ，若函数 ，则 （ ） A．2023 B．2024 C． D．1012 【答案】A 【解析】因为 为正项等比数列，且 ， 所以 ， 由 可得 ， 所以 ，所以设 ， 则 ， 所以两式相加可得： ，故 ，故选：A. 【变式4-1】（2023·山东潍坊·高三安丘市第一中学校考阶段练习）已知函数 ，数列 为 等比数列， ，且 ，利用课本中推导等差数列前 项和的公式的方法，则 （ ） A． B．2017 C．4034 D．8068 【答案】C 【解析】用倒序相加法：令 ① 则也有 ② 由 ， ，即有 ， 可得： ， 于是由①②两式相加得 ，所以 ．故选：C 【变式4-2】（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论､代数学､非欧几何､复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献.我 们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法等等.已知某数列的通项 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 当 时， ， ， ， ， ， ，即 .故选：D． 【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ，且 ，设函 数 ，则 ． 【答案】 / 【解析】∵ ①， ∴当 时， ②， ①－②得 ，∴ ； 当 时， ，∴ ，此时 仍然成立，∴ ． ∴当n=1时， ； 当 时， ， 当n=1时，上式也成立，故 ． 由于 ， 设则 ， ∴ ． 【变式4-4】（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知数列 满足： （ ），数列 满足 . （1）求数列 的通项公式； （2）求 . 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）当 时， ； 当 时， ①， ②， ①－②得： ， ∴ ，当 时， ，∴ . （2）∵ ， ∴ ∴ ①， ②， 又∵ ∴①＋②得： ∴ . 【题型5 错位相减法求数列前n项和】 满分技巧1、解题步骤 2、注意解题“3关键” ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形． ②在写出“S”与“qS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S －qS”的表达 n n n n 式． ③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解． c =(An+B)⋅qn 3、等差乘等比数列求和，令 n ，可以用错位相减法． T =(A+B)q+(2A+B)q2 +(3A+B)q3 +...+(An+B)qn n ① qT =(A+B)q2 +(2A+B)q3 +(3A+B)q4 +...+(An+B)qn+1 n ② 得： ． An B A B A T =( + − )qn+1 −( − )q n q−1 q−1 (q−1) 2 q−1 (q−1) 2 整理得： ． 【例5】（2023·江苏盐城·高三盐城中学校联考阶段练习）已知数列 满足 ， ，且数列 是等差数列. （1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 . 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1） 是等差数列，记其公差为 ， 则有 ， ， ； （2） ，则 ， 则 ， . 【变式5-1】（2023·青海·校联考模拟预测）已知数列 满足 . （1）求 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）当 时， ， 由已知， ，① 当 ， ，② ① ②，得 ，得 ， 当 时， ，成立， 综上可知， ； （2）由（1）可知， ，则 ， ， ， 两式相减得 ， 即 ，所以 【变式5-2】（2023·山东泰安·高三统考期中）已知数列 的前n项和为 ， 且 ， . （1）求 ；（2）记 ，求数列 的前n项和. 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1） ， ， 又 ， . 数列 是公差为2，首项为 的等差数列. ,即 . 当 时， ， ，故 . （2） 时， 时， . 设 的前n项和为 ，则 ， . . （ ） 当 时，也符合，所以 【变式5-3】（2023·海南·校联考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且. （1）求 ； （2）若 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）依题意， ，故 ， 故 是以2为公差的等差数列. 而 ， 又 ，解得 ，故 的首项为3， 则 ，则 . （2）由（1）可知，当 时， ； 当 时， 也满足该式，故 ，故 ， 则 ， 两式相减得， ， 故 【变式5-4】（2023·江苏南京·高三期末）已知数列 满足 ，且对任意 都有 . （1）设 ，证明： 是等差数列； （2）设 ，求数列 的前 项和 .【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）因为对任意 都有 ， 所以以 替换 得， ， 则 ， 由 ， ，所以 是公差为 的等差数列； （2）令 得， ，即 ，则 ， 所以由（1）得， 是以 为首项，公差为 的等差数列， 所以 ，即 . 由 ， 令 可得， ， 则 ， 由 得， . 当 时， ； 当 时， ①， 则 ②， 得， ， 所以 ， 综上， . 【题型6 裂项相消法求数列前n项和】 满分技巧 1、用裂项法求和的裂项原则及规律 （1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项． 2、裂项相消法中常见的裂项技巧 1 1 1 1 1 1 1 1  (  )  (  ) （1） n(nk) k n nk （2） 4n2 1 2 2n1 2n1 1 1 1 1  2n1 1 1       n(n1)(n2) 2n(n1) (n1)(n2) n2(n1)2 n2 (n1)2 （3） （4） n1 1 1 1  1 1      ( nk  n) n2(n2)2 4n2 (n2)2  nk  n k （5） （6） 2n (2n11)(2n 1) 1 1    (2n11)(2n 1) (2n11)(2n 1) 2n 1 2n11 （7） 【例6】（2023·四川南充·统考一模）已知数列 是首项为2的等比数列，公比 ，且 是 和 的等差中项． （1）求 的通项公式； （2）设数列 满足 ，求 的前2023项和 ． 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1） 数列 是首项为2的等比数列， 是 和 的等差中项， ，即 ， ， ， ，解得 或 （舍）， ； （2） ， ， 的前2023项和 . 【变式6-1】（2023·江苏镇江·高三校考阶段练习）已知数列 的前n项和为 ， 是n、 的等差中项， ． （1）证明： 是等比数列； （2）设 ，数列 的前n项和 ，证明： ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）因为 是 的等差中项，所以 ，所以 ， 两式相减可得： ，所以 ， 又 ，所以 ， ， 所以 是首项为 ，公比为 的等比数列； （2）由（1）可知 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 因为 ，所以 ，所以 . 【变式6-2】（2023·福建莆田·高三莆田第四中学校考阶段练习）已知数列 前 项和为 ，且满足 . （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求证： . 【答案】（1） ， ；（2）证明见解析． 【解析】（1）由已知 ， 时， ， 此时 也适合上式，所以 ， ； （2）由（1） ， ， 所以 . 【变式6-3】（2023·广东珠海·高三珠海市第一中学校考期末）已知正项数列 的前 项和为 ， ， 且当 时 ． （1）求数列 的通项公式；（2）若数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，试比较 与 的大小，并加以证明. 【答案】（1） ；（2） ，证明见解析 【解析】（1）因为 时 ， 数列 为正项数列，所以 ． 由累加法得 ， 又 ，所以 ，即 ， 故当 时， ，因此 ． （2） ．证明如下： 由题意及（1）可得 ， 故 ， ． 两式相减，得 ，得 ． 由于 ，故 ，所以 ． 【变式6-4】（2023·河北保定·高三校联考阶段练习）设 为数列 的前 项和， ． （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，证明： ． 【答案】（1） ；（2）证明见解析. 【解析】（1）当 时， ，当 时， ， 两式相减得 ，则 ， 当 时， ， 又当 时， ，当 时， ，则 ，显然 符合 ， 所以数列 的通项公式是 . （2）由（1）知， ， 所以 . 【题型7 含绝对值数列的前n项和】 【例7】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知 是数列 的前 项和， ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和 ． 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）由 ，则 ， 两式相减得： ， 整理得： ，即 时， ， 所以 时， ， 又 时， ，得 ，也满足上式． 故 ． （2）由（1）可知： ． 记 ，设数列 的前 项和 ． 当 时， ； 当 时，综上： 【变式7-1】（2023·辽宁丹东·高三校联考阶段练习）已知等差数列 的公差为整数， ，设其前n 项和为 ，且 是公差为 的等差数列. （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前n项和 . 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）设 的公差为 ，依题意得 ， 所以 ，即 ， 化简得 ，解得 或 （舍去）， ， 所以 经检验满足题意. （2）依题意得， ， ， 其前 项和 ， 当 时， ， ， 故 ， 当 时， ， 故 所以 . 【变式7-2】（2023·重庆·高三重庆市第七中学校校考阶段练习）已知 是正项等比数列. ，且 ， （1）求 的通项公式；（2）当 为递增数列，设 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1） 或 ；（2） 【解析】（1）设正项等比数列 的公比 ， 因为 ，且 ，， 则 ，解得 或 ， 所以 的通项公式为： 或 . （2）因为 为递增数列，则 ， 结合题意: ，得到 ， 所以 ， 当 时， ， ; 当 时， ， ， 综上所述： . 【变式7-3】（2023·陕西西安·高三统考阶段练习）已知数列 的前n项和为 ，且 ． （1）求 的通项公式； （2）记 ，求数列 的前n项和 ． 【答案】（1） ；（2） .【解析】（1）当 ，则 ； 当 ，则 ， 所以 ，而 ，则 是首项、公比为2的等比数列， 所以 ，且 也满足， 综上， . （2）由（1）得 ， 当 时， ， 当 时， . 所以 . 【变式7-4】（2023·全国·模拟预测）在数列 中， ， ． （1）求 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 ． 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）因为在数列 中， ， ， 所以， ， 所以，等式两边同加上 得 ， 因为， ，所以，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， 所以， ．（2）因为 ， 即 ，所以， 为单调递减数列， 因为 ， ， 所以， 时， ， 时， ， 记 的前 项和为 ，则 ， 所以，当 时， ， ； 当 时， ， ，① ，② 所以，① ②得： ， 即 ， 综上， 【题型8 数列求和与不等式综合】 满分技巧 常见的角度主要包括两个方面： 一、不等式恒成立小件下，求参数的取值范围； 二、不等式的证明，常见方法有不比较法、构造辅助函数法、放缩法、数学归纳法等。 【例8】（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）已知 为数列 的前 项和，且 为正项等比数列， ， . （1）求证：数列 是等差数列；（2）求数列 的通项公式； （3）设 ，且数列 的前 项和为 ，若 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） 【解析】（1）当 时， ，解得 ； 当 时， ， 所以 ， 整理得 ，① 所以 ，② 由①-②得 ，所以数列 为等差数列， 因为 ，所以数列 的公差为 ，所以 . 设 ， 则 ， 因为 （常数）， 所以数列 是等差数列； （2）设数列 的公比为 ， 结合（1）及已知得 ，解得 ，所以 ； （3）由（1）（2），得 ， 所以 ，① 又 ② ①-②，得 ， 所以 ， 由 ，解得 . 设 ，则 ，故 ， 因为 ， 故 恒成立，知 单调递减， 故 的最大值为 ，则 ，即 的取值范围为 . 【变式8-1】（2023·山东·山东省五莲县第一中学校联考模拟预测）已知数列 前 项和为 ，且对任意 的正整数 与 的等差中项为 . （1）求数列 的通项公式； （2）证明： . 【答案】（1） ；（2）证明见解析 【解析】（1）由题意可得： ， 时， ，可得 ； 时， ， ， 两式相减得： ，即 . 可得 ，且 ， 可知 是以 为首项，2为公比的等比数列. 所以 ，即 . （2）因为 ， 所以 ； 又因为 ， 所以 ， 综上所述： . 【变式8-2】（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知数列 满足 ，且 ，数列满足 ，且 （ 表示不超过 的最达整数）， ． （1）求 ； （2）令 ，记数列 的前 项和为 ，求证： ． 【答案】（1）2；（2）证明见解析 【解析】（1） ， ， ， ． 又 是递增数列， ， 当 时， ． ． （2） ， ，则有 ， 是以 为首项， 为公比的等比数列， ． ， ， 原不等式得证． 【变式8-3】（2023·河北石家庄·高三校联考期末）已知数列 满足 ． （1）若 为等差数列，求 的通项公式； （2）记 的前 项和为 ，不等式 对 恒成立，求 的取值范围． 【答案】（1） ；（2）【解析】（1）因为 ，所以 ， 两式相减得 ． 因为 为等差数列，所以 的公差 ． 又 ，所以 ，解得 ， 则 ，即 的通项公式为 ． （2）由（1）得 ， 所以不等式 可化为 ， 当 为奇数时， ，则 ，即 ， 当 为偶数时， ，则 ． 综上， 的取值范围为 ． 【变式8-4】（2023·山东青岛·高二山东省青岛第五十八中学校考期末）已知函数 满足 ，若数列 满足： . （1）求数列 的通项公式； （2）若数列 满足 ， （ ），数列 的前n项和为 ，若 对一切 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ， ；（2） 【解析】（1）因为 , 由 ①, 则 ②, 所以 可得： ， 故 ， . （2）由（1）知， ，则 时， ， 所以 .又由 对一切 恒成立,可得 恒成立, 即有 对一切 恒成立. 当 时, 取得最大值 ，所以 ； 故实数 的取值范围是 . （建议用时：60分钟） 1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的通项公式为 ， 为数列的前n项和， （ ） A．1009 B．1010 C．1011 D．1012 【答案】D 【解析】依题意，当n为奇数时， ，当n为偶数时， ， 于是 ，因此 ， 所以 .故选：D 2．（2023·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）已知函数 ，在正项等比数列 中， ，则 （ ） A．1011 B．1012 C．2023 D．2024 【答案】C 【解析】由题意知 ， 由等比数列性质可得 ， 所以 ， ，故选：C. 3．（2023·天津·高三南开中学校考阶段练习）在公差大于0的等差数列 中， ，且 ， ， 成等比数列，则数列 的前21项和为（ ） A．12 B．21 C．11 D．31【答案】B 【解析】在公差 大于0的等差数列 中，由 ，得 ，解得 ， 由 ， ， 成等比数列，得 ， 即为 ，而 ，解得 ， 因此数列 的通项公式 ， 所以数列 的前21项和为： .故选：B 4．（2023·天津·高三统考期中）设等差数列 的前 项和为 ，数列 的前 和为 ，已知 ， ， ，若 ，则正整数 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设 的公差为 ， 则 ，解得 ，故 ， 故 ， 则 ， 因为 ，所以 ，解得 .故选：B 5．（2023·广西·模拟预测）设 是等差数列， 是各项都为正数的等比数列．且 ， ， ， ． （1）求 ， 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 ． 【答案】（1） ， ；（2） . 【解析】（1）由已知得 ①， ②， 联立①②，得 ，解得 或 ， 因为 是各项都为正数的等比数列，所以 ，代入①式可得 ， 所以 ， ． （2）由题意及（1）及 ，故 ，∴ ， ， 两式相减得 ． ∴ . 6．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）数列 满足 ， ， ，设 . （1）证明：数列 是等差数列； （2）求数列 的前 项和 . 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）证明：依题意，由 ， 可得 ，则 ， ∵ ，∴数列 是以3为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）知 ， 则 ， . 7．（2023·江苏·高三泰州中学校联考阶段练习）设数列 的前 项和为 ，且对于任意正整数 ， 都有 ． （1）求证：数列 是等比数列； （2）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）数列 中， ，则 ， 两式相减得 ，即 ，因此 ， 又当 时， ，得 即 ，所以数列 是首项为5公比为2的等比数列． （2）由（1）得 ，即 ， 则有 ，又 ， 因此 是常数数列，即 ，则 ， 从而 所以 . 8．（2023·天津·高三静海一中校考阶段练习）已知数列 是数列 的前 项和，已知对于任 意 ，都有 ，数列 是等差数列， ，且 成等比数列. （1）求数列 和 的通项公式. （2）记 ，求数列 的前 项和 . （3）记 ，求 . 【答案】（1） ， ；（2） ；（3） 【解析】（1）当 时， ，解得 . 当 时， ，所以 ， 即 是以首先 ，公比为 的等比数列，即 . 因为 ， 成等比数列， 所以 ，即 ，解得 . 所以 . （2）由（1）得 ， 则（3） ， 因为 ， 设 ，前 项和为 ， 则 ， ， . 所以 9．（2023·福建宁德·校考二模）已知 为等差数列 的前 项和， ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前15项和 ． 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）设等差数列 的公差为 ， ， 且 ， ， ， ， ． （2）由（1）可知 其中 ． 故 的前15项和为 ． 10．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知 为数列 的前 项和， ， ，记. （1）求数列 的通项公式； （2）已知 ，记数列 的前 项和为 ，求证： . 【答案】（1） ；（2）证明见解析 【解析】（1）由 ，得 ， ， 则 ， ， ， 数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， ， ， . （2） ， ， ， 当 为奇数时， ， 当 为偶数时， ， 由 ，可知 是递增数列， ， 综上， .