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2022—2023 学年九年级上学期第一单元过关检测（2）
一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑）
1．（4分）下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②3x（x﹣4）＝0；③x2+y﹣3＝0；④y2+x＝2；⑤x3
﹣3x+8＝0；⑥x2﹣5x+7＝0．其中是一元二次方程的有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：①当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程；
②3x（x﹣4）＝0是一元二次方程；
③x2+y﹣3＝0不是一元二次方程；
④y2+x＝2是二元二次方程；
⑤x3﹣3x+8＝0是一元三次方程；
⑥x2﹣5x+7＝0是一元二次方程．
所以是一元二次方程的有2个．
故选：A．
2．（4分）把方程x2﹣6x﹣1＝0转化成（x+m）2＝n的形式，则m、n的值是（ ）
A．3、8 B．3、10 C．﹣3、3 D．﹣3、10
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，即可得出答
案．
【解答】解：∵x2﹣6x﹣1＝0，
∴x2﹣6x＝1，
则x2﹣6x+9＝1+9，即（x﹣3）2＝10，
∴m＝﹣3，n＝10，
故选：D．
3．（4分）在解一元二次方程x2+p x+q＝0时，童威看错了常数项，得到方程的两个根是﹣3、﹣1，胖何
看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5、﹣4，则原来的方程是（ ）
A．x2+4x﹣3＝0 B．x2+4x﹣20＝0 C．x2﹣4x﹣20＝0 D．x2﹣4x﹣3＝0
【分析】先设这个方程的两根是 、 ，根据两个根是﹣3，1和两个根是5，﹣4，得出 + ＝﹣p＝﹣
4， ＝q＝﹣20，从而得出符合题α意β的方程． α β
【解α答β 】解：设此方程的两个根是 、 ，
根据题意得： + ＝﹣p＝﹣4， ＝αq＝β﹣20，
α β αβ则以 、 为根的一元二次方程是x2+4x﹣20＝0．
故选：αB．β
4．（4分）关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
【分析】将原方程转化为一般形式，由根的判别式 Δ＝9+4p2＞0，可得出原方程有两个不相等的实数根，
再结合 ＝﹣2﹣p2＜0，可得出原方程有一个正根，一个负根．
【解答】解：将原方程化简成一般形式得x2+x﹣2﹣p2＝0，
∴a＝1，b＝1，c＝﹣2﹣p2，
∴Δ＝12﹣4×1×（﹣2﹣p2）＝9+4p2．
∵p2≥0，
∴9+4p2＞0，即Δ＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
又∵ ＝﹣2﹣p2＜0，
∴原方程有一个正根，一个负根．
故选：C．
5．（4分）对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，min{﹣
，﹣ }＝﹣ ；若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x为（ ）
A．0或2 B．1或﹣1 C．1或2 D．﹣1或2
【分析】利用题中的新定义化简已知等式，求出解即可得到x的值．
【解答】解：当（x﹣1）2＜x2，即x＞ 时，方程为（x﹣1）2＝1，
开方得：x﹣1＝1或x﹣1＝﹣1，
解得：x＝0（舍去）或x＝2；
当（x﹣1）2＞x2，即x 时，方程为x2＝1，
开方得：x＝﹣1或x＝1（舍去），
综上，x＝﹣1或2，
故选：D．6．（4分）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮
的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神，随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩
墩”的销售日益火爆，据统计，该店2021年第四季度的“冰墩墩”总销售额为9.93万件，其中10月的
销量为3万件，设11，12月份的平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．3（1+x）2＝9.93
B．3+3（1+x）2＝9.93
C．3+3x+3（1+x）2＝9.93
D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝9.93
【分析】利用“2021年12月的销量＝2021年10月的销量×（1+月平均增长率）2，2021年11月的销量
＝2021年10月的销量×（1+月平均增长率）”、“该店2021年第四季度的“冰墩墩”总销售额为9.93
万件”列出方程即可．
【解答】解：根据题意，得3+3（1+x）+3（1+x）2＝9.93．
故选：D．
7．（4分）排列：从n个不同元素中任取m个按照一定的顺序排成一列，叫作从n个元素中取出m个元素
的一个排列．所有不同排列的个数，称为从n个不同元素中取出m个元素的排列数，一般我们记作 ，
则 ＝n（n﹣1）…×（n﹣m+1）．例如 ＝4×3＝12．如果 ＝20；求x的值（ ）
A．x ＝5 x ＝4 B．x ＝﹣5 x ＝4
1 2 1 2
C．x ＝5 x ＝﹣4 D．x ＝﹣5 x ＝﹣4
1 2 1 2
【分析】先根据新定义得到x（x﹣1）＝20，再把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：∵ ＝20，
∴x（x﹣1）＝20，
∴x2﹣x﹣20＝0，
（x﹣5）（x+4）＝0，
x﹣5＝0或x+4＝0，
∴x ＝5，x ＝﹣4．
1 2
故选：C．
8．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）有一根为2022，则方程a（x+1）2+b（x+1）＝
﹣5必有根为（ ）A．2022 B．2020 C．2019 D．2021
【分析】对于一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5，设t＝x+1得到at2+bt+5＝0，利用at2+bt+5＝0
有一个根为t＝2022得到x+1＝2022，从而可判断一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5必有一根为x
＝2021．
【解答】解：由a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5得到a（x+1）2+b（x+1）+5＝0，
对于一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5，
设t＝x+1，
所以at2+bt+5＝0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）有一根为x＝2022，
所以at2+bt+5＝0有一个根为t＝2022，
则x+1＝2022，
解得x＝2021，
所以一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5有一根为x＝2021．
故选：D．
9．（4分）甲、乙、丙三人共同探究代数式﹣2x2+4x+2的情况，三人的说法如下：
甲：只有当x＝0时，代数式﹣2x2+4x+2的值为2；
乙：当x取大于2的实数时，代数式﹣2x2+4x+2的值随x的增大而减小；
丙：无论x取何值时，代数式﹣2x2+4x+2的值都不可能大于4．
下列判断正确的是（ ）
A．甲对，乙对 B．甲对，丙对 C．甲错，丙对 D．乙错，丙错
【分析】通过解一元二次方程判断甲同学的说法；通过配方法，根据二次函数的性质判断乙同学的说法；
根据非负数的性质判断丙同学的说法．
【解答】解：甲：∵﹣2x2+4x+2＝2，
∴﹣2x2+4x＝0，
∴﹣2x（x﹣2）＝0，
∴x ＝0，x ＝2，故甲同学的说法不符合题意；
1 2
乙：∵﹣2x2+4x+2
＝﹣2（x2﹣2x）+2
＝﹣2（x2﹣2x+1﹣1）+2
＝﹣2（x﹣1）2+2+2
＝﹣2（x﹣1）2+4，∴当x＞2时，代数式﹣2x2+4x+2的值随x的增大而减小，故乙同学的说法符合题意；
丙：∵（x﹣1）2≥0，
∴﹣2（x﹣1）2≤0，
∴﹣2（x﹣1）2+4≤4，
∴无论x取何值时，代数式﹣2x2+4x+2的值都不可能大于4，故丙同学的说法符合题意；
故选：C．
10．（4分）小张的书法作品荣获学校书法比赛一等奖．作品尺寸如图所示：书法作品长5尺，宽3尺；
将书法作品贴在一张矩形装裱纸的正中央，书法作品四周外露装裱纸的宽度相同；矩形装裱纸的面积为
书法作品面积的2倍．设书法作品四周外露装裱纸的宽度为x尺，下面所列方程正确的是（ ）
A．（5+2x）（3+2x）＝2×5×3 B．（5+x）（3+x）＝2×5×3
C．2（5+2x）（3+2x）＝5×3 D．（5+2x）（3+2x）＝5×3
【分析】根据关键语句“矩形装裱纸的面积为书法作品面积的2倍”列出方程求解即可．
【解答】解：根据题干，矩形装裱纸的长为（5+2x）尺，宽为（3+2x）尺，
其面积为（5+2x）（3+2x）平方尺，
根据题意得：
（5+2x）（3+2x）＝2×5×3，
故选：A．
11．（4分）某超市销售一批玩具，平均每天可售出120件，每件盈利4元，市场调查发现售价每涨1元，
销售量减少10件；售价每降1元，销售量增加10件爱动脑的嘉嘉发现：在一定范围内，涨 a元与降b
元所获得的利润相同，则a与b满足（ ）
A．a﹣b＝4 B．a﹣b＝8 C．a+b＝4 D．a+b＝8
【分析】将利润用函数关系表达出来，由于涨价、降价时的销售量变化幅度一致，所以利润可用一元二
次函数表示，再利用一元二次函数的对称性解决即可．
【解答】解：由题意得，（4+a）（120﹣10a）＝（4﹣b）（120+10b），
解得a﹣b＝8，
故选：B．12．（4分）可以用如图所示的图形研究方程x2+ax＝b2的解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝ ，BC＝
b，以点A为圆心作弧交AB于点D，使AD＝AC，则该方程的一个正根是（ ）
A．CD的长 B．BD的长 C．AC的长 D．BC的长
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算，可得BD2+aBD＝b2，从而可得BD的长该方程方程
x2+ax＝b2的一个正根．
【解答】解：∵AD＝AC＝ ，
∴AB＝AD+BD＝ +BD，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴（ ）2+b2＝（ +BD）2，
∴ +b2＝ +aBD+BD2，
∴BD2+aBD＝b2，
∵BD2+aBD＝b2与方程x2+ax＝b2相同，且BD的长度是正数，
∴BD的长该方程x2+ax＝b2的一个正根，
故选：B．
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应
的位置上）
13．（4分）若关于x一元二次方程（m+2）x2+5x+m2+3m+2＝0的常数项为0，则m的值等于 ．
【分析】关于x一元二次方程（m+2）x2+5x+m2+3m+2＝0的常数项是m2+3m+2＝0，解出关于m的一元
二次方程，并且注意而二次项系数（m+2）≠0，两者结合求得m的值．
【解答】解：∵关于x一元二次方程常数项为0，
∴m2+3m+2＝0，解得m ＝﹣1，m ＝﹣2；
1 2
又∵m+2≠0，m≠﹣2，
∴m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．（4分）设a、b为x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a3+a2+3a+2024b＝ ．
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到a2＝﹣a+2021，再用a表示a3得到a3＝2022a﹣2021，所以
原式变形为2024（a+b），接着根据根与现实的关系得到a+b＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a为x2+x﹣2021＝0的根，
∴a2+a﹣2021＝0，
即a2＝﹣a+2021，
∴a3＝a（﹣a+2021）＝﹣a2+2021a＝a﹣2021+2021a＝2022a﹣2021，
∴a3+a2+3a+2024b＝2022a﹣2021﹣a+2021+3a+2024b＝2024（a+b），
∵a、b为x2+x﹣2021＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，
∴a3+a2+3a+2024b＝2024×（﹣1）＝﹣2024．
故答案为：﹣2024．
15．（4分）已知a，b，c满足：a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，则 a+b+3c的值等于 ．
【分析】将已知等式左右两边分别相加，再配方成非负数的和为 0，求出a、b、c的值，代入即可求出
式子的值．
【解答】解：∵a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，
∴a2+2b+b2﹣2c+c2﹣6a＝﹣11，
∴a2﹣6a+9+b2+2b+1+c2﹣2c+1＝0，
∴（a﹣3）2+（b+1）2+（c﹣1）2＝0，
∴a﹣3＝0，b+1＝0，c﹣1＝0，
∴a＝3，b＝﹣1．c＝1，
∴ a+b+3c＝ ×3﹣1+3×1＝3，
故答案为：3．
16．（4分）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向
运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过 s后，P，Q两点之间相距25cm．
【分析】设x秒后P、Q两点相距25cm，用x表示出CP、CQ，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：设x秒后P、Q两点相距25cm，
则CP＝2xcm，CQ＝（25﹣x）cm，
由题意得，（2x）2+（25﹣x）2＝252，
解得，x ＝10，x ＝0（舍去），
1 2
则10秒后P、Q两点相距25cm．
故答案是：10．
三、解答题（本题共8个小题，共86分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上，解
答时应写出必要的文字说明、证明步骤或演算步骤.）
17．（8分）按要求解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣2＝0；（配方法） （2）（x+4）2﹣5（x+4）＝0；（因式分解法）
（3）x2﹣6x＝8；（公式法） （4）x2﹣2x﹣15＝0．（因式分解法）
【分析】（1）利用配方法得到（x﹣2）2＝6，然后利用直接开平方法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可；
（3）把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，然后利用公式法解方程即可；
（4）利用因式分解法解方程先即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣2＝0，
x2﹣4x+4＝6，
（x﹣2）2＝6，
x﹣2＝± ，
所以x ＝ +2，x ＝﹣ +2；
1 2
（2）（x+4）2﹣5（x+4）＝0，
（x+4）（x+4﹣5）＝0，
x+4＝0或x+4﹣5＝0，所以x ＝﹣4，x ＝1；
1 2
（3）x2﹣6x＝8，
x2﹣6x﹣8＝0，
a＝1，b＝﹣6，c＝﹣8，
Δ＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣8）＝68，
x＝ ＝3 ，
所以x ＝3﹣ ，x ＝3+ ；
1 2
（4）x2﹣2x﹣15＝0，
（x﹣5）（x+3）＝0，
x﹣5＝0或x+3＝0，
所以x ＝5，x ＝﹣3．
1 2
18．（8分）已知a2+b2﹣4a+6b+13＝0，求 的值．
【分析】已知等式整理后，利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出 a与b的值，原式化简后
代入计算即可求出值．
【解答】解：已知等式整理得：（a2﹣4a+4）+（b2+6b+9）＝0，即（a﹣2）2+（b+3）2＝0，
∵（a﹣2）2≥0，（b+3）2≥0，
∴a﹣2＝0，b+3＝0，
解得：a＝2，b＝﹣3，
原式＝ • • ＝ • • ＝ ，
当a＝2，b＝﹣3时，原式＝ ＝﹣ ．
19．（10分）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长．
【分析】（1）先计算出Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×2k＝（k﹣2）2，然后根据非负数的性质和根的判别式的意
义判断方程根的情况；
（2）依题意方程x2﹣（k+2）x+2k＝0一个根为5，代入方程求得k＝5，再把k代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长．
【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×2k＝（k﹣2）2，
∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，
∴无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：∵等腰三角形一腰长为5，
∴另外一边长度为5，
∴方程x2﹣（k+2）x+2k＝0一个根为5，
∴25﹣5（k+2）+2k＝0，
解得k＝5，
∴方程为x2﹣（5+2）x+2×5＝0，
∴（x﹣5）（x﹣2）＝0，
解得x ＝5，x ＝2，
1 2
故△ABC的周长＝5+5+2＝12．
20．（10分）（1）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根a，b．求
的值．
（2）若m，n是方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，求 的值．
【分析】（1）根据根与系数的关系得到a+b＝﹣2，ab＝k，再利用通分和同分母的减法运算得到原式
＝
，然后利用整体代入的方法计算，最后约分即可．
（2）由题意知，m+n＝﹣3，mn＝﹣1，m2+3m﹣1＝0，将 转化为 ，代值即可得出
结论．
【解答】解：（1）根据题意得a+b＝﹣2，ab＝k，
∴原式＝
＝＝
＝
＝1；
（2）∵m，n是方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣3，mn＝﹣1，m2+3m﹣1＝0，
∴m2＝1﹣3m，
∴原式＝
＝
＝1．
21．（12分）在九年级学长斗志昂扬迎战体考的氛围带动下，某校八年级同学对体育锻炼越来越重视．同
学们在八上期末、八下开学、八下半期举行的三次体育测试中获得满分的人数逐渐增多，从八上期末的
75人满分，到八下半期满分人数上升至108人．
（1）如果每次测试满分人数增加的百分率相同，求这个百分率；
（2）已知体测满分50分，该年级共340名学生，其中有5名同学因身体原因每次测试只能得到30分．
年级计划通过一系列举措，力争在下次测试时满分人数比半期满分人数增加25%．那么除了满分同学和
5名特殊情况同学之外，其余同学至少平均得到多少分，才能使全年级平均分不低于46分？
【分析】（1）设每次测试满分的人数增加的百分率为x，利用期末满分人数＝开学初满分人数×（1+增
长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设其他同学平均成绩为y分，根据全校平均分不低于46分，即可得出关于y的一元一次不等式，
解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每次测试满分的人数增加的百分率为x，
依题意得：75（1+x）2＝108，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
1 2
答：每次测试满分的人数增加的百分数为20%．
（2）设其他同学平均成绩为y分，
依题意得：50×108×（1+25%）+30×5+[340﹣108×（1+25%）﹣5]y≥46×340，
解得：y≥43.7，
答：其他同学平均成绩至少为43.7分．22．（12分）在学习了乘法公式“（a±b）2＝a2±2ab+b2”的应用后，李老师提出问题：求代数式﹣
x2+2x+2的最大值．同学们经过探索、合作交流，最后得到如下的解法：
解：﹣x2+2x+2＝﹣（x2﹣2x+12﹣12）+2＝﹣（x﹣1）2+3
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+3≤3．
当﹣（x﹣1）2＝0时，﹣（x﹣1）2+3的值最大，最大值为3．
∴﹣x2+2x+2的最大值是3．
请你根据上述方法，解答下列问题：
（1）求代数式﹣y2﹣6y+2的最大值．
（2）求代数式﹣2a2+8a﹣3的最大值．
（3）若x2﹣3x+y﹣10＝0，求y﹣x的最大值．
【分析】（1）原式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出最大值即可；
（2）原式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出最大值即可；
（3）由x2﹣3x+y﹣10＝0，可得y﹣x＝﹣x2+2x+10，再将等式右边利用完全平方公式配方后，利用非负
数的性质求出最大值即可．
【解答】解：（1）﹣y2﹣6y+2＝﹣（y+3）2+11，
∵﹣（y+3）2≤0，
∴﹣（y+3）2+11≤11．
∴﹣y2﹣6y+2的最大值是11．
（2）﹣2a2+8a﹣3＝﹣2（a2﹣4a+4﹣4）﹣3＝﹣2（a﹣2）2+5，
∵﹣2（a﹣2）2≤0，
∴﹣2（a﹣2）2+5≤5．
∴﹣2a2+8a﹣3的最大值是5．
（3）∵x2﹣3x+y﹣10＝0，
∴y﹣x＝﹣x2+2x+10＝﹣（x﹣1）2+11，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+11≤11．
∴y﹣x的最大值是11．
23．（12分）近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂
家购进了A，B两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息如表：
A型销售数量（台） B型销售数量（台） 总利润（元）5 10 2500
10 5 2750
（1）每台A型空气净化器的销售利润是 元；
每台B型空气净化器的销售利润是 元；
（2）该商场计划一次购进两种型号的空气净化器共80台，其中B型空气净化器的进货量不少于A型空
气净化器的2倍，为使该商场销售完这80台空气净化器后的总利润最大，那么应该购进A型空气净化
器 台；B型空气净化器 台．
（3）已知A型空气净化器的净化能力为300m3/小时，B型空气净化器的净化能力为200m3/小时．某长
方体室内活动场地的总面积为300m2，室内墙高3m．该场地负责人计划购买7台空气净化器，每天花费
30分钟将室内空气净化一新，如不考虑空气对流等因素，他至少要购买A型空气净化器多少台？
【分析】（1）根据题意列方程组求解；
（2）根据题意列函数关系式，再利用函数的性质求最值；
（3）根据题意列不等式求解．
【解答】解：（1）设每台A型空气净化器的销售利润是x元，每台B型空气净化器的销售利润是 y元，
根据题意得： ，
解得：
故答案为：200，150；
（2）设购进a台A型空气净化器，总利润为w元，
则：w＝200a+150（80﹣a）＝50a+12000，
∵80﹣a≥2a，
∴a≤26 ，
∴a的最大值为：26，
∵w随a的增大而增大，
∴当a＝26时，w有最大值，
此时．80﹣a＝54，
故答案为：26，54；
（3）设要购买A型空气净化器a台，
由题意得：150a+100（7﹣a）≥300×3，
解得：a≥4，所以a的最小值为：4，
答：至少要购买A型空气净化器4台．
24．（14分）应用题
（1）如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡合的一边利用长为 12m的墙，另外三边用25m长的篱笆围
成，为方便进出，在垂直于墙的一边CD上留一个1m宽的门．
①矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为80m2？
②鸡舍面积能否达到86m2？
（2）某商场用12000元购进大、小书包各200个，每个小书包比大书包
的进价少20元．在销售过程中发现，小书包每天的销量y （单位：个）与其销售单价x（单位：元）有
1
如下关系：
y ＝﹣x+76，大书包每天的销量y （单位：个）与其销售单价z（单位：元）有如下关系：
1 2
y ＝﹣z+80，其中x，z均为整数．商场按照每个小书包和每个大书包的利润率相同的标准确定销售单价，
2
并且销售单价均高于进价（利润率＝ ）
①求两种书包的进价；
②当小书包的销售单价为多少元时，两种书包每天销售的总利润相同．
【分析】（1）①设矩形鸡舍垂直于房墙的一边长为am，则矩形鸡舍的另一边长为（26﹣2a）m，根据
鸡舍面积为80m2，列出方程并解答；
②利用鸡舍面积得出S＝86，得出一元二次方程，根据判别式可得出答案；
（2）①根据某商场用12000元购进大、小书包各200个，每个小书包比大书包的进价少20元，可以列
出相应的方程，从而可以求得两种书包的进价；
②根据商场按照每个小书包和每个大书包的利润率相同的标准确定销售单价，两种书包每天销售的总
利润相同，可以列出相应的方程，从而可以得到当小书包的销售单价为多少元时，两种书包每天销售的
总利润相同；
【解答】解：（1）①设矩形鸡舍垂直于房墙的一边AB长为am，则矩形鸡舍的另一边BC长为（26﹣
2a）m．
依题意，得x（26﹣2a）＝80，
解得a ＝5，a ＝8．
1 2
当a＝5时，26﹣2a＝16＞12（舍去），
当a＝8时，26﹣2a＝10＜12．答：矩形鸡舍的长为10m，宽为8m；
②当S＝86m2，
则a（26﹣2a）＝86，
整理得：a2﹣13a+43＝0，
则Δ＝b2﹣4ac＝169﹣172＝﹣3＜0，
故所围成鸡舍面积不能为86平方米；
（2）①设大书包的进价为a元/个，则小书包的进价为（a﹣20）元/个，
200a+200（a﹣20）＝12000，
解得a＝40，
∴a﹣20＝20，
答：大书包的进价为40元/个，小书包的进价为20元/个；
②∵商场按照每个小书包和每个大书包的利润率相同的标准确定销售单价，
∴ ＝ ，
∴z＝2x，
∵两种书包每天销售的总利润相同，
∴（x﹣20）（﹣x+76）＝（z﹣40）（﹣z+80），
∴（x﹣20）（﹣x+76）＝（2x﹣40）（﹣2x+80），
解得x ＝20，x ＝28，
1 2
∵销售单价均高于进价，
∴x＝20不合题意，
∴x＝28，
答：当小书包的销售单价为28元时，两种书包每天销售的总利润相同．
