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第二十七章 相似 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（2023上·湖南邵阳·九年级统考期中）下列比例式中(a、b、c、d都不等于0)，不能得到 的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了比例的性质，根据“比例前项和后项的乘积等于比例中项的乘积”，据此逐个判断即
可．
【详解】解：A、∵ ，∴ ，故A不符合题意；
B、∵ ，∴ ，故B不符合题意；
C、∵ ，∴ ，故C不符合题意；
D、∵ ，∴ ，故D符合题意；
故选：D．
2．（2023上·湖南邵阳·九年级统考期中）如果 ，且 的三边长分别为3、5、6，
的最短边长为9，那么 的周长等于 （ ）
A．4 B． C．21 D．42
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．
【详解】解： ，
相似比为 ，
，；
故选：D．
3．（2023上·广东深圳·九年级校考期中）如图是著名画家达•芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包
在矩形 内，点E是 的黄金分割点， ，若 ，则 长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查黄金分割点，一元二次方程的应用，能根据黄金分割点列一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：∵点E是 的黄金分割点， .，
∴ ，
解得： 或 （舍去）
∵四边形 为矩形，
∴ ．
故选：B．
4．（2023上·辽宁丹东·九年级校考期中）如图，直线 ，分别交直线m、n于点A、C、E、B、
D、F，下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【详解】解： ，
， ， ；
∴选项A、C、D正确，
故选：B．
5．（2023上·湖南常德·九年级校联考期中）如图，在一次测量操场旗杆高度的数学活动课上，小刚拿一根
高 的竹竿 直立在离旗杆 的点C处，然后走到点D处，这时目测到旗杆顶部A与竹竿顶
部E恰好在同一直线上，又测得C，D两点间的距离为 ，小刚的目高（眼睛到底面的距离） 为 ，
则旗杆 的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，过 作 于 , 交 于 ，利用相似三角形
的判定得出 ，再利用相似三角形的性质计算是解题关键.
【详解】如图，设旗杆高 , 过 作 于 , 交 于 ,
∴ .
∵ , , ,
∴ , .
∵ ,
∴ ，即所以 ,
故选: C.
6．（2023上·广东广州·九年级广州市番禺区香江育才实验学校校考阶段练习）如图，在平行四边形
中， 为 上一点， ，连结 交于点 ，若 的面积为4，则四边形 的面
积等于（ ）
A．50 B．35 C．31 D．20
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．根据四边形 是平行四边形得到 ，得到
，结合 得到 ，即可得到 ，结合 的面积是4即可得到
四边形的面积，即可得到 ，即可得到答案．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ， ，
设高的公比为k，底的公比为m，
∴ ， ， ， ，
∵ 的面积是4，
∴ ，即 ，
∴ ，∴四边形 的面积是： ，
故选：C．
7．（2023上·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期中）如图， 与 位似，位似中心为点O，若
， 的周长为3，则 的周长为（ ）
A．6 B．9 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查位似，根据相似图形的周长比等于相似比直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵ 与 位似，点O为位似中心， ，
∴ ， ，
∴ 的周长 的周长 ，
∴ 的周长为 ，
故选：B．
8．（2023上·广西贺州·九年级统考期中）如图，在 中，D是 的 边上的中点， ，
的延长线交 于点E，则的 的值为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查的是相似三角形的性质和判定，正确作出辅助线是解题的关键．
如图，过点 作 交 于点 ．得出 利用相似三角形性质即可求
解．
【详解】解：如图，过点 作 交 于点 ．∵ ，点 是 的中点，
∴
则 ，
∴ ，
故答案为：C．
9．（2021上·广东深圳·九年级校联考期中）如图，在正方形 中， 为 上一点， 交对角线
于点 ，过点 作 ，交 于点 ，连结 ，交 于点 ．现给出下列结论：① ；
② ；③ ；④若 为 中点，则 ．其中正确的有( )个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】连接 ，由“ ”可证 ，可得 ， ，根据四边形的内角
和得 ，可得 ， ，即可得 ；把 顺时针旋转 得
到 ，由“ ”可证 ，可得 ，即可得 ；由 ，
，可得 ，由正方形的性质可得 ，可证得 ，根
据相似三角形的性质可得 ；设正方形 的边长为 ， ，表示出 、 、 ，
利用勾股定理即可得出结论．
【详解】解：如图①，连接 ，在正方形 中， ， ，
在 和 中，
，
，
， ，
∵ ，
在四边形 中，
，
又 ，
，
，
，
，故①正确；
如图，把 绕点A顺时针旋转 得到 ，则 ， ， ，
，
四边形 是正方形，
，，
、 、 三点共线，
， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，故②正确；
， ，
，
四边形 是正方形，
，
，
，
，
；故③正确；
设正方形 的边长为 ， ，
为 中点，
，
， ，
在 中， ，即 ，
，，
，
．故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的
性质，作辅助线构造出等腰三角形和全等三角形是解题的关键．
10．（2023上·浙江宁波·九年级校考期中）如图，在四边形 中， ，连接 、
交于点E，若 ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，设 ， ，则 ，根据圆
周角定理推出点A，B，C，D四点共圆，进而得出 ，则 ，过A作
于G，过C作 于H，根即可 ，求出 ，根据三
线合一得出 ，通过证明 ，得出 ，则 x，再证明
，即可得出 ，即可求解．
【详解】解：∵ ，∴设 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴点A，B，C，D四点共圆，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过A作 于G，过C作 于H，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ x，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．（2023上·上海松江·九年级校考阶段练习）如果 ，那么代数式 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了比例的性质，根据已知条件得出 ，再把要求的式子转化成 ，然后代入计算
即可求解，熟练掌握比例的性质并对代数式进行转化是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
12．（2023上·上海松江·九年级校考阶段练习）如图， ，如果 ， ， ，
那么 的长是 ．【答案】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由 得到 ，即可求出 ，进而得
到 的长，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13．（2023上·河南郑州·九年级校考期中）校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，
,点P为 的黄金分割点（ ），那么 的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算，
即可解答．
【详解】解：∵点P为 的黄金分割点（ ）， ，∴ ，
∴故答案为： ．
14．（2023上·上海·九年级上海市第三女子初级中学校考阶段练习）已知在 中，
，如果 与 相似，且 两条边的长分别为4和 ，那么
第三条边的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质解题即可．
【详解】解：在 中， ，
∴ ，
∵ 与 相似，
∴ ，即 ，
∴ ．
故答案为： ．
15．（2023上·辽宁丹东·九年级校考期中）如图，小王想测量旗杆的高度，在某一时刻测得1米长的竹竿
竖直放置时，落在地面上的影长为 米，在同一时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落
在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长为 米，落在墙上的影高为 米，则旗杆的高
度为 米．【答案】 / /
【分析】本题考查相似三角形的应用，过C作 于E，首先证明四边形 为矩形，可得
， ，设 ，则 ，求出x即可解决问题．
【详解】解：过C作 于E，
，
，
∴四边形 为矩形，
，
设 ，则 ，
解得 ，
∴旗杆的高 米，
故答案为： ．
16．（2023下·上海·八年级专题练习）如果从一个四边形一边上的点到对边的视角是直角，那么称该点为
直角点．例如，如图的四边形 中，点 在 边上，连接 、 ， ，则点 为直
角点．若点 、 分别为矩形 边 、 上的直角点，且 ， ，则线段 的长为
．
【答案】 或
【分析】此题考查了相似三角形的判定定理及性质和勾股定理，作 于点 ，利用已知得出，进而得出 ，求得构造的直角三角形的两条直角边即可得出答案．
【详解】解：作 于点 ，连接 ．
，
，
，
，
又 ，
，
，即 ，
或 ．
点 ， 分别为矩形 边 ， 上的直角点，
，
当 时， ， ，
，
，
当 时，此时点 与点 重合，即 ，
综上， 或 ．
故答案为 或 ．
17．（2023上·河南郑州·九年级校考期中）如图，在矩形 中， ， ， 是 的中点，
连接 ，沿过点 的直线将矩形折叠，使点 落在 上的点 处，当 是直角三角形时，
．【答案】 或
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是
解题的关键．
根据矩形的性质得到 ，根据勾股定理得到 ，设
，则 ，当 是直角三角形时，①当 时；②当 时，根
据相似三角形的性质列出方程，解之即可得到结论．
【详解】解：∵在矩形 中， ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵沿过点 的直线将矩形折叠，使点 落在 上的点 处，
∴ ，
设 ，则 ，
①当 时，如图所示，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当 时，如图所示，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述，当 是直角三角形时 或 ，
故答案为： 或 ．
18．（2023上·上海·九年级上海市第三女子初级中学校考阶段练习）如图，正方形 的边长为8，点
为对角线 的交点，点 为边 的中点， 绕着点 旋转至 ，如果点 在同
一直线上，那么 的长为 ．【答案】
【分析】根据正方形的性质得到 ，根据勾股定理得到 ，
，过B作 于F，连接 ，证明 根据相似三角形的性质得
到 ，求得 ，根据旋转的性质得到 ， ，
根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】∵正方形 的边长为8，
，
，
∵点E为边 的中点，
，
，
，
如图，过B作 于F，连接 ，
，
，
，
，，
，
绕着点B旋转至 ，
， ，
即 ，
， ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出图形
是解题的关键．
三、解答题（8小题，共64分）
19．（2023上·安徽六安·九年级校考阶段练习）若 ，求 的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了比例的性质，解题的关键是直接利用已知设 ， ， ，进而代入得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴设 ， ， ，
∴ ．
20．（2023上·江苏无锡·九年级统考期中）如图，在 中， ，D为 上一点，且 ．
(1)求证： ；
(2)当 ，且 的面积为10时，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质：
（1）根据等腰三角形的性质可得 ，即可求证；
（2）根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 的面积为10，
∴ ，∴ ．
21．（2023上·安徽六安·九年级统考阶段练习）已知，如图，五边形 ．
(1)以点A为位似中心，作出五边形 右边的位似图形五边形 ，使五边形 与五边
形 的位似比为2；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若五边形 的周长为 ，则五边形 的周长为_____．
【答案】(1)画图见解析
(2)
【分析】本题考查的是画位似图形，位似图形的性质的应用，掌握位似图形的性质并应用于画图是解本题
的关键；
（1）在 的延长线上截取 ，在 的延长线上截取 ，连接 ， ，同法得到
， ，再顺次连接 ， ， ， ， 即可；
（2）直接利用位似图形的周长比等于位似比即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，五边形 即为所求作的图形；
．（2）∵五边形 与五边形 的位似比为2；
∴五边形 与五边形 的周长比为2；
∵五边形 的周长为 ，
∴五边形 的周长为 ．
22．（2023上·四川内江·九年级校联考期中）在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为
， ， ．
(1)画出 关于x轴对称的 ；
(2)以点O为位似中心，在网格中画出 在第一象限内的位似图形 ，使 与 的
相似比为 ；
(3)设点 为 内一点，则依上述两次变换后点P在 内的对应点 的坐标是___________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查作图—位似变换，轴对称变换，坐标与图形．（1）根据题意分别画点A、B、C关于x轴对称的点 ，连接即可得到 ；
（2）相似比为 ，即对应点到位似中心的距离比也是 ，据此画图；
（3）利用（2）中的坐标变换规律求解．
【详解】（1）解：如图， 为所作；
（2）解：如图， 为所作；
；
（3）解：点P关于x轴的对称点 坐标为： ，
的坐标是 ．
故答案为： ．
23．（2023上·辽宁沈阳·九年级统考期中）【学科融合】如图1，在光的反射现象中，反射光线、入射光
线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角 等于入射角 ．这就是光的
反射定律．
【问题解决】如图2，林舒同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平
面镜，手电筒的灯泡在点 处，手电筒的光从平面镜上点 处反射后，恰好经过木板的边缘点 ，落在墙
上的点 处，点 到地面的高度 ，点 到地面的高度 ，灯泡到木板的水平距离
，木板到墙的水平距离为 ．图中 在同一条直线上．(1)求平面镜与木板的水平距离 的长；
(2)求点 到地面的高度 的长．
【答案】(1)平面镜与木板的水平距离 的长
(2)点E到地面的高度 的长为
【分析】此题主要考查了相似三角形的应用．
（1）根据光在镜面反射中的反射角等于入射角，得 ，然后利用相似三角形的判定与性质得
出 的长；
（2）由题意可得： ，根据相似三角形的性质列方程进而求出 的长．
【详解】（1）解：∵反射角等于入射角，
，
又 ，
，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴平面镜与木板的水平距离 的长 ；
（2）解： ，
，
∴ ，即 ，
解得
∴点E到地面的高度 的长为 ．
24．（2023上·上海·九年级上海市第三女子初级中学校考阶段练习）已知：抛物线 顶点是点，且经过点 ．
(1)求抛物线表达式；
(2)平移抛物线，使得新顶点 在原抛物线上，点 横坐标为 ．
①如果 ，求 的面积；
②新抛物线与 轴交于 ，当 时，求 点坐标．
【答案】(1)
(2)①14②
【分析】（1）根据题意采取待定系数法即可求得答案；
（2）根据题意可得点 ，及平移后的函数解析式为 ，①过点B作
轴交y于点N，过点P作 轴交y于点M，根据题意得 ，及有对应边成比例求
得点P的横坐标，即可求得答案；
②根据平移后的解析式求得点点 ，进一步得到 ，根据已知 得 即可
解得点P．
【详解】（1）解：∵抛物线 顶点是点 ，∴ ，解得 ， ，
∵抛物线 经过点 ，
∴ ，解得 ，
∴ ．
（2）点 横坐标为 ，且使得新顶点 在原抛物线上，则点
设平移后抛物线 ，
①过点B作 轴交y于点N，过点P作 轴交y于点M，如图，过点P作 轴于点K，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
则 ，解得 （舍去）或 ，
故 ．
②∵平移后抛物线 ，∴点 ，
则 ， ，
即 ，
过点P作 轴于点K，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得 或 （舍去）或 （舍去），
故点 ．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式、图象的平移、相似三角形的判定和性质、等腰三
角形的判定和性质及含 角的直角三角形性质，熟练掌握函数图象平移与二次函数的顶点式结合，及数
形结合是解题的关键．
25．（2023上·广东广州·九年级广州市番禺区香江育才实验学校校考阶段练习）如图， 为 外一点，
为 的切线，切点分别为 ，直线 交 于点 ，交 于点 ．(1)求证： ；
(2)若 ，求证： ；
(3)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) ．
【分析】（1）连接 ，利用圆周角定理，同圆的半径相等，切线的性质，等腰三角形的性质和等量代换
解答即可；
（2）利用直径所对的圆周角为直角，三角形的外角的性质和等腰三角形的判定定理解答即可；
（3）设 ，则 ， ， ，
；再证明 ，得到 ，代入即可解答．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ 为 的切线，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：由（1）知： ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：设 ，则 ，
∴ ，
∴ ， ．
∵ 、 为 的切线，
∴ ， 平分 ，
∴ ．
∵ 为 的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即： ．
解得： 或 （不合题意，舍去），
∴ ．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，切线长定理，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定
理，相似三角形的判定与性质，连接 是解决此类问题常添加的辅助线．
26．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第一一三中学校校考阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，直线BC的解析
式为 ．
(1)求抛物线解析式；
(2)点D为第四象限抛物线上一动点，连接 ，点D的横坐标为t， 的面积为S，求S与t的函
数关系式，并直接写出t的取值范围；
(3)在（2）的条件下，过点D作 轴，垂足为点E，连接 ，当 时，点H在抛物线上，
原点O关于直线 的对称点M恰好落在直线 上，求点H的坐标．
【答案】(1)
(2) ；t的取值范围为
(3) 或
【分析】（1）由直线BC的解析式可分别求出点B、C两点的坐标，再由待定系数法即可求得抛物线的解
析式；
（2）过点D作x轴的垂线交直线BC于点F，设点D的坐标，则可得点F的坐标，从而可表示 ，利用
即可求解；根据点D在第四象限即可确定t的取值范围；（3）由 可求得t的值，得到点E的坐标，则可求得直线 的解析式；在线段 上取
，过M作 于G，连接 ，设 中点为N；利用 可求得 的长，
从而求得M的坐标及N的坐标，则求得直线 的解析式，与二次函数联立即可求得H的坐标；同理当点
M在点C的下方时，可求得H的坐标．
【详解】（1）解：对于 ，令 ，得 ；令 ，得 ；
∴ ；
把B，C两点坐标分别代入 中，
得： ，解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：过点D作x轴的垂线交直线 于点F，
设点D的坐标为 ，则点F的坐标为 ，
∴ ；
∴
；
∵点D在第四象，∴ ；
（3）解：由题意知 ，且 ， ，
∴ ，
解得： 或 （舍去），
即点E的坐标为 ，且 ，
∴ ；
设直线 的解析式为 ，把点C、E的坐标分别代入得： ，
解得： ，
即直线 的解析式为 ；
在线段 上取 ，过M作 于G，连接 ，设 中点为N；
则 ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点M的坐标为 ，
∴点N的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，把C，N的坐标代入得： ，
得： ，即直线 的解析式为 ；
与二次函数联立消去y得： ，
解得 （舍去）
当 时， ，
∴点H的坐标为 ；
同理，当点M在点C的下方时，则 ，由相似求得 ，得 ，由待定系数法求得 解析式为
，
联立直线解析式与二次函数消去y得： ，解得 （舍去），则点H的坐标为
；
综上，点H的坐标为 或 ．
【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与面积的综合，相似三角形
的判定与性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点等知识，本题综合性较强，本题第（3）问由O、M
关于 对称转化为 关于 对称，从而在直线 上取 ，这是解题的关键与难点．
