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第二十八章 锐角三角函数真题模拟题拔高训练
1．（2023年青海省西宁市中考数学真题）在 中， ， ， ，则 的
长约为 ．（结果精确到 ．参考数据： ， ， ）
2．（2023年辽宁省丹东市中考数学真题）一艘轮船由西向东航行，行驶到A岛时，测得灯塔B在它北偏
东 方向上，继续向东航行 到达C港，此时测得灯塔B在它北偏西 方向上，求轮船在航行过
程中与灯塔B的最短距离．（结果精确到 ）（参考数据： ， ，
， ， ， ）．
3．（2023年江苏省镇江市中考数学真题）如图，将矩形 沿对角线 翻折， 的对应点
为点 ，以矩形 的顶点 为圆心、 为半径画圆， 与 相切于点 ，延长 交 于点 ，
连接 交 于点 ．
(1)求证： ．
(2)当 ， 时，求 的长．
4．（2023年四川省甘孜藏族自治州中考数学真题）如图，在 中， ，以 为直径的交 边于点D，过点C作 的切线，交 的延长线于点E．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径．
5．（2023年辽宁省丹东市中考数学真题）如图，已知 是 的直径， 是 的弦，点P是 外
的一点， ，垂足为点C， 与 相交于点E，连接 ，且 ，延长 交 的延长线
于点F．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ， ，求 的长．
6．（2023年江苏省镇江市中考数学真题）小磊安装了一个连杆装置，他将两根定长的金属杆各自的一个
端点固定在一起，形成的角大小可变，将两杆各自的另一个端点分别固定在门框和门的顶部．
如图1是俯视图， 分别表示门框和门所在位置，M，N分别是 上的定点，
， 的长度固定， 的大小可变．(1)图2是门完全打开时的俯视图，此时， ， ，求 的度数．
(2)图1中的门在开合过程中的某一时刻，点F的位置如图3所示，请在图3中作出此时门的位置 ．
（用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(3)在门开合的过程中， 的最大值为______．（参考数据：
）
7．（2023年浙江省衢州市中考数学真题）下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，
，四边形 ， 是正方形．过点 ， 将纸片 分别沿与 平行、
垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形 ， 拼成图2．
（1）若 ， 的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为 ．
（2）若 ，则 ．8．（2023年西藏自治区中考数学真题）如图，已知 为 的直径，点C为圆上一点， 垂直于过点
C的直线，交 于点E，垂足为点D， 平分 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
9．（2023年湖北省襄阳市中考数学真题）如图，在 中， ，点 是 的中点，将 沿
折叠得到 ，连接 .若 于点 ， ，则 的长为 ．
10．（2023年浙江省湖州市中考数学真题）如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的
正方形恰好拼成对角互补的四边形 ，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰
和等腰 ，③和④分别是 和 ，⑤是正方形 ，直角顶点E，F，G，H分别
在边 上．（1）若 ， ，则 的长是 cm．
（2）若 ，则 的值是 ．
1．（2023·山东青岛·校考模拟预测） 在方格纸中的位置如图所示，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·河北张家口·九年级张家口市第五中学校考期末）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角
为 ，叙述正确的是（ ）
A． 的值越大，梯子越陡
B． 的值越大，梯子越陡
C． 的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与 的函数值无关
3．（2023·河南周口·校联考模拟预测）如图，在 中， ， ．以 为圆心， 为半径
的 交 于点 ．点 在 上，连接 ， ，若 ，则 的半径为（ ）A．1 B． C．2 D．
4．（2023·河北保定·统考二模）某小区打算在一块长 ，宽 的矩形空地中设置两排平行四边形倾斜
式停车位若干个（按此方案规划车位，相邻车位间隔线的宽度忽略不计），如图所示．已知规划的倾斜式
停车位每个车位长 ，宽 ，中间安全空间距离不小于 ，那么最多可以设置停车位（ ）
A．20个 B．10个 C．18个 D．9个
5．（2023·安徽·模拟预测）在 中， 为 边上的点，且 ，过
点 作 于点 ．若 ，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点
为坐标原点，边 在 轴正半轴上， ，反比例函数 的图象经过点A，且交菱形对
角线 于点D， 轴于点 ，则 长为（ ）A．1 B．3 C． D．
二、填空题
7．（2023·山东青岛·校考模拟预测）如图，已知正方形 的边长为 ，如果将线段 绕着点 旋转
后，点 落在 的延长线上的 处，那么 为
8．（2023·广东梅州·统考二模）在 中， ，延长 至点 ，使线段
满足 ，则 ．
9．（2023·山东泰安·统考三模）如图所示，直线 与 轴相交于点 ，点 在直线
上，点 在 轴上，且 是正三角形，记作第一个正三角形；然后过 做 与
直线 相交于点 ，点 在 轴上，再以 为边作正三角形 ，记作第二个正三角形；同样过 作 与直线 相交于点 ，点 在 轴上，再以 边作正三角形 ，
记作第三个正三角形； 依此类推，则第 个正三角形的顶点 的横坐标为 ．
10．（2023·安徽·模拟预测）如图， 的半径为 ， ，则阴影部分的面积是 ．（结果保
留 ）
11．（2023·广东东莞·三模）若三个边长为1的正方形按如图的方式放在 内，其中 为直角，
D，E两点都是正方形的顶点，点D在 边上，点E在线段 上，则斜边 的长为 ．12．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在菱形 中， ， ，对角线 、 相交
于点 ，点 在线段 上，且 ，点 为线段 上的一个动点，则 的最小值为
．
13．（2023·广东茂名·统考二模）如图，在 中， ，点 在边 上， ，将
沿 折叠， 的对应边 交 于点 ，连接 ．若 ，则 的长为
．
三、解答题
14．（2023·福建漳州·统考一模）如图 ，M是 边上一点．
(1)尺规作图：在 上求作一点P，使 ；
(2)利用（1）中的图形，求 的值．
15．（2023·海南三亚·统考二模）某中学数学兴趣小组借助无人机测量一条河的宽度 ．如图所示，一架
水平飞行的无人机在 处测得正前方河流的左岸 处的俯角为 ，无人机沿水平线 方向继续飞行60米
至 处，测得正前方河流右岸 处的俯角为 ，线段 的长为无人机距地面的铅直高度，点 、 、在同一条直线上，其中 ， 米．
(1)填空： 度， 度；
(2)求无人机的飞行高度 ；
(3)求河流的宽度 ．（结果保留根号）
16．（2023·广东广州·校考一模）如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ．
(1)尺规作图：过点 作 的垂线，垂足为 ；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若 ， ，求 的值．
17．（2023·辽宁·模拟预测）如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点D，交 的延
长线于点E，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．18．（2023·四川成都·模拟预测）在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图 是装订机的底座，
是装订机的托板 始终与底座平行，连接杆 的 点固定，点 从 向 处滑动，压柄 绕着转轴
旋转．已知压柄 的长度为 ， ， ．
(1)当托板与压柄的夹角 时，如图①点 从 点滑动了 ，求连接杆 的长度．
(2)如图②，当点 从①中的位置又向 处滑动了 ，求压柄 从①的位置旋转了多少度？
（参考数据： ， ，
19．（2023·江苏泰州·统考二模）如图， 是 的内接三角形，点 、 分别在直径 、弦 上，
点 在线段 的延长线上，连接 ．
(1)请从下列三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论组成一个真命题，并说明理由．
① ；② ；③ 是 的切线；
你选择的补充条件是______，结论是______；（填写序号）
(2)在（1）的条件下，若 ， ， ，求 的半径．
20．（2023·山东青岛·统考一模）如图，已知 和 中， ，
， ，B、C、D共线．动点P从D点出发沿 向B点运动；动点Q从B点出发沿
BA向A点运动；速度均为 ，当Q点到达A点时，P，Q两点停止运动，过P点作DE的垂线，垂足为M点，连接 ，解答下列问题：
(1)当 时，求t的值；
(2)设 的面积为 ，求S与t的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使得点Q在 的垂直平分线上？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
