文档内容
人教版初中数学七年级下册
第六章 实数 章节复习 导学案
一、学习目标：
1.梳理本章的相关概念，通过回顾平方根、立方根、实数及有关的概念，
强化概念之间的联系;
2.会进行开平方和开立方运算及巩固实数的运算.
二、学习过程：
知识梳理
一、算术平方根
1.算术平方根的定义：
_________________________________________________________________________________
_____________________________________________________
2.算术平方根的性质：
(1)一个正数的算术平方根有___个; 0的算术平方根有____个，是____;____没有算术平方根.
(2)被开方数a是非负数，即_______; √a是非负数，即________.（双重非负性）
(3)被开方数越大，对应的算术平方根也_____. 若a＞b＞0，则_____＞___＞0.
(4)被开方数扩大(或缩小)100倍，它的算术平方根扩大(缩小)______倍.
二、平方根
1.平方根的定义：
_________________________________________________________________________________
_____________________________________________________
2.平方根的特征：
(1)正数有______个平方根，它们互为__________;
(2)0的平方根是____;
(3)______没有平方根.
3.平方根的表示：正数a的算术平方根可以表示为_______ ，正数a的负的平方根，可以表示为____. 正数
a的平方根可以用_______表示，读作“__________”．
4.平方根与算术平方根的联系与区别：
三、立方根
1.立方根的定义：
___________________________________________________________________
类似于平方根，一个数 a的立方根，用符号“_____”表示，读作“_________”，其中a是
________，3是_________.
正数的立方根是______；负数的立方根是______；0的立方根是______.
立方根的性质:一般地，
平方根与立方根的区别和联系
四、实数及其运算
1.有理数
我们知道有理数包括_____和_______，它们都可以写成____________或者________________的形式.
5 3 27 11 9
−
2 ， 5， 4 ， 9 ，11 .
5 3 27 11 9
−
2 =______， 5=_______， 4 =_______， 9 =______，11 =_______.
【归纳】___________________________________________________________
_________________________________________________________________.
2.无理数
通过前两节的学习，我们知道，很多数的平方根和立方根都是___________.
无限不循环小数又叫做_________.
例如√2，- √5 ，√ 3 2，√ 3 3等都是无理数.
π是无理数吗？1.01001000100001…是无理数吗？____________________.
常见的无理数的三种形式：
(1)____________________________________；
(2)____________________________________；
(3)___________________________________________________________.
3.实数
__________和__________统称为实数.
（1）按定义分
（2）按性质分当数的范围从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点是________的，即每一个实数
都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. 与规定有理
数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，
_________________________________________________________.
数a的相反数是______，这里a表示任意一个实数.
【归纳】____________________________________________________________
__________________________________________________________________.
4.实数的运算性质
(1)当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘
方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.
(2)在进行实数运算时，有理数的运算法则及运算性质同样适用.
1.交换律：加法 __________________，乘法 ___________________
2.结合律：加法 ______________________，乘法 _______________________
3.分配律：___________________________
考点解析
考点 1 ：算术平方根的概念及计算
例1.求下列各数的算术平方根:
49
(1) 100 (2) (3) 0.0001
64
例2.化简：√ 11
(1) 1 (2) √(−1.3) 2 (3) √(−2)×(−8)
25
【迁移应用】
【1-1】√16的算术平方根是( )
A.4 B.±4 C.2 D.±2
【1-2】一个正方形的面积变为原来的4倍,则它的边长变为原来的____倍;面积变为原来的9
倍,则它的边长变为原来的____倍;面积变为原来的100倍，则它的边长变为原来的____倍;面
积变为原来的n倍时，则它的边长变为原来的_____倍.
【1-3】求下列各数的算术平方根.
4 ( 4 ) 2
(1)64； (2)0.25； (3) ； (4)52； (5) − ； (6)104．
9 13
考点 2 ：算术平方根的非负性应用
例3.若 ，求 的算术平方根．
(x−4) 2+√y+3=0 (x+ y) 2019
【迁移应用】
若实数x、y、z满足 ，求 的算术平方根.
√x+2+(y−3) 2+|z+6|=0 xyz
考点 3 ：平方根的概念及计算
例4. 求下列各式的值：√49
(1) √36 ； (2) - √0.81 ； (3) ± 9 .
例5.已知一个正数m的平方根为2n+1和4−3n．
(1)求m的值；
(2) ， 的平方根是多少？
|a−1|+√b+(c−n) 2=0 a+b+c
例6.已知2a−1的算术平方根是3，b−1的平方根是±4，c是√13的整数部分，求a+2b−c的平
方根．
【迁移应用】
【3-1】下列式子中，正确的是( )
A.±√4=2 B.√(-2)2=-2 C.√4=±2 D.√22=2
【3-2】计算: (1)√121=______; (2)-√1.69=_______;
(3)-√(-0.3)2=_______; (4)±√324=_______.
【3-3】已知一个正数的平方根是2x+3和x-9，则这个数是______.
【3-4】求下列各数的平方根.
16 7 ( 3) 2
(1)49； (2) ； (3)2 ； (4)0.36； (5) − .
25 9 8【3-5】求下列各式中的x．
(1) ， (2) ．
9x2−25=0 4(x−2) 2−9=0
考点 4 ：立方根的概念及计算
例7.列各式的值：
√3 27
−
(1) √ 3 64 ； (2) √ 3 −125 ； (3) 64 .
例8.已知a2=16,|b|=9,√3 c=−2，且ab<0，bc>0，求a−b+c的值．
例9.对于结论：当a+b=0时．a3+b3=0也成立．若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根．
由此得出结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”
(1)举一个具体的例子进行验证；
(2)若√37−y和√32y−5互为相反数，且x−3的平方根是它本身，求x+ y的立方根．【迁移应用】
【4-1】下列说法正确的是（ ）
A.9的算术平方根是±3 B.−8没有立方根
C.−8的立方根−2 D.8的立方根是±2
【4-2】下列各式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
−√3.6=−0.6 √3−5=−√35 √(−13) 2=−13 √36=±6
【4-3】如果√32.37≈1.333，√323.7≈2.872，那么√323700约等于（ ）
A．28.72 B．287.2 C．13.33 D．133.3
【4-4】已知a−5的平方根是±4，2b−1的立方是−27，求a−4b的算术平方根．
【4-5】已知A=m−√2n−m+3是n−m+3的算术平方根，B=m−2n+ √3 m+2n
是m+2n的立方根，求B−A的平方根．
考点 5 ：实数的概念、性质及分类
例10.如图，请将数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来:
例11.把下列各数填在相应的大括号内:例12.如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为－1和√3，点B关于点A的对称点为C，求
点C所表示的实数．
【迁移应用】
【5-1】如图，数轴上A,B两点表示的数分别为√2和5.1，则A，B两点之间表示整数点共有(
)
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
【5-2】若将三个数-√3,√7,√11表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______.
【5-3】把下列各数分别填入相应的集合内:考点 6 ：实数的大小比较
例13.通过估算比较下列各组数的大小：
√6+1
√5 2
(1) 与 1.9； (2) 与 1.5.
例14.比较下列各组数的大小.
（1） 与2.5; （2） 与 .
【迁移应用】
【6-1】将下列各实数按从小到大的顺序排列，并用“<”号连接起来.
【6-2】比较3，4， 的大小.【6-3】已知 （n为正整数），则2n的立方根为______.
【6-4】比较下列各组数的大小：
√5−1 √5−1
(1)√8 与 √10； (2)√65 与 8； (3) 与 0.5； (4) 与 1.
2 2
考点 7 ：实数的运算
例15.计算：
√3
(1)|√3－2|－(－2)2＋2× ； (2)|2－√10|＋|√10－√14|＋|4－√14|；
2
1 2
(3) ×(2√2＋√3)－ π(保留小数点后两位)．
4 3
【迁移应用】
【7-1】下列计算正确的是( )
A.|√2-√3|=√2-√3 B.√9=±3
C.3√2+√3=3√5 D.√3−27=-3
【7-2】练习：
(1) 2√2-3√2； (2) |√2-√3|+2√2.
【7-3】化简与计算：考点 8 ：实数的应用
例16.高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威
力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空物体自由下落到地面的时间t（单位：
√2h
s）和高度h（单位：m）近似满足公式t= （不考虑风速的影响，g≈9.8m/s2）．已知一幢
g
大楼高78.4m，若一颗鸡蛋从楼顶自由落下，求落到地面所用时间．
例17.如图,一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬行3个单位长度到达点B.已知点A表示的数是-√3,
设点B表示的数为m.
(1)m的值为_________;
(2)计算:|m-1|+√3(m+6)+1.
【迁移应用】
【8-1】一个长、宽，高分别为50cm、8cm、20cm的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，则锻
造成的立方体铁块的棱长是（ ）
A．20cm B．200cm C．40cm D．√80cm
【8-2】如图，从一个大正方形中裁去面积为4cm2和25cm2的两个小正方形，求留下的阴影部
分的面积．【8-3】王老师为班级图书角购买了四本同一型号的字典，这种字典的长与宽相等．班长将这
4本字典放入一个容积为512cm3的正方体礼盒里，恰好填满．求这一本字典的厚度．
