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七年级下册数学《第六章 实数》
本章知识综合运用
三 个 概 念
●●1、算术平方根与平方根：
◆◆算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方
根.
√a
表示方法：a的算术平方根记作： ，读作:“根号a”.
◆◆平方根： 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根. 这就是说，
如果x2=a，那么x叫做a的平方根.
√a √a
表示方法：正数a的算术平方根可以表示为 ，正数a的负的平方根，可以表示为- .
√a
正数a的平方根可以用± 表示，读作“正、负根号a”．
●●2、立方根：
◆◆立方根的定义： 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做 a 的立方根或三次方根.
这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根.
3
√a
◆◆立方根的表示方法：一个数a的立方根，用符号“ ”表示，读作“三次根号a”，其中a 是被开
方数，3是根指数.
●●3、实数：
◆◆1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数.
◆◆2、实数的分类：
（1）按定义分类．（2）按性质分类.
三 个 性 质
●●1、平方根的性质：
①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根.
●●2、立方根的性质：
正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.
①互为相反数的两个数的立方根互为相反数，即 .
② .
●●3、实数的性质：
在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一
样．
一 个 运 算
●●实数的运算
◆◆实数的混合运算顺序与有理数的混合运算的顺序一样，实数运算过程中的运算顺序为：先算乘方、
开方、再算乘法、除法，最后算加法、减法，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里
的.
题型一 平方根、算术平方根、立方根的概念
【例题1】（2022春•信阳期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．0.09的平方根是0.3 B．√4=±2
C．0的立方根是0 D．1的立方根是±1解题技巧提炼
1、一般地，如果一个正数x的平方等于a， 即 x2=a， 那么这个正数x叫做a的算
术平方根.
2、 一般地，如果一个数的平方等于a， 那么这个数叫做a的平方根或二次方根.
3、一般地，如果一个数的立方等于a， 那么这个数就叫做a的立方根或三次方
根.
【变式1-1】（2022春•合肥期末）下列说法错误的是（ ）
A．3的平方根是√3
B．﹣1的立方根是﹣1
C．0.1是0.01的一个平方根
D．算术平方根是本身的数只有0和1
【变式1-2】（2022秋•鸡泽县期末）下列说法中，正确的是（ ）
①﹣64的立方根是﹣4；
②49的算术平方根是±7；
1 1
③ 的立方根是 ；
27 3
1 1
④ 的平方根是 ．
16 4
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1
【变式1-3】（2022春•右玉县期末）(− ) 2 的平方根是（ ）
4
1 1 1 1
A．− B． C．± D．±
4 4 4 2
【变式1-4】（2022春•陇县期末）﹣8的立方根与4的算术平方根的和是（ ）
A．0 B．4 C．﹣4 D．0或﹣4
【变式1-5】（2022秋•东明县校级期末）若4是（8+a）的一个平方根，则a的立方根是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【变式1-6】（2022秋•东平县期末）两个连续自然数，前一个数的算术平方根是x，则后一个数的算术
平方根是（ ）
A．x+1 B．x2+1 C．√x+1 D．√x2+1
【变式1-7】（2021秋•永年区期末）下列说法：①﹣2是4的平方根；②16的平方根是4；③﹣12527 3
的立方根是15；④0.25的算术平方根是0.5；⑤ 的立方根是± ；⑥√81的平方根是9，其中正
125 5
确的说法是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型二 平方根、算术平方根、立方根的计算
【例题2】（2021秋•兴庆区校级期末）下列各式计算正确的是（ ）
A．√3−1=−1 B．√38=±2 C．√4=±2 D．±√9=3
解题技巧提炼
1、求一个正数的平方根就是看哪两个数的平方等于这个正数，这两个数就是正
数的平方根，其中正的那个为该数的算术平方根，0的算术平方根和平方根都是
0.
2、求立方根就是看哪个数的立方等于这个数，正数的立方根有一个正的立方
根，负数有一个负的立方根，0的立方根为0，立方根为其本身的数有±1,0.
【变式2-1】（2023•任城区校级开学）√64的平方根是（ ）
A．8 B．±8 C．±2√2 D．±4
【变式2-2】（2022秋•广饶县校级期末）若√a=3，|b|＝5，且ab＜0，则a+b的算术平方根为（ ）
A．4 B．2 C．±2 D．3
【变式2-3】（2022秋•屯留区期末）如果x=√3−27，那么代数式x（x﹣5）﹣x2的值为（ ）
A．15 B．5 C．﹣5 D．﹣15
【变式2-4】（2022秋•通川区校级期末）﹣27的立方根与9的平方根之和是（ ）
A．0 B．6 C．﹣12或6 D．0或﹣6
【变式2-5】（2021秋•仁寿县校级期末）已知2x﹣1和5﹣x为某实数的平方根，则x的值为（ ）
A．﹣4 B．2 C．4或﹣2 D．﹣4或2
【变式2-6】（2022春•宁国市期中）已知x﹣1的平方根是±2，2x+y+5的立方根是3，求x2+y2的算术平
方根（ ）
A．±5 B．12 C．13 D．±13【变式2-7】求下列式子中的x的值：
（1）18﹣2x2＝0； （2）（x+1）3+27＝0．
（3）4（x﹣2）2＝49； （4）（x﹣1）3＝64．
【变式2-8】（2022春•海淀区校级期中）已知正数a的两个平方根分别是2x﹣3和1﹣x，√31−2b与
√33b−5互为相反数，求a+2b的值．
【变式2-9】（2022春•前郭县月考）已知2a+1的平方根为±3，a+3b﹣3的立方根为4．
（1）求a，b的值；
（2）求a+b的平方根．
题型三 无理数的识别
【例题3】（2022秋•盱眙县期末）下列各数中，是无理数的为（ ）
22
⋅⋅
A．3.14 B．3.1 415926 C． D．
7
π解题技巧提炼
（1）对有理数和无理数进行区分时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据
结果进行分类，不能仅看到用根号表示的数就认为是无理数；
（2）π是无理数，，化简后含π的数也是无理数，判断一个数是否为无理数要
抓住两点：一是无限小数；二是其形式不循环.
【变式 3-1】（2022 秋•二七区校级期末）在实数√3−27， 0.1 . 23 . ， ，√3 4， 22 ，√8， √3 ，
7 2
π
0.1010010001中，无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式3-2】（2022春•长沙期中）有下列说法：①无理数是无限小数，无限小数是无理数；②无理数
包括正无理数、0和负无理数；③带根号的数都是无理数；④无理数是含有根号且被开方数不能被开
√3
尽的数；⑤ 是一个分数．其中正确的有（ ）
3
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
22
【变式 3-3】（2022 秋•卧龙区校级期末）在实数√5、 、0、√3−1、3.1415、√16、4.21、3 、
7
π
6.1010010001…（相邻两个1之间的0依次增加1个）中，无理数的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【变式3-4】（2022秋•渭滨区期末）下列各数3.1415926，√9，1.212212221…（相邻两个1之间依次增
1
加一个2）， ，3﹣ ，﹣2023，√3 4中，无理数有 个．
5
π
π
⋅
【变式3-5】（2022秋•秦淮区期中）下列各数：①0.3 ，②0.1，③（﹣3）2，④﹣|﹣2|，⑤ ，
2
⑥0.1010010001……（相邻两个1之间依次增加1个0）是无理数的是 （填序号）．
题型四 实数的分类1
【例题4】（2022•将乐县模拟）实数﹣3，−√5，− ，2中，负整数是（ ）
2
1
A．﹣3 B．−√5 C．− D．2
2
解题技巧提炼
本题采用分类法解答，可先把题目中所列各数分成有理数和无理数两类，再从有
理数中找整数及分数.
11
【变式4-1】（2022春•凤阳县校级期末）在0.1、π、 、√2、√16、−√38数中，有理数的个数是（
7
）
A．4 B．5 C．3 D．2
22
【变式4-2】（2022春•灵宝市期中）把下列各数填在相应的集合中： ，3.14，√7，﹣8，√32，0.6，
7
π
0，√36， ．
3
【变式4-3】（2022秋•新昌县期中）把下列各数分别填在相应的括号内．
1 1 2 π √2
− ，0，0.16，3 ，√3，− √5， ，√16，− ，﹣3.14．
2 2 3 3 2
有理数：{ …}；
无理数：{ …}；
负实数：{ …}；正分数：{ …}．
【变式4-4】（2022秋•扬州期中）将下列各数的序号填在相应的集合里．
20 π
①﹣3.8，②﹣10，③4.3，④﹣|− |，⑤ ，⑥0，⑦﹣1.121121112，⑧﹣（﹣2）．
7 2
整数集合：{ …}；
分数集合：{ …}；
负数集合：{ …}；
有理数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}．
【变式4-5】（2022秋•安岳县校级月考）把下列各数填入相应的集合里：√3−1、3.1415、√3 9、−√5
1 π
⋅
、 、 、﹣0.3 、√64、0、（﹣2）3、2.3030030003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加1）
3 2
有理数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}；
正实数集合：{ …}；
分数集合：{ …}；
题型五 实数的相反数、倒数、绝对值
【例题5】（2022•新会区模拟）√9的相反数和倒数分别是（ ）
1 1 1 1
A．3， B．3，− C．﹣3，− D．﹣3，
3 3 3 3解题技巧提炼
1、数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数.
1( )
2、数a的倒数是 a≠0 .
a
3、 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝
对值是0.
【变式5-1】（2023•龙华区一模）√9的相反数是（ ）
√3 1 1
A．﹣3 B． C． D．−
3 3 3
【变式5-2】（2022秋•裕华区校级期末）实数−√6的绝对值是（ ）
A．√6 B．−√6 C．6 D．﹣6
【变式5-3】（2022秋•西湖区校级期中）下列结论正确的是（ ）
A．5的绝对值是﹣5 B．任何实数都有倒数
1
C．任何实数都有相反数 D．﹣2的倒数是
2
【变式5-4】（2022春•朝阳区校级期中）下列说法正确的是（ ）
A．绝对值是√5的数是√5 B．−√2的相反数是±√2
C．1−√2的绝对值是√2−1 D．√3−8的相反数是﹣2
【变式5-5】（2022•南京模拟）下列各数中，它的相反数与它的绝对值不相等的是（ ）
A．0 B．−√2 C． D．√3−8
π
【变式5-6】（2022秋•屯留区期末）与|2−√7|的值相等的是（ ）
A．√7−2 B．2−√7 C．2+√7 D．−2−√7
【变式5-7】（2022秋•武义县期末）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．−√9与√327 B．√3−8与−√38 C．|−√2|与√2 D．√2与√3−8
【变式5-8】已知，a、b互为倒数，c、d互为相反数，则−√3 ab+√c+d+1的平方根为（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．±1题型六 实数与数轴的关系
【例题6】（2023•泰山区校级开学）实数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断错误的是
（ ）
A．|m|＞1 B．1﹣m＜1 C．mn＜0 D．m+1＜0
解题技巧提炼
1、实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来
表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.
2、与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实
数总比左边的点表示的实数大.
【变式6-1】（2022秋•南安市期末）如图，√5在数轴上对应的点可能是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【变式6-2】（2022秋•桥西区期末）如图所示的数轴被墨迹污染了，则下列选项中可能被覆盖住数是（
）
A．√3 B．√5 C．√6 D．√7
【变式6-3】（2022秋•江北区期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示，下列说法一定正确的是（
）
A．a+b＜0 B．|a|＞|b| C．a﹣b＞0 D．ab＜0
【变式6-4】（2022秋•城关区校级期末）如图，在数轴上数表示2，√5的对应点分别是B、C，B是AC
的中点，则点A表示的数（ ）A．−√5 B．2−√5 C．4−√5 D．√5−2
【变式6-5】（2022秋•常德期末）如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数1的点
为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A、B，则点A、B表示的数分别是（ ）
A．−√2，√2 B．√2−1，√2+1 C．1−√2，1+√2 D．1−√2，√2
【变式6-6】（2022秋•吉州区期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．
（1）填空：a 0，b 0，c 0（填“＞”、“＜”或“＝”）；
（2）直接写出|a﹣c|＝ ，|a﹣b|＝ ，|1﹣b|＝ ；
（3）化简：|a﹣c|﹣2|1﹣c|+|a﹣b|．
【变式6-7】（2022•南京模拟）如图，数轴的正半轴上有A，B，C三点，点A，B表示数1和√2．点B
到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x．
（1）请你求出数x的值．
（2）若m为(x−√2)的相反数，n为（x﹣2）的绝对值，求m+n的整数部分的立方根．题型七 实数的非负性的应用
【例题7】（2022春•宣化区期中）已知√a+2+|b﹣1|＝0，那么（a+b）2022的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．32017 D．﹣32017
解题技巧提炼
1、算术平方根√a具有双重非负性,即被开方数a≥0且√a≥0，√a 中隐含条件
a≥0要灵活运用.
2、几个非负数的和等于零，则每个非负数的值都等于零，据此得出关于字母的
方程，运用方程思想求相关字母的值.
【变式7-1】（2022春•拜泉县校级月考）已知√a−2+（b+5）2+|c+1|＝0，则a+b﹣c的值是（ ）
A．4 B．﹣2 C．﹣4 D．2
【变式7-2】（2021春•凉州区校级期中）若|x−√3+1|+√y−2=0．
（1）求x，y的值；
（2）求x2+2x﹣3y的值．
【变式7-3】（2022秋•南关区校级期末）已知（a﹣16）2+√b−27+|c﹣2|＝0，求代数式（√a−√3 b）
c．
【变式7-4】（2022•长阳县校级模拟）已知a，b满足√a+1+|b﹣1|＝0，求a2012+b2013﹣4ab的平方根．【变式7-5】（2022秋•应城市校级月考）若|2x2−6|+√(y+1) 2−4=0，且x＜0，y＜0，求x2﹣3y的
值．
【变式7-6】（2021春•西峰区校级期中）已知数a，b满足（a﹣2021）2+√2020−b=0，求a﹣b的平
方根．
题型八 实数的大小比较
【例题8】（2023•佛山开学）对于下列实数3， ﹣1，2√2，√3大小排列正确的是（ ）
A．√3＜2√2＜ ﹣1＜3 B． π﹣1＜√3＜2√2＜3
C．√3＜π−1＜π2√2＜3 D．π√3＜π−1＜3＜2√2
解题技巧提炼
常用的实数大小比较的方法：
（1）正实数大于零，负实数小于零，正实数大于负实数；两个正实数，绝对值
大
的数较大；两个负实数，绝对值大的数反而小.
（2）平方法：两数平方后再比较大小；
（3）作差法：通过相减判断得到的差的正负来比较大小；
（4）用中间量法比较大小，先找个中间量帮助比较出两个同分母的分数的分子
的大小，从而确定它们的大小.【变式8-1】（2022秋•南召县期末）下列各数中最小的数是（ ）
A．﹣3 B．−√3 C．﹣ D．√3−8
【变式8-2】（2022秋•长沙期末）下列四个实数中，π 最大的数是（ ）
A．√2 B．0 C．﹣4 D．
【变式8-3】（2022秋•鄞州区期末）比较大小：√5 √35．（π用“＞”或“＜”或“＝”连
接）
【变式8-4】（2022秋•沈丘县期末）比较大小：√10 2√2．（填“＞”“＝”或“＜”）
√3−1 1
【变式8-5】（2022秋•衡东县期末）比较下列实数的大小： ．
2 3
【变式8-6】（2023•西湖区校级开学）将下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”号把它们连接起来．
1 √9
− ，﹣3，|﹣2|，
2 4
b c
【变式8-7】对于任意的正实数a，b，c，且b＜c，则 ＜ ．请比较下列各组数的大小：
a a
√5−1 1 √7+1 2
（1） 与 ； （2） 与 ．
4 4 6 3
【变式8-8】比较下列各组数的大小．
√3 √5−1
（1）16与√255； （2） 与1； （3） 与0.5．
2 2√3−1 1 √3
【变式8-9】设a= ，b = ，c= ，d＝4
2 2 2
（1）比较a与b两个数的大小；
（2）求|a﹣b|+c−√d的值．
题型九 实数的规律问题
【例题9】（2022秋•南岗区校级月考）若√6≈2.449，√60≈7.746，则√0.006≈ ．
解题技巧提炼
1、利用计算器探究发现，被开方数的小数点向左（右）移动两位，其算术平方
根的小数点相应向左（右）移动一位.
2、利用计算器探究发现，被开方数的小数点向左（右）移动三位，其立方根的
小数点相应向左（右）移动一位.
【变式9-1】（2022春•香洲区校级期中）若√30.3≈0.6694，√33≈1.442，则√3300≈ ．
【变式9-2】（2022春•呼和浩特期末）若√325.36=2.938，√3253.6=6.329，则√3253600= ．
【变式9-3】（2022春•梁平区期末）已知√31.12=1.038，√311.2=2.237，√3112=4.820，则√31120=
．
【变式 9-4】（2022 春•綦江区校级月考）已知√2.14≈1.463，√21.4≈4.626，√30.214≈0.5981，
√32.14≈1.289，若√x≈462.6，则x＝ ，√3−0.00214≈ ．【变式9-5】（2022春•宁南县校级月考）已知√5.217≈2.284，√52.17≈22.84．填空：
（1）√0.05217≈ ，√52170≈ ．
（2）若√x≈0.02284，则x＝ ．
【变式9-6】（2022秋•昌平区期中）观察下面的规律：√0.03≈0.1732，√0.3≈0.5477，√3≈1.732，
√30≈5.477，√300≈17.32，√3000≈54.77．
（1）√30000≈ ；
（2）若√0.5≈0.7071，√5≈2.236，则√0.05≈ ．
【变式9-7】借助计算机可以求得√42+32=5，√442+332=55，√4442+3332=555，…，仔细观察，你
猜想
√44⋯42+33⋯32
的值为（ ）
¿ ¿
A．
55⋯5
B．
44⋯4
¿ ¿
C．
33⋯3
D．
55⋯5
¿ ¿
题型十 实数的新定义运算问题
1 1 1
【例题10】（2021春•霍林郭勒市期末）定义运算“*”的运算法则为：a∗b= − ，比如2∗3= ，
a b 6
则(−√327)∗(−4)= ．
解题技巧提炼
根据新运算定义的方法列出式子，再根据实数的运算进行计算即可.
【变式10-1】规定运算：a△b＝|a﹣b|（a，b为实数）．
计算：(√5△3)+(2△√5)．【变式10-2】（2021春•梅河口市校级期中）对于两个不相等的实数 a，b，定义一种新的运算如下：
√a+b √3+2
a*b= （a+b＞0），如3*2= =√5．请计算：
a−b 3−2
（1）8*7；
（2）6*（5*4）．
【变式 10-3】（2022春•宜秀区校级月考）规定一种新的运算 a△b＝ab﹣a+b+1，如3△4＝3×4﹣
3+4+1，请比较（﹣3）△√2与√2△（﹣3）的大小．
【变式10-4】对于实数a、b定义运算“#”a#b＝ab﹣a﹣1．
（1）求（﹣2）#3的值；
（2）通过计算比较3#（﹣2）与（﹣2）#3的大小关系；
（3）若x#（﹣4）＝9，求x的值．
【变式10-5】（2022春•涡阳县月考）对于任意两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下：a b
⊗
√ab √21
= ，如2 1= =√2，求：
a−b 2−1
⊗
（1）3 2的值；
（2）5⊗（4 2）的值．
⊗ ⊗
【变式10-6】对于实数a，b，定义运算：“*”，运算规则为a*b＝ab﹣a﹣b．
（1）计算：√9•√3−125；
（2）填空：√16*（−√3−8） （−√3−8）*√16（填“＞”“＝”或“＜”）；（3）我们知道：实数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（2）的计算结果，你认为这种运算
“*”是否满足交换律？若满足，请说明理由．
题型十一 实数的估算
【例题11】（2022•文山市模拟）若m=√6，则估计m的值所在的范围是（ ）
A．1＜m＜2 B．2＜m＜3 C．2≤m＜3 D．3＜m＜4
解题技巧提炼
估算√a（a≥0）时，首先要确定√a的整数部分，根据算术平方根的定义，得出√a
在哪两个连续的整数之间，从而确定√a的整数部分和小数部分.
【变式11-1】（2022秋•武义县期末）如图，数轴上点M表示的数可能是（ ）
A．√2 B．√5 C．√8 D．√10
【变式11-2】（2021•津南区一模）估计2+√13的值（ ）
A．在2和3之间 B．在4和5之间 C．在5和6之间 D．在6和7之间
【变式11-3】（2021春•渝北区期末）估计√11−2的值在下列哪两个整数之间（ ）
A．3和4之间 B．2和3之间 C．1和2之间 D．0和1之间
【变式11-4】（2021春•海珠区校级月考）下列无理数中，与4最接近的是（ ）
A．√8 B．√12 C．√14 D．√17
【变式11-5】（2022•庐阳区校级开学）与1+√17最接近的整数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6【变式11-6】（2022秋•桂平市期末）已知m，n为两个连续的整数，且m＜√10＜n，则（m﹣n）2023
的值是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C．1 D．﹣1
【变式11-7】（2022秋•慈溪市期中）阅读下面的文字，解答问题，大家知道√2是无理数，而无理数是
无限不循环小数，因此√2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用√2−1来表示√2的小数部
分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为√2的整数部分是1，将这
个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：∵22＜7＜32，即2＜√7＜3，∴√7的整数部分是
2，小数部分是√7−2．
（1）请解答：（1）√13的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）如果√5的小数部分是a，√29的整数部分是b，求a+b−√5的值．
（3）已知：x是5+√13的整数部分，y是其小数部分，求x﹣y的值．
【变式11-8】（2022秋•莲都区期中）【阅读理解】∵√4＜√5＜√9，即2＜√5＜3．∴√5的整数部
分为2，小数部分为√5−2，∴1＜√5−1＜2，∴√5−1的整数部分为1，小数部分为√5−2．
【解决问题】已知：a是√17−2的整数部分，b是√17−3的小数部分，求：
（1）a，b的值；
（2）（b+4）2﹣（﹣a）3的平方根．题型十二 实数的运算
【例题12】（2022春•淮南期中）计算：
（1）计算：−√327+|3−√2|−√16+√2；
√ 1
（2）计算：√(−10) 2 ⋅ −√25+(√2) 2．
100
解题技巧提炼
实数的混合运算顺序为：先算乘方、开方、再算乘法、除法，最后算加法、减
法，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里的.有理数的运算律
实数同样适用.
【变式12-1】（2022春•源城区校级期中）计算：（√3）2﹣|√2−√9|−√3−27．
√1 √ 63
【变式12-2】（2022春•乐昌市校级期中）计算：√3−27− +√30.125+31−
．
4 64
【变式12-3】计算：√ 8 √1 √ 63
（1）3− × −√(−2) 2； （2）√3−√25+|√3−3|+31− ．
27 4 64
【变式12-4】（2022春•杭锦后旗期中）计算
（1）﹣12222+√364−（﹣1）×√9；
（2）（﹣2）2+√3−27+√3−|√2−√3|+√25．
√1
【变式12-5】（2022春•阳东区期中）计算：﹣22× −√38+√9×（﹣1）2023．
4
【变式12-6】（2022春•大荔县校级月考）计算：2√5+√36+√3−8+|2−√5|．
【变式12-7】（2022春•漳平市期中）计算：−12021+√(−1) 2+√3−8−|√3−2|．题型十三 实数的实际应用
【例题13】（2021春•赣州期中）用一张面积为64cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一个长宽之比
为4：3的长方形纸片（裁剪方式见示意图），该长方形纸片的面积可能是60cm2吗？请通过计算说
明．
解题技巧提炼
解决这类问题的关键是列方程，对于最后的结果，一定要检验是否符合实际意
义.
【变式13-1】（2021秋•临汾期中）将一块体积为64cm3的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，
则每个小正方体木块的棱长为 cm．
【变式13-2】（2022秋•运城期末）将边长分别为1和2的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积相
等的正方形，则该正方形的边长是（ ）
A．√3 B．√5 C．√2 D．2
【变式13-3】（2022春•白水县期末）电流通过导线时会产生热量，满足 Q＝I2Rt，其中Q为产生的热
量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位： ），t为通电时间（单位：s），若导
Ω线电阻为5 ，2s时间导线产生40J的热量，求电流的值是多少？
Ω
【变式13-4】（2022秋•越城区期中）已知一个长方形的长是宽的2倍，面积是72cm2，求这个长方形
的周长．
【变式13-5】（2021春•岳池县期中）如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成
的，已知一个长方形纸板的面积为162平方厘米，求正方形纸板的边长．
【变式13-6】（2022春•余干县期中）小丽想用一块面积为900cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一
块面积为600cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为4：3，她不知道是否裁得出来，正在发愁小明见了
说：“别发愁，一定能用这块正方形纸片裁出需要的长方形纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用
这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
【变式 13-7】（2022春•海沧区校级期末）如图，长方形 ABCD长和宽的长度比为 4：3，面积为
612cm2．请问在此长方形内沿着AB边并排最多能裁出多少个面积为16 cm2的圆？并计算说明．
π
