文档内容
人教版初中数学七年级下册
第六章 实数 章节复习 教学设计
一、教学目标：
1.梳理本章的相关概念，通过回顾平方根、立方根、实数及有关的概念，强化概念之间的联
系;
2.会进行开平方和开立方运算及巩固实数的运算.
二、教学过程：
知识网络
知识梳理
一、算术平方根
像52=25，那么5叫做25的算术平方根；
102=100，那么10叫做100的算术平方根；
∵ 32=9，∴ 9的算术平方根是3.
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.
√a
a的算术平方根记作： ，读作:“根号a”.
即 x2=a (x>0)√a
x叫做a的算术平方根，记作：x= .
√0
规定：0的算术平方根是0. 记作: =0.
2.算术平方根的性质：
(1)一个正数的算术平方根有1个; 0的算术平方根有一个，是0;负数没有算术平方根.
(2)被开方数a是非负数，即a≥0; √a是非负数，即√a≥0.（双重非负性）
(3)被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 若a＞b＞0，则√a＞√b＞0.
(4)被开方数扩大(或缩小)100倍，它的算术平方根扩大(缩小)10倍.
二、平方根
1.平方根的定义：
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根. 这就是说，如果
x2=a，那么x叫做a的平方根.
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.
2.平方根的特征：
(1)正数有两个平方根，它们互为相反数;
(2)0的平方根是0;
(3)负数没有平方根.
3. 平方根的表示：
正数a的算术平方根可以表示为√a ，正数a的负的平方根，可以表示为-√a . 正数a的平方
根可以用±√a表示，读作“正、负根号a”．
4.平方根与算术平方根的联系与区别：
三、立方根一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根或三次方根. 这就是说，如
果x3=a，那么x叫做a的立方根.
求一个数的立方根的运算，叫做开立方.正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也
互为逆运算.
类似于平方根，一个数a的立方根，用符号“ ”表示，读作“三次根号a”，其中a是被
开方数，3是根指数.
正数的立方根是______；负数的立方根是______；0的立方根是______.
立方根的性质:一般地，
平方根与立方根的区别和联系
四、实数及其运算
1.有理数
我们知道有理数包括整数和分数，利它们都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式.
5 3 27 11 9
−
2 ， 5， 4 ， 9 ，11 .
5 3 27 11 9
− • • •
2 =2.5， 5=-0.6， 4 =6.75， 9 =1.2，11 =0.81.
任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式. 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
2.无理数
通过前两节的学习，我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数.
无限不循环小数又叫做无理数.
例如√2，- √5 ，√ 3 2，√ 3 3等都是无理数.
π=3.14159265…，1.01001000100001…它们都是无限不循环小数，是无理数.
常见的无理数的三种形式：(1)含π的一些数；(2)开方开不尽的数；(3)有规律但不循
环的数，如1.01001000100001…
3.实数
有理数和无理数统称为实数.
分类原则：不重不漏
事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来.
当数的范围从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数
都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. 与规定有理
数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数
大.
数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数.
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即
设a表示任意一个实数，则
4.实数的运算性质(1)当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘
方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.
(2)在进行实数运算时，有理数的运算法则及运算性质同样适用.
1.交换律：加法 a＋b＝b＋a，乘法 a×b＝b×a
2.结合律：加法 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，乘法 (a×b)×c＝a×(b×c)
3.分配律：a×(b＋c)＝a×b＋a×c
考点梳理
考点解析
考点 1 ：算术平方根的概念及计算
例1.求下列各数的算术平方根:
49
(1) 100 (2) (3) 0.0001
64
解：(1) 因为102=100，所以100的算术平方根是10，即√100=10；
(2) 因为 ，所以 的算术平方根是 ，即 ；
(3) 因为0.012=0.0001，所以0.0001的算术平方根是0.01，即√0.0001=0.01.
例2.化简：
√ 11
(1) 1 (2) √(−1.3) 2 (3) √(−2)×(−8)
25
解：【迁移应用】
【1-1】√16的算术平方根是( )
A.4 B.±4 C.2 D.±2
【1-2】一个正方形的面积变为原来的4倍,则它的边长变为原来的____倍;面积变为原来的9
倍,则它的边长变为原来的____倍;面积变为原来的100倍，则它的边长变为原来的____倍;面
积变为原来的n倍时，则它的边长变为原来的_____倍.
【1-3】求下列各数的算术平方根.
4 ( 4 ) 2
(1)64； (2)0.25； (3) ； (4)52； (5) − ； (6)104．
9 13
解：（1）因为82=64，所以64的算术平方根为8；
（2）因为0.52=0.25，所以0.25的算术平方根为0.5；
2 4 4 2
（3）因为（ ）2= ，所以 的算术平方根为 ；
3 9 9 3
（4）因为52=52，所以52的算术平方根为5；
（5）因为 ( − 4 ) 2 =（ 4 ）2=（ 4 ）2，所以 ( − 4 ) 2 的算术平方根为 4 ；
13 13 13 13 13
（6）因为104=1002，所以104的算术平方根为100.
考点 2 ：算术平方根的非负性应用
例3.若 ，求 的算术平方根．
(x−4) 2+√y+3=0 (x+ y) 2019
解：∵ ，且 ， ，
(x−4) 2+√y+3=0 (x−4) 2≥0 √y+3≥0
∴x−4≥0，y+3≥0
∴x−4=0，y+3=0，
∴x=4，y=−3，
把 ， 代入， ，
x=4 y=−3 (x+ y) 2019=[4+(−3)] 2019=12019=1
∴ 的算术平方根是 ．
(x+ y) 2019 1
【迁移应用】
若实数x、y、z满足 ，求 的算术平方根.
√x+2+(y−3) 2+|z+6|=0 xyz解：∵ ，
√x+2+(y−3) 2+|z+6|=0
∴x+2=0，y−3=0，x+6=0，
∴x=−2，y=3，z=−6，
∴xyz=(−2)×3×(−6)=36，
∴xyz的算术平方根是√36=6.
考点 3 ：平方根的概念及计算
例4. 求下列各式的值：
√49
(1) √36 ； (2) - √0.81 ； (3) ± 9 .
√36 √0.81
解：(1)因为62=36，所以 =6；(2)因为0.92=0.81，所以- =-0.9；
( 7) 2 49 √49 7
±
(3)因为 3 = 9 ，所以± 9 =±3 .
例5.已知一个正数m的平方根为2n+1和4−3n．
(1)求m的值；
(2) ， 的平方根是多少？
|a−1|+√b+(c−n) 2=0 a+b+c
（1）解：∵正数m的平方根互为相反数，
∴2n+1+4−3n=0，
解得：n=5，
∴2n+1=11，
∴m=112=121；
（2）由（1）得：n=5，
∵ ，
|a−1|+√b+(c−n) 2=0
∴a−1=0，b=0，c−n=0 ，
∴a=1，b=0，c=n=5，
∴a+b+c=1+0+5=6，
∴a+b+c的平方根是±√6．
例6.已知2a−1的算术平方根是3，b−1的平方根是±4，c是√13的整数部分，求a+2b−c的平方根．
解：∵2a−1的算术平方根是3；b−1的平方根是±4，
∴2a−1=9，b−1=16，
∴a=5，b=17．
∵c是√13的整数部分，3<√13<4，
∴c=3．
∴a+2b−c=5+17×2−3=36．
∵36的平方根是±6．
∴a+2b−c的平方根为±6．
【迁移应用】
【3-1】下列式子中，正确的是( )
A.±√4=2 B.√(-2)2=-2 C.√4=±2 D.√22=2
【3-2】计算: (1)√121=______; (2)-√1.69=_______;
(3)-√(-0.3)2=_______; (4)±√324=_______.
【3-3】已知一个正数的平方根是2x+3和x-9，则这个数是______.
【3-4】求下列各数的平方根.
16 7 ( 3) 2
(1)49； (2) ； (3)2 ； (4)0.36； (5) − .
25 9 8
解：（1） ，∴49的平方根是±7；
∵(±7) 2=49
( 4) 2 16 16 4
（2）∵ ± = ，∴ 的平方根是± ；
5 25 25 5
7 25 ( 5) 2 25 7 5
（3）∵2 = ， ± = ，∴2 的平方根是± ；
9 9 3 9 9 3
（4）∵ ，∴0.36的平方根是±0.6；
(±0.6) 2=0.36
( 3) 2 9 (3) 2 ( 3) 2 3
（5）∵ − = = ，∴ − 的平方根是± ．
8 64 8 8 8
【3-5】求下列各式中的x．
(1) ， (2) ．
9x2−25=0 4(x−2) 2−9=0
（1）解：9x2−25=0
移项得：9x2=25，25
∴x2= ，
9
5
∴x=± ，
3
5 5
∴x = ,x =−
1 3 2 3
（2）
4(x−2) 2−9=0
，
4(x−2) 2=9
9
∴ (x−2) 2=
4
3
∴x−2=±
2
7 1
∴x = ,x = ．
1 2 2 2
考点 4 ：立方根的概念及计算
例7.列各式的值：
√3 27
−
(1) √ 3 64 ； (2) √ 3 −125 ； (3) 64 .
√3 27 3
解：(1) √ 3 64 =4； (2) √ 3 −125 =-5；(3) − 64 = − 4.
例8.已知a2=16,|b|=9,√3 c=−2，且ab<0，bc>0，求a−b+c的值．
解：∵a2=16,|b|=9,√3 c=−2，
∴a=±4，b=±9，c=−8．
∵ab<0，bc>0，
∴b与c同号，a与b、c异号．
∴a=4，b=−9，c=−8
∴a−b+c=4−(−9)+(−8)=5．
例9.对于结论：当a+b=0时．a3+b3=0也成立．若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根．
由此得出结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”
(1)举一个具体的例子进行验证；(2)若√37−y和√32y−5互为相反数，且x−3的平方根是它本身，求x+ y的立方根．
（1）解：举例：a3=8,b3=−8，
则 ，此吋 ，即8与 互为相反数，
√38+√3−8=2+(−2)=0 8+(−8)=0 −8
所以“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”成立．
（2）解：∵√37−y和√32y−5互为相反数，
∴7−y与2y−5互为相反数，
∴7−y+2y−5=0，
解得y=−2，
∵x−3的平方根是它本身，
∴x−3=0，
解得x=3，
∴x+ y=3−2=1，
∴x+ y的立方根是1．
【迁移应用】
【4-1】下列说法正确的是（ ）
A.9的算术平方根是±3 B.−8没有立方根
C.−8的立方根−2 D.8的立方根是±2
【4-2】下列各式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
−√3.6=−0.6 √3−5=−√35 √(−13) 2=−13 √36=±6
【4-3】如果√32.37≈1.333，√323.7≈2.872，那么√323700约等于（ ）
A．28.72 B．287.2 C．13.33 D．133.3
【4-4】已知a−5的平方根是±4，2b−1的立方是−27，求a−4b的算术平方根．
解：∵a−5的平方根是±4，
，
∴a−5=(±4) 2=16
解得a=21，
∵2b−1的立方是−27，
∴2b−1=√3−27=−3，
解得b=−1，∴a−4b=21−4×(−1)=25，
∴a−4b的算术平方根是5．
【4-5】已知A=m−√2n−m+3是n−m+3的算术平方根，B=m−2n+ √3 m+2n
是m+2n的立方根，求B−A的平方根．
解：由题意得：m−2=2，m−2n+3=3，
解得：m=4，n=2，
则A=√2−4+3=1，B=√3 4+2×2=2，
∴B−A=2−1=1，
则B−A的平方根为：±1．
考点 5 ：实数的概念、性质及分类
例10.如图，请将数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来:
1
解:A点表示-√3,B点表示- ,O点表示0,C点表示√2,D点表示2,E点表示π.
2
例11.把下列各数填在相应的大括号内:例12.如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为－1和√3，点B关于点A的对称点为C，求
点C所表示的实数．
解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为－1和√3，
∴点B到点A的距离为1＋√3，
则点C到点A的距离为1＋√3，
设点C表示的实数为x，则点A到点C的距离为－1－x，
∴－1－x＝1＋ √3，
∴x＝－2－ √3
【迁移应用】
【5-1】如图，数轴上A,B两点表示的数分别为√2和5.1，则A，B两点之间表示整数点共有(
)
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
【5-2】若将三个数-√3,√7,√11表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______.
【5-3】把下列各数分别填入相应的集合内:考点 6 ：实数的大小比较
例13.通过估算比较下列各组数的大小：
√6+1
√5 2
(1) 与 1.9； (2) 与 1.5.
解：(1)因为5>4，所以√5>2；
所以√5>1.9.
(2)因为6>4，所以√6>2；
所以 > ，即 >1.5.
例14.比较下列各组数的大小.
（1） 与2.5; （2） 与 .
解：因为2.53=15.625
所以 <所以 <2.5
(2)因为
所以 <
所以 <
【迁移应用】
【6-1】将下列各实数按从小到大的顺序排列，并用“<”号连接起来.
2
解：-√5＜1-π＜-2＜1.141＜1 ＜√2.
5
【6-2】比较3，4， 的大小.
解：∵ 33=27，43=64，
∴ ＜ ＜ ，
即 3＜ ＜4.
【6-3】已知 （n为正整数），则2n的立方根为______.
【6-4】比较下列各组数的大小：
√5−1 √5−1
(1)√8 与 √10； (2)√65 与 8； (3) 与 0.5； (4) 与 1.
2 2
解：(1)∵8＜10，∴√8＜√10.
(2)∵65＞64，∴√65＞√64，即√65＞8.
√5−1 1 √5−1
(3)∵√5＞2，∴√5-1＞2-1，∴ ＞ ，即 ＞0.5.
2 2 2
√5−1 3−1 √5−1
(4)∵√5＜3，∴√5-1＜3-1，∴ ＜ ，即 ＜1.
2 2 2考点 7 ：实数的运算
例15.计算：
√3
(1)|√3－2|－(－2)2＋2× ； (2)|2－√10|＋|√10－√14|＋|4－√14|；
2
1 2
(3) ×(2√2＋√3)－ π(保留小数点后两位)．
4 3
解：(1)原式＝2－√3－4＋√3＝－2;
(2)原式＝√10－2＋√14－√10＋4－√14＝2;
1 2
(3)原式≈ ×(2×1.414＋1.732)－ ×3.142≈－0.95.
4 3
【迁移应用】
【7-1】下列计算正确的是( )
A.|√2-√3|=√2-√3 B.√9=±3
C.3√2+√3=3√5 D.√3−27=-3
【7-2】练习：
(1) 2√2-3√2； (2) |√2-√3|+2√2.
解:(1)原式
(2)原式
【7-3】化简与计算：
解:(1)原式
(2)原式
(3)原式
(4)原式
考点 8 ：实数的应用
例16.高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空物体自由下落到地面的时间t（单位：
√2h
s）和高度h（单位：m）近似满足公式t= （不考虑风速的影响，g≈9.8m/s2）．已知一幢
g
大楼高78.4m，若一颗鸡蛋从楼顶自由落下，求落到地面所用时间．
√2h
解：将h=78.4,g≈9.8代入公式t= ，
g
√2×78.4
得：t= =4
9.8
答：落到地面所用时间为4s．
例17.如图,一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬行3个单位长度到达点B.已知点A表示的数是-√3,
设点B表示的数为m.
(1)m的值为_________;
(2)计算:|m-1|+√3(m+6)+1.
解：|m-1|+√3(m+6)+1
=|-√3+3-1|+√3×(-√3+3+6)+1
=2- √3-3+9√3+1
=8√3.
【迁移应用】
【8-1】一个长、宽，高分别为50cm、8cm、20cm的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，则锻
造成的立方体铁块的棱长是（ ）
A．20cm B．200cm C．40cm D．√80cm
【8-2】如图，从一个大正方形中裁去面积为4cm2和25cm2的两个小正方形，求留下的阴影部
分的面积．解：∵大正方形的边长=√4+√25=2+5=7(cm)，
∴大正方形的面积为49cm2，
∴阴影部分的面积=49−4−25=20(cm2)．
【8-3】王老师为班级图书角购买了四本同一型号的字典，这种字典的长与宽相等．班长将这
4本字典放入一个容积为512cm3的正方体礼盒里，恰好填满．求这一本字典的厚度．
解：∵正方体礼盒的容积为512cm3，
∴正方体礼盒的边长为√3512=8(cm)，
∴一本字典的厚度为8÷4=2(cm)，
答：一本字典的厚度为2cm．
