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第十九章 二次根式（高效培优单元自测·强化卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。）
1．下列二次根式运算正确的是（ ）
A．❑√4+❑√9=❑√13 B．❑√3×❑√6=3❑√2 C．❑√18÷❑√2=9 D．❑√5−❑√2=❑√3
【答案】B
【解答】解：A、❑√4+❑√9=2+3＝5，原计算错误，不符合题意；
B、❑√3×❑√6=❑√18=3❑√2，正确，符合题意；
C、❑√18÷❑√2=❑√9，原计算错误，不符合题意；
D、❑√5与❑√2不是同类二次根式．不能合并，原计算错误，不符合题意，
故选：B．
2．在下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
√a
A．❑ B．❑√x2+ y2 C．❑√x2y D．❑√27
9
【答案】B
√a ❑√a
【解答】解：A、❑ = ，不是最简二次根式，不符合题意；
9 3
B、 是最简二次根式，符合题意；
❑√x2+ y2
C、 |x| ，不是最简二次根式，不符合题意；
❑√x2y= ❑√y
D、❑√27=3❑√3，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
❑√x+2
3．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
x
A．x＞﹣2且x≠0 B．x≠0 C．x≥﹣2 D．x≥﹣2且x≠0
【答案】D
{x+2≥0)
【解答】解：由题意可知： ，
x≠0
∴x≥﹣2且x≠0，
故选：D．
4．若最简二次根式❑√1−3a与❑√28能合并，则a的值是（ ）A．2 B．1 C．﹣9 D．﹣2
【答案】D
【解答】解：根据题意可知，❑√1−3a与❑√28=2❑√7是同类二次根式，
∴被开方数相等，即：1﹣3a＝7，
∴﹣3a＝7﹣1，即﹣3a＝6，
解得：a＝﹣2．
故选：D．
5．若❑√12+❑√x=❑√27，则x的值是（ ）
A．2 B．3 C．8 D．15
【答案】B
【解答】解：∵❑√12+❑√x=❑√27，
∴❑√x=❑√27−❑√12=3❑√3−2❑√3=❑√3，
∴x＝3，
故选：B．
6．若 ，则a的取值范围是（ ）
❑√(a−5) 2=5−a
A．a＞5 B．a＜5 C．a≥5 D．a≤5
【答案】D
【解答】解：若 ，
❑√(a−5) 2=5−a
则a﹣5≤0，
解得a≤5，
故选：D．
7．已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简 （ ）
❑√a2−|a+b|+❑√(c−a) 2+|b+c|=
A．a+b﹣c B．2b+2c﹣a C．2c﹣a D．2b﹣a
【答案】B
【解答】解：由数轴得：a＜b＜0＜c，|a|＞|c|＞|b|，
∴a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＞0，
∴原式＝﹣a﹣（﹣a﹣b）+c﹣a+b+c＝﹣a+a+b+c﹣a+b+c＝2b+2c﹣a，
故选：B．1
8．若a＝1+❑√2，b= ，则a与b的关系是（ ）
1−❑√2
A．互为相反数 B．互为倒数
C．相等 D．互为负倒数
【答案】A
【解答】解：b 1 1+❑√2 （1 ），a＝1 ，
= = =− +❑√2 +❑√2
1−❑√2 (1−❑√2)(1+❑√2)
∴a与b互为相反数．
故选：A．
9．如图，一个矩形被分割成四部分．已知图形①②③都是正方形，且正方形①的边长为1，阴影部分
的面积为❑√5，则正方形③的面积为（ ）
A．2❑√5+9 B．4❑√5+6 C．2❑√5+6 D．4❑√5+9
【答案】D
【解答】解：由添加可知阴影部分的长为：❑√5÷1=❑√5，
∴正方形②的边长为：❑√5+1，
∴正方形③的边长为：❑√5+1+1=❑√5+2，
∴正方形③的面积为：
(❑√5+2) 2=9+4❑√5
．
故选：D．
1 1
10．已知❑√a− =2，则❑√a+ 值为（ ）
❑√a ❑√a
A．2❑√2 B．±2❑√2 C．2❑√3 D．±2❑√3
【答案】A
【解答】解：由条件可知a≥0且a≠0，
∴a＞0，
∴❑√a＞0，
1
∴❑√a+ ＞0，
❑√a∴ 1 √ 1 2 √ 1 2 ，
❑√a+ =❑(❑√a+ ) =❑(❑√a− ) +4=❑√22+4=2❑√2
❑√a ❑√a ❑√a
1
∴❑√a+ 值为2❑√2．
❑√a
故选：A．
11．如果ab＞0，a+b＜0，那么下列各式中正确的是（ ）
A．√a ❑√a B．√a √b 1
❑ = ❑ ×❑ =
b ❑√b b a
√a
C．❑√ab÷❑ =b D．（❑√ab）2＝﹣ab
b
【答案】B
【解答】解：∵ab＞0，a+b＜0，
∴a＜0，b＜0．
∴❑√a，❑√b无意义，
∴A的结论不正确；
√a √b √b a
∵❑ ×❑ =❑ × =1，
b a a b
∴B的结论正确；
√a √ b
∵❑√ab÷❑ =❑ab× =❑√b2=−b，
b a
∴C的结论不正确；
∵ ab，
(❑√ab) 2=
∴D的结论不正确，
故选：B．
12．我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被
❑√b
除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似 这样的形式，我们称形如这种形
a
❑√2 ❑√x+1
式的式子称为根分式，例如 ， 都是根分式．
3 x2−2
已知两个根分式 ❑√x−1与 ❑√x2−5x+7．则下列说法：
M= N=
x−2 x−2❑√x−1
①根分式M= 中x的取值范围为：x≥1且x≠2；
x−2
②存在实数x，使得N2﹣M2＝1；
③存在两个无理数x，使得M2+N2是一个整数．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解答】解：根据题意可知x﹣1≥0且x﹣2≠0，
解得x≥1且x≠2．
所以①正确；
由N2﹣M2＝1，得x2−5x+7 x−1 1，
− =
(x−2) 2 (x−2) 2
解得x＝2．
经检验，x＝2不是原方程的根，
∴原方程无解，
∴不存在．
所以②不正确；
根据题意，得N2+M2
=
x2−5x+7
+
x−1
=
x2−4x+6
=
1+ 2 ，
(x−2) 2 (x−2) 2 (x−2) 2 (x−2) 2
∵M2+N2是一个整数，
∴（x﹣2）2＝1或（x﹣2）2＝2，
解得x＝3或x＝1或x＝2+❑√2或x＝2−❑√2，
∵x为无理数，且x﹣1≥0，
∴x＝2+❑√2，
所以③不正确；
所以正确的有1个．
故选：B．
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．写出❑√a−1的一个有理化因式 ❑√a−1 ．
【答案】❑√a−1
【解答】解：❑√a−1的有理化因式是❑√a−1．故答案为：❑√a−1．
14．如果√3−a ❑√3−a成立，那么a的取值范围是 1 ＜ a ≤ 3 ．
❑ =
a−1 ❑√a−1
【答案】1＜a≤3．
【解答】解：如果果√3−a ❑√3−a成立，
❑ =
a−1 ❑√a−1
{a−1＞0)
由题意可得： ，
3−a≥0
故1＜a≤3，
∴a的取值范围是1＜a≤3，
故答案为：1＜a≤3．
15．已知1≤a≤2，化简 1 ．
❑√a2−2a+1+|a−2|=
【答案】1．
【解答】解：由条件可知a﹣1≥0，a﹣2≤0，
∴原式＝|a﹣1|+|a﹣2|
＝a﹣1﹣（a﹣2）＝a﹣1﹣a+2＝1．
故答案为：1．
16．已知y=❑√x−2+❑√2−x−❑√3，则（x+y）2025（x﹣y）2026的值为 2+❑√3 ．
【答案】2+❑√3．
【解答】解：由题意可得：x﹣2≥0且2﹣x≥0，
解得x＝2．
∴y=❑√0+❑√0−❑√3=−❑√3．
则 x+ y=2−❑√3，x−y=2+❑√3，
∴(x+ y)(x−y)=(2−❑√3)(2+❑√3)=4−3=1，
∴（x+y）2025（x﹣y）2026＝[（x+y）（x﹣y）]2025（x﹣y）
=1×(2+❑√3)
=2+❑√3，
故答案为：2+❑√3．
17．已知实数a满足|2025−a|+❑√a−2026=a，那么a﹣20252的值是 202 6 ．
【答案】2026．【解答】解：由题可知，
a﹣2026≥0，
解得a≥2026，
∵|2025−a|+❑√a−2026=a，
∴a−2025+❑√a−2026=a，
∴a﹣2026＝20252，
∴a﹣20252＝2026，
故选：2026．
18．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形（正方形 ABCD和正方形EFGH），已知：AB=❑√23+1，
EF=❑√23−1，S四边形MCIE ＝25，则大正方形的边长为 ❑√26+❑√23 ．
【答案】❑√26+❑√23．
【解答】解：设大正方形的边长为x，
∵AB=❑√23+1，EF=❑√23−1，
∴CI=x−❑√23−1，EI=x−❑√23+1，
∴S四边形MCIE ＝25，
∴(x−❑√23−1)(x−❑√23+1)=25，
，
(x−❑√23) 2 −1=25
，
(x−❑√23) 2=26
x−❑√23=±❑√26，
∴x=❑√26+❑√23或x=−❑√26+❑√23（舍去），
∴大正方形的边长为❑√26+❑√23，
故答案为：❑√26+❑√23．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）计算题
❑√12+❑√27
（1）(❑√3−1) 2 − ；
❑√3√3 √4
（2）(2+❑√3)(❑√3−2)−❑√12÷❑ +❑√6×❑ ．
2 3
【答案】（1）−1−2❑√3；
（2）﹣1．
❑√12+❑√27
【解答】解：（1）(❑√3−1) 2 −
❑√3
=3−2❑√3+1−❑√4−❑√9
=3−2❑√3+1−2−3
=−1−2❑√3．
√3 √4
（2）(2+❑√3)(❑√3−2)−❑√12÷❑ +❑√6×❑
2 3
√2 √4
=3−4−❑√12×❑ +❑√6×❑
3 3
=3−4−2❑√2+2❑√2
＝﹣1．
20．（8分）电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广．
已知电视塔高h（m）与电视节目的信号传播半径 r（m）之间满足r=❑√2Rh，其中R是地球半径，
R≈6.4×106m．
（1）已知广州塔高约600m，求广州塔发射节目信号的传播半径；（❑√76.8≈8.76）
（2）设广州塔的高度是h ，另一座塔高为h ，求广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比．
1 2
【答案】（1）87600m；
（2）❑√h h ．
1 2
h❑
2
【解答】解：（1）代入h＝600m和R≈6.4×106m到r=❑√2Rh可得：，
r=❑√2×6.4×106×600=❑√76.8×108=❑√76.8×104≈87600m
答：广州塔发射节目信号的传播半径为87600m；
（2）∵广州塔的高度是h ，另一座塔高为h ，
1 2
∴广州塔发射节目信号的传播半径为 ，另外一塔发射节目信号的传播半径为 ，
❑√2Rh ❑√2Rh
1 2
∴广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比为
❑√2Rh
1=
❑√h
1=❑
√h
1=
❑√h
1
h
2，
❑√2Rh ❑√h h h❑
2 2 2 2
答：广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比为 ❑√h h ．
1 2
h❑
2
21．（8分）定义两种新运算，规定：a★b=❑√a−b，a☆b=❑√a+b，其中a，b为实数且a≥0．
（1）求（5★1）（5☆1）的值；
（2）化简（2★n）（2☆n）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原式＝（❑√5−1）（❑√5+1）
＝5﹣1
＝4；
（2）原式＝（❑√2−n）（❑√2+n）
＝2﹣n2．
1 1
22．（8分）已知a= ，b= ．
2+❑√3 2−❑√3
（1）求a2b+ab2的值；
（2）求a2﹣ab+b2的值．
【答案】（1）4；
（2）13．
1 1
【解答】解：（1）∵a= =2−❑√3，b= =2+❑√3，
2+❑√3 2−❑√3
∴ab=(2−❑√3)×(2+❑√3)=4−3=1，
a+b=2−❑√3+2+❑√3=4，
∴a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝1×4＝4；
（2）由（1）可知：ab＝1，a+b＝4，
∴a2﹣ab+b2
＝（a+b）2﹣3ab
＝42﹣3×1
＝16﹣3
＝13．
√1 √ 1
23．（10 分）（1）若 x、y 都是实数，且满足 y＞❑ −x+❑ x− +1，试化简代数式：|x﹣1|
2 2
❑√y2−2y+1．
−❑√(x−1) 2−
y−1
（2）设a、b、c为△ABC的三边，化简： ．
❑√(a+b+c) 2+❑√(a−b−c) 2+❑√(b−a−c) 2−❑√(c−b−a) 2
【答案】（1）﹣1；
（2）4c．
√1 √ 1
【解答】解：（1）因为x、y都是实数，且满足y＞❑ −x+❑ x− +1，
2 2
1 1
则 −x≥0且x− ≥0，
2 2
1
所以x= ，
2
则y＞1．
所以|x﹣1| ❑√y2−2y+1
−❑√(x−1) 2−
y−1
|y−1|
＝|x﹣1|﹣|x﹣1|−
y−1
y−1
=−
y−1
＝﹣1．
（2）因为a、b、c为△ABC的三边，
所以a+b+c＞0，b+c＞a，a+c＞b，a+b＞c，所以
❑√(a+b+c) 2+❑√(a−b−c) 2+❑√(b−a−c) 2−❑√(c−b−a) 2
＝|a+b+c|+|a﹣（b+c）|+|b﹣（a+c）|﹣|c﹣（a+b）|
＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c+c﹣a﹣b
＝4c．
24．（10分）阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，
从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新
问题、新结论的重要方法．例如(❑√2+1)(❑√2−1)=1，(❑√6+❑√3)(❑√6−❑√3)=3，观察它们的结果，
积不含根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根
式的除法可以这样解：如 1 1×❑√2 ❑√2 2+❑√2 (2+❑√2) 2 .像这样通过分
= = ， = =3+2❑√2
❑√2 ❑√2×❑√2 2 2−❑√2 (2−❑√2)×(2+❑√2)
子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去的过程，叫分母有理化．
解决问题：
1 ❑√5 1
（1）将 分母有理化得 ， 分母有理化得 ❑√6+❑√5 ．
❑√5 5 ❑√6−❑√5
3 3 3 3
（2）利用上述方法，化简 + + +⋯+ ．
1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√99+❑√100
❑√5
【答案】（1） ，❑√6+❑√5；
5
（2）27．
1 1×❑√5 ❑√5
【解答】解：（1） = = ，
❑√5 ❑√5×❑√5 5
1 1×(❑√6+❑√5) ．
= =❑√6+❑√5
❑√6−❑√5 (❑√6−❑√5)(❑√6+❑√5)
❑√5
故答案为： ，❑√6+❑√5．
5
3 3 3 3
（2） + + +⋯+
1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√99+❑√100
3(❑√2−1) 3(❑√3−❑√2) 3(❑√4−❑√3) 3(❑√100−❑√99)
= + + +⋯+
(❑√2+1)(❑√2−1) (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) (❑√4+❑√3)(❑√4−❑√3) (❑√100+❑√99)(❑√100−❑√99)
=3×(❑√2−1+❑√3−❑√2+❑√4−❑√3+⋯+❑√100−❑√99)=3×(❑√100−1)
＝3×（10﹣1）
＝27．
25．（10分）阅读材料：
小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ，
4+2❑√3=(1+❑√3) 2
善于思考的小颖进行了以下探索：
设 （其中x，y，m，n均为正整数），则有 ，
x+ y❑√3=(m+n❑√3) 2 x+ y❑√3=m2+3n2+2mn❑√3
∴x＝m2+3n2，y＝2mn．这样小明就找到了一种把部分x+❑√3 y的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当x，y，m、n均为正整数且 时，请用含m、n的式子分别表示x，y：x＝
x+ y❑√5=(m+n❑√5) 2
m 2 +5 n 2 ；y＝ 2 m n ；
（2）若 ，且x，m，n均为正整数，求x的值；
x+4❑√3=(m+n❑√3) 2
（3）①填空：❑√4+2❑√3= 1+❑√3 ；
②化简： ．
❑√4−❑√9+2❑√8
【答案】（1）m2+5n2，2mn；
（2）x＝7或x＝13；
（3）①1+❑√3；②❑√2−1．
【解答】解：（1） ，
x+ y❑√5=(m+n❑√5) 2=m2+5n2+2mn❑√5
∴x＝m2+5n2，y＝2mn；
故答案为：m2+5n2，2mn；
（2） ，
x+4❑√3=(m+n❑√3) 2=m2+3n2+2mn❑√3
∴x＝m2+3n2，4＝2mn，
∴mn＝2，
∵m，n均为正整数，
∴当m＝1时，n＝2，
此时，x＝m2+3n2＝1+3×4＝13；当m＝2时，n＝1；
此时，x＝m2+3n2＝4+3×1＝7；
∴x＝7或x＝13；
（3）①
❑√4+2❑√3=❑√1+2❑√3+3=❑√ (1+❑√3) 2=1+❑√3
；
故答案为：1+❑√3；
②
❑√4−❑√9+2❑√8
=❑√4−❑√1+2❑√8+8
=❑√ 4−❑√ (1+❑√8) 2
=❑√4−(1+2❑√2)
=❑√4−1−2❑√2
=❑√3−2❑√2
=❑√1−2❑√2+2=❑√12−2❑√2+(❑√2) 2=❑√(1−❑√2) 2=❑√2−1
=❑√ (1−❑√2) 2
=❑√2−1．
26．（10分）【知识背景】
在实数范围内，我们学过有理数和无理数．通过运算我们发现：任意一个有理数与一个无理数的和是无
理数；任意一个不为0的有理数与一个无理数的积是无理数；0与无理数的积是0．
由以上信息可知：
如果mx+n＝0（m，n为有理数，x为无理数），那么m＝0，n＝0．
运用上述知识解决下列问题：
【基础应用】
已知x=❑√3−1，且（m+2）x+n﹣3＝0（m，n为有理数），则m的值为 ﹣ 2 ，n的值为 3 ；
【进阶拓展】
已知a，b，c均为有理数，且(1+❑√2)a+(1−❑√2)b+c=0，求a与c的等量关系；
【实际应用】
制作一个直角三角形木架，其中一条直角边的长度为(❑√5+2)分米，另一条直角边的长度为a分米，斜
边长度为(❑√5b+c)分米，其中a，b，c均为有理数，求bc的值．【答案】【基础应用】﹣2；3；
【进阶拓展】a与c的等量关系为2a+c＝0；
【实际应用】bc＝2．
【解答】解：【基础应用】
由题意，∵x=❑√3−1，且（m+2）x+n﹣3＝0，
∴（m+2）（❑√3−1）+n﹣3＝0，
∴（m+2）❑√3−m﹣2+n﹣3＝0，
∴（m+2）❑√3−m+n﹣5＝0．
∵m，n为有理数，
∴m+2＝0，且﹣m+n﹣5＝0．
∴m＝﹣2，n＝3．
故答案为：﹣2；3；
【进阶拓展】
由题意，∵(1+❑√2)a+(1−❑√2)b+c=0，
∴a+❑√2a+b−❑√2b+c＝0．
∴a+b+c+（a﹣b）❑√2=0．
∵a，b，c均为有理数，
∴a+b+c＝0，且a﹣b＝0．
∴a＝b，则2a+c＝0．
答：a与c的等量关系为2a+c＝0；
【实际应用】
由题意，∵一条直角边的长度为 分米，另一条直角边的长度为a分米，斜边长度为
(❑√5+2) (❑√5b+c)
分米，
∴（❑√5+2）2+a2＝（❑√5b+c）2．
∴9+4❑√5+a2＝5b2+c+2bc❑√5．
∴9+a2+4❑√5=5b2+c+2bc❑√5．
∵a，b，c均为有理数，
∴2bc＝4．
∴bc＝2．
