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第十九章 二次根式（高效培优单元自测·强化卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。）
1．下列二次根式运算正确的是（ ）
A．❑√4+❑√9=❑√13 B．❑√3×❑√6=3❑√2 C．❑√18÷❑√2=9 D．❑√5−❑√2=❑√3
2．在下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
√a
A．❑ B．❑√x2+ y2 C．❑√x2y D．❑√27
9
❑√x+2
3．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
x
A．x＞﹣2且x≠0 B．x≠0 C．x≥﹣2 D．x≥﹣2且x≠0
4．若最简二次根式❑√1−3a与❑√28能合并，则a的值是（ ）
A．2 B．1 C．﹣9 D．﹣2
5．若❑√12+❑√x=❑√27，则x的值是（ ）
A．2 B．3 C．8 D．15
6．若 ，则a的取值范围是（ ）
❑√(a−5) 2=5−a
A．a＞5 B．a＜5 C．a≥5 D．a≤5
7．已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简 （ ）
❑√a2−|a+b|+❑√(c−a) 2+|b+c|=
A．a+b﹣c B．2b+2c﹣a C．2c﹣a D．2b﹣a
1
8．若a＝1+❑√2，b= ，则a与b的关系是（ ）
1−❑√2
A．互为相反数 B．互为倒数
C．相等 D．互为负倒数
9．如图，一个矩形被分割成四部分．已知图形①②③都是正方形，且正方形①的边长为1，阴影部分
的面积为❑√5，则正方形③的面积为（ ）A．2❑√5+9 B．4❑√5+6 C．2❑√5+6 D．4❑√5+9
1 1
10．已知❑√a− =2，则❑√a+ 值为（ ）
❑√a ❑√a
A．2❑√2 B．±2❑√2 C．2❑√3 D．±2❑√3
11．如果ab＞0，a+b＜0，那么下列各式中正确的是（ ）
A．√a ❑√a B．√a √b 1
❑ = ❑ ×❑ =
b ❑√b b a
√a
C．❑√ab÷❑ =b D．（❑√ab）2＝﹣ab
b
12．我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被
❑√b
除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似 这样的形式，我们称形如这种形
a
❑√2 ❑√x+1
式的式子称为根分式，例如 ， 都是根分式．
3 x2−2
已知两个根分式 ❑√x−1与 ❑√x2−5x+7．则下列说法：
M= N=
x−2 x−2
❑√x−1
①根分式M= 中x的取值范围为：x≥1且x≠2；
x−2
②存在实数x，使得N2﹣M2＝1；
③存在两个无理数x，使得M2+N2是一个整数．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．写出❑√a−1的一个有理化因式 ．
14．如果√3−a ❑√3−a成立，那么a的取值范围是 ．
❑ =
a−1 ❑√a−1
15．已知1≤a≤2，化简 ．
❑√a2−2a+1+|a−2|=
16．已知y=❑√x−2+❑√2−x−❑√3，则（x+y）2025（x﹣y）2026的值为 ．
17．已知实数a满足|2025−a|+❑√a−2026=a，那么a﹣20252的值是 ．
18．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形（正方形 ABCD和正方形EFGH），已知：AB=❑√23+1，EF=❑√23−1，S四边形MCIE ＝25，则大正方形的边长为 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）计算题
❑√12+❑√27
（1）(❑√3−1) 2 − ；
❑√3
√3 √4
（2）(2+❑√3)(❑√3−2)−❑√12÷❑ +❑√6×❑ ．
2 3
20．（8分）电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广．
已知电视塔高h（m）与电视节目的信号传播半径 r（m）之间满足r=❑√2Rh，其中R是地球半径，
R≈6.4×106m．
（1）已知广州塔高约600m，求广州塔发射节目信号的传播半径；（❑√76.8≈8.76）
（2）设广州塔的高度是h ，另一座塔高为h ，求广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比．
1 2
21．（8分）定义两种新运算，规定：a★b=❑√a−b，a☆b=❑√a+b，其中a，b为实数且a≥0．
（1）求（5★1）（5☆1）的值；
（2）化简（2★n）（2☆n）．
1 1
22．（8分）已知a= ，b= ．
2+❑√3 2−❑√3
（1）求a2b+ab2的值；
（2）求a2﹣ab+b2的值．
√1 √ 1
23．（10 分）（1）若 x、y 都是实数，且满足 y＞❑ −x+❑ x− +1，试化简代数式：|x﹣1|
2 2❑√y2−2y+1．
−❑√(x−1) 2−
y−1
（2）设a、b、c为△ABC的三边，化简： ．
❑√(a+b+c) 2+❑√(a−b−c) 2+❑√(b−a−c) 2−❑√(c−b−a) 2
24．（10分）阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，
从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新
问题、新结论的重要方法．例如(❑√2+1)(❑√2−1)=1，(❑√6+❑√3)(❑√6−❑√3)=3，观察它们的结果，
积不含根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根
式的除法可以这样解：如 1 1×❑√2 ❑√2 2+❑√2 (2+❑√2) 2 .像这样通过分
= = ， = =3+2❑√2
❑√2 ❑√2×❑√2 2 2−❑√2 (2−❑√2)×(2+❑√2)
子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去的过程，叫分母有理化．
解决问题：
1 1
（1）将 分母有理化得 ， 分母有理化得
❑√5 ❑√6−❑√5
．
3 3 3 3
（2）利用上述方法，化简 + + +⋯+ ．
1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√99+❑√100
25．（10分）阅读材料：
小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ，
4+2❑√3=(1+❑√3) 2
善于思考的小颖进行了以下探索：
设 （其中x，y，m，n均为正整数），则有 ，
x+ y❑√3=(m+n❑√3) 2 x+ y❑√3=m2+3n2+2mn❑√3
∴x＝m2+3n2，y＝2mn．这样小明就找到了一种把部分x+❑√3 y的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当x，y，m、n均为正整数且 时，请用含m、n的式子分别表示x，y：x＝
x+ y❑√5=(m+n❑√5) 2
；y＝ ；
（2）若 ，且x，m，n均为正整数，求x的值；
x+4❑√3=(m+n❑√3) 2
（3）①填空：❑√4+2❑√3= ；②化简： ．
❑√4−❑√9+2❑√8
26．（10分）【知识背景】
在实数范围内，我们学过有理数和无理数．通过运算我们发现：任意一个有理数与一个无理数的和是无
理数；任意一个不为0的有理数与一个无理数的积是无理数；0与无理数的积是0．
由以上信息可知：
如果mx+n＝0（m，n为有理数，x为无理数），那么m＝0，n＝0．
运用上述知识解决下列问题：
【基础应用】
已知x=❑√3−1，且（m+2）x+n﹣3＝0（m，n为有理数），则m的值为 ，n的值为 ；
【进阶拓展】
已知a，b，c均为有理数，且(1+❑√2)a+(1−❑√2)b+c=0，求a与c的等量关系；
【实际应用】
制作一个直角三角形木架，其中一条直角边的长度为(❑√5+2)分米，另一条直角边的长度为a分米，斜
边长度为(❑√5b+c)分米，其中a，b，c均为有理数，求bc的值．
