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第十章 二元一次方程组
01 思维导图
02 知识速记
【知识点01】二元一次方程（组）定义
1.二元一次方程组定义
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程．
2.二元一次方程组定义
方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫
x y2,
做二元一次方程组． 如：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成
x y0
，
3.二元一次方程（组）的解
（1）使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
【知识点02】 解二元一次方程组
（1）消元思想
1
学科网（北京）股份有限公司二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的
一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、
逐一解决的思想，叫做消元思想．
（2）代入消元法
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现
消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法．
（3）加减消元法
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，
就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
【知识点03】二元一次方程（组）应用的
一．解题步骤
1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系；
2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数；
3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程
组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的；
4．解方程组；
5．检验：检验方程的根是否符合题意；
6．作答：检验后作出符合题目要求的答案．
二、基本公式
单价×数量=总价 利润=实际售价-成本 实际售价=标价（原价）×折扣 利润率= ×100
03 题型归纳
题型一 二元一次方程（组）的概念
例题：（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列方程中是二元一次方程的为（ ）
A． B． C． D．
巩固训练
1.（23-24八年级上·宁夏银川·期末）下列各式中属于二元一次方程的有（ ）
2
学科网（北京）股份有限公司① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2.（23-24七年级下·云南德宏·期末）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
3.（23-24七年级下·河南郑州·期末）下列方程组中，二元一次方程组有（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型二 二元一次方程（组）的解
例题：（23-24七年级下·河南周口·期末）解为 的方程组可以是（ ）
A． B． C． D．
巩固训练
1.（23-24七年级下·全国·期末）写出二元一次方程 的一个正整数解 ．
2.（23-24七年级下·全国·期末）已知 是方程 的一个解，那么k的值是 ．
3.（23-24七年级上·云南红河·期末）若 是关于 ， 的二元一次方程 的解，则 的值为
．
4.（23-24七年级下·全国·期末）已知 是关于 ， 的方程 的一组解，则
．
题型三 写出二元一次方程的正整数解
3
学科网（北京）股份有限公司例题：（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）二元一次方程 的正整数解为 ．
巩固训练
1.（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）二元一次方程 共有 组正整数解．
2.（23-24七年级下·全国·期末）写出二元一次方程 的一个正整数解 ．
3.（23-24七年级下·广西桂林·开学考试）二元一次方程 的所有正整数解为
．
题型四 解二元一次方程组
例题：（24-25八年级上·全国·期末）用适当的方法解下列方程组：
(1) ；
(2) ．
巩固训练
1.（23-24七年级下·全国·期末）解方程组：
(1) ；
(2) ．
2.（23-24七年级下·全国·期末）解方程组：
(1) ；
(2) ．
3.（23-24七年级下·全国·期末）解下列方程组：
4
学科网（北京）股份有限公司(1)
(2)
4.（23-24七年级下·全国·期末）（1）用代入法解方程组 ；
（2）用加减法解方程组 ．
5.（23-24七年级下·全国·期末）解下列方程组：
(1)
(2)
6.（23-24七年级下·山东济宁·期末）（1）解方程组：
（2）解方程组：
题型五 构造二元一次方程组求解
例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）若 ，则 的值为 ．
巩固训练
1.（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如果 与 是同类项，那么 ．
2.（22-23八年级上·河南鹤壁·开学考试）在方程 中，当 时， ；当 时， ．
当 时，求y的值是 ．
5
学科网（北京）股份有限公司3.（23-24七年级下·湖南·期中）已知方程组 的解是 ，则方程组 的
解是 ．
题型六 二元一次方程组-同解问题
例题：（23-24七年级下·新疆喀什·期末）已知方程组 和 的解相同，则
．
巩固训练
1.（23-24七年级下·重庆万州·期末）若关于x，y的方程组 和 的解相同，则
．
2.（23-24七年级下·全国·期末）已知关于x，y的二元一次方程组 和 的解相同，则
．
3.（23-24七年级下·河南许昌·期末）若关于 的二元一次方程组 和 的解相同，
则 ．
4.（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知关于x，y的方程组 和 的解相同，则
的值为 ．
题型七 二元一次方程组-错解复原问题
例题：（23-24七年级下·山西临汾·期末）下面是小华同学解方程组 的过程，请你观察计算
过程，回答下面问题．解得： 得： ③……（1）
6
学科网（北京）股份有限公司得： ……（2）
将 代入②得： ……（3）
所以该方程的解是 ……（4）
(1)以上过程有两处关键性错误，第一次出错在______步（填序号），第二次出错在______步（填序号）；
(2)请你帮小华同学写出正确的解题过程．
巩固训练
1.（23-24七年级下·广西南宁·期末）下面是数学课上小颖同学上黑板解课本第96页练习1（2）方程组的
过程，老师为了方便与同学们一起讲评在旁边标注了步骤，请认真阅读并完成相应的任务．
解：由 ×3得 第一步
① ③
由 ×5得 第二步
② ④
- 得 第三步
③ ④
第四步
把 代入 得 ， 第五步
①
原方程组的解为 第六步
∴
(1)小颖用______消元法解方程组；（填“代入”或“加减”）；
(2)小颖的解题从第______步出现了错误；
(3)请直接写出该方程组的解．
2.（23-24八年级上·山西忻州·期末）下面是淇淇同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的
任务．
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学科网（北京）股份有限公司解方程组:
解：由① ，得 ③…..第一步
③-②，得 ，……第二步
将 代入①，解得 ，…...第三步
所以，原方程组的解为 ，……第四步
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_________法；以上求解步骤中，第一步的依据是__________．
(2)第_______步开始出现错误，具体错误是___________．
(3)直接写出该方程组的正确解：____________．
3.（22-23七年级下·浙江台州·期末）小明解二元一次方程组 的过程如下：
解：
第1步：①两边同乘以2，得 ，③（______）
第2步：③－②，得 ，（______）
第3步： ．
第4步：把 代入①，得 ， ．
第5步：所以原方程组的解是
(1)请在小明解法的前两步后面的括号内填上方程变形的依据．
(2)小明解方程组的结果正确吗？如果你认为正确，请代入原方程组检验；如果你认为不正确，请指出他解
题过程中最早在哪一步出现错误，并求出该方程组的正确解．
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学科网（北京）股份有限公司题型八 二元一次方程组应用古代问题
例题：（23-24八年级上·山西运城·期末）程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指
算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，书中有如下问题：一百馒头
一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如
果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请你解决这个问题．
巩固训练
1.（23-24七年级上·陕西西安·期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共
车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人
共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
2.（22-23七年级上·云南昆明·期末）中国16至17世纪数学领域集大成的著作《算法统宗》，详述了传统
的珠算规则，确立了算盘用法，完善了珠算口诀，搜集了古代流传的595道应用题的数字计算．其中有这
样一道题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100
个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？
3.（23-24八年级上·山东青岛·期末）解方程
(1)
(2)“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”．如：
，从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数 的系数与相应的常数
项，即可表示方程 ，以此方式 ，表示的方程是______；请将这
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学科网（北京）股份有限公司两个方程联立成方程组，并求出这个方程组的解．
4.（23-24七年级下·吉林松原·期中）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九
两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；
2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”
根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)若某商人准备用11两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请你为商人列出所有
可能的购买方法．
题型九 二元一次方程组应用几何问题
例题：（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）在长方形 中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部
分），其中 ，求阴影部分图形的总面积．
巩固训练
1.（23-24七年级下·甘肃陇南·期末）某学校开发一块试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，由大
小形状完全相同的8块小长方形试验田组成，如图所示，经测量，该实践基地的宽为60米．
(1)求小长方形的长和宽；
(2)求该实践基地的面积．
2.（23-24七年级下·吉林白山·期末）如图，在长为 ，宽为 的长方形展厅划出三个形状、大小完全
相同的小长方形摆放水仙花，其示意图如图所示．求小长方形的长和宽．
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学科网（北京）股份有限公司3.（23-24六年级下·上海·期末）将8块相同的小长方形放入一个大长方形中（无重叠），仅形成两块空隙
（用阴影表示的部分），数据如图所示，且左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，求：小长方
形的长和宽各是多少？
4.（23-24七年级下·广西贵港·期末）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）
的横式和竖式两种无盖纸盒．
(1)做一个横式无盖纸盒需要______张长方形纸板和_____张正方形纸板．
(2)若仓库里有300张长方形纸板和100张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做几个？
(3)若仓库里有 张长方形纸板和 张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则 应满足什么条件，请说
明理由．
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