文档内容
【赢在中考·黄金8卷】备战2023年中考数学全真模拟卷（包头专用）
黄金卷 3
（满分120分，考试用时120分钟）
一、选择题：本大题共有 12 小题，每小题3分，共 36分。每小题只有一个正确选项.
1．（2022·福建·统考中考真题）化简(3a2) 2 的结果是（ ）
A．9a2 B．6a2 C．9a4 D．3a4
【答案】C
【分析】根据幂的乘方和积的乘方进行计算即可．
【详解】(3a2) 2 =32·(a2) 2 =9a4，
故选：C．
【点睛】本题考查幂的乘方和积的乘方，熟记幂的运算法则是解题的关键．
2．（2022·广东深圳·深圳市南山外国语学校校考三模）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，则代数式
5(a+b)−2cd的值为(
)
A．3 B．−2 C．−3 D．0
【答案】B
【分析】根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，可以得到a+b＝0，cd＝1，然后代入所求式子计算即可．
【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，
∴a+b＝0，cd＝1，
∴5（a+b）﹣2cd
＝5×0﹣2×1
＝0﹣2
＝﹣2，
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数和倒数，有理数的混合运算，解答本题的关键是求出a+b、cd的值．
3．（2022·浙江·三模）已知x＜y，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．-x＜-y B．x-2＜y-1 C．6-x＜6-y D．3x＜4y
【答案】B
【分析】根据x＜y，应用不等式的基本性质，逐项判断即可．【详解】解：A．∵x＜y，
∴-x＞-y，故本选项不合题意；
B．∵x＜y，
∴x-1b C．a0，开口向上，∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，
∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，
∴当x=a时，y=15，
∴2（a-1）2-3=15，
解得：a=4或a=-2（舍去），
故a的值为4．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函
数的性质解答．
11．（2022·四川巴中·统考中考真题）在平面直角坐标系中，直线y=−√3x+√3与x轴交于点A，与y轴交
于点B，将△AOB绕O点逆时针旋转到如图△A'OB'的位置，A的对应点A'恰好落在直线AB上，连接BB'，
则BB'的长度为（ ）
√3 3√3
A． B．√3 C．2 D．
2 2
【答案】B
【分析】先求出点A、B的坐标，可求得OA、OB，进而可求得∠OAB=60°，利用旋转的性质和等边三角形
的判定与性质证明△A'OA和△B'OB为等边三角形得到OB'=OB即可求解.
【详解】解：对于y=−√3x+√3，
当x=0时，y=√3，当y=0时，由0=−√3x+√3得：x=1，
则A（1，0），B（0，√3），
∴OA=1，OB=√3，
OB
∴tan∠OAB = =√3，则∠OAB=60°，
OA
由旋转性质得：OA'=OA，OB'=OB，∠AOA'=∠BOB'，
∴△A'OA是等边三角形，∴∠AOA'=∠BOB'=60∘，又OB'=OB
∴△B'OB是等边三角形，
∴BB'=OB=√3，
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题、旋转性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角
形，熟练掌握相关知识的联系与运用，证得△B'OB是等边三角形是解答的关键．
12．（2022·江苏连云港·校考三模）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点O在对角线BD上，以
OB为半径作⊙O交BC于点E，连接DE，若DE是⊙O的切线，此时⊙O的半径为（ ）
5 35 21
A．2 B． C． D．
2 16 10
【答案】C
【分析】根据矩形的性质和勾股定理可得BD，根据切线的性质∠DEO=90°，根据同角的余角相等得
BC 4 DC 4
∠OEB=∠EDC，则∠DBC=∠EDC，根据cos∠DBC= = ，可得cos∠EDC= = ，可求
BD 5 DE 5
15
得DE= ，在Rt△ODE中，利用勾股定理即可得⊙O的半径OE的值．
2
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，BC=AD=8，DC=AB=6，
在Rt△ADB中，∠A=90°，
∴BD=√AB2+AD2=10，
∵DE是⊙O的切线，
∴OE⊥DE，
∴∠OEB+∠DEC=90°，
∵∠DEC+∠EDC=90°，
∴∠OEB=∠EDC，∵OB=OE，
∴∠OEB=∠DBC，
DC BC 4
∴cos∠EDC= =cos∠DBC= = ，
DE BD 5
15
∴DE= ，
2
设OB=OE=r，
在Rt△ODE中，OD2=OE2+DE2，
15 2
∴(10−r) 2=r2+( ) ，
2
25
解得r= ．
16
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，注意数形结合思想的应用是解
题的关键．
二、填空题：本大题共有7小题，每小题3分，共21分。
1
13．（2022·新疆·模拟预测）代数式 +√1+2x有意义时，x的取值范围是______ ．
x
1
【答案】x≥− 且x≠0
2
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：由题意得，1+2x≥0，x≠0，
1
解得，x≥− 且x≠0，
2
1
故答案为：x≥− 且x≠0．
2
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非
负数、分式分母不为0是解题的关键．
4−a ( a+2 a−1 )
14．（2022·贵州遵义·模拟预测）已知a为2≤a≤4范围的整数，则 ÷ − 的值是
a a2−2a a2−4a+4
______．
【答案】-1【分析】根据分式的混合运算法则先将所求分式化简，再根据分式有意义的条件，确定a的值，最后代入
求值即可．
4−a ( a+2 a−1 )
【详解】解： ÷ −
a a2−2a a2−4a+4
4−a [ a+2 a−1 ]
= ÷ −
a a(a−2) (a−2) 2
4−a [(a+2)(a−2) a(a−1) ]
= ÷ −
a a(a−2) 2 a(a−2) 2
4−a [ a2−4 a2−a ]
= ÷ −
a a(a−2) 2 a(a−2) 2
4−a a−4
= ÷
a a(a−2) 2
4−a a(a−2) 2
= ×
a a−4
=−(a−2) 2，
根据题意有：a≠0，a−4≠0，a−2≠0，
即a≠0，a≠4，a≠2，
∵2≤a≤4，且为整数，
∴a=3，
将a=3代入，有原式=−(a−2) 2=−(3−2) 2=−1，
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了分式的化简求值以及分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键．
15．（2022·安徽合肥·校联考三模）已知一组数据24,27,19,13,x,12的中位数是21，那么x的值等于_____．
【答案】23
【分析】中位数是21，这组数据有6个，是偶数个，所以21就是最中间的两个数的平均数；再把这组数据
按从小到大的顺序排一排，12、13、19都比中位数21小，所以x排在19的后面，进而求得x的值．
【详解】解：根据题意，x的位置按从小到大排列只可能是：
12，13，19,x,24,2719+x
根据中位数是21得： =21．
2
解得x=23．
故答案为：23．
【点睛】本题考查了中位数的概念，关键是依据中位数，对数据排序，确定x的位置．
16．（2022·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐市第六十八中学校考模拟预测）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并
展平，得到一个扇形，若圆锥母线l=6，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥的底面圆的半径r长为______．
【答案】2
【分析】结合题意，根据弧长公式，可求得圆锥的底面圆周长．再根据圆的周长的公式即可求得底面圆的
半径长．
【详解】∵母线l长为6，扇形的圆心角θ=120°，
120π×6
∴圆锥的底面圆周长= =4π，
180
4π
∴圆锥的底面圆半径r= =2．
2π
故答案为：2．
【点睛】本题考查圆锥的侧面展开图的相关计算，弧长公式等知识．掌握圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥
底面圆的周长是求解本题的关键．
17．（2022·四川乐山·统考中考真题）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就
称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为______．【答案】5
1 3
【分析】设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，分别求得b= c，c= d，由“优美矩形”ABCD
3 5
的周长得4d+2c=26，列式计算即可求解．
【详解】解：设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，
∵“优美矩形”ABCD的周长为26，
∴4d+2c=26，
∵a=2b，c=a+b，d=a+c，
1
∴c=3b，则b= c，
3
5 3
∴d=2b+c= c，则c= d，
3 5
6
∴4d+ d =26，
5
∴d=5，
∴正方形d的边长为5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了整式加减的应用，认真观察图形，根据长方形的周长公式推导出所求的答案是解题的
关键．
18．（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AC边
上的一点，过点D作DF∥AB，交BC于点F，作∠BAC的平分线交DF于点E，连接BE．若△ABE的面
DE
积是2，则 的值是______．
EF
3
【答案】
7
4
【分析】先根据勾股定理得出AB=5，根据△ABE的面积是2，求出点E到AB的距离为 ，根据
5AC⋅BC 12 8
Rt△ABC的面积，求出点C到AB的距离为 = ，即可得出点C到DF的距离为 ，根据相似三
AB 5 5
CD 2 DF 10
角形的判定与性质，得出 = = ，求出CD=2，DF= ，根据等角对等边求出DA=DE=1，即
CA 3 AB 3
10 7
可求出EF=DF−DE= −1= ，即可得出最后结果．
3 3
【详解】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=5，
∵△ABE的面积是2，
4
∴点E到AB的距离为 ，
5
AC⋅BC 12
在Rt△ABC中，点C到AB的距离为 = ，
AB 5
8
∴点C到DF的距离为 ，
5
∵DF∥AB，
∴△CDF∽△CAB，
CD 2 DF
∴ = = ，
CA 3 AB
10
∴CD=2，DF= ，
3
∵AE平分∠CAB，
∴∠BAE=∠CAE，
∵DF∥AB，
∴∠AED=∠BAE，
∴∠DAE=∠DEA，
∴DA=DE=1，
10 7
∴EF=DF−DE= −1= ，
3 3
DE 3
∴ = ，
EF 7
3
故答案为： ．
7
【点睛】本题主要考查了三角形高的有关计算，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的4 8
判定，解题的关键是求出点E到AB的距离为 ，点C到DF的距离为 ．
5 5
6
19．（2022·广东汕头·统考一模）如图，过反比例函数y= （x＞0）图像上一点A作x轴的平行线，交双
x
3 3
曲线y=− （x＜0）于点B，过B作BC∥OA交双曲线y=− （x＜0）于点D，交x轴于点C，连接AD
x x
交y轴于点E．若OC＝3，则△AOE的面积是_____________．
9
【答案】
4
1 1 9
【分析】先连接OB，得到△AOB的面积= ×|﹣3| + ×|6| = ，求得OF=3，由此得到A（2，3），B（
2 2 2
3 3
−1，3），再求直线OA的解析式为y = x，可设直线BC为y = x+b求得点D的坐标，然后求出直线AD的
2 2
解析式，求出点E的坐标，进而求出OE的长度，最后用三角形面积公式求解．
1 1 9
【详解】解：如图所示，连接OB，则△AOB的面积= ×|﹣3| + ×|6| = ，由AB∥CO，AO∥BC，
2 2 2
可得四边形ABCO是平行四边形，
∴AB=CO=3，
1 9
∴由 ×AB×OF = ，可得OF=3，
2 2
6
在y = （x＞0）中，令y=3，
x
可得x=2，即A（2，3），3
在y =− （x＜0）中，令y=3，
x
可得x=−1，即B（−1，3），
3
由A（2，3）可得，直线OA的解析式为y = x，
2
3
可设直线BC为y = x+b，
2
3
则将B（−1，3）代入可得3 =− + b，
2
9
解得b = ，
2
3 9
故BC为y= x+ ，
2 2
解方程组¿，
3
可得D（−2， ），
2
设直线AD解析式为y=mx+n，
3
则将D（−2， ），A（2，3）代入可得
2
¿，
解得¿，
2 9
∴AD解析式为y= x+ ，
9 4
9
令x=0，则y = ，
4
9
即E（0， ），
4
9
∴OE的长为 ．
4
1 9 9
△AOE的面积是 × ×2= ．
2 4 4
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面
积计算．解题时注意：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方
程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．三、解答题：本大题共有6小题，共63分。
20．（8分）20．（2022·山东青岛·一模）某市在全市中学开展了以“预防新冠，人人有责”为主题的知识
竞赛活动．为了解学生在此次竞赛中的成绩情况，某校随机抽取了部分学生的竞赛成绩进行统计（满分：
100分，等次：A.优秀：90～100分；B.良好：80～89分；C.一般：60～79分；D.较差：60分以下，成绩
均为整数）得到如下不完整的图表：
等次 频数 频率
A m 0.25
B n 0.5
C 30 b
D 20 0.1
根据以上信息解答下列问题：
(1)该校本次被抽查的学生共有多少人？
(2)补全图中条形统计图；
(3)若该校共有学生2300人，请根据上述调查结果估计该校学生成绩在良好及以上的学生约有多少人？
（写出计算过程）
【答案】(1)200人
(2)A.优秀： m=50，B.良好：n=100，补画条形图见详解
(3)学生成绩在良好及以上的学生约有1725人【分析】（1）先从条形图求出D的人数，由统计表求D的百分比，用D的人数÷D的百分比即可；
（2）用A的百分比×200=m，B的百分比×200=n，可补画条形图；
（3）求出良好以上的人数÷200×该校学生总数即可．
（1）
解：由条形图可知D较差有20人，由统计表可得D较差占0.1，
∴该校本次被抽查的学生为：20÷0.1=200人，
（2）
解：A.优秀：m=200×0.25=50人，
B.良好：n=200×0.5=100人，
补画条形图如图
（3）
150
解：良好以上的频数为50+100=150人，占样本的百分比为 ×100%=75%，
200
该校共有学生2300人，学生成绩在良好及以上的学生约有2300×75%=1725人．
【点睛】本题考查样本的容量，从统计表和条形图获取信息和处理信息，求条形图相关数据，补画条形图，
用样本的百分比含量估计总体的数量，掌握样本的容量，从统计表和条形图获取信息和处理信息，求条形
图相关数据，补画条形图，用样本的百分比含量估计总体的数量是解题关键．
21．（8分）21．（2022·江苏淮安·淮阴中学新城校区校联考二模）我市里运河风光带的国师塔，高大挺拔，
古朴雄浑，别具一格．小明想知道国师塔的高度，在附近一高层小区顶楼A处，测得国师塔塔顶D处的俯
角∠EAD=9.7°，塔底C处俯角∠EAC=26.6°，小明所在位置高度AB=95m．(1)求两栋建筑物之间的水平距离BC；
(2)求国师塔高度CD．（结果精确到1m）（参考数据：
sin9.7°≈0.17，tan9.7°≈0.17，sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50）
【答案】(1)190m
(2)63m
【分析】（1）延长CD交AE于点F，根据题意得：CF=AB，CF⊥AE，从而在Rt△ACF中，利用
CF
tan∠CAF= ，求得两建筑物底部之间水平距离；
AF
（2）在Rt△AFD中利用∠FAD=9.7°，求得DF，然后即可求得CD的长．
【详解】（1）解：延长CD交AE于点F，根据题意得：CF=AB，CF⊥AE，
CF
在Rt△ACF中，tan∠CAF= ，
AF95
∴tan26.6°= ≈0.5，
AF
∴AF≈190，
∴BC=AF=190m，
答：两建筑物底部之间水平距离BD的长度为190m；
（2）解：在Rt△AFD中，∠FAD=9.7°，
∴DF=AF·tan∠FAD=190×0.17≈32.3，
∵FC=95m，
∴CD=95-32.3≈63（m）．
答：国师塔高度为63m．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确标注仰角和俯角、熟记锐角三角函数的
定义是解题的关键．
22．（10分）22．（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）某景点投入40辆同型号电动代步车，准
备成立代步车租赁公司，市运管所规定每辆代步车的日租金按10元的整数倍收取，但不得超过250元．经
市场调研发现：当每辆代步车的日租金不超过150元时，40辆代步车可以全部租赁出去；当每辆代步车的
日租金超过150元时，每增加10元，租赁出去的代步车数量将减少2辆．已知租赁出去的代步车每辆一天
各项支出共需20元，没有租赁出去的代步车每辆一天各项支出共需10元，另外公司每天还需支出其他各
项费用共1800元．
(1)若40辆代步车能全部租出，当每天总租金不低于总支出时，每辆代步车的日租金至少是多少元？
(2)求该代步车租赁公司一天的总利润最多是多少元？
【答案】(1)至少是90元
(2)该代步车租赁公司一天的总利润最多是3580元
【分析】（1）设每辆代步车的日租金为x元，根据“40辆代步车能全部租出，且每天总租金不低于总支
出”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为10的整数倍即可得
出结论；
（2）设每辆代步车的日租金为m元，该代步车租赁公司一天总利润为w元，分m≤150及m>150两种情
况考虑，当m≤150时，利用总利润＝总租金﹣总支出，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函
m
数的性质即可找出w的最大值；当m＞150时，每天可租出（70− ）辆，利用总利润＝总租金﹣总支
2出，即可得出w关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质即可找出w的最大值．再将两个最大值比较
后即可得出结论．
【详解】（1）设每辆代步车的日租金为x元，由题意可得¿，解得90≤x≤150．
答：每辆代步车的日租金至少为90元．
（2）设每辆代步车的日租金为m元，该公司一天的总利润为W元．
①当m≤150时，W =40m−20m−1800=20m−1800，
∵W随m的增大而增大，
∴当m=150时，W有最大值，W =20×150−1800=1200（元）；
最大
m−150 ( m) ( m) ( m)
②当m>150时，每天可租出的代步车为40− ×2= 70− 辆，W = 70− m− 70−
10 5 5 5
×20− [ 40− ( 70− m)] ×10−1800，整理可得W =− 1 m2+72m−2900=− 1 (m−180) 2+3580，
5 5 5
∴当m=180时，W有最大值，W =3580（元），
最大
又∵1200<3580，
∴该代步车租赁公司一天的总利润最多是3580元．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用、一次函数的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：
（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（2）m≤150及m>150两种情况，找出w关
于m的函数关系式．
23．（12分）23．（2022·甘肃嘉峪关·统考三模）如图，⊙O的半径为3，MN与⊙O相切于点N，MB交
⊙O于点A、B，点D在MB上，且MD＝MN．连接ND并延长交⊙O于点E，连接OE交MB于点F．
(1)求证：AF＝BF；
2
(2)连接AN，若∠AND＝∠DEF，sinM＝ ，求MD的长．
3
【答案】(1)答案见解析(2)7
【分析】（1）根据MN与⊙O相切，得∠ONM=90°，再证∠EDF=∠MND，因为∠ONE=∠OEN，得
∠EDF+∠OEN=90°，得∠EFD=90°，即可得答案；
AB AB 2
（2）先证∠DAN=90°，再证∠M=∠ANB，由sinM= = = ，得AB=4，AF=2，AN=2√5，再证
BN 6 3
△MAN∽△NAB，得MA=5，再根据勾股定理求出MN=7，即可得答案．
（1）
解：如下图，连接ON，
∵MN与⊙O相切，
∴∠ONM=90°，
∵MD＝MN，
∴∠MDN=∠MND，
∵∠MDN=∠EDF，
∴∠EDF=∠MND，
∵ON=OE，
∴∠ONE=∠OEN，
∴∠MND+∠ONE=90°，
∴∠EDF+∠OEN=90°，
∴∠EFD=90°，
∴AF＝BF；
（2）
如下图，连接BN，∵∠EDF+∠OEN=90°，∠EDF=∠ADN，∠AND＝∠DEF，
∴∠AND+∠ADN =90°，
∴∠DAN=90°，
∴BN为⊙O的直径，
∵∠M+∠MNA=90°，
∴∠MNA+∠ANB=90°，
∴∠M=∠ANB，
AB AB 2
∵sinM= = = ，
BN 6 3
∴AB=4，AF=2，
∴AN=√BN2−AB2=√62−42=√20=2√5 ，
∵∠MAN=∠BAN=90°，∠M=∠ANB，
∴△MAN∽△NAB，
MA AN
∴ = ，
NA AB
MA 2√5
∴ = ，
2√5 4
∴MA=5，
∴MN=√AM2+AN2=√52+(2√5) 2=7 ，
∴MD=MN=7．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，
90°的角对的是直径，解题的关键是连接ON和BN．
24．（12分）24．（2022·湖北黄冈·统考二模）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E
在同一直线上，连接BE．(1)填空：①∠AEB的度数为______；②线段AD，BE之间的数量关系为_______；
(2)如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，
CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，
并说明理由；
(3)如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5，平面上一动点P到点B的距离为3，将线段CP绕点
C顺时针旋转90°，得到线段CD，连DA，DB，PB，则BD是否有最大值和最小值，若有直接写出，若
没有说明理由？
【答案】(1)60°，AD=BE
(2)∠AEB=90°；AE=2CM+BE；理由见解析
(3)当∠PBC=45°时，BD的最小值为5√2−3，当B、D、A三点在同一条直线上时，BD的最大值为
5√2+3
【分析】（1）由△ACB和△DCE均为等边三角形证得△CDA≅△CEB，进而得到答案．
（2）由△ACB和△DCE均为等腰直角三角形证得△ACD≅△BCE，进而得到∠AEB的度数及线段CM，
AE，BE之间的数量关系．
（3）动点P是以点B为圆心，3为半径的圆，当B、D、A三点在同一条直线上时，BD有最小值和最大值．
（1）
解：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，CA=CB，CD=CE，
∴∠ACD=∠BCE，
在△CDA和△CEB中，¿，
∴△CDA≅△CEB，
∴∠CEB=∠CDA=120°，
又∠CED=60°，∴∠AEB=120°−60°=60°；
②由①知，△CDA≅△CEB，
∴AD=BE；
故答案为：60°，AD=BE
（2）
解：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∠ACB=∠DCE=90°，
∴AC=BC，CD=CE，
∠ACB−∠DCB=∠DCE−∠DCB，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，¿，
∴△ACD≅△BCE，
∴AD=BE，∠BEC=∠ADC=135°，
∴∠AEB=∠BEC−∠CED=135°−45°=90°；
结论：AE=2CM+BE，
在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，
∴CM=DM=ME，
∴DE=2CM.
∴AE=DE+AD=2CM+BE，
∴AE=2CM+BE
（3）
解：如图3，∵点P到点B的距离是3，
∴点P是以点B为圆心，3为半径的圆，
当B、D、A三点在同一条直线上时，BD有最小值，
∵∠ACB=90°，∠DCP=90°，
∴∠ACD=∠BCP，
在△ACD与△BCP中，¿，
∴△ACD≅△BCP(SAS)，
∴∠PBC=∠A=45°，AD=BP=3，
在Rt△ABC中，AC=BC=5，
∴AB=5√2，
∴BD=AB−AD=5√2−3，此时∠PBC=45°时，BD的最小值为5√2−3，
同理可得：如图4，当B、D、A三点在同一条直线上时，
BD的最大值为：AB+AD=AB+BP=5√2+3.
【点睛】本题考查全等形证明，等边三角形、等腰直角三角形的性质，旋转综合；熟练掌握相关知识是解
题的关键．
25．（13分）25．（2022·吉林长春·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐
标分别为A(−2,−2)、B(1,1)．抛物线y=ax2+bx+c(a>0)交y轴于点C，顶点P在线段AB上运动．
当顶点P与点A重合时，点C的坐标为(0,0)．设点P的横坐标为m．
(1)求a的值．
(2)用含m的代数式表示点C的纵坐标，并求当m为何值时，点C的纵坐标最小，写出最小值．
(3)当点C在y轴的负半轴上且点C的纵坐标随m的增大而增大时，求m的取值范围．
1
(4)过点P作x轴的垂线交抛物线y=−2x2+ 于点Q，将线段PQ绕点P顺时针旋转90°得到线段PQ'，连
2
接QQ'．当△PQQ'的边与坐标轴有四个公共点时，直接写出m的取值范围．
1
【答案】(1)
21 1
(2)y = m2+m，当m=−1时，点C的纵坐标最小，最小值为−
C 2 2
(3)−1≤m<0
1 1−√5 1 1+√5
(4)−
