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第二十四章 圆知识归纳与题型突破（21 题型清单）
01 思维导图02 知识速记
一、圆的基本性质
1.圆
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫
做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.
2.圆的有关概念
（1）弦：
连结圆上任意两点的线段叫做弦.
（2）直径：
经过圆心的弦叫做直径.
（3）弧的有关概念：
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作 ，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
（4）同心圆与等圆
圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.
（5）等弧
在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
3.垂直于弦的直径
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
4.弧、弦、圆心角的关系
（1）圆心角定义
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．
（2）圆心角定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（3）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对的其余
各对量也相等．
5.圆周角
圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
6.圆内接多边形
一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
1.圆内接四边形的对角互补．
2.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）
二、点与圆、直线与圆的位置关系
1.点和圆的位置关系（重点）
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定
该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
2.圆的确定条件
不在同一直线上的三点确定一个圆．
3.三角形的外接圆
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在
三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而
一个圆的内接三角形却有无数个．4.反证法
（1）反证法
假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命
题成立.这种方法叫做反证法.反证法是一种间接证明命题的方法.
（2）用反证法证明命题的一般步骤
①假设命题的结论不成立;
②从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾
③由矛盾判定假设不正确,从而肯定原命题的结论正确
5.直线和圆的位置关系
(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．
(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切
点．
(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆
心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直
线与圆心的距离大于半径．
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线 的距离为d，那么
直线 l和⊙O相交⇔dr.
6.切线的判定定理和性质定理
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线
的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确
指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交
点，作半径，证垂直”．
（3）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（4）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆
心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（5）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半
径，见垂直．
7.切线长及切线长定理
（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切
线的夹角．
（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的
两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
（4）切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．
8.三角形的内切圆
（1）三角形的内切圆：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
（2）三角形的内心：
三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相
等.
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，
即 (S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别：
名称 确定方法 图形 性质
外心(三角形外 三角形三边中垂线的 (1) 到三角形三个顶点的距
接圆的圆心) 交点 离相等，即OA=OB=OC；
(2)外心不一定在三角形内部
内心(三角形内 三角形三条角平分线 (1)到三角形三边距离相等；
切圆的圆心) 的交点 (2)OA、OB、OC分别平分
∠BAC、∠ABC、∠ACB；
(3)内心在三角形内部.
三、正多边形和圆
1.正多边形及有关概念
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
2.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这
个圆就是这个正多边形的外接圆．
3.正多边形的有关概念
(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
4.正多边形的性质
（1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
（2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.
（3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边
数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.（4）边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相
似比的平方．
（5）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
要点归纳：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆
的外切正多边形.
知识点2.正多边形的有关计算（重点）
1.正ｎ边形每一个内角的度数是 ；
2.正ｎ边形每个中心角的度数是 ；
3.正ｎ边形每个外角的度数是 .
知识点3.正多边形的画法
1.用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的
周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.
2.用尺规等分圆对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
①正四、八边形。在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边
所对的弧(即作∠AOB的平分线交 于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。
②正六、三、十二边形的作法。
通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、
B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分
点。
显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。
同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。
要点归纳：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.
四、弧长和扇形面积
1.弧长公式（重点）
（1）圆周长公式：C＝2πR
nπR
（2）弧长公式：l= （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
180
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，
只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
2.扇形的面积公式
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
n 1
S = πR2或S = lR（其中l为扇形的弧长）
扇形 360 扇形 2
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
3.圆锥的侧面积和全面积
1
圆锥的侧面积：S = •2πr•l＝πrl．
侧 2
圆锥的全面积：S ＝S +S ＝πr2+πrl
全 底 侧
03 题型归纳
题型一 圆的基本概念辨析
例：（24-25九年级上·全国·假期作业）有下列五个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦
是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤任意一条直径都是圆的对称轴．其中错误的说法个数是（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）下列说法正确的有（ ）
A．经过圆心的线段是直径 B．直径是同一个圆中最长的弦
C．长度相等的两条弧是等弧 D．弧分为优弧和劣弧
3．（23-24七年级上·重庆铜梁·开学考试）下面说法错误的是（ ）
A．圆有无数条半径和直径 B．直径是半径的2倍
C．圆有无数条对称轴 D．圆的大小与半径有关4．（24-25九年级上·全国·假期作业）下列说法正确的是（ ）
A．圆有无数条直径
B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦
C．过圆心的线段是直径
D．能够重合的圆叫做等圆
题型二 圆的最值模型
例：（2024·辽宁·模拟预测）如图，在 中， ，E是直角边 的中点，F是直角边 上
的一个动点，将 沿 所在直线折叠，得到 ，D是斜边 的中点，若 ， ，则
的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2024·江苏苏州·二模）如图， 中， ， ， ， 点D为斜边 上一
任意点， 连接AD， 将点B关于直线AD作轴对称变换得到点 E， 连接 ， ， 则 面积的最
大值为（ ）
A．18 B．30 C．15 D．24
7．（2024·辽宁大连·三模）已知在平面直角坐标系中， 的圆心为(0,1)，半径为1，直线
经过定点 ，交 于一点 ，则当 取得最大值时， 的值为（ ）A． B． C． D．
8．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知 和射线 ，动点 在 上，动点
在射线 上， ．若 的最小值为 ，最大值为 ，则 的半径为 ．
题型三 利用垂径定理进行求解
例：（2023·广西玉林·三模）如图， 是 的直径， 是 的弦， ，垂足为点 ，
， ，则 ．
10．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）
A．过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧
B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心
C．过弦中点的直径平分弦所对的两条弧
D．平分弦所对的两条弧的直线平分弦
11．（22-23九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，将半径为 的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕
的长为（ ）A． B．4 C．6 D．
12．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，在 正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知
点A的坐标是 ，点C的坐标是 ，则那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是 （ ）
A． B． C． D．
13．（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）⊙O的半径是10，弦 ， ，则弦 与
的距离是（ ）
A．2 B．14 C．2或14 D．7或1
14．（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图， 是 的直径， 为 的一条弦， 于
点E，已知 ， ，则 的半径为 ．
题型四 垂径定理的实际应用
例：（22-23九年级上·浙江台州·期末）“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题“今有圆材埋在壁中，
不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已
知：锯口深为1寸，锯道 尺（1尺 10寸），则该圆材的直径为（ ）A．26寸 B．25寸 C．13寸 D．50.5寸
16．（2024·广西·模拟预测）如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O
在水面上方，且 被水面截得弦 长为4米， 半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C
到弦 所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．2米 C． 米 D． 米
17．（2024·陕西榆林·一模）如图，这是一扇拱形门的示意图， 为门框底， ，
，门框顶部是一段圆心角为 的圆弧， 是 的中点，则点 到门框底 的距离
是（ ）
A． B． C． D．
18．（2024·浙江绍兴·二模）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直
径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于 、 、、 四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为 ， ， ．请你帮忙计算纸杯杯底
的直径为（ ）
A． B． C． D．
19．（23-24九年级下·宁夏银川·期中）.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人
民的智慧，如图 1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图 2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O
为圆心， 为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦 长为 ，则筒车工作时，盛水
桶在水面以下的最大深度为 ．
题型五 弦、弧、弦心距之间的关系
例：（2024·江苏南京·二模）如图，AB、CD是 的两条弦， 与BD相交于点E， ．
(1)求证： ；
(2)连接 作直线 求证： ．
21．（2024·广东揭阳·三模）如图，在 中， ，那么（ ）A． B．
C． D． 与 的大小关系无法比较
22．（2024·黑龙江大庆·二模）如图， 是 的直径， ， ，则 的大小为
．
23．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图， 是 的直径，点C、D在 上， ，
，垂足分别为E，F，且 ， 与 相等吗？为什么？
题型六 圆周角定理及其推论的应用
例：（22-23九年级上·四川绵阳·开学考试）如图， 为 的直径， ， 交 于点E，
交 于点E， ，连接 ．(1)求 的度数；
(2)求证： ．
25．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图， 为 的直径，点C，D在圆上，若 ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
26．（22-23九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，点 、 、 在 上， ，半径 的长为
3，则 的长为 ．
27．（2024·江苏常州·中考真题）如图， 是 的直径， 是 的弦，连接 ．若
，则 ．
28．（23-24九年级上·江西宜春·期末）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点叫做格点；圆 经过 ， ， 三个格点，请只用无刻度的直尺按下列要求分别作图（不写作法，
保留作图痕迹）．
(1)在图1中，作出圆心 ；
(2)在图2中，在劣弧 上找一点 ，使 ．
题型七 圆内接四边形
例：（22-23九年级上·云南红河·期末）如图， 的半径为4，弦 长为 ，C是 上一点（不同于
A，B），则 的度数是 ．
30．（22-23九年级上·浙江衢州·期末）如图，四边形 是 的内接四边形， ，
，则 ．
31．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，四边形 是 的内接四边形，四边形 为平行四
边形，则 的度数为 ．32．（2022九年级·福建·竞赛）如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆
O的面积为 ．
题型八 点与圆的位置关系
例：（22-23九年级上·广东湛江·期末）如图，在 中， ，点D在边 上，且
，以 为直径作 ，设线段 的中点为P，则点P与 的位置关系是（ ）
A．点P在 内 B．点P在 上 C．点P在 外 D．无法确定
34．（22-23九年级上·浙江·阶段练习）已知 的半径为6，点P在 内，则线段 长（ ）
A．小于6 B．大于6 C．等于6 D．等于12
35．（2024·江苏宿迁·模拟预测）已知 的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ，若关于 的方程
不存在实数根，则点 与 的位置关系是（ ）
A．点 在 外 B．点 在 上
C．点 在 内 D．无法确定
36．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）在平面内， 的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ，则点
与 的位置关系是点 在 ．（填“圆内”“圆外”或“圆上”）．
37．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如果从 内一点P到 上所有点的距离中，最大距离是6，最
小距离是2，那么 的半径长是 ．
题型九 三角形内接圆有关应用
例：（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， ， ， ，
则 的外心坐标为（ ）A． B． C． D．
39．（15-16九年级上·江苏淮安·阶段练习）下列语句中，正确的是（ ）
A．同一平面上的三点确定一个圆
B．三角形的外心到三角形三边的距离相等
C．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点
D．菱形的四个顶点在同一圆上
40．（2024·河北保定·二模）如图，在 中， ，嘉嘉和淇淇通过尺规作图的方法找到
的外心，作法如下：
嘉嘉：
淇淇：
作 的垂直平分线， 作 和 的平分
线，两条角平分线交于点O，点O即为 的外心
交 于点O，点O即为 的外心
对于两人的作图方法，下列说法正确的是（ ）
A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确
C．两人都正确 D．两人都错误
41．（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点 、 、 、 、
、 、 都在小正方形的顶点上，则 的外心是（ ）A．点 B．点 C．点 D．点
42．（22-23八年级下·江苏盐城·阶段练习）直角三角形的两直角边长分别为6和8，那么这个三角形的外
接圆半径等于 ．
43．（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是由3个边长为2的正方形组成的物件，将它镶嵌在一个
圆形的金属框上，使A，B，C三点恰好在金属框上，则该金属框的半径是（ ）
A． B． C． D．4
题型十 确定圆的条件
例：（23-24九年级上·广东茂名·期末）如图，点A、B、C三个点不在一条直线上．
(1)那么经过A、B、C三个点可以画个圆吗？如果能，请在图中画出来（要求尺规作图，保留作图痕迹）；
如果不能，说明理由．
(2)分别连接AB、 、 ，若 是等边三角形，边长为6，求 外接圆的半径．
45．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）平面直角坐标系内的三个点 ， ， ，
确定一个圆，（填“能”或“不能”）．
46．（23-24九年级上·福建泉州·期末）若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作 个．
47．（2024·四川攀枝花·一模）作图题
如图，在 中，已知 ．
(1)尺规作图：画 的外接圆 （保留作图痕迹，不写画法）
(2)连接 ， ；若 ， ，求 的长．
题型十一 反证法
例：（23-24八年级下·山东枣庄·期中）已知 中， ，求证： ，下面写出运用反证法
证明这个命题的四个步骤：
①因此假设不成立．
② ，这与三角形内角和为 矛盾
③假设在 中，
④由 ，得 ，即 ．
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①② B．①②③④ C．③④②① D．③④①②
49．（23-24七年级下·江苏常州·期末）对假命题“若 ，则 ”举一个反例，符合要求的反例可以
是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
50．（2024·山西临汾·二模）反证法是从反方向证明命题的论证方法．如图、想要证明“如果直线
被直线 所截， ，那么 ．”先假设 ，过点 作直线 ，使
，由“同位角相等，两直线平行”，可得 ．这样过点 就有两条直线 ，
都平行于直线 ，这与数学中的一条基本事实相矛盾，说明 的假设是不正确的，于
是有 ，上述材料中的“基本事实”是指（ ）A．两点确定一条直线
B．两直线平行，内错角相等
C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线垂直
51．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代的数学发展过程
中也起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，其是通过证明“学习无益”的命题为假，
以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的一个例子，我们用反证法证明命题“对角线不互相
平分的四边形不是平行四边形”，应先假设（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分的四边形不是平行四边形
C．对角线不互相平分的四边形是平行四边形D．对角线不互相平分的四边形不是平行四边形
52．（23-24八年级下·甘肃张掖·阶段练习）求证：一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 ，用反
证法证明时的假设为“三角形 ．”
题型十二 直线与圆
例：（2023九年级下·全国·专题练习）在 中， ，若 与 相离，则半
径为r满足（ ）
A． B． C． D．
54．（22-23九年级上·广西河池·期中）已知 的半径为 ，圆心 到直线AB的距离为 ，则直线AB与
的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定
55．（22-23九年级上·四川绵阳·期末）在 中， ， 为 中点，以点 为圆心， 长为半径作 ，则 与直线 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
56．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知 的半径为1，直线l上有一点P满足 ，则直线
l与 的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离
C．相切或相离 D．相切或相交
57．（23-24九年级下·上海崇明·期中）已知在 中， ，若以C为圆心，r
长为半径的圆C与边 有交点，那么r的取值范围是（ ）
A． 或 B．
C． D．
58．（22-23九年级·江苏·假期作业）如图，在平面直角坐标系 中，半径为2的 的圆心P的坐标为
，将 沿x轴正方向以 个单位/秒的速度平移，使 与y轴相切，则平移的时间为
秒．
题型十三 切线的证明例：（24-25九年级上·全国·课后作业）如图， 是 的直径，点 为 外一点，连接 交 于点
，连接 并延长交线段 于点 ， ．求证： 与 相切．
60．（2024·河北石家庄·模拟预测）下面是“经过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程．
已知：如图1，P为圆外一点．求作：经过P点的切线．
作法：如图2．
（1）连接 ；
（2）以 为直径作圆，与 交于C、D两点；
（3）作直线 、 ，则直线 、 就是所求作经过P点的切线．
下列可作为以上作图依据的是 ．
甲：直径所对的圆周角为直角；
乙：经过半径外端且并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
丙：同弧所对圆周角相等．
61．（2024·四川眉山·一模）如图，线段 经过圆心O，交 于点 为 的弦，连结
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的长度．62．（23-24九年级下·湖北孝感·期中）如图，在 中， ，以 为直径作 交 于点 ，
交 于点 ， 平分 ，且 ，连接 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的长．
题型十四 切线的性质
例：（2024·重庆·模拟预测）如图，在 中， ， 是 上的一点，以 为直径的
与 相切于点 ，连接 、 ，若 ， ，则 的长度是（ ）
A． B． C． D．
64．（22-23九年级上·宁夏银川·期中）如图， 是 的直径， 是 的切线， 为切点， 与
交于点 ，连接 ．若 ，则 的度数为 ．
65．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，已知 是 的直径， 是 的切线，连接 交于点D，连接 ．若 ，则 的度数是 °．
66．（2024·四川乐山·模拟预测）如图， 的内切圆 与 分别相切于点 ，若
，则 的大小为 ．
题型十五 切线的性质与判定的综合
例：（2020·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在 中， ，以 为直径的 交 于 ，点 在
线段 上，且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．
68．（23-24九年级上·云南昆明·阶段练习）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图
三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的，人们根据实际需要，发
明了一种简易操作工具——三分角器，图1是它的示意图，其中 与半圆 的直径 在同一直线上，
且 的长度与半圆的半径相等； 与 垂直于点 ， 够长． 使用方法如图2所示，若要把
三等分，只需适当放置三分角器，使 经过 的顶点 ，点 在边 上，半圆 与另一边 恰好相切，切点为 ，则 ， 就把 三等分了．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明． 请你根据已知和求证，写出证明过程．
已知：如图2，点 ， ， ， 在同一直线上， ，垂足为点 ， ， 与半圆 相
切于点 ．
求证： ．
69．（2023·山东枣庄·二模）已知：如图， 过正方形 的顶点 ，且与 边相切于点 ．点
是 与 的交点，连接 ， ， ，点 是 延长线上一点，连接 ，且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)如果正方形边长为 ，求 的半径．
70．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，已知 是 上一点， 是直径， 的平分线交
于点 ， 的切线 交 的延长线于点 ，连接 ， ．(1)求证： 为 的切线．
(2)若 ，
①若 ，则 ________．
②作 关于直线 对称的 ，连接 ， ，当四边形 是菱形时，求 的长．
题型十六 切线长定理
例：（23-24九年级上·广东广州·期中）如图， 分别与 相切于 两点， 与 相切于点 ，
与 相交于 两点，若 ， ，则 的周长和 的度数分别为
（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
72．（2023·山东青岛·二模）如图， 是 的直径，点 是 外一点，过点 的两条直线分别与圆相
切于点 、 ，点 是圆周上任意一点，连接 、 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
73．（23-24九年级下·江苏南京·期中）如图，在 中， ， 的内切圆 与 ，
分别相切于点D，E，连接 ， 的延长线交 于点F，则 ．74．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，已知：四边形 是 的外切四边形， ， ， ，
分别是切点，求证： ．
题型十七 三角形的内切圆
例：（2023·河北邢台·二模）如图，将 折叠，使 边落在AB边上，展开后得到折痕AD，再将
折叠，使 边落在AB边上，展开后得到折痕 ，若AD与 的交点为 ，则点 是
（ ）
A． 的外心 B． 的内心
C． 的重心 D． 的中心
76．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，点 是 的内心，若 ，则 等于
（ ）
A． B． C． D．
77．（23-24九年级上·山东德州·期末）如图，在 中， I是 的内心，O是
的外心，则 （ ）A．125° B．140° C．130° D．150°
78．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图， ， ， ，若 、 分别是 的
内心和外心，则 的长为 ．
79．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知 的三边长为 ， ， ，则三角形内切圆
半径为 ．
题型十八 正多边形和圆
例：（2023·内蒙古呼伦贝尔·二模）如图，P，Q分别是 的内接正五边形的边 ， 上的点，
，则 （ ）
A． B． C． D．
81．（22-23九年级上·内蒙古乌海·阶段练习）正六边形的边长、边心距、半径之比为（ ）
A． B． C． D．
82．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知 的半径为4，则该圆内接正六边形 的
边心距 的值是（ ）A． B． C． D．3
83．（21-22九年级下·全国·课后作业）如图，已知 ，求作： 内接正六边形 ，以下是甲、
乙两同学的作业：
甲：①先作直径 ；②作 的垂直平分线交 于点 、 ；③作 的垂直平分线交 于点 、 ；
④依次连接 ，六边形 即为所求（如图①）．
乙：① 上任取点 ，以点 为圆心， 为半径画弧，交 于点 ；②以点 为圆心， 为半径画
弧交 于点 ；③同上述作图方法逆时针作出点 、 、 ；④依次连接
，多边形 即为正六边形（如图②）．
对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）
A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对
题型十九 弧长计算
例：（24-25九年级上·全国·假期作业）(1)已知扇形的圆心角为 ，弧长等于 ，则该扇形的半径是
；
(2)如果一个扇形的半径是1，弧长是 ，那么此扇形的圆心角的大小为 ．
85．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）弧 长为 ，所在圆的半径是6，则弦 所对的圆周角为
．
86．（2024·辽宁·模拟预测）传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2，马面裙可以近似的看作扇环，其中 的长为 ，裙长 为 ，圆心角 ，则 的
长为 m．
87．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）已知 的三个顶点的坐标分别为 、 、
．
(1)在图中画出将 绕原点 逆时针旋转 后得到的 ；
(2)点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；
(3)在旋转过程中，点B所经过的路径长为 ．
题型二十 扇形与不规则图行的面积计算
例：（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图， 为半圆 的直径， 为半圆上一点， 为弧 的中点，
交弦 于点 ，若 ，求：
(1) 的长．(2)阴影部分的面积．
89．（2024·山东东营·中考真题）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某
学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图， ，
，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角 ．现需在扇面一侧绘
制山水画，则山水画所在纸面的面积为（ ） ．
A． B． C． D．
90．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，正方形 的边长为2， 为对角线的交点，点 ， 分
别为 ， 的中点．以 为圆心， 为半径作圆弧 ，再分别以 ， 为圆心， 为半径作圆弧
， ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
91．（23-24九年级下·北京西城·开学考试）如图，点 是圆形舞台上的一点，舞台的圆心为 ，在
点安装的一台某种型号的灯光装置，其照亮的区域如图中阴影所示，该装置可以绕着 点转动，转动过程
中，边界的两条光线分别与圆交于 ， 两点，并且夹角保持不变，该装置转动的过程中，以下结论正确
的是（ ）A．点 到弦 所在直线的距离存在最大值 B．弦 的大小改变
C．弦 与 的长度之和不变 D．图中阴影部分的面积不变
此题主要考查圆的基本性质，圆周角定理，点到直线的距离，掌握基础知识的综合运用是解此题的关键．
根据圆周角定理，点到直线的距离的定义、极限思想和三角形三边关系、三角形面积公式等进行逐一判断
即可．
92．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）如图， 中， 是直角， ， ，将
以点 为中心顺时针旋转，使点 旋转到 边延长线上的 处，则 边扫过的图形中阴影部分
的面积是 ．
题型二十一 圆锥侧面展开图
例：（23-24九年级上·全国·单元测试）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线
长是6．
(1)求这个圆锥的侧面展开图中 的度数；
(2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度．
94．（2024·江苏无锡·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（）
A． B． C． D．
95．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，从一块边长为2的等边三角形卡纸上剪下一个面积最大的扇
形，并将其围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 ．
96．（2023·宁夏吴忠·一模）如图，用一个半径为 ，弧长为 的扇形铁皮制作一个无底的圆锥，
则圆锥的高 ．
97．（21-22九年级上·全国·课后作业）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．如果想用毛毡搭建20
个底面积为 ，高为 ，外围高 的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（ 取3.142，结果取整
数）？
