文档内容
重难点突破 02 三角函数大题专项训练
1．（2023•成都模拟）已知函数 ，（下面①，②中
选择一个作为已知条件，解答问题：
（1）求 的值；
（2）将 的图象向右平移 个单位得到 的图象，求函数 的单调增区间．
① 的最大值为2；② ．
注：如果选择①和②分别解答，则按第一个解答计分．
【解答】解：（1）
，
若选①，因为函数的最大值为2，即 ， ，可得 ；
若 选 ② ， ， 即 ， 由 可 得
，
解得： ；
综上所述： ；
（2）由（1）可得 ，则 ， ，当 时， ，
所以函数 ，由题意可得 ，
则 它 的 单 调 递 增 区 间 满 足 ， ， 解 得 ：
， ．
即函数 的单调递增区间为： ， ， ．
2．（2023•湖南模拟）函数 的部分图象如图所示．
（1）求函数 的解析式；
（2）先将函数 的图象的横坐标缩小为原来的 ，再将得到的函数图象向左平移
个单位，最后得到函数 ，求 在区间 上的值域．
【解答】解：（1）由图可知， ，
函数 的最小正周期为 ，
，
，
，
，则 ，
，则 ，
故 ；
（2）将函数 的图象的横坐标缩小为原来的 ，可得到函数 的图
象，
再将得到的函数图象向左平移 个单位，最后得到函数 的图象，
则 ，
当 时， ，
则 ，
，
在区间 上的值域为 ．
3．（2023•岳阳县模拟）已知函数 部分图象
如图所示．
（Ⅰ）求 的最小正周期及解析式；
（Ⅱ）将函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，求函数
在区间 上的最大值和最小值．【解答】解：（1）由图可知， ， ， ，
所以 ．
当 时， ，可得 ．
求 的解析式为： ；
（2）由（1）知 ．
将 函 数 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 长 度 得 到 函 数
的图象，
故 ，
，
当 ，即 时， 有最大值为1；
当 ，即 时， 有最小值为 ；
4．（2023•南昌二模）如图是函数 的部分图象，已知
．
（1）求 ；（2）若 ，求 ．
【解答】解：（1）设 ， ，函数的最小正周期为 ，则 ，
则 ，
故 ，解得 （负值舍去），
所以 ，所以 ；
（2）由（1）得 ，
，得 ，
即 ，
所以 ，
又因 ，则 ，
所以 ，所以 ．
5．（2023•大观区校级三模）已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的单调递增区间；
（Ⅱ）求 在区间 ， 上的最值．【解答】解：（Ⅰ） ．
函数 的单调递增区间为 ，解
得， ， ，
的单调递增区间为 ，
（Ⅱ）因为 ， ，所以 ．
当 ，即 时， ，
当 ，即 时， ．
6．（2023•广州三模）已知函数 ， ．
（1）若函数 图象的两条相邻对称轴之间的距离为 ，求 的单调增区间；
（2）若函数 的图象关于 对称，且函数 在 上单调，求 的值．
【解答】解：（1） 函数 的两条相邻对称轴之间的
距离为 ， ，
， ．
令 ， ，求得 ， ，
可得它的增区间为 ， ， ．
（2）若函数 的图象关于 对称，
则 ， ， ， ，由函数 在 上单调， ， ， ，
求得 ．
综上可得， ．
7．（2023•亭湖区校级三模）已知函数 的值域为
， ．
（1）求 的单调递增区间；
（2）若 在 上恰有一个零点，求 的取值范围．
【解答】解：
，
令 ，则 ， ，
又 ， 在 ， 上单调递增，
故由题意有： ，解得 ，
，
当 ， 时， 单调递增，
解得 ， ，
即 的单调递增区间为 ， ；（2）由（1）知， ，
， 当 ， 时， ， ，
结合正弦函数的图象可知：
当 ，即 时，
函数 在区间 ， 上恰有一个零点，
故 的取值范围是 ， ．
8．（2023•安康一模）已知函数 的部分图象如
图所示．
（1）求函数 的解析式；
（2）将函数 图象上所有的点向右平移 个单位长度，再将所得图象上每一个点
的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 的图象．当 时，
方程 恰有三个不相等的实数根， ， ， ，求实数 的取值范
围以及 的值．
【解答】解：（1）由图可得： ，得： ，又 ，所以 ，所以 ，
所以 ．
又因为 过点 ，所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，所以 ．
（ 2 ） 图 象 上 所 有 的 点 向 右 平 移 个 单 位 长 度 ， 得 到
，
将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到
，
当 时， ，
令 ，则 ，
令 ，在 上单调递增，在 上单调递减，
在 上单调递增，
且 ，
，
所以 ， 时，．当 时，方程 恰有三个不相等的实数根．
因为 有三个不同的实数根 ， ， ，
且 ， 关于 对称， ， 关于 对称，则 ，
两式相加得： ，
即 ，所以 ．
9．（2023•青羊区校级模拟）已知函数的 最小正周期
为 ，且 ，
（1）求 ， ；
（2）将 图象往右平移 个单位后得函数 ，求 的最大值及这时 值的
集合．
【解答】解：（1） 函数的 最小正周期为 ，
．
再根据 ， ， ．
（2）将 的图象往右平移 个单位后得函数 的图象，
故 ．
当 取得最大值1时，
由 ， ，求得 ， ，
故当 取得最大值时， 值的集合为 ， ．
10．（2023•丰台区一模）已知函数 ， 的部分图象如图
所示．
（1）求 的解析式；（2）若函数 ，求 在区间 上的最大值和最小值．
【解答】解：（1）由图象可知： ，
，
将点 代入 得 ，
， ，
，
，
；；
（2） ，
由 得 ，
当 时，即 ， ，
当 时，即 ．
11．（2023•顺义区一模）已知函数 的一个零点为 ．
（1）求 和函数 的最小正周期；
（2）当 时，若 恒成立，求实数 的取值范围．
【解答】解：（1） 的一个零点为 ，，
， ，
；
（2）当 时， ， ， ， ，
，
，即 ， ．
12．（2023•全国二模）已知函数 的部分图像如
图所示，其中 的图像与 轴的一个交点的横坐标为 ．
（1）求这个函数的解析式；
（2）若函数 在区间 上存在零点，求实数 的取值范围．
【解答】解：（1）由图知： ，所以 ，所以 ，
所以 ，
由 ，且 ，
所以 ，所以 ；
（2）令 得： ，
对于 ， ，
则 ，
由 的图像和性质可得： 在区间 上的值域为 ，
所以函数 在区间 上存在零点，有 ．
13．（2023•香洲区校级模拟）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮
的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图 某摩天轮的最高点距离地面
的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图 ，开启后
摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一
周后在相同的位置离开座舱摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计
时．
（1）经过 分钟后游客甲距离地面的高度为 米，已知 关于 的函数关系式满足
（其中 ， ， ，求摩天轮转动一周的解析式 ；
（2）问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？
【解答】解：（1） （其中 ， ， ，由题意知： ，
，
故 ，
，
，
又 ，
，
，
故解析式为： ， ， ；
（2）令 ，则 ，即 ，
因为 ， ，则 ，
所以 或 ，
解得 或 ，
故游客甲坐上摩天轮5分钟或25分钟时，距离地面的高度恰好为30米．
14．（2023•桃城区校级模拟）如图， ， 是以原点为圆心的单位圆上的两个动点，若
它们同时从点 出发，沿逆时针方向做匀角速度运动，其角速度分别为 （单位：
弧度 秒）， 为线段 的中点，记经过 秒后（其中 ， ．
（1）求 的函数解析式；（2）将 图像上的各点均向右平移 2 个单位长度，得到 的图像，求函数
的单调递减区间．
【解答】解：（1） ， 是以原点为圆心的单位圆上的两个动点，它们同时从点 出
发，沿逆时针方向做匀角速度运动，其角速度分别为 （单位：弧度 秒），
经过 秒后（其中 ，
则 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
即 ．
（2）依题意可知
由 ，得 ，
故函数 在 ， 上的单调递减区间为 ， ．
15．（2023•南通三模）将函数 的图象先向右平移 个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 的图
象．
（1）若 ，求函数 在区间 上的最大值；
（2）若函数 在区间 上没有零点，求 的取值范围．
【解答】解：（1）函数 的图象先向右平移 个单位长度，则解析式变为：
，
再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），则解析式变
为 ，
则 ，
当 时， ，
因函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
， ，
，
在区间 上的最大值为 ；
（2） ，当 时， ，
要使 在 上无零点，则 ， ．， ， ， ，
当 时， ；当 时， ，
当 时， 舍去．
综上： 的取值范围为 ．
16．（2023•海淀区校级三模）已知函数 ．在下列条件
①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定 和 值的两个条件作为已知．
（1）求 的值；
（2）若函数 在区间 ， 上是增函数，求实数 的最大值．
条件①： ；
条件②： 最大值与最小值之和为0；
条件③： 最小正周期为 ．
【解答】解：（1）若选条件①③：
由条件③得， ，又因为 ，
所以 ，
由①知， ，所以 ．
则 ，
所以 ；
（2）令 ，
所以 ，所以函数 的单调增区间为 ，
因为函数在区间 ， 上单调递增，且 ，此时 ，
所以 ，故 的最大值为 ；
选条件②③：
由于 最小正周期为 ，
所以 ， ，
由 最大值与最小值之和为0， ，
故 ，
解得 ，
所以 ，
故 ；
（2）解法同选条件①③：
令 ，
所以 ，
所以函数 的单调增区间为 ，
因为函数在区间 ， 上单调递增，且 ，此时 ，
所以 ，故 的最大值为 ．
说明：不可以选择条件①②：
由①知， ，所以 ；
由②知， ，所以 ，矛盾，所以函数 不能同时满足条件①和②．
17．（2023•建华区校级三模）已知函数 在区间 上单调，其中
， ，且 ．
（1）求 的图象的一个对称中心的坐标；
（2）若点 在函数 的图象上，求函数 的表达式．
【解答】解：（1）由函数 在区间 上单调，
且 ，可知 ，
故 的图象的一个对称中心的坐标为 ；
（2）由点 在函数 的图象上，
有 ，又由 ，
，
可知函数 在区间 上单调递减，
由函数 的图象和性质，
有 ，
又 ，有 ，
将上面两式相加，有 ，有 ，
又由 ，可得 ，
则 ，
又由函数 在区间 上单调，
有 ，可得 ，可得 ，
故 ．
18．（2023•松江区校级模拟）设 ．
（1）求 的单调递增区间及对称中心；
（2）当 时， ，求 的值．
【解答】解：（1）由题意得： ，
由 ，可得 ，
所以 的单调递增区间是 ，
令 ， ，解得： ， ，此时函数值为 ，
所以对称中心为 ；
（2） ，
，
， ，
当 时， ，， ，
19 ． （ 2023• 香 坊 区 校 级 三 模 ） 已 知 函 数
，其图像的一条对称轴与相邻对
称中心的横坐标相差 ，_____，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中．
①函数 的图像向左平移 个单位长度后得到的图像关于 轴对称且 ；
②函数 的图像的一个对称中心为 且 ．
（1）求函数 的解析式；
（2）将函数 图象上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数
的图象，若函数 在区间 上恰有3个零点，求 的取值范围．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ）
，
由于其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差 ，
故 ，即 ，即 ，得 ，
则 ．若选①，函数 的图像向左平移 个单位长度后得到的图像关于 轴对称且 ，
则 ，
此时函数关于 轴对称，则 ， ，
得 ， ，
， 当 时， ，当 时， ．
， ，则 ，
则 成立， 不成立，舍去．
则 ．
若选②，函数 的图像的一个对称中心为 且 ．
则 ， ，
得 ， ，
， 当 时， ，
当 时， ．
， ，
当 时， 不成立，
故 成立，则 ．
（2）将函数 图象上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数
的图象，则 ，
， ， ， ， ，
函数 在区间 上恰有3个零点，
，得 ，
得 ，
即实数 的取值范围是 ， ．
20．（2023•重庆模拟）已知将函数 的图像向左
平移 个单位长度后得到函数 的图像关于原点中心对称．
（1）求函数 的解析式；
（ 2 ） 若 三 角 形 满 足 是 边 上 的 两 点 ， 且
，求三角形 面积的取值范围．
【解答】解：（1）由已知化简得 ，
，
由 得 ， ， ，
又 ， ， ，
（2）易得 ，
由 ①， ②，又 ， ，
将① ②式并结合 ，可得： ，
以 所在直线为 轴，以 中垂线为 轴建立直角坐标系，
则 ， ，
设 ，则由 可得：点 的轨迹方程为 ，
即 ， 当 时， 取到最大值，
根据几何关系易知三角形 面积的取值范围为 ．
21．（2023•桃城区校级一模）已知 同时满足下列四个条件中
的三个：
① ；
② 的图象可以由 的图象平移得到；
③相邻两条对称轴之间的距离为 ；
④最大值为2．
（1）请指出这三个条件，并说明理由；
（2）若曲线 的对称轴只有一条落在区间 ， 上，求 的取值范围．
【解答】解：（1）对于条件②， ，若函数 的图象可以由 的图象平移得到，
则 ，
由条件③相邻两条对称轴之间的距离为 ，可得 的最小正周期为 ，
可得 ，与②矛盾；
对于条件④最大值为2，可得 与②矛盾，
故只能舍弃条件②，
所以这三个条件为①③④．
（2）由（1）可得 ，
由条件① ，可得 ，又 ，
所以 ，所以 ，
令 ， ，可得 ， ，
时， ，
时， ，
时， ，
又曲线 的对称轴只有一条落在区间 ， 上，
所以 ，
即 的取值范围是 ， ．
22．（2023•贺兰县校级四模）已知函数 ．
再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数 的解析式的两个作为已知．
条件①：函数 的最小正周期为 ；条件②：函数 的图象经过点 ；
条件③：函数 的最大值为 ．
（1）求 的解析式及最小值；
（2）若函数 在区间 ， 上有且仅有1个零点，求 的取值范围．
【解答】解：（1）由题可知，
，
选择①②：
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ．
所以 ．
当 ，即 时， ，
所以函数 的最小值为 ．
选择①③：
因为 ，所以 ，
又因为函数 的最大值为 ，所以 ．
所以 ，
当 ，即 时， ．
所以函数 的最小值为 ．
选择②③：因为 ，所以 ．又因为函数 的最大值为 ，所以 ，与 矛盾，不符合题意．
（2）选择①②：
因为 ， ，所以 ，
又因为 在区间 ， 上有且仅有1个零点，
所以 ，所以 ，所以 ．
选择①③：
因为 ， ，所以 ，
又因为 在区间 ， 上有且仅有1个零点，
又 时， 或 ，
所以 ，所以 ，所以 ．
23．（2023•南岗区校级三模）已知函数 ， 的图像是由
的图像向左平移 个单位长度得到的．
（1）若 的最小正周期为 ，求 图像的对称轴中心，与 轴距离最近的对称轴的
方程；
（2）若 图像相邻两个对称中心之间的距离大于 且 ，求 在
上的值域．
【解答】解：（1）函数 的图象是由 的图象向左平移
个单位长度得到，，
，且 ， ，
若 的最小正周期为 ，
， ， ，
， ．
令 ，可得 ， ，
，求得 ， ，对称中心 ， ， ，
取 ，可得与 轴距离最近的对称轴方程为 ；
（2）若 图象相邻两个对称中心之间的距离 ，则 ，
且 ，
．
结合 ， ，可得 ，
，
当 ， ， ，
， ， ， ，
故 在 的值域为 ， ．
24．（2023•贺兰县校级模拟）已知函数 ，且满足
_____．
（1）求函数 的解析式及最小正周期；（2）若关于 的方程 在区间 ， 上有两个不同解，求实数 的取值范围．
从① 的最大值为1，② 的图象过点 ，这两个条件中选择一个，补充在上面
问题中并作答．（注：如果两个条件都选分别解答，按第一个解答计分．
【解答】解：（1）函数
，
若满足① 的最大值为1，则 ，解得 ，
所以 ；
的最小正周期为 ；
若满足②，因为 的图象过点 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
最小正周期 ．
（2）令 ，得 ，
解得 ， ；
即 ， ；
若关于 的方程 在区间 ， 上有两个不同解，则 或 ；所以实数 的取值范围是 ， ．
25．（2023•鼓楼区校级一模）已知函数
在一个周期内的图象如图所示．
（1）求函数 的表达式；
（2）把 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 纵坐标不变），再把得到的图
象向下平移一个单位，再向左平移 个单位，得到函数 的图象，若 ，求
函数 的值域．
【解答】解：（1）根据函数图象可得 ， ， ， ，
，得 ， ，
又 ， ，
， ， ，得 ， ，
又 ， ， ；
（2）把 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 纵坐标不变）得到
，再向下平移一个单位得到 ，
再向左平移 个单位得到 ， ，
当 时， ，
又函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
， ，即 值域为 ．
26．（2023•海淀区校级模拟）已知函数 ．
（1）求函数 取最大值时 的取值集合；
（2）设函数 在区间 是减函数，求实数 的最大值．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 由 题 意 ， 得 函 数
，
当 取最大值时，即 ，此时 ， ，即 ，
，
所以 的取值集合为 ， ．
（2）由 ， ，
得 ， ，
即 ， ，
所以 的减区间 ， ， ，
当 ，得 ， 是一个减区间，且 ， ，所以 ， ， ，
所以 ， ，所以 的最大值为 ．
27．（2023•辽宁二模）已知函数 的图象如图所示．将函数
的图象向左平移 个单位长度后得函数 的图象．
（1）求 的解析式；
（2） 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ， ， ，
求 的面积．
【解答】解：（1）由图可知， ，解得： ，
所以 ，即： ，
将点 代入 得 ，
所以 ， ，解得： ， ，
所以 ，
所以 ，
因为将函数 的图像向左平移 个单位长度后得函数 的图像，
所以 ．（2）因为 ，所以 ，
由 ，得 ， ，
因为 ，
所以 ，即： ，
所以由 ，得 ，
所以由 ，得 ，
所以 ，
由正弦定理 ，得 ，
所以 的面积 ．
28．（2023•威海二模）已知偶函数 的部分图象
如图所示， ， ， 为该函数图象与 轴的交点，且 为图象的一个最高点．
（1）证明： ；
（2）若 ， ， ，求 的解析式．
【解答】证明：（1）在 中，由正弦定理可得 ，
在 中，由正弦定理可得 ，
又 ，所以 ，所以 ，又 ，
所以 ．
（2）解：因为 ， ， ，且 ，
所以 ，所以 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
所以 ，解得 ，
在 中 ，
又 ，则 ，所以 ，
则 ，
所以 ，则 ，
，
所以 ，
所以 ．
29．（2023•北京模拟）在①函数 的图象关于直线 对称，②函数 的
图象关于点 对称，③函数 的图象经过点 这三个条件中任选一个，
补充在下面问题中并解答．
问题：已知函数 最小正周期为 ．
（Ⅰ）求函数 的解析式；
（Ⅱ）函数 在 上的最大值和最小值．【解答】解： ，
因为 的最小正周期为 ，所以 ，解得 ，
所以 ，
选择①：（Ⅰ）因为函数 的图象关于直线 对称，
所以 ， ，则 ， ，
又 ，所以 ，
所以 ．
（Ⅱ）因为 ，所以 ， ，
当 ，即 时， 取得最大值2；
当 ，即 时， 取得最小值1．
选择②：（Ⅰ）因为函数 的图象关于点 对称，
所以 ， ，则 ， ，
又 ，所以 ，
所以 ．
（Ⅱ）因为 ，所以 ， ，
当 ，即 时， 取得最大值2；
当 ，即 时， 取得最小值0．
选择③：（Ⅰ）因为函数 的图象经过点 ，所以 ，即 ， ，
所以 ， ，
又 ，所以 ，
所以 ．
（Ⅱ）因为 ，所以 ， ，
当 ，即 时， 取得最大值2；
当 ，即 时， 取得最小值1．
30．（2023•西城区二模）已知函数 ，其中 ．再从条件①、
条件②、条件③中选择一个作为已知，使 存在，并完成下列两个问题．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）当 时，若曲线 与直线 恰有一个公共点，求 的取值范围．
条件①： ；
条件②： 是 的一个零点；
条件③： ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【 解 答 】 解 ： （ Ⅰ ） 选 ① 时 ， ， 即
，
最小值是 ，故选条件①时， 不存在；
选②时， ，即 ，
所以 ， ，或 ， ．
即 ， ，或 ， ，
因为，所以 ；
选③时， ， ．
即 ，
即 ，
整理得 ，
利用辅助角公式得 ，即 ，由选②同理可知 ；
（ Ⅱ ） 由 （ Ⅰ ） 可 知 ， 则
，
此时画出 在 上的图象，如下所示：由 与直线 恰有一个公共点可知 ， 或 ．
