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重难点突破 02 函数性质综合
若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
(1)f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔ ＝1⇔f(x)为偶函数；
(2)f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔ ＝－1⇔f(x)为奇函数．
函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0.如果函数f(x)是偶函数，那
么f(x)＝f(|x|)．
(2)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝ ，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－ ，则T＝2a(a>0)．
对称性的三个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对
称．
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x
＝a对称．
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)
中心对称．
一．选择题（共16小题）
1．已知函数 ，则A． 为奇函数，且在 是增函数
B． 为偶函数，且在 是增函数
C． 为奇函数，且在 是减函数
D． 为偶函数，且在 是减函数
【解答】解：函数 的定义域为 ，且 ，所以 为
奇函数，
因为 在 是增函数， 在 是减函数，
所以 在 是增函数，
故选： ．
2．设 是定义在 上的偶函数，且在 ， 单调递增，则 （4）的解集
为
A． B． C． D．
【解答】解：由于 是偶函数，且在 ， 单调递增，
则 （4），有 ，解得 ，即不等式的解集为 ．
故选： ．
3 ． 定 义 在 上 的 偶 函 数 满 足 ： 对 任 意 的 ， ， ， 有
，则
A． （3） （4） B． （3） （4）C． （3） （4） D． （4） （3）
【解答】解：因为对任意的 ， ， ，有 ，
所以 在 ， 上单调递减，又 为偶函数，
所以 在 上单调递增，则 （2） （3） （4），
又 （2），所以 （3） （4）．
故选： ．
4．已知 是定义在 上的偶函数且在 ， 上为减函数，若 ，
， ，则
A． B． C． D．
【解答】解：因为 是偶函数，所以 ，
由 ，由指数函数的性质知，函数 在 上单调递减，
且 ，所以 ，所以 ，
因为 在 ， 上为减函数，所以 ，
即 ．
故选： ．
5．已知函数 为偶函数，且在 上单调递增，则 的解集为
A． ， ， B． ， ，
C． D． ， ，
【解答】解： 函数 为偶函数，且有 （1） ，， ，
函数 ，
又 在 上单调递增， ，
抛物线的开口向上，则 的解集为 ．
故选： ．
6．已知 为 上的奇函数， 为 上的偶函数，且当 ， 时，
，若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A． B． C． D．
【解答】解：由 为奇函数，得 ，即 ，
又由 为偶函数，得 ，即 ，
于是 ，即 ，因此 的周期
为8，
又当 ， 时， ，则 在 ， 上单调递增，
由 ，得 的图象关于点 成中心对称，则函数 在 ， 上单
调递增，
因此函数 在 ， 上单调递增，由 ，得 的图象关于直线
对称，
（3） （1）， ， ，
，显然 ，即有 ，即 ，
所以 ， ， 的大小关系为 ．故选： ．
7．已知函数 是定义在 上的奇函数，它的图象是一条连续不断的曲线．若 ，
，且 ， ，则不等式 的解集为
A． B．
C． D．
【解答】解：设 ，
函数 是定义在 上的奇函数， 函数 是定义在 上的偶函数，
， ，且 ， ，即 ，
在 ， 上单调递增，
又 为偶函数， 在 ， 上单调递减，
不等式 ，可化为 ，即 ，
，
①当 时， ，即 ，无解，
②当 时， ，即 ，
解得 ，综上所述，原不等式的解集为 ， ．
故选： ．
8．关于函数 有下述四个结论：
① 是偶函数；
② 在区间 上单调递增；
③ 在 ， 上有4个零点；
④ 的值域是 ， ．
其中所有正确结论的编号是
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④
【解答】解：对于①， ，
故 是偶函数，故①正确，
对于②，当 时， ，
令 ， ，则 ，
因为 在 上单调递增，而函数 在 单调递增，
由复合函数的单调性可知 在区间 上单调递增，故②正确；
对于③，当 ， 时，由 ，
即 或 ，
得 ，或 ，或 ，由①知 是偶函数，故当 ， 时，得 ，或 ，或 ，
所以 在 ， 有6个零点，③错误；
对于④，当 ， 时， ，
因为 ，所以当 时， ，
当 时， ，
此时 ，又 是偶函数，
故 值域为 ，④错误；
故选： ．
9．已知函数 是定义在 上的偶函数，若对任意的 ， ， ，且 ，都
有 成立，则不等式 的解集为
A． B． C． D．
【解答】解：设函数 ，
对任意的 ， ， ，且 ，都有 成立，
对任意的 ， ， ，且 ，都有 成立，
在 ， 上单调递减，
又 函数 是定义在 上的偶函数，
函数 是定义在 上的奇函数，
在 上单调递减，不等式 ，可化为 ，
即 ，
即 ，
在 上单调递减，
，
解得 ，
即原不等式的解集为 ．
故选： ．
10．已知函数 是定义在 上的偶函数，若 ， ， ，且 ，都有
成立，则不等式 的解集为
A． B．
C． D．
【解答】解：令 ，由题意知 在 ， 上为减函数，
又 为 上的偶函数，所以 为 上的奇函数，
又 在 ， 上为减函数， ，
所以 在 上为减函数，
①当 时， ，即 ，
所以 ，所以 ，解得 ；
②当 时， ，即 ，所以 ，所以 ，解得 ．所以 或 ．
故选： ．
11．已知函数 ，则不等式 的解集为
A． ， ， B．
C． ， ， D．
【解答】解：对于函数 ，令 ，解得 或 ，
所以函数的定义域为 ， ， ，
又 ，所以 为偶函数，
当 时 ，则 在 上单调递增，
令 ， ，所以 ，
所以 在 上单调递增，
则 在 上单调递增，从而得到 在 上单调递减，
则不等式 等价于 ，解得 或 ，
所以不等式的解集为 ， ， ．
故选： ．
12．定义在 上的偶函数 满足 ，且在区间 ， 上单调递增，则
A． B．
C． D．【解答】解：因为 ，
所以 的图象关于 对称，且 ，
又因为 为偶函数，
所以 ，
所以 ，
所以 的周期为4，
所以 （6） （2），
又因为 在区间 ， 上单调递增，
所以 在区间 ， 上单调递减，
又因为 ，
所以 ，
因为 ， ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
又因为 在区间 ， 上单调递减，
，
所以 （2），即 （6），
故选： ．
13．已知定义在 ， ， 上的奇函数 ，对任意的 ， ，
，满足 ，且 （1） ，则 的解集为
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【解答】解：构建 ，则 ，
故 在定义域内为偶函数，
任意的 ， ， ，满足 ，则 在
上单调递增，
故 在 上单调递减，
对于不等式 ，则有：
当 时，可得 ，即 ，
在 上单调递增，且 （1） （1） ，
的解集为 ；
当 时，可得 ，即 ，
在 上单调递减，且 （1） （1） ，
的解集为 ；
综上所述：不等式 的解集为 ， ， ．故选： ．
14．设定义在 上的奇函数 满足，对任意 ， ，且 ，都有
，且 （3） ，则不等式 的解集为
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【解答】解：设 ，且 ， ，
由题意 ，
可得函数 在 单调性递减，
（3） ，可得 （3） ，
那么不等式 ，即求 的解集，
是 上的奇函数，
，
，
当 时， ，
可得 成立；
当 时， ，
可得 成立；综上可得不等式 的解集为 ， ， ．
故选： ．
15．已知函数 是定义域为 ， ， 的奇函数，且 ，若对任意的
， ，且 ，都有 成立，则不等式 的解集为
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【解答】解：设 ，则不等式 等价为 ，
即当 时， 为减函数，
是奇函数， 是偶函数，且 （2） ，
作出 的图象如图： ， 当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
综上 的取值范围是 ， ， ，
故选： ．
16．已知定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时， ，则不等式 在 上的解集为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
函数 关于 对称，
又函数 为奇函数，故关于原点 中心对称，即 ，
，则 ，
函数 是周期为2的函数，
令 ，
，
当 时， ，
当 时， ，
函数 在 ， 上为增函数，
当 时， ，即 ，
又由 时， ，
当 时， ，即 ，
由对称性及周期性作函数 的示意图及函数 的图象如下，由图象可知，不等式 在 上的解集为 ．
故选： ．
二．多选题（共3小题）
17．若定义在 上的函数 满足：对任意的 ， ，都有 ，
且当 时， ，则
A． B． 是奇函数
C． 是偶函数 D． 在 上是减函数
【解答】解：因为定义在 上的函数 满足：对任意的 ， ，都有
，
所以 ，即 ， 正确；
令 ，
则 ，
所以 ，即 为奇函数， 正确， 错误；
设 ，则 ，当 时， ，
所以 ，
所以 ，即 在 上单调递减， 正确．
故选： ．
18．下列说法不正确的是
A．函数 的最小值为2
B．已知 ， ， ，则
C．函数 在定义域上是减函数
D．若定义在 上的函数 为增函数，且 ，则实数 的取值范
围为
【解答】解：对于 ， ，
令 ，则 ，由对勾函数的性质可知， 在 ， 上单调递增，
故 ，即 的最小值不是2，故 错误；
对于 ， ， ， ，
， ， ，
， 即 （ 当 且 仅 当
时取等号），故 正确；
对于 ， 当 时， ，当 时， （1） ， （1），函数 在定义域上不是减函数，故 错误；
对于 ， 在 上为增函数，且 ，
，解得 ，
实数 的取值范围为 ，故 错误；
故选： ．
19．若定义域为 的函数 满足 为奇函数，且对任意 ， ， ，都有
，则下列正确的是
A． 的图像关于点 对称
B． 在 上是增函数
C．
D．关于 的不等式 的解集为
【解答】解：因为定义域为 的函数 满足 为奇函数，
所以函数 关于 对称， 错误；
因为对任意 ， ， ，都有 ，
所以 在 ， 上单调递增，
根据函数的对称性可知 在 上单调递增， 正确；
由 关于 对称可知 ， 错误；
因为 为奇函数且定义域为 ，所以 （2） ，由 可得 ， 正确．
故选： ．
三．填空题（共13小题）
20．已知函数 ，则关于 的不等式 的解集为
．
【解答】解：设 ，定义域为 ，且 ，所以 为奇
函数，
且 在 上单调递增，
所以 ，即 为奇函数 向上平移一个单位，
所以 的对称中心为 ，
所以 等价于 ，
即
所以 ，解得 ，
所以不等式的解集为 ，
故答案为： ．
21．已知函数 的定义域为 ， 是偶函数，当 时， ，
则不等式 的解集为 或 ．
【解答】解： 是偶函数，
，即： ，关于 对称．
当 时， ，
在 ， 上单调递增，
又 ，
，即： ，
，即： ，解得： 或 ．
故答案为： 或 ．
22．已知 是定义在 ， 上的减函数，且 的图象关于点 对称，则关于 的
不等式 的解集为 ， ．
【解答】解：设函数 ，因为 的图象关于点 对称，
所以 的图象关于原点对称，故 是定义在 ， 上的奇函数．
因为 是定义在 ， 上的增函数，所以 也是定义在 ， 上的增函数．
由 ，得 ，
即 ，即 ，则 ，
解得 ，即不等式的解集为 ， ．
故答案为： ， ．
23．已知函数 为定义在 上的奇函数，且对于 ， ， ，都有， 且 （ 3 ） ， 则 不 等 式 的 解 集 为
或 ．
【解答】解：因为对于 ， ， ，都有 ，
故令 ，则该函数在 上单调递增，
又函数 为定义在 上的奇函数，故 ，且 是偶函数，
因为 （3） （3） ，
所以当 时， 即为 ，故此时解为 ，
当 时，原式转换为 ，
故此时解为 ，
综上所述，原不等式的解集为 或 ．
故答案为： 或 ．
24．已知 是定义在 上的偶函数， 的图象是一条连续不断的曲线，若 ，
， ，且 ， ，则不等式 的
解集为 ．
【解答】解：令 ，则 ， ， ，且 ，
根据题意， ，所以 在 ， 上单调递增，
又 是偶函数，所以 为 上奇函数，
所以 在 上单调递增，
由 ，
得 ，
即 ，
所以 ，
得 ．
故答案为： ．
25．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是
， ．
【解答】解：因为 ，
设 ，定义域 ，
，所以 为奇函数，
，所以 单调递增，
不等式 ，即为 ，
即 ，所以 ，
即 ，
解得 ，即实数 的取值范围是 ， ．
故答案为： ， ．
26．设函数 是定义在 ， 上的偶函数，且 在 ， 上单调递减，若
（a），则实数 的取值范围是 ．
【解答】解： 为定义在 ， 上的偶函数，
由 （a）得， ，
又 在 ， 上单调递减，
，
解得 ．
的取值范围为 ．
故答案为： ．
27．已知函数 ，若 ，则实
数 的取值范围是 ， ．
【 解 答 】 解 ： 因 为 ， 定 义 域 满 足
，解得 ，
所 以，
故 ，所以 ，
则不等式 ，转化为 ，
即 ，
又函数 在 上单调递增， 在 上单调递减， ， ，且设
，
所以
又 ，因为 ，所以 ，
所以 ，由于函数 在 上单调递增，
所以 ，故函数 在 上单
调递增，
所以由函数单调性的性质可得 在 上单调
递增，
故 ，可得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ， ．
故答案为： ， ．
28．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是 ，．
【解答】解：由 得： ，故
为奇函数，
恒成立，故 在 上是增函数，
所以 ，
所以 ，即 ，解得 ，
故 的范围是 ， ．
故答案为： ， ．
29．已知 ，则不等式 的解集是 ， ．
【解答】解：构造函数 ，那么 是单调递增函数，
且向左移动一个单位得到 ，
的定义域为 ，且 ，
所以 为奇函数，图象关于原点对称，所以 图象关于 对称．
不等式 等价于 ，
等价于
结合 单调递增可知，
，
所以不等式 的解集是 ， ．
故答案为 ， ．30 ． 若 是 上 的 奇 函 数 ， 且 在 上 是 增 函 数 ， 若 ， 那 么
的解集是 ， ， ．
【解答】解：因为 是 上的奇函数，且在 上是增函数， ，
故 在 上单调递增，且 （1） ，
则 或 ； 或 ；
而 ，即 ，
即 或 ，解得 或 ，
故不等式的解集为是： ， ， ．
故答案为： ， ， ．
31．已知函数 ，则使得 成立的 的取值范围是
．
【解答】解：令 ，将其向右平移1个单位长度，
得 ，
所以 是函数 向右平移1个单位得到的．
而易知 是偶函数，
当 时， ， ，
时，显然 ，当 ， ， ，所以 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，从而可知 在 上单调递增，在 上单调递减
所以 时，有 ，解得 ，
所以 的取值范围为 ．
故答案为： ．
32 ． 已 知 函 数 ， 则 不 等 式 的 解 集 为
．
【解答】解： 是 上的偶函数，
在 上单调递增， 是减函数，
复合函数 在 上是减函数，且幂函数 在 上是减函数，
在 上是减函数，
，
由 得， ，且 （1） ，
（1），
（1），
，解得 ，且 ，
原不等式的解集为 ．
故答案为： ．
四．解答题（共3小题）33．已知函数 是奇函数．
（1）求 的值；
（2）判断 在 上的单调性，并证明；
（3）求关于 的不等式 的解集．
【解答】解：（1） 函数 是定义在 上的奇函数，
，解得 ；
（2） 在 上单调递增；
证明： 为 上的增函数，且 ，
为 上的减函数， 为 上的增函数，
在 上单调递增；
（3） 奇函数 在 上单调递增，
可化为 ，
，即 ，
解得： ，
不等式 的解集为 ．
34．已知函数 为奇函数，且 （3） （5）．
（1）求函数 的解析式；
（2）若 且 在区间 ， 上为增函数，求实数 的取值范围．
【解答】解：（1）由条件幂函数 ，在 上为增函数，得到 ，解得 ，
又因为 ，所以 或1．
又因为是奇函数，
当 时， ，满足 为奇函数；
当 时， ，不满足 为奇函数；
所以 ．
（2）由（1）知： 且 在区间 ， 上为增函数．
令 ， ；
①当 时， 为增函数，只需 在区间 ， 上为增函数．
即： ，解得： ，所以 ；
②当 时， 为减函数，只需 在区间 ， 上为减函数．
即 ，解得： ，此时无解；
综上可知： 的取值范围为： ， ．
35．已知函数 是定义域上的奇函数，且 ．
（1）令函数 ，若 在 上有两个零点，求实数 的取值范围；
（ 2 ） 已 知 函 数 在 ， 上 单 调 递 减 ， 在 ， 上 单 调 递 增 ， 令
， ，若对 ， ，都有 ，求实数
的取值范围．【解答】解：（1）因为函数 是定义域上的奇函数，且 ，有
（1） ，
则 ，解得 ， ，函数 ，
显然 ，
即函数 是定义域 ， ， 上的奇函数，则 ， ，
，
函数 在 上有两个零点，等价于方程 有两个不等的正根 ， ，
于是得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ．
（2）由（1）知 ，
而 ，当 时，函数 在 上单调递减，在 ， 上单调递增，
函数 图象的对称轴 ，因此函数 在 上单调递
增，
则当 ，即 时， ，当 ，即 或 时， ，
从而当 时， ，当 或 时， ，
对 ， ，都有 ，等价于 ，即 ，解得 ，而 ，即有 ，
所以实数 的取值范围是 ．
