文档内容
重难点突破 02 向量中的隐圆问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................3
题型一：数量积隐圆............................................................................................................................3
题型二：平方和隐圆............................................................................................................................3
题型三：定幂方和隐圆........................................................................................................................4
题型四：与向量模相关构成隐圆........................................................................................................4
题型五：线段比定值隐圆（阿氏圆）................................................................................................5
03 过关测试...........................................................................................................................................6技巧一．向量极化恒等式推出的隐圆
⃗PA⋅ ⃗PB=λ
乘积型：
√ 1
λ+ AB2
定理：平面内，若 A,B 为定点，且 ⃗PA⋅ ⃗PB=λ ,则P的轨迹是以M为圆心 4 为半径的圆
1 √1
PM2 − AB2 =λ PM= AB2 +λ
证明：由 ⃗PA⋅ ⃗PB=λ ，根据极化恒等式可知， 4 ，所以 4 ，P的轨迹
√ 1
λ+ AB2
是以M为圆心 4 为半径的圆．
技巧二．极化恒等式和型：PA2 +PB2 =λ
√ λ− 1 AB2
2
定理：若 A，B 为定点，P满足 PA2 +PB2 =λ ,则P的轨迹是以AB中点M为圆心， 2 为半
1
(λ− AB2 >0)
径的圆。 2
√ λ− 1 AB2
1 2
PA2 +PB2 =2[PM2 +( AB) 2 ]=λ PM=
证明： 2 ，所以 2 ，即P的轨迹是以AB中点M为圆
√ λ− 1 AB2
2
心， 2 为半径的圆．
技巧三．定幂方和型
{mPA 2 PB 2 {PA 2 mPB 2
n¿ n¿
+ = + = ¿¿¿
若 A，B 为定点， ，则P的轨迹为圆．
mPA2 +PB2 =n⇒m[(x+c) 2 +y2 ]+[(x−c) 2 +y2 ]=n
证明：
⇒(m+1)(x2 +y2 )+2c(m−1)x+(m+1)c2 −n=0
2(m−1)c c2 (m+1)−n
⇒x2 +y2 + ⋅x+ =0
m+1 m+1 ．
技巧四．与向量模相关构成隐圆
坐标法妙解
技巧五．阿氏圆
一般地，平面内到两个定点距离之比为常数 的点的轨迹是圆，此圆被叫做阿氏圆．当时，点P的轨迹是线段AB的中垂线．
题型一：数量积隐圆
【典例1-1】已知平面向量 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2024·辽宁鞍山·一模）已知平面向量 ， ， 满足 ，若 ，则
的最小值为
A． B． C． D．0
【变式1-1】设平面向量 满足 与 的夹角为 且 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2024·辽宁沈阳·二模）已知平面向量 ， ， ，满足 ，
， ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
题型二：平方和隐圆
【典例2-1】已知 是单位向量，满足 ，则 的最大值为
________．
【典例2-2】已知平面向量 、 满足 ， ，设 ，则
________.
【变式2-1】在平面直角坐标系中，已知点 ， ，圆 ，若圆 上存在点 ，
使得 ，则实数 的取值范围为（ ）A． B．
C． D．
【变式2-2】在平面直角坐标系 中，已知直线 与点 ，若直线 上存在点 满足
（ 为坐标原点），则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型三：定幂方和隐圆
【典例3-1】已知点 ， ，直线 ： 上存在点 ，使得 成立，则实
数 的取值范围是______.
【典例3-2】（2024·浙江·高三期末）已如平面向量 、 、 ，满足 ， ， ， ，
则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考期中）已知平面单位向量 ， 的夹角为60°，向量
满足 ，若对任意的 ，记 的最小值为M，则M的最大值为
A． B． C． D．
【变式3-2】已知 ， 是两个单位向量，与 ， 共面的向量 满足 ，则 的最大
值为（ ）
A． B．2 C． D．1
题型四：与向量模相关构成隐圆
【典例4-1】已知平面向量 ， ，且 ， ，向量 满足 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】已知向量 满足 ，且向量 在 方向上的投影向量为 ．若动点C满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2024·高三·浙江·期末）已知 ， 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足
，则 最小值为 .
【变式4-2】已知 、 、 、 都是平面向量，且 ，若 ，则
的最小值为____________．
【变式4-3】已知 是单位向量， .若向量 满足 ，则| |的最大值是________.
题型五：线段比定值隐圆（阿氏圆）
【典例5-1】已知平面向量 ， ， ，满足 ，且 ， ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】（2024·全国·模拟预测）已知平面向量 ， ， 满足 ，且 ， ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】已知平面向量 满足 ，且 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2024·高三·山东日照·期中）已知平面向量 ， ， 满足 ⊥ ，且 ，
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】已知平面向量 ， ， 满足： ， ，则 的最小值为
（ ）A． B．2 C． D．
1．已知平面向量 满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．已知 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足 ，则 的最大值是( )
A． B．
C． D．2
3．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知向量 ， 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足
，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ， 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足 ，则 的最大值是
（ ）
A． B．2 C． D．
5．已知 是平面内的三个单位向量，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·北京朝阳·一模）在 中， ， ，点 在线段 上.当 取得最小
值时， （ ）
A． B． C． D．
7．（2024·高三·重庆·开学考试）在同一直角坐标平面内，已知点 ，点P满足
，则 的最小值为（ ）
A． B．C． D．
8．已知向量 ， ， 满足 ， ， ， ，则 的最小值等于（ ）
A． B． C．4 D．
9．已知 ， ， 是平面向量， 是单位向量，若非零向量 与 的夹角为 ，向量 满足 ，
则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·全国·模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C．8 D．2
11．已知 是平面内的三个单位向量，若 ，则 的最小值是 ．
12．已知 是平面中的三个单位向量，且 ，则 的最小值是 .
13．在平面内，已知非零向量 与单位向量 的夹角为 ，若向量 满足 ，则 的最
小值为 .
14．（2024·高三·浙江·开学考试）平面中存在三个向量 ， ， ，若 ， ，且 ，且
满足 ，则 的最小值 ．
15．已知圆 ，点 ，M、N为圆O上两个不同的点，且 若 ，则
的最小值为 .
16．已知 是边长为2的正三角形，点 在平面 内且 ，则 的最大值为 ，
最小值为 .
17．已知 为单位向量，且 ，则 的最小值为 .
18．设向量 满足 ， 与 的夹角为 ，则 的最大值为
19．设 是单位向量，且 ，向量 满足 ，则 的取值范围是 .
20．已知平面向量 ， ， 满足 ， ， 且 ，则 的最大值为 .21．已知向量 ， ， 满足 ， ， ， ，则 的取值范围为 .
22．已知向量 ， ， 满足 ， ， 与 的夹角为 ， ，则 的最大值为
.
23．在平面内，若有 ， ， ，则 的最大值为 .
