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第二章 有理数的运算知识归纳与题型突破（题型清单）
01 思维导图
02 知识速记
一、有理数的运算
1、法则：
（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，
取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．
（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．
（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．
（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a· (b≠0) ．（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，
0的任何非零次幂都是0．
(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
诠释：“奇负偶正”口诀的应用：
（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．
（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例
如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．
（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂
为正，例如： ， ．
2．运算律：
（1）交换律: ①加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba；
（2）结合律: ①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc)
（3）分配律：a(b+c)=ab+ac
二、有理数的大小比较
比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；
两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．
三、科学记数法
把一个大于10的数表示成 的形式（其中 ， 是正整数），此种记法叫做科学记数法．
例如：200 000= ．
03 题型归纳
题型一 有理数的加减混合运算
例题：（23-24七年级上·江西吉安·阶段练习）计算下列各题：
(1)
(2)巩固训练
1.（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
2.（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）计算．
(1) ；
(2) ．
(3) ；
(4) ．
3.（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；(4) ．
题型二 有理数的加减中的简便运算
例题：（23-24七年级上·陕西渭南·期中）用简便方法计算： ．
巩固训练
1.（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）计算下列各式：
(1)
(2)
(3)
2.（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)3.（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）计算题
(1)
(2)
(3)
(4)
题型三 有理数的加减混合运算的应用
例题：（23-24七年级上·河南郑州·期末）小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化
路上送外卖．如果向北行驶记作“+”，向南行驶记作“﹣”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下
（单位：千米）：
， ， ， ， ， ．
(1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？
(2)小李距集合点最远为 ______千米．
(3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶15千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行
程？请说明理由．
巩固训练
1.（23-24七年级上·江苏连云港·开学考试）下表记录的是我国5个城市某天的最低气温．
南
银川 北京 杭州 连云港
京(1)气温最高的城市是 ，气温最低的城市是 ；
(2)将这5个城市当天的最低气温所对应的数据在数轴上表示出来；
(3)连云港与北京的温度相差 °C．
2.（24-25七年级上·全国·随堂练习）某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于
各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减
(1)根据记录可知前三天共生产_______辆；
(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆；
(3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少
生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？
3.（22-23七年级上·广西河池·期中）已知 ， 两地相距30米，小猪佩奇从 地出发前往 地，第一次它
后退1米，第二次它前进2米，第三次再后退3米，第四次又向前进4米，按此规律行进，如果 地在数
轴上表示的数为 ．
(1)求出B地在数轴上表示的数；
(2)小猪佩奇从A地出发经过第七次行进后到达点P，第八次行进后到达点Q，点P点Q到A地的距离相等
吗？说明理由？
(3)若B地在原点的左侧，那么经过100次行进后小猪佩奇到达的点与点B之间的距离是多少？题型四 倒数
例题：（23-24九年级下·山东青岛·阶段练习） 的倒数是 ．
巩固训练
1．（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习） 的倒数是 ．
2．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习） 的相反数是 ，倒数是 ，绝对值是 ．
3．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习） 的倒数是 ； 的相反数是
； 的绝对值是 ．
题型五 有理数的乘除混合运算
例题：（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：
(1) ．
(2) ．
巩固训练
1．（23-24七年级上·江西南昌·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．
2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：(1) ；
(2) ．
3．计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
题型六 有理数的乘方运算
例题：（2023·全国·九年级专题练习）计算：
(1) ； (2) ； (3)
巩固训练
1.计算：
(1) ； (2) ； (3) ．2.计算：
(1) ； (2) ； (3) ； (4) ．
3.计算：
(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ．
题型七 有理数的乘方运算的应用
例题:你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反
复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条．如图所示：这样捏合到第 次后可拉出几根面条？
巩固训练
1.如图，某种细胞经过30分钟由一个分裂成2个，若要这种细胞由一个分裂成16个，那么这个过程要经
过（ ）
A．1.5小时 B．2小时 C．3小时 D．4小时
2.一根 米长的木棒，小明第一次截去全长的 ，第二次截去余下的 ，依次截去每一次余下的 ，则第五
次截去后剩下的木棒长为 米．3.如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得：
(1)这样的一个细胞经过2小时后可分裂成多少个细胞？
(2)这样的一个细胞经过多少小时后可分裂成64个细胞？
题型八 用科学记数法表示绝对值大于1的数
例题：（23-24七年级下·四川巴中·期末）今年政府工作报告提出，从今年开始拟连续几年发行超长期特别
国债，今年先发行1万亿元．5月17日，首批发行400亿元30年期国债，年利率为2.57％．某大型企业购
买了5000万元国债，该企业一年的国债利息收益为 元（用合适的记数法表示）．
巩固训练
1．（22-23七年级上·湖南湘西·期末）2022年10月16日，中国共产党第二十次全国人民代表大会在北京
大会堂隆重开幕，习近平代表第十九届委员会向大会作报告．报告全文的总字数约为32500，把32500用
科学记数法表示为 ．
2．（2024·江苏宿迁·模拟预测）2021全国人口普查结果显示，全国人口共141178万人，与2010年（第六
次全国人口普查数据，下同）的133972万人相比，增加7206万人，增长 ，年平均增长率为 ，
比2000年到2010年的年平均增长率 下降0.04个百分点．数据7206万用科学记数法表示为 ．
3．（2024·山东潍坊·模拟预测）根据市级生产总值统一核算结果，2023年全年潍坊市全市生产总值为
7606.01亿元，将数据7606.01亿用科学记数法表示为 ．
题型九 有理数四则混合运算
例题：（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：
(1) ；
(2) ；巩固训练
1．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：
(1) ；
(2) ．
(3)
(4)
3．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）计算：
(1) ；
(2)
(3) ；(4)
(5) （用简便方法）
题型十 程序流程图与有理数计算
例题：下图是一个数值转换机，若输入的a的值为2，则输出的结果应为 ．
巩固训练
1.如图是一个计算程序，若输入的值为1，则输出的值应为 ．
2.按下图的程序计算，如果输入 ，则输出的结果为 ．
3.根据如图的程序计算，若输入 的值为1，则输出 的值为 .
