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第五章 一元一次方程（单元重点综合测试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各式是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次方程的定义
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是
1次的整式方程，叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义逐个判断即可．
【详解】A．该式子是代数式，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B．该方程是一元一次方程，故本选项符合题意；
C．该方程中含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D．该方程中含有两个未知数且未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．下列方程中，解是 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】方程的解
【分析】本题考查了一元一次方程的解，将 分别代入选项方程，能使等式成立的即为正确答案，理解
一元一次方程解的定义是解题的关键．
【详解】解： 、把 代入方程得，左边 右边，
∴ 不是方程 解，该选项不合题意；
、把 代入方程得，左边 右边，
∴ 不是方程 解，该选项不合题意；
、把 代入方程得，左边 ，右边 ，左边 右边，∴ 不是方程 解，该选项不合题意；
、把 代入方程得，左边 ，右边 ，左边 右边，
∴ 是方程 解，该选项符合题意；
故选： ．
3．已知 ，下列等式变形不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】等式的性质
【分析】本题考查等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可．
【详解】解：A、等式两边同加4，得 ，故本选项的等式变形正确；
B、由于 ，等式两边同除以 ，得 ，故本选项的等式变形正确；
C、等式两边同乘 ，得 ，再在等式两边同加3，得 ，故本选项的等式变形正确；
D、若 ，等式两边同除以a，则 ，故本选项的等式变形错误．
故选：D
4．下列解方程的过程中，变形正确的是（ ）
A．由 ，得
B．由 ，得
C．由 ，得
D．由 ，得
【答案】D
【知识点】等式的性质、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分
母
【分析】此题考查了解一元一次方程，解方程去分母时注意各项都乘以各分母的最小公倍数．各方程整理得到结果，即可作出判断．
【详解】解：A、由 ，移项得 ，故原变形错误，不符合题意；
B、由 ，将 分子分母同时扩大10倍得 ，故原变形错误，不符合
题意；
C、由 ，系数化为1得 ，故原变形错误，不符合题意；
D、由 ，去分母得 ，故原变形正确，符合题意，
故选：D．
5．已知 与 是同类项，则 的值是（ ）
A．12 B．13 C．16 D．17
【答案】B
【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查同类项的概念、解一元一次方程等，同类项是指所含的字母相同，并且相同字母的指数
也分别相同的两个单项式．解题的关键是理解同类项的概念求出 的值．
根据同类项的概念列出关于 的一元一次方程，解得 的值后，代入式子即可得出结论．
【详解】解： 与 是同类项，
， ，
解得： ， ，
故选：B．
6．若关于x的一元一次方程 的解为 ，则k的值为（ ）
A． B．1 C． D．0
【答案】B
【知识点】方程的解、解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查解一元一次方程，关键在于熟练掌握解方程的方法．
将 代入方程解出k值即可．
【详解】将 代入方程得：解得： ．
故选：B．
7．某车间原计划用13小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，用了12小时不但完成了任务，而且
还多生产60件．设原计划每小时生产 x 个零件，则所列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．熟练掌握工作总量与单位时间的工作量和时间的关系列式，
列方程，是解题的关键．
根据“每小时多生产10件，用了12小时不但完成了任务，而且还多生产60件．”列出方程，解出即可求
解．
【详解】设原计划每小时生产 x 个零件，实际生产每小时生产 个零件，
12小时的零件数量是 件，
原计划13小时生产的零件数量是 件，
由此得到方程 ，
故答案为：B．
8．设 为任意两个有理数，规定 ，若 ，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次方程（二）——去括号
【分析】此题考查了解一元一次方程的解，根据新定义得到关于m的方程是解题的关键．利用题中的新定
义化简，然后解一元一次方程即可求出m的值．
【详解】解：根据题意得： ，
即 ，
解得： ，故选：D．
9．已知关于x的一元一次方程 （其中 ，a、b为常数），若这个方程的解恰好为 ，
则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程 的解为 ，恰好为 ，则方程 为
“恰解方程”．若关于x的一元一次方程 是“恰解方程”，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程；求出关于x的一元一次方程 的解，根据此方程是
“恰解方程”，得关于k的方程，解方程即可求得k的值．
【详解】解：关于x的一元一次方程 的解为： ；
由于关于x的一元一次方程 是“恰解方程”，则 ，
所以 ，
解得： ；
故选：A．
10．如图，在长方形 中， ， ，点 是 上的一点，且 ．点 从点
出发，以 的速度沿点 匀速运动，最终到达点 ．设点 运动时间为 ，若三角形
的面积为 ，则t的值为（ ）
A． 或 B． 或 或 C． 或6 D． 或6或
【答案】C
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)【分析】本题考查了一元一次方程的运用，三角形面积公式的运用，梯形面积公式的运用，动点问题，分
类讨论等；解答时要运用分类讨论思想求解，避免漏解．
分下列三种情况讨论，如图1，当点 在 上，即 时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解
即可；如图2，当点 在 上，即 时，由 建立方程求出其解即可；如
图3，当点 在 上，即 时，由 建立方程求出其解即可．
【详解】解：如图1，当点 在 上，即 时，
四边形 是长方形，
， ．
，
，
；
如图2，当点 在 上，即 时，
，
．
， ．
，
解得： ；如图3，当点 在 上，即 时，
．
，
解得： （舍去）．
综上所述，当 或6时 的面积会等于18．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．当 时，代数式 的值是3．
【答案】2
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据题意可得方程 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意得， ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
故答案为：2．
12．已知〇、△、口分别代表不同物体，用天平比较它们的质量，如图所示．根据砝码显示的质量，求〇
g，□= g．
【答案】
【知识点】等式的性质
【分析】本题考查了等式的性质，熟悉掌握并能灵活运用相关知识是解题的关键．
设1个〇重 g，1个□重 g，1个△重 g，利用代数式可表达出 ， ， ，运算求解即可．
【详解】解：设1个〇重 g，1个□重 g，1个△重 g．
由题意可得： ， ， ．
根据等式的基本性质2，将 的两边同除以2，得 ，
将 的两边同除以5，得 ，
将 和 代入 ，得 ，
根据等式的基本性质1，将 两边同时减 ，得 ，
根据等式的基本性质2，将 两边同时除以 ，得 ，
将 代入 ，得 ，
〇 g，□ g．
故答案为： ， ．
13．已知关于x的方程 与 有相同的解，则 ．
【答案】
【知识点】方程的解、解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查同解方程，先求出 的解，再将解代入 ，进行求解即可．
【详解】解： ，
解得： ，
把 代入 ，得： ，
解得： ；
故答案为： ．
14．已知关于x的方程 是一元一次方程，则m的值为 ．
【答案】1
【知识点】一元一次方程的定义、绝对值方程【分析】此题考查了一元一次方程的概念，解题的关键是掌握一元一次方程的概念，只含有一个未知数且
未知数最高次数为1的整式方程．
根据一元一次方程的概念，可得 且 ，求解即可．
【详解】解：由题意可得 且 ，
由 可得 ，
由 可得 或
综上：
故答案为：
15．如下表，乐乐将 ， ， ， ，1，3，5，7，9分别填入九宫格内．使每行、每列、每条对角线
上的三个数之和相等，现在 、 、 、 分别标上其中的一个数，则 的值为 ．
9
1
c 3
【答案】
【知识点】数字问题(一元一次方程的应用)、有理数加法运算、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题考查了有理数的加法，代数式求值，一元一次方程的应用，根据三个数的和相等依次列式计
算求出a、b、c、d，再代入代数式中即可求解．
【详解】解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，故答案为： ．
16．如图，已知点A在数轴上，点A表示的数为 ．点M以每秒4个单位长度的速度从点A向右运动，
点N以每秒1个单位长度的速度从原点O向右运动，且点M，点N同时出发，经过 秒，点M、点N
分别到原点O的距离相等．
【答案】 或
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，分两种情况：①点M、N在点O的两侧时，②点M、N重合
时，分别列方程求解即可．
【详解】解：设经过t秒，点M、点N分别到原点O的距离相等，
①点M、N在点O的两侧时， ，
解得 ，
②点M、N重合时， ，
解得 ，
∴经过 或 ，点M、点N分别到原点O的距离相等，
故答案为： 或 ．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的方法．
（1）先去括号，然后移项合并，再系数化为1，即可得到答案；
（2）先去分母、去括号，然后移项合并，再系数化为1，即可得到答案；
【详解】（1）解：
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ．
（2）
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ．
18．一天，岳悦在翻阅《九章算术》卷第六均输这一章时，发现第一十六题很有意思，他想让班里的同学
一起做一做，你有兴趣做吗？
“今有客马日行三百里，客去忘持衣，日己三分之一，主人乃觉．持衣追及与之而还，至家视日四分之三．
问主人马不休，日行几何．”
【答案】日行780里
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键；由题意可设主人骑马日行x里，主
人发现时，客人已经骑行了 里，主人骑马追上客人的时间=主人骑马往返时间 ，主人骑马追上
客人的时间×日行速度=客人已经骑行路程 主人骑马追上客人的时间，列方程计算即可．
【详解】解：由题意可知：主人发现时，客人已经骑行了： （里），
主人骑马往返时间是 （日），主人骑马追上客人的时间是： （日），
设主人骑马日行x里，则有：
解得： ；
答：日行780里．
19．定义一种新的运算：对于任意的有理数a，b，c，d都有 ，应用新运算计算：
(1)求 的值；
(2)如果 ，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】有理数四则混合运算、解一元一次方程（二）——去括号
【分析】（1）先根据新运算进行变形，再根据有理数的运算法则进行计算即可；
（2）先根据新运算进行变形，再根据等式的性质求出方程的解即可．
【详解】（1）解：
；
（2） ，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了解一元一次方程和有理数的混合运算，能正确根据有理数的运算法则进行计算是解
（1）的关键，能正确根据等式的性质进行变形是解（2）的关键．
20．用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木
棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍， ，按此规律排列下去．
(1)写出第⑤个图案用了 根木棍，第 个图案用了 根木棍．
(2)如果按照上述拼图案的规律，木棍的根数有可能恰好是2025吗？请说明理由，写出简要的过程．
【答案】(1)29，
(2)不能，理由见解析
【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索、其他问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现木棍的根数依次增加5的规律是解题的关
键．
（1）依次求出图形中所用木棍的根数，发现规律即可解决问题．
（2）运用（1）中发现的规律解答即可．
【详解】（1）解：由所给图形可知：
第①个图形中木棍的根数为： ；
第②个图形中木棍的根数为： ；
第③个图形中木棍的根数为： ；
第④个图形中木棍的根数为： ；
，
所以第 个图形中木棍的根数为 根，当 时， （根 ，
即第⑤个图形中木棍的根数为29根．
故答案为：29， ．
（2）解：不能．当 时，解得： ．
因为 为正整数，
所以木棍的根数不可能是2025根．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．某商店用70000元的资金购进A，B两种商品共600件．
类型 进价（元/件） 标价（元/件）
A 150 220
B 100 150
(1)求A，B商品购进的数量
(2)商店为了促销，决定推出优惠活动，A商品在标价的基础上打8折，B商品在标价的基础上也打折．当
600件商品销售完时，商店获得的利润为19200元，求B商品在标价的基础上打了几折？
【答案】(1)A商品购进的数量是200件，B商品购进的数量是400件
(2)B商品在标价的基础上打了9折
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确地用代数式表示购进甲、乙两商品各自所需要的钱数是解
题的关键．
（1）设A商品购进的数量是x件，则B商品购进的数量是 件，购进甲种商品需要 元，购进
乙种商品需要 元，列方程进行求解即可．
（2）设B商品在标价的基础上打y折，由总利润 总售价 总进价列方程进行求解即可．
【详解】（1）解：设A商品购进的数量是x件，则B商品购进的数量是 件，
根据题意得 ，解得 ，
则 件，
答：A商品购进的数量是200件，B商品购进的数量是400件．
（2）设B商品在标价的基础上打y折，
根据题意： ，
解得： ，
答：B商品在标价的基础上打了9折．
22．我们规定，若关于 的一元一次方程 的解为 ，则称该方程为“乘解方程”．例知：
的解为 ，且 ，则方程 是“乘解方程”，请回答下列问题，
(1)判断 是不是“乘解方程”，并说明理由；
(2)若关于 的一元一次方程 是“乘解方程”，求 的值．
【答案】(1)是“乘解方程”，理由见解析；
(2) 的值为 ．
【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号
【分析】（ ）根据“乘解方程”的概念直接进行判断即可；
（ ）根据“乘解方程”的概念，列出关于 的一元一次方程，然后解方程即可；
本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
【详解】（1）解：是“乘解方程”，理由：
由 解得： ，
∵ ，
∴方程 是“乘解方程”；
（2）解：由 解得： ，
∵关于 的一元一次方程 是“乘解方程”，
∴ ，解得： ，
∴ 的值为 ．
23．如图是 年 月份的月历，现用十字框任意框出 个数，如：
(1)十字框框出的 个数与十字框中间的数有什么关系？
(2)如果十字框框出的 个数之和为 ，那么十字框中间的数是多少？
(3)十字框框出的 个数之和可以是 吗？
【答案】(1)十字框框出的 个数的和等于十字框中间的数的 倍
(2)十字框中间的数是
(3)十字框框出的 个数之和可以是
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、日历问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．
（1）根据题意列式计算，即可找出相应关系；
（2）根据“十字框框出的 个数之和为 ”列方程求解即可；
（3）根据“十字框框出的 个数之和是 ”列方程求解即可．
【详解】（1）解： ，
答：十字框框出的 个数的和等于十字框中间的数的 倍；
（2）解：设十字框中间的数是 ，
则依据题意有： ，
解得： ，
答：十字框中间的数是 ；
（3）解：设十字框中间的数是 ，
则依据题意有： ，
解得： ，且 ，
十字框框出的 个数之和可以是 ，
答：十字框框出的 个数之和可以是 ．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程
和 为“美好方程”．
(1)若关于 的方程 与方程 是“美好方程”，求 的值；
(2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为 ，求 的值；
(3)若关于 的一元一次方程 和 是“美好方程”，求关于 的一元一次方程
的解．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、
解一元一次方程——拓展
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义：
（1）先解方程 得 ，根据“美好方程”的定义得到关于 的方程 的解为 ，
则 ，解得 ；
（2）由题意得，另一个解为 ，则根据“美好方程”的定义得到 或 ，解方
程即可得到答案；
（3）先解方程 得： ，根据“美好方程”的定义得到关于 的方程
的解为 ，进而得到关于 的一元一次方程 的解为
，令 ，则原方程等价为 ，据此可得答案．【详解】（1）解：解方程 得 ，
∵关于 的方程 与方程 是“美好方程”，
∴关于 的方程 的解为 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由题意得，另一个解为 ，
∵“美好方程”的两个解的差为8，
∴ 或 ，
解得 或 ；
（3）解：解方程 得： ，
∵关于 的一元一次方程 和 是“美好方程”，
∴关于 的一元一次方程 的解为 ，
∴关于 的一元一次方程 的解为 ，
∴关于 的一元一次方程 的解为 ，
令 ，则原方程等价为 ，
∴关于 的一元一次方程 的解为 ．
25．已知数轴上两点 、 对应的数分别为 ，12．
(1) 、 两点间的距离为 ．
(2)如图①，如果点 沿线段 自点 向点 以每秒2个单位长度的速度运动，同时点 沿线段 自点
向点 以每秒4个单位长度的速度运动，运动时间为 秒．
①运动 秒时，点 对应的数为 ，点 对应的数为 ；（用含 的代数式表示）②当 、 两点相遇时，点 在数轴上对应的数是 ；
③求 、 相距6个单位长度时的 值；
(3)如图②，若点 在数轴上，点 在数轴上方，且 ， ，现点 绕着点
以每秒转 的速度顺时针旋转（一周后停止），同时点 沿射线 自点 向点 运动．当 、 两点
相遇时，直接写出点 的运动速度．
【答案】(1)36
(2)① ， ；② ；③5秒或7秒
(3) 单位长度 秒或2单位长度 秒
【知识点】数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题中的等量关系熟练应用方程解决问题是解题的关键．
（1）根据数轴直接计算即可；
（2）①根据运动规律直接用代数式表示即可；
②根据相遇时对应点在同一位置列方程求出时间，进而求出对应点即可；
③分点 在点 左右两侧两种情况，列方程计算即可；
（3）根据 和 在点 和点 两种情况相遇，先算出时间再计算出速度即可．
【详解】（1）解：由数轴知， 、 两点间的距离为 ，
故答案为：36；
（2）①由题知点 对应的数为 ，点 对应的数为 ，
故答案为： ， ；
②当 、 两点相遇时， ，
解得 ，
即点 在数轴上对应的数是 ，
故答案为： ；
③由题意， 在 左侧时，得 ，
解得 ，
在 右侧时， ，
解得 ，
、 相距6个单位长度时的 值为5秒或7秒；（3）①当 ， 在 点相遇时，运动时间是： ， 点运动距离为： ，
此时 点的运动速度为： 单位长度 秒，
②当 ， 在 点相遇时，运动时间是： ， 点运动距离为：36，
此时 点的运动速度为： 单位长度 秒，
综上，点 的运动速度为 单位长度 秒或2单位长度 秒．
