文档内容
重难点突破03 直线与圆的综合应用
目录
题型一：距离的创新定义
例1．（2023·浙江绍兴·高三统考期末）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角
形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三
边的张角相等均为120°，根据以上性质，已知 ，P为 内一点，记
，则 的最小值为 ，此时 .
例2．（2023·全国·高三专题练习）闵氏距离（ ）是衡量数值点之间距离的一种非常常
见的方法，设点 、 坐标分别为 ， ，则闵氏距离
.若点 、 分别在 和 的图像上，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例3．（2023·全国·高三专题练习）17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的
有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小．现已证明：在
中，若三个内角均小于 ，则当点 满足 时，点 到三角形三个顶点的
距离之和最小，点 被人们称为费马点．根据以上知识，已知 为平面内任意一个向量， 和 是平面内两
个互相垂直的向量，且 ，则 的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（2023·全国·高三专题练习）闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组
数据分别为 和 ，这两组数据间的闵氏距离定义为 ，
其中q表示阶数.现有下列四个命题：
①若 ，则 ；
②若 ，其中 ，则 ；
③若 ，其中 ，则 ；
④若 ，其中 ，则 的最小值为 .
其中所有真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式2．（2023·全国·高三专题练习）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形
三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边
的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则
的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
变式3．（2023·全国·高三专题练习）点 是 内部或边界上的点，若 到 三个顶点距离之和
最小，则称点 是 的费马点（该问题是十七世纪法国数学家费马提出）.若 ， ，
时，点 是 的费马点，且已知 在 轴上，则 的大小等于 .变式4．（2023·全国·高三专题练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”
事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如： 可以转化为平面上点
M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得 的最小值为 ．
题型二：切比雪夫距离
例4．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，定义 为两点
， 的“切比雪夫距离”．又设点P及l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直
线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l）．给出下列四个命题：①对任意三点A，B，C，都有
；②已知点P（3，1）和直线 ，则 ；③到原点的“切比
雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形．其中正确的序号为 ．
例5．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，定义 为两点
、 的“切比雪夫距离”．若点P到点（2014，2015）的切比雪夫距离为2，则点P的轨
迹长度之和为 ．
例6．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中,定义 为两点
的“切比雪夫距离”，又设点 及 上任意一点 ,称 的最小值为点 到直线 的
“切比雪夫距离”记作 给出下列四个命题:
①对任意三点 ，都有
②已知点 和直线 则
③到原点的“切比雪夫距离”等于 的点的轨迹是正方形；
其中真命题的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
变式5．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，定义 为两点
、 的“切比雪夫距离”，又设点 及直线 上任一点 ，称 的最小值为点 到直线
的“切比雪夫距离”，记作 .
（1）求证：对任意三点 、 、 ，都有 ；
（2）已知点 和直线 ，求 ；（3）定点 ，动点 满足 （ ），请求出点 所在的曲线所围成图形的面积.
变式6．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，定义 为两点 、
的“切比雪夫距离”，又设点 及直线 上任意一点 ，称 的最小值为点 到直线 的“切
比雪夫距离”，记作 ，给出下列三个命题：
①对任意三点 、 、 ，都有 ；
②已知点 和直线 ，则 ；
③定义 ，动点 满足 ，则动点 的轨迹围成平面图形的面积是4；
其中真命题的个数（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
变式7．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，定义 为两点A
B 的“切比雪夫距离”，又设点P及 上任意一点Q,称 的最小值为点P到直线
的“切比雪夫距离”，记作 ,给出下列三个命题：
①对任意三点A、B、C，都有
②已知点P(2,1)和直线 ,则
③定点 动点P 满足 则点P的轨迹与直线
( 为常数)有且仅有2个公共点.
其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
变式8．（2023·全国·高三专题练习）在平面直线坐标系中,定义 为两点
的“切比雪夫距离”，又设点P及 上任意一点Q,称 的最小值为点P到直线
的“切比雪夫距离”记作 给出下列四个命题:（ ）
①对任意三点A、B、C，都有
②已知点P(3,1)和直线 则③到原点的“切比雪夫距离”等于 的点的轨迹是正方形；
④定点 动点 满足 则点P的轨迹与直线
( 为常数)有且仅有2个公共点．
其中真命题的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
题型三：曼哈顿距离、折线距离、直角距离问题
例7．（2023·福建泉州·统考模拟预测）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别
技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余
弦距离．设 ， ，则曼哈顿距离 ，余弦距离
，其中 （O为坐标原点）．已知 ， ，则
的最大值近似等于（ ）
（参考数据： ， ．）
A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948
例8．（2023·安徽·校联考二模）在平面直角坐标系 中，定义 两点间的折线距离
，该距离也称曼哈顿距离．已知点 ，若 ，则
的最小值与最大值之和为（ ）
A．0 B． C． D．
例9．（2023·全国·高三专题练习）十九世纪著名德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基给出了两点 ，
的曼哈顿距离为 .我们把到三角形三个顶点的曼哈顿距离相等的点叫
“好点”，已知三角形 的三个顶点坐标为 ， ， ，则 的“好点”的坐标
为（ ）
A． B． C． D．
变式9．（2023·全国·高三专题练习）“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家
赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平
面内，若 ， ，则 ， 两点的“曼哈顿距离”为 ，下列直角梯形中的虚
线可以作为 ， 两点的“曼哈顿距离”是（ ）A． B．
C． D．
变式10．（2023·全国·高三专题练习）“曼哈顿距离”是19世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创之间，定义如
下：在直角坐标平面上任意两点 ， 的曼哈顿距离为： .在此定
义下，已知点 ，满足 的点M轨迹围成的图形面积为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．
题型四：圆的包络线问题
例10．（2023·全国·高三专题练习）设直线系M： ，则下列命题中是真
命题的个数是（ ）
①存在一个直线与所有直线相交；②M中所有直线均经过一个定点；③对于任意实数 ，存在正n
边形，其所有边均在M中的直线上；④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.
A．0 B．1 C．2 D．3
例11．（2023·全国·高三专题练习）设直线系 （ ），则下列命题中是
真命题的个数是（ ）
①存在一个圆与所有直线相交；
②存在一个圆与所有直线不相交；
③存在一个圆与所有直线相切；
④ 中所有直线均经过一个定点；
⑤不存在定点 不在 中的任一条直线上；
⑥对于任意整数 ，存在正 边形，其所有边均在 中的直线上；
⑦ 中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
A．3 B．4 C．5 D．6
例12．（2023·全国·高三专题练习）设直线系 ，对于下列四个结论：（1）当直线垂直于 轴时， 或 ；
（2）当 时，直线倾斜角为 ；
（3） 中所有直线均经过一个定点；
（4）存在定点 不在 中任意一条直线上．
其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．②④
变式11．（多选题）（2023·辽宁葫芦岛·高二校考开学考试）设有一组圆 ：
（ ）.下列四个命题中真命题的是
A．存在一条定直线与所有的圆均相切
B．存在一条定直线与所有的圆均相交
C．存在一条定直线与所有的圆均不相交
D．所有的圆均不经过原点
变式12．（多选题）（2023·全国·高二专题练习）已知圆 ，直线
，下面五个命题，其中正确的是（ ）
A．对任意实数 与 ，直线 和圆 有公共点
B．对任意实数 与 ，直线 与圆 都相离
C．存在实数 与 ，直线 和圆 相离
D．对任意实数 ，必存在实数 ，使得直线 与圆 相切
变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知直线
与圆{a=0.001¿¿¿¿
相切，则满足条件的直线 有（ ）条
A．1 B．2 C．3 D．4
题型五：阿波罗尼斯圆问题、反演点问题、阿波罗尼斯球问题
例13．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）公元前 世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结
合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面
轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿
波罗尼斯圆.已知平面内有两点 和 ，且该平面内的点P满足 ，若点P的轨迹关
于直线 对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．例14．（2023·高二单元测试）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大
时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点 到两个定点的距离之比为常数 （ ，且 ），那么
点 的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点 到 ， 的距离之比为 ，则点 到直线
的距离的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
例15．（2023·福建泉州·高二统考期末）已知平面内两个定点 ， 及动点 ，若 （ 且
），则点 的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知 ， ，直线
，直线 ，若 为 ， 的交点，则 的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
变式14．（2023·全国·高二专题练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚
历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲
线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点 与两定点 ， 的距离之比为
，那么点 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点 与两定点 ， 的距离之比为
时的阿波罗尼斯圆为 ．下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆 上的动
点 和定点 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式15．（2023·高二单元测试）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆
锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（
且 ）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知 ， ，圆
上有且仅有一个点 P满足 ，则r的取值可以为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式16．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知平面 ， ，A、B是直线l上的两点，C、D
是平面 内的两点，且 ， ， ， ， ．P是平面 上的一动点，且直线PD，PC与平面 所成角相等，则二面角 的余弦值的最小值是（ ）
A． B． C． D．1
变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥 中，底面 为等边三角形，
， ，点 为 的中点，点 为 的中点.若点 、 是空间中的两动点，且
， ，则 （ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
变式18．（2023·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯（约公元前 年）证明过这样一个命题：平面内
到两定点距离之比为常数 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，已知 、 分别是圆
，圆 上的动点， 是坐标原点，则 的最小值是 ．
变式19．（2023·全国·高三专题练习）点 为圆 ： 上一动点， 为圆 ：
上一动点， 为坐标原点，则 的最小值为 .
变式20．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体 中， ，点 在线段
上，且 ，点 是正方体表面上的一动点，点 是空间两动点，若 且
，则 的最小值为 .题型六：圆中的垂直问题
例16．（2023·海南·统考模拟预测）已知直线ME= 1 AD，直线 过点 且与直线 相互垂直，圆
2
，若直线 与圆C交于M，N两点，则 ．
例17．（2023·江苏南通·统考一模）在平面直角坐标系 中，圆 的方程为 ．若直线
上存在一点 ，使过 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数 的取值范围是 ．
例18．（2023·全国·模拟预测）已知AC，BD为圆 的两条相互垂直的弦，垂足为 ，则
的最大值为 ．
变式21．（2023·全国·高三专题练习）过定点 作两条相互垂直的直线 、 ，设原点到直线 、 的
距离分别为 、 ，则 的最大值是 ．
变式22．（2023·全国·高三专题练习）过点 作两条相互垂直的直线分别交圆 于 、 和
、 两点，则四边形 面积的最大值为 ．
变式23．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，圆 .已知过原
点 且相互垂直的两条直线 和 ，其中 与圆 相交于 ， 两点， 与圆 相切于点 .若 ，
则直线 的斜率为 .
题型七：圆的存在性问题
例19．（2023·河南·河南省实验中学校考模拟预测）已知圆 和两点 ，
.若圆 上存在点 ，使得 ，则 的最大值为 ．
例20．（2023·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习）在平面直角坐标系 中，已知动圆 的方程为，则圆心 的轨迹方程为 ．若对于圆 上的任意点 ，
在圆 ： 上均存在点 ，使得 ，则满足条件的圆心 的轨迹长度为 ．
例21．（2023·上海普陀·高三上海市晋元高级中学校考阶段练习）设点 的坐标为 ，若在圆
上存在点 ，使得 ，则实数 的取值范围为 ．
变式24．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，已知点 、 ，若直线
上存在点P使得 ，则实数m的取值范围为 .
变式25．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角 所对的边分别为 ， ， ．若 ，
在 所在的平面内存在点 ，使得 ，则 的面积的最大值为 ．
变式26．（2023·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习）已知点 ，若圆
上存在点 满足 3，则实数 的取值范围是 ．
变式27．（2023·陕西西安·高三西安铁一中滨河高级中学校考阶段练习）在平面直角坐标系 中，圆
的方程为 ，若直线 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆 有
公共点，则 的取值范围是 ．
变式28．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 ，点P在直线 上，若过点P
存在直线 与圆C交于A、B两点，且满足 ，则点P横坐标 的取值范围是 ．
变式29．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知直线 和点
，动点P满足 ，且动点P的轨迹上至少存在两点到直线l的距离等于 ，则
实数的 取值范围是 .
变式30．（2023·江西萍乡·统考二模）已知圆 ，对直线 上一点 ，在圆 上
总存在点 ，使得 ，则实数 的取值范围为 ．
变式31．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C
（0，a），D（0，a+2）.若存在点P，使得|PA|= |PB|，|PC|=|PD|，则实数a的取值范围是 .
