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重难点突破 04 函数中的零点问题 01
函数的零点是新高考的一大亮点和热点．函数的零点是沟通函数、方程、图像的重要桥梁,
它充分体现了函数与方程间的紧密联系,展现了数形结合的美,诸如,方程的根的问题、存在
性问题与交点问题等都可以转化为零点问题．这类问题形式多样,但只要牢牢抓住导数这一
研究函数的有力工具,通过研究函数的单调性、极值、最值、图像等性质,对问题进行恰当分
类、合理转化,便能解决与函数零点有关的问题
一．选择题（共25小题）
1．用二分法求方程 的近似解，以下区间可以作为初始区间的是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：令 ，
函数在 上单调递增，
（1） ， （2） ， （3） ，
故 ， 可以作为初始区间．
故选： ．
2．函数 的零点为
A． B．2 C． D．
【解答】解：函数 的零点解得方程 的根，可得
，
，解得 ．
故选： ．
3．已知函数 ，则 的零点所在的区间为A． B． C． D．
【解答】解：由题意得 在 上单调递增，
（ 1 ） ， ， （ 2 ） ，
， （3） ，
（3） ，
的零点所在的区间为 ．
故选： ．
4．设 是定义在 上的函数，若 是奇函数， 是偶函数，函数
，则下列说法正确的个数有
（1）当 ， 时， ；
（2） ；
（3）若 ，则实数 的最小值为
（4）若 有三个零点，则实数 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：因为 是奇函数， 是偶函数，
所以 ，解得 ，
由 ，当 时， ，
则 ，所以 ，
同理：当 时， ，
以此类推，我们可以得到如下 的图象：
对 于 （ 1 ） ： 根 据 上 述 规 律 ， 当 时 ，
，故（1）错误；
对于（2）：根据图象， 刚好是相邻两个自然数中间的数，
则 刚 好 是 每 一 段 图 象 中 的 极 大 值 ， 代 入 函 数 解 析 式 得
，故（2）正确；
对于（3）：根据图象，当 时 ， 由图像可得（3）正
确；
对于（4）： 有三个零点，
等价于函数 与函数 有三个不同的交点，设 ， 则函数
的图象为恒过点 的直线，如图所示．当函数 与 ， 相切的时候，有三个交点，
相切时斜率 小于直线 的斜率，直线 的斜率为 ，
故 有三个零点， ，故（4）错误．
说法正确的个数为2．
故选： ．
5．已知函数 ，方程 有两个实数解，分别为 和 ，当
时，若存在 使得 成立，则 的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，作出函数 与 的图象，
易得两函数交点位于 两侧，不妨设 ，
若存在 使得 成立，
即 ，
又 关于 对称，故 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 在 有解，
则 ．
故选： ．
6．已知函数 ，若关于 的方程 恰有5个不
同的实根，则 的取值范围为
A． B． C． ， D． ，
【 解 答 】 解 ： ， ，
， 或 ．
作出函数 的图像如图所示，
由图知 的图像与 有两个交点，
若关于 的方程 恰有5个不同的实根，则 的图像与有三个公共点，
所以 的取值范围 ， ．
故选： ．
7．设函数 在 上满足 ， ，且在闭区间 ，
上只有 （1） （3） ，则方程 在闭区间 ， 上的根的个数
A．1348 B．1347 C．1346 D．1345
【解答】解： 在 上满足 ， ，
关于直线 和直线 对称，且 ， ，
所以 ，所以 ，所以 的周期为6，
又在闭区间 ， 上只有 （1） （3） ，则 （7） ， ，
且当 ， 时，通过其关于直线 对称，得其 值对应着 ， 的 值，
则 在闭区间 ， 上只有 （7） （3） ，
同理可推得 在 ， 也只有两个零点，
因为 ，则 在 ， 共有 个零点，
因为 ，且在 ， 的图象与 ， 的图象相同，
则 在 ， 上有 个零点，
则方程 在闭区间 ， 上的根的个数为1347个．
故选： ．8．已知函数 ，则函数 的零点个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：令 得 ，
在同一直角坐标系中作出 ， 的大致图象如下：
由图象可知，函数 与 的图象有3个交点，
即函数 有3个零点，
故选： ．
9．方程 的解所在的区间为
A． B． C． D．
【解答】解：令 ，则函数 的定义域为 ，
在 上单调递增，
又 （1） ， （2） ，
由零点存在性定理得 的零点所在区间为 ，故方程 的解所在的区间为 ，
故选： ．
10．函数 的零点所在的区间为
A． B． C． D．
【解答】解：依题意，函数 的定义域为 ，
而 在 为单调递减函数， 在 为单调递减函数，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ， ，
所以 （2） （3） ，
所以由零点存在性定理可知，
函数 在区间 有零点．
故选： ．
11．已知 是定义域为 的偶函数且 ，则函数 零点个
数是
A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解： ， ，
当 时， ， ，
当 时， ， ， ，有 ； ，有 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，， ， ， ，
， （1） （e） ， （e） ，
由零点存在定理，所以 在 ， ， 上各有一个零点，
又 是定义域为 的偶函数，则函数 有6个零点．
故选： ．
12．已知函数 ，则方程 的实根个数为
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解： ，解得 或 ，
当 时， ，解得 ， ，解得 （舍 ；
当 时 ， ， 解 得 或 （ 舍 ， ， 解 得
或 （舍 ；
综上，方程 的实根为 或 或 ，
即方程 的实根个数为3个，
故选： ．
13．已知函数 若函数 有四个不同的零点，则实数 的
取值范围为A． ， B． ， C． D．
【解答】解：由 得 ，
作出函数 的图象如图：
由图象知，要使 有四个不同的零点，
则需要 与 有4个不同的交点，
则此时 ，
即实数 的取值范围是 ， ．
故选： ．
14．已知函数 有3个零点，则实数 的取值范围是
A． ， B． C． D． ，
【解答】解：当 时， ，又 ，所以 在 上有
唯一零点，
要使 有3个零点，即 在 ， 上有2个零点，
即 与 的图象有2个交点，设切点为设切点坐标为 ，
由 ，得 ，则过切点的切线方程为 ，
把点 代入，可得 ，
得 ，则切点坐标为 ，
即过 与 相切的直线方程为 ，
所以实数 的取值范围是 ．
故选： ．
15．设 ，函数 若 恰有一个零点，则 的取值范围是
A． B． ，
C． D．
【解答】解：令 ，作出 的图象，如图所示：
函数 可由 分段平移得到，易知当 时，函数 恰有一个零点，满足题意；
当 时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；
当 时，图象往下平移，当 时，函数有两个零点；
当 时， 恰有一个零点，满足题意，即 ；
综上可得 的取值范围是 ， ．
故选： ．
16．设 有三个不同的零点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：如图，由 有三个不同的零点，可得 有三个不
同的零点，
画出函数 的图像，直线 过定点 ，
当 时，设过 的直线与 的切点为 ， ，
由 ，得 ，
所以切线的斜率 ，故切线方程为 ，
把定点 代入得： ，即 ，所以 ，即直线 的斜率为 ，
由图知，当 时， 与 有三个交点，
所以使 有三个不同的零点的 的取值范围是 ．
故选： ．
17．函数 的零点个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：函数 的零点个数，等价于方程 的根的
个数，
即函数 与 的图象交点个数，
画出函数 与 的大致图象，如图所示：
由图象可知，函数 与 的图象只有1个交点，
所以函数 有1个零点．
故选： ．
18．定义在 上的奇函数 满足 ，且在 ， 上单调递减，若方程
在 ， 有实数根，则方程 在区间 ， 上所有实数根之和是A．6 B．12 C．30 D．56
【解答】解：因为函数 满足 ，所以函数 的图像关于直线 对
称，故 ，
又 是 上奇函数，所以 ，所以 ，故函数
的周期为4，
考虑一个周期 ， ，由函数 在区间 ， 上单调递减，又由 是 上奇函数，
且关于直线 对称，
知 在区间 ， 上单调递增，在区间 ， 上单调递减，在区间 ， 上单调递增，
因为 ， （2） ，
故当 ， 时， ，当 ， ， （2） ，
当 ， 时， ，当 ， 时， （2） ，
因为方程 在区间 ， 有实数根，则这实根是唯一的，
又因为函数 的图像关于直线 对称，则方程 在区间 ， 有唯一实数
根，
方程 在区间 ， 和区间 ， 上没有实根，
所以方程 在一个周期内有且只有2个实数根，根据对称性，知这两根之和为
2，
因为函数 在区间 ， 上恰好3个周期，
所以根据函数 周期性和对称性知，方程 在区间 ， 上所有实数根之和为
．
故答案为： ．19．已知函数 ，若函数 有两个零点，则实数
的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：画出 、 和 的图象如下图所示，
由 解得 ．由 ，解得 ，
设 ，对于函数 ，要使 与 的图象有两个
交点，
结合图象可知， ．
故选： ．
20．已知函数 的图像与直线 有3个不同的交点，则实数
的取值范围是
A． B． C． D． ，
【解答】解：如图，作函数 的大致图像（实线），平移直线 ，由 可得， ，
，
故当 时，直线 与曲线 相切；
当 时，直线 经过点 ，且与曲线 有2个不同的交点；
当 时，直线 经过点 ，且与 的图像有3个不同的交点．
由图分析可知，当 ， 时， 的图像与直线 有3个不同的交点．
故选： ．
21．设 是定义在 上的偶函数，对任意的 ，都有 ，且当
， 时， ，则在区间 ， 内关于 的方程 的
根的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解： 是定义在 上的偶函数，对任意的 ，都有 ，
，
即 ，即函数的周期是4．
当 ， 时， ， ，此时 ，
即 ， ， ．
由 得：
，
分别作出函数 和 图象如图：
则由图象可知两个图象的交点个数为4个，
即方程 的根的个数为是4个．
故选： ．
22．已知定义在 上的函数 对于任意的 都满足 ，当 时，
，若函数 至少有6个零点，则 的取值范围是
A． B． ，
C． D． ，
【解答】解：由 知 是周期为2的周期函数，
函数 至少有6个零点等价于函数 与 的图象至少
有6个交点，
①当 时，画出函数 与 的图象如图所示，根据图象可得 （5） ，即 ．
②当 时，画出函数 与 的图象如图所示，
根据图象可得 ，即 ．
综上所述， 的取值范围是 ．
故选： ．
23．已知偶函数 满足 ，且当 ， 时， ，关于 的不
等式 在 ， 上有且只有30个整数解，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【解答】解： ， ，
又函数为偶函数， ，即函数周期为 ，
因为不等式 在 ， 上有且只有30个整数解，所以不等式在 ，
上恰有3个整数解，又 ，可知 时， ， 时， ，
所以 在 上递增，在 上递减， ，所
以1，2，3满足不等式，
故 ，且需 解得 ．
故选： ．
24．已知定义在 上的函数 满足 ， ，且当
时， ，则函数 在 ， 上的零点个数为
A．9 B．11 C．13 D．15
【解答】解：因为 ， ，
所以 为奇函数，
又因为 ，即 ，
所以 ，
即 ，
所以 为周期函数，且周期 ，
所以 （2） （2），即 （2） ，
作出函数 的大致图象如图所示：由图象可知， 在 ， 上零点个数为13．
故选： ．
25．已知函数 ，若函数 ， 恰有4个
零点，则 的取值范围
A． B．
C． D．
【解答】解：当 时， ，则 ，
所以 在 ， 上单调递增，
若 恰有4个零点，
即 恰有4个根，即 与 有四个交点，
当 时， 与 的图象如下：两图象只有两个交点，不符合题意，
当 时， 与 轴相交于两点 与 ，
图象如下：
当 时，函数 的函数值为 ，
当 时，函数 的函数值为 ，
所以两图象有四个交点，符合题意；
当 时， 与 轴相交于两点 与 ，
图象如下：在 ， 内两图象有两个交点，
所以若有四个交点，
只需要 与 在 ， 内还有两个根，
因为 ，所以 ，
所以有 在 ， 内还有两个根，
即 在 ， 内还有两个根，
所以在 在 ， 内还有两个根，
因为 （当且仅当 时，取等号），
所以 且 ，解得 ，
综上所述， 的取值范围为 ， ， ．
故选： ．
二．多选题（共5小题）
26．已知函数 ，则下列结论正确的是
A．当 时， 无零点
B．当 时， 只有一个零点C．当 时， 有两个零点
D．若 有两个零点 ， ，则
【解答】解：令 ，则 ，即 ，即 ，
考察直线 和抛物线 的位置关系，
由图可知，当 时， 无零点，故 正确；
当 或 时， 只有一个零点，故 正确；
当 且 时， 有两个零点，故 错误；
若 有两个零点 ， ，则 ， 是方程 的两根，
由韦达定理，得 ，故 正确．
故选： ．
27．已知函数 ，若函数 恰有两个零点，则实
数 不可能是A． B． C．0 D．1
【解答】解： ，
则函数 的图象，如图所示：
函数 恰有两个零点，即 有两个实数根，转化为 的图象与
有两个交点，
由图象得 ，
又当 时， ，由图象得 ， 或 ，符合题意，
故实数 的取值范围为 ，
故选： ．
28 ． 已 知 函 数 是 定 义 在 ， ， 上 的 偶 函 数 ， 当 时 ，
，若方程 有四个不相等的实数根，则满足条件的 可以为
A． B． C． D．
【解答】解：由已知当 时， ，当 时， ，
当 ， 时， ，
又 为偶函数， 函数 的图象关于 轴对称，根据以上信息可作出函数 的图
象如下，
对于 ：再作函数 ，观察图象可得 与 的图象有四个交点，
方程 有四个不相等的实数根，故 正确；
对于 ：再作函数 的图角可得，观察图象可得 与 的图象有三个交点，
方程 有三个不相等的实数根，故 不正确；
对于 ：再作函数 的图角可得，
观察图象可得 与 的图象有四个交点，
方程 有四个不相等的实数根，故 正确；
对于 ：再作函数 的图角可得，观察图象可得 与 的图象有一个交点，
方程 有一个不相等的实数根，故 不正确；
故选： ．
29．已知函数 为自然对数的底数）， ，若
（a） （b） ，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：对于 ，由于 ， ，
而 在 上单调递增，
则 ，故 ，即 ，选项 正确；
对于 ，由于 ，
则由函数零点存在性定理可知， ，
所以 ，选项 正确；
对于 ，易知 ，若 ，则 ，即 ，这与 矛盾，选
项 错误；
对于 ， ，令 ，
作出函数 和 的函数图象如下所示，由 图 象 可 知 ， 函 数 （ a ） 在 上 单 调 递 减 ， 则
，选项 正确．
故选： ．
30．已知函数 ，若方程 有四个不同的实数解，它
们从小到大依次记为 ， ， ， ，则
A． B．
C． D．
【解答】解：当 时， ，在 ， 单调递减， ， ，
在 ， 单调递增， ， ；
当 时， ，
在 ， 单调递减， ， ，
在 单调递增， ， ，若 有四个不同的实数解，则 ，故 正确；
因为 ，所以 ， ， ，所以 ，
，故 错误；
因为 ， ，根据韦达定理可知在方程 中 ，故 正确；
， ， ，
所以 ， 正确．
故选： ．
三．填空题（共8小题）
31．设函数 ，则满足条件“方程 有三个实数解”的实数 的一
个值为 3 （答案不唯一） ．
【解答】解：作出函数 的图象如下图所示，由图象可知，要使方程 有三个实数解，则需 ，
则符合题意的一个 的值为3．
故答案为：3（答案不唯一）．
32．函数 的零点的个数为 3 ．
【解答】解：由题意，
即函数 的零点的个数即为 ， 的交点的个数，
在同一直角坐标系中画出两个函数图像，如图所示，
数形结合可知，两个函数有3个交点，
故函数 的零点的个数是3．
故答案为：3．
33．已知函数 若函数 有5个零点，
则实数 的取值范围是 ．【解答】解：令 ，
可得 或 ，
作出函数 的大致图象如下图所示，
由图象可知， 有2个解，
要使函数 有5个零点，则需 有3个解，
由图象可知， ，解得 ．
故答案为： ．
34．已知 ，若存在三个不同实数 、 、 使得 （a） （b）
（c），则 的取值范围是 ， ．
【解答】解：由题意，可画出 函数的图象大致如下：
存在三个不同实数 ， ， ，使得 （a） （b） （c），
可假设 ，
根据函数图象，可知： ， ， ．又 （b） （c），
，
即： ．
．
，即 ．
．
，
．
故答案为： ， ．
35．若对任意 ， ，关于 的方程 在区间 ， 上总有实根，则实数
的取值范围是 ， ．
【解答】解：设 ， ，因为 ， ，所以 在定义域上单调递增，
又因为 ，在定义域上单调递增，
所以 在 上单调递增，
又因为方程 在区间 ， 上总有实根，
所以 在 ， 上总有零点，
又因为 在 ， 上单调递增，
所以 （2） 或 或 （3） ，
即 或 或 ，
解得 ，
即有 在 ， 上恒成立，
所以 ，
又因为 ， ，
所以 ．
故答案为： ， ．
36．已知函数 若 恰有2个零点，则实数 的取值范围是 ，
．【解答】解：由 ，得 ，得 ；
由 ，得 ，得 或 ，
因为 恰有2个零点，
所以若 和 是函数 的零点，则 不是函数 的零点，则 ；
若 和 是函数 的零点，则 不是函数 的零点，则 ，
若 和 是函数 的零点， 不是函数 的零点，则不存在这样的 ．
综上所述： 或 ，即实数 的取值范围是 ， ．
故答案为： ， ．
37．已知函数 ，若 存在四个不相等的实根 ， ， ，
，则 的最小值是 3 ．
【解答】解：作函数 与 图象如下：
由图可得 ，
存在四个不相等的实根 ， ， ， ，可得 ，
可得 ， ，即 ， ，所以 ，
当且仅当 即 且 等号成立，
则 的最小值是3．
故答案为：3．
38 ． 定 义 函 数 ， 设 ，
，
若 含有3个不同的实数拫，则实数 的取值范围是 或 ．
【解答】解：设 ， ，
由 ，解得 ， ，
由于 含有3个不同的实数拫，
所以 有两个相等的实根或者两个相异的实根，
则△ ，
即 ，解得 ，或 ．
当 时， ，解得 ，又 ，满足题意；
当 时，如下图， 的对称轴方程 ， （2） ，则 有
4个根，不合题意，舍去；当 时， ，解得 ，即 （2） ， 含有2个不同的
实数拫，不满足题意；
当 时，如下图， （2） ，若 含有 3 个不同的实数拫，则
，解得 ；
综上， 或 ．
故答案为： 或 ．
四．解答题（共2小题）
39．已知函数 ．
（Ⅰ）用定义证明 在定义域上是减函数；
（Ⅱ）若函数 在 ， 上有零点，求实数 的取值范围．
【解答】解：（1）证明：根据题意，函数 ，则有 ，解可得 ，即函数的定义域为 ，
设 ， 则
，
由于 ，则 ，必有 ，
故 ，
则函数 在定义域上是减函数；
（2）根据题意，由（1）的结论，函数 在定义域为 上的减函数，则
为减函数，
若函数 在 ， 上有零点，则 ，解可得：
，
故 的取值范围为 ， ．
40．已知函数 ．
（1）当 时，判断 在 上的单调性并证明；
（2）讨论函数 的零点个数．
【解答】解：（1）当 ， 时， ，此时 在 上单调
递减，证明：任取 ， ，且 ，
则 ，
，则 ， ，
，即 ，
故 在 上单调递减；
（2）令 ，即 的根的个数，
令 ，作出函数 的图象，如图所示：
由图象得当 或 或 时，直线 与 有两个交点；
当 或 时，直线 与 只有一个交点；
当 或 时，直线 与 有三个交点，
综上所述，当 ， ， 时， 有2个零点；
当 ， ， 时， 有1个零点；当 ， ， 时， 有3个零点．
