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第十一章不等式与不等式组单元测试（培优压轴卷）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（24-25七年级下·山西临汾·期中）下列各数中，是不等式x−1>3的解的是（ ）
A．x=2 B．x=3 C．x=4 D．x=5
【答案】D
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先移项，再合并同类项求出不等式的解集即可得到答案．
【详解】解：解不等式x−1>3得x>4，
∴四个选项中只有D选项符合题意，
故选：D．
2．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）已知a>b，则下列不等式中，正确的是（ ）
A．−2025a>−2025b B．a−2025>b−2025
a b
C．− >− D．2025−a>2025−b
2025 2025
【答案】B
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质1：把不等式的两边都
加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等
号的方向不变；不等式的性质3：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的
基本性质，逐项进行判断即可．
【详解】解：A．∵a>b，
∴−2025a<−2025b，故A不符合题意；
B．∵a>b，
∴a−2025>b−2025，故B符合题意；
C．∵a>b，
a b
∴− <− ，故C不符合题意；
2025 2025
D．∵a>b，
∴2025−a<2025−b，故D不符合题意．
故选：B．
3．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知(m+4)x|m)−3+6>0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（
）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次不等式“含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式”，熟记一元一次不等式的定义是解题关键．根据一元一次不等式的定义可得m+4≠0，且|m|−3=1，
由此即可得解．
【详解】解：∵(m+4)x|m)−3+6>0是关于x的一元一次不等式，
∴m+4≠0，且|m|−3=1，
∴m=4．
故答案为：4．
4．（24-25七年级下·北京·期中）不等式2x−1≤3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右，在表示解集时≥，≤要用
实心圆点表示；<，>要用空心圆点表示”是解答此题的关键．先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来
即可．
【详解】解：2x−1≤3，
移项得，2x≤3+1，
合并同类项得，2x≤4，
系数化为1得，x≤2，
在数轴上表示为：
故选：C．
2x−1 x
5．（24-25七年级下·山西临汾·期中）解一元一次不等式 −1≤ 时，去分母正确的是（ ）
5 2
A．2(2x−1)−10≤5x B．2(2x−1)−1≤5x
C．2x−1−10≤5x D．2x−1−1≤5x
【答案】A
【分析】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键；此题可根
据一元一次不等式的解法进行排除选项．
2x−1 x
【详解】解：解一元一次不等式 −1≤ 时，
5 2
去分母得：2(2x−1)−10≤5x；
故选：A．
6．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）关于x的一元一次不等式3x<a+5的解集为x<1，则a的值为（ ）
A．a=1 B．a=2 C．a=−2 D．a=−1
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的基本性质．先求解不等式，再根据已知条件即可得出关于a的方程，解得即可．
【详解】解不等式3x<a+5得
a+5
x< ，
3
又因为3x<a+5的解集为x<1，
a+5
所以 =1，
3
解得a=−2．
故选：C．
7．（24-25八年级下·山西·阶段练习）一个工程原定在10天内至少要挖土600m3；在前两天一共完成了
120m3，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务，以后6天平均每天至少要挖土（ ）m3
A．56 B．60 C．72 D．80
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设后6天平均每天要挖土xm3，根据题意可得不等式，解不
等式即可．
【详解】解：设后6天平均每天要挖土xm3，
则120+6x≥600，
解得：x≥80，
∴平均每天至少要挖土80m3，
故选：D．
{3x+ y=1+3a)
8．（24-25七年级下·河南新乡·期中）已知方程组 的解满足x+ y>0，则a的取值范围是
x+3 y=1−a
（ ）
A．a>−1 B．a<1 C．−1<a<1 D．a>1
【答案】A
【分析】本题考查的是二元一次方程组和一元一次不等式的综合问题，解题的关键是掌握相关知识．方程
组两方程相加，变形后表示出x+ y，代入已知不等式计算即可求出a的范围．．
{3x+ y=1+3a①)
【详解】解：
x+3 y=1−a②
①+②得：
3x+ y+x+3 y=1+3a+1−a
4x+4 y=2+2a
1
x+ y= (1+a)，
2
{3x+ y=1+3a)
∵方程组 的解满足x+ y>0，
x+3 y=1−a1
∴ (1+a)>0，
2
解得：a>−1，
故选：A．
{ 2x−
x+2
>1)
9．（24-25七年级下·广西贵港·阶段练习）已知关于x的不等式组 3 ，下列四个结论：①若
x−a≤−1
它的解集是1<x≤3，则a=4；②当a=−3，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是
5<x≤6；④若不等式x−a≤−1的最大整数解为1，则a的取值范围是2≤a<3．其中正确的结论个数
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组、根据不等式组的解求参数等知识点，根据不等式组的解集情
况求参数成为解题的关键．
先解出不等式组求得解集，然后再根据不等式组解集逐个判断即可．
【详解】
{ 2x−
x+2
>1①)
解：∵ 3 ，
x−a≤−1②
解不等式 得：x>1，
解不等式 得：x≤a−1，
①
∵若它的解集是1<x≤3，
②
∴ a−1=3，解得：a=4，
故 正确，
当a=−3时，x≤a−1=−4，则该不等式组无解；
①
故②错误；
∵若它的整数解仅有3个，即4≤a−1<5，
∴a的取值范围是5≤a<6，
故③错误；
∵解不等式x−a≤−1可得：x≤a−1，且不等式的最大整数解为1，
1≤a−1<2，
解得：2≤a<3．
∴
故④正确．
综上，正确的有2个．
故选：B．
10．（24-25八年级上·广西贵港·期末）对一个实数x按如图所示的程序进行操作，计算机运行从“输入一
个实数x”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行两次操作才停止，那么x的取值范围是（）
A．8<x≤22 B．22<x≤64 C．22<x≤62 D．8<x≤20
【答案】B
【分析】本题考查了程序流程图，一元一次不等式组的应用，根据程序运行一次的结果小于等于190，运
行两次的结果大于190，可得出关于x的一元一次不等式组，求解即可，正确列出一元一次不等式组是解题
的关键．
【详解】解：根据题意可得，
{ 3x−2≤190 )
，
3(3x−2)−2>190
解得：22<x≤64，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（23-24七年级下·全国·课后作业）用不等式表示“x的4倍与5的差不小于6”为 ．
【答案】4x−5≥6
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，正确选择不等号是解题
的关键．
根据实际问题列出不等式即可．
【详解】解：由题意得4x−5≥6，
故答案为：4x−5≥6．
12．（23-24七年级下·全国·课后作业）王师傅以vkm/h的速度开车通过一段限速为110 km/h的高速公路，
接到一份超速罚款通知单（超过限速的10%将被罚款），根据题意，可列不等式为 ．
【答案】v>110×(1+10%)
【分析】本题考查不等式的实际应用，熟练掌握不等式的定义是解题的关键，根据题意找出不等关系，列
出不等式即可得到答案．
【详解】解：由题可得：v>110×(1+10%)，
故答案为：v>110×(1+10%)．
{x<3)
13．（24-25七年级下·山西晋城·期中）如果关于x的不等式组 无解，那么m的取值范围是 ．
x>m
【答案】m≥3
{x<3)
【分析】本题考查了一元一次不等式组的无解问题，根据关于x的不等式组 无解，则m≥3，即可
x>m
作答．
{x<3)
【详解】解：∵关于x的不等式组 无解，
x>m∴m≥3，
故答案为：m≥3．
{3x+7 y=k
)
14．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）方程组 的解x，y都是正数，则整数k= ．
2x+5 y=20
【答案】29
【分析】此题可先根据一元一次不等式组解出x、y的取值，然后根据x、y是正数，解得出k的取值范围，
求得整数k的值．此题考查的是一元一次不等式组的解法和二元一次方程组的解，正确掌握相关性质内容
是解题的关键．
{3x+7 y=k①
)
【详解】解：∵ ，
2x+5 y=20②
∴②×3−①×2得，15 y−14 y=60−2k，
∴y=60−2k③，
把③式代入②式，化简得x=5k−140，
∵x、y的值都是正数，
∴x=5k−140>0，y=60−2k>0，
解得，28<k<30，
∴整数m的值为29．
故答案为：29．
15．（24-25七年级下·湖南永州·期中）在实数范围内规定新运算“Δ”，其规则是aΔb=3a−2b．已知
不等式xΔk≥1的解集在数轴上如图表示，则k的值是 ．
【答案】−2
【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．根据新运算法则得到不等式
xΔk=3x−2k≥1，通过解不等式即可求k的取值范围，结合图象可以求得k的值．
【详解】解：根据图示知，已知不等式的解集是x≥−1．
∵xΔk=3x−2k≥1，
2k+1
∴x≥ ，
3
2k+1
∴ =−1，
3
解得k=−2．
故答案为：−2．
{−x+2>1)
16．（24-25七年级下·上海闵行·期中）关于x的不等式组 有两个整数解，那么m的取值范围是
x−2m≥1
．3
【答案】− <m≤−1
2
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解不等式组，根据不等式组有2
个整数解得出关于m的不等式组，进而可求得m的取值范围．
{−x+2>1)
【详解】解：解不等式组 得：1+2m≤x<1，
x−2m≥1
{−x+2>1)
∵关于x的不等式组 有两个整数解，
x−2m≥1
∴这两个整数解为−1，0，
∴−2<1+2m≤−1，
3
解得：− <m≤−1，
2
3
故答案为：− <m≤−1．
2
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）计算
(1)解不等式并把解集在数轴上表示出来：x−2(x−1)≥1；
{
−2x+6≥4
)
(2)解不等式组： 4x+1 ，并求该不等式组的非负整数解．
>x−1
3
【答案】(1)x≤1，在数轴上表示见解析
(2)−4<x≤1，非负整数解为0，1
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可求出解集，并把解集表示在数轴上；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不
到确定不等式组的解集．
【详解】（1）解：x−2(x−1)≥1
去括号得：x−2x+2≥1，
移项得：−x≥1−2，
合并同类项，系数化为1得：x≤1；
在数轴上表示其解集为：
（2）解：解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x>−4，
∴原不等式组的解集为−4<x≤1，∴不等式组的非负整数解为0，1．
2x+3 5x−2
18．（24-25七年级下·山西临汾·期中）下面是小王同学解不等式 −1≥ 的过程，请认真阅读
3 9
并完成相应的任务．
解：3(2x+3)−9≥5x−2． …第①步
6x+3−9≥5x−2． …第②步
6x−5x≥−2−3+9． …第③步
x≥4． …第④步
(1)第①步的依据是________；
(2)第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________；
(3)请直接写出该不等式的解集．
【答案】(1)不等式的性质
(2)②，去括号时数字3没有乘以系数3
(3)x≥−2
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键．
（1）根据题意可得第①步的依据是不等式的性质；
（2）第②步去括号时数字3没有乘以系数3，据此可得答案；
（3）根据（2）所求，改正错误后解不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得第①步的依据是不等式的性质；
（2）解：观察解题过程可知，第②步开始出现错误，错误原因是去括号时数字3没有乘以系数3；
2x+3 5x−2
（3）解： −1≥
3 9
3(2x+3)−9≥5x−2．
6x+9−9≥5x−2．
6x−5x≥−2−9+9．
x≥−2．
19．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）近日，中国大学生篮球一级联赛正在株洲火热进行中．赛场内掌声
雷动，赛场外市集精彩，主题篮球和球衣深受大家喜爱．已知购买3个篮球比购买2件球衣多用120元；
购买1个篮球和2件球衣共用200元．
(1)篮球和球衣的单价分别是多少元？
(2)某支队伍决定购买篮球和球衣带回学校做纪念品，共70个（件），总费用不超过5000元，则至少应购
买球衣多少件？
【答案】(1)一个篮球的单价为80元，一件球衣的单价为60元
(2)至少应购买球衣30件
【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式的运用，理解数量关系，正确列式是关键．
（1）设一个篮球的单价为x元，一件球衣的单价为y元，根据数量关系列二元一次方程组求解即可；（2）设购买篮球a个，则购买球衣(70−a)件，由数量关系列一元一次不等式求解即可．
【详解】（1）解：设一个篮球的单价为x元，一件球衣的单价为y元，
{3x−120=2y)
∴ ，
x+2y=200
{x=80)
解得， ，
y=60
∴一个篮球的单价为80元，一件球衣的单价为60元；
（2）解：设购买篮球a个，则购买球衣(70−a)件，
∴80a+60(70−a)≤5000，
解得，a≤40，
∴70−a≥30，
∴至少应购买球衣30件．
20．（24-25七年级下·四川乐山·期中）先阅读下面的例题，再按要求解答后面的问题：
例：解不等式(x+3)(x−3)>0．
{x+3>0) {x+3<0)
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得① 或② ，解不等式组①，得
x−3>0 x−3<0
x>3，解不等式组②，得x<−3，故不等式(x+3)(x−3)>0的解集为x>3或x<−3．
3x+6
请仿照以上解法，求不等式 <0(x−1≠0)的解集．
x−1
【答案】−2<x<1
【分析】此题考查解一元一次不等式组，解题关键在于利用有理数的除法法则．根据有理数的除法法则得
出两个不等式组，求出每个不等式组的解集，即可得出答案．
【详解】解：由有理数的除法法则“两数相除，异号得负”，
{3x+6>0) {3x+6<0)
得 ①或 ②，
x−1<0 x−1>0
解不等式组①得−2<x<1，
解不等式组②得不等式组②无解，
3x+6
故不等式 <0(x−1≠0)的解集为−2<x<1．
x−1
21．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）若关于x和y的二元一次方程组¿的解满足x>0，y≤0．
(1)求a的取值范围；
(2)是否存在一个整数a使不等式3ax−3a<7x−7的解集为x>1．若存在，请求出a的值；若不存在，请
说明理由．
【答案】(1)a≥1
(2)存在，1，2
【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解决本题的关键是求出方程组的解集．
（1）首先对方程组进行化简即可求得含a的表示x和y的代数式；根据方程的解满足的解满足x>0,y≤0得到不等式组，解不等式组就可以得出a的范围；
（2）根据不等式3ax−3a<7x−7的解集为x>1，求出a的取值范围，即可解答.
{ x+2y=2① )
【详解】（1）解： ，
2x+ y=3a+1②
①×2−②，得3 y=4−3a−1,
∴y=1−a．
②×2−①，得3x=6a+2−2,
∴x=2a．
∵x>0,y≤0,
{ 2a>0 )
∴ ，
1−a≤0
解得：a≥1．
（2）解：存在．理由如下：
∵3ax−3a<7x−7
则3ax−7x<3a−7
∴(3a−7)x<3a−7．
∵原不等式的解集为x>1，
∴3a−7<0,
7
∴a< ．
3
由（1）得a≥1,
7
∴1≤a< ．
3
∵a为整数，
∴a的值为1，2．
22．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）某工厂加工圆柱形的茶叶盒，购买了n块相同的金属板材，已知每
块金属板材可以有A，B，C三种裁剪方式，如图，A方式：裁剪成6个圆形底面和1个侧面．B方式：裁
剪成3个侧面．C方式：裁剪成9个圆形底面．已知2个圆形底面和1个侧面组成一个圆柱形茶叶盒，且
要求圆形底面与侧面恰好配套．现已有2块金属板材按C方式裁剪，其余都按A、B两种方式裁剪．
(1)设有x块金属板材按A方式裁剪，y块金属板材按B方式裁剪．
①可以裁剪出圆形底面共有___________个（用含x的代数式表示），侧面共有___________个（用含x，y
的代数式表示）；②当n=15个时，最多能加工多少个圆柱形茶叶盒？
(2)现将n块相同的金属板材全部裁剪完，为了使加工成的圆形底面与侧面恰好配套，则n的值是
___________．（其中30≤n≤40）
【答案】(1)①(6x+18)；(x+3 y)；②最多能加工27个圆柱形茶叶盒
(2)30或35或40
【分析】（1）①根据题意用x表示出裁剪出圆形底面个数，然后表示出侧面个数即可；
②根据n=15，列出方程组，解方程组即可；
5
{ x+5≥30)
2 3
（2）根据6x+18=2(x+3 y)，得出y=3+ x，根据30≤n≤40，得出 ，求出结果即可．
3 5
x+5≤40
3
【详解】（1）解：①根据题意可知，可以裁剪出圆形底面共：6x+9×2=6x+18（个）；
侧面共有：(x+3 y)个；
{ x+ y+2=15 )
②根据题意得： ，
6x+18=2(x+3 y)
{x=6)
解得： ，
y=7
∴x+3 y=6+3×7=6+21=27（个），
答：当n=15时，最多能加工27个圆柱形茶叶盒；
（2）解：根据题意得：6x+18=2(x+3 y)，
2
∴y=3+ x，
3
∵x,y均为整数，
∴x是3的倍数，
2 5
又∵n=x+ y+2=x+3+ x+2= x+5，且30≤n≤40，
3 3
5
{ x+5≥30)
3
∴ ，
5
x+5≤40
3
解得：15≤x≤21
∴x的值可取：15、18、21
5 5
当x=15时，n= x+5= ×15+5=25+5=30；
3 3
5 5
当x=18时，n= x+5= ×18+5=35；
3 3
5 5
当x=21时，n= x+5= ×21+5=40；
3 3故答案为：30或35或40．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，列不等式，解题的关键是根据等量关
系列出方程，根据不等关系，列出不等式组．
23．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，
则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程x−1=3的解为x=4，而不等式组
{x−1>1) {x−1>1)
的解集为2<x<5，不难发现x=4在2<x<5的范围内，所以方程x−1=3是不等式组
x−2<3 x−2<3
的“关联方程”
x+1 { 2x+1>x−3 )
(1)在方程① +1=x；②2(x+1)−x=−3；③2x−6=0中，不等式组 的“关联方
3 3(x−2)−x≤2
程”是___________（填序号）
x−3
{ ≥x )
2
(2)关于x的方程2x−k=2是不等式组 的“关联方程”，求k的取值范围；
2x+5 1
> x
2 2
x+5 {
x+2m
>m )
(3)若关于x的方程 −3m=0是关于x的不等式组 2 的“关联方程”，且此时不等式组有
2
x−m≤2m+1
3个整数解，试求m的取值范围．
【答案】(1)①③
(2)−12<k≤−8
5
(3)
<m<1
6
【分析】此题考查了一元一次方程的解法和一元一次不等式组的解法，读懂题意，正确解一元一次方程和
一元一次不等式组是解题的关键．
（1）解方程和不等式组后，根据定义进行判断即可；
（2）解方程和不等式组后，再解关于k的不等式组即可；
（3）解方程和不等式组后，再解关于m的不等式组，由不等式组有3个整数解得到新的不等式组，解新
不等式组后，取两个不等式组解集的公共部分即可．
x+1
【详解】（1）解：① +1=x，
3
去分母得，x+1+3=3x，
移项合并同类项得，−2x=−4，
系数化为1得，x=2；
②2(x+1)−x=−3，
去括号得，2x+2−x=−3，
移项合并同类项得，x=−5；③2x−6=0，
移项得，2x=6，
系数化为1得，x=3；
{ 2x+1>x−3① )
3(x−2)−x≤2②
解不等式①得，x>−4
解不等式②得，x≤4
∴不等式组的解集为−4<x≤4，
x+1 { 2x+1>x−3 )
x=2和x=3在−4<x≤4的范围内，所以方程① +1=x和③2x−6=0是不等式组 的
3 3(x−2)−x≤2
“关联方程”．
故答案为：①③．
（2）解：2x−k=2
k+2
解得x= ，
2
x−3
{ ≥x① )
2
，
2x+5 1
> x②
2 2
解不等式①得，x≤−3，
解不等式②得，x>−5，
∴不等式组的解集为−5<x≤−3，
k+2
∴−5< ≤−3，
2
解得−12<k≤−8；
x+5
（3）解： −3m=0，
2
去分母得，x+5−6m=0
移项合并同类项得，x=6m−5；
{
x+2m
>m① )
2 ，
x−m≤2m+1②
解不等式①得，x>0，
解不等式②得，x≤3m+1，
∴不等式组的解集为0<x≤3m+1，
∴0<6m−5≤3m+1，
5
解得 <m≤2，
6∵不等式组有3个整数解，
∴3≤3m+1<4，
2
解得 ≤m<1，
3
5
∴ <m<1．
6
