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第十七章 勾股定理与几何辅助线压轴题精选 30 道
【人教版】
一．选择题（共10小题）
1．已知，如图在三角形ABC中，AC＝4，∠A＝30°，∠ABC＝15°，延长AC到点D，使得DC＝AC，则
BD的长为（ ）
A．5 B．3❑√3 C．4❑√2 D．4❑√3−2
2．四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形
时，△ABC的面积为（ ）
A．3❑√32 B．3❑√7 C．3❑√7或3❑√32 D．15
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC的左侧作BF∥AC，且BF＝AE，连
接CF．若AC＝26，BC＝20，则四边形EBFC的面积为（ ）
A．120 B．240 C．360 D．480
4．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，若BC=❑√5，AE：EC＝3：
2，则AB的长为（ ）A．❑√41 B．❑√30 C．❑√10 D．3
5．如图，在Rt△ABC中，斜边AB＝6，以AC为边向△ABC外作等边三角形ACD，以BC为腰作等腰
Rt△BCE，连结DE．若AC为a，BC为b，DE为c，则下列关系式成立的是（ ）
A．ab+8＝c2 B．a2+b2＝2c2 C．a2+c2＝3b2 D．ab+36＝c2
6．如图，在△ABC和△ABD中，AB＝AC＝AD，AC⊥AD，AE⊥BC于点E，AE的反向延长线与BD交于
点F，连结CD，则线段BF，DF，CD三者之间的关系为（ ）
A．BF﹣DF＝CD B．BF+DF＝CD
C．BF2+DF2＝CD2 D．2BF﹣2DF＝CD
7．如图，△ABC与△ACD均为直角三角形，且∠ACB＝∠CAD＝90°，AD＝2BC＝12，AB：BC＝5：3，
点E是BD的中点，则AE的长为（ ）A．3 B．5 C．4 D．6
8．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，点F为CD上一点，连接AF交BD于点E，AF⊥AB，DE＝
DF，∠BAG＝∠ABC＝45°，BC+AG=20❑√2，AE＝2EF，则AF＝（ ）
17❑√2
A．12 B．8❑√2 C．10 D．
2
9．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD与点E，交AC于点F，AC＝13，AD＝
12，BC＝14，则DE的长等于（ ）
9 13
A． B．5 C． D．7
2 2
10．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC=❑√2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB'C'的位置，
连接C'B，则C'B的长为（ ）
❑√3
A．2−❑√2 B． C．❑√3−1 D．1
2
二．填空题（共10小题）
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上，且AD＝BD，过点A作AE⊥BD，交BD的延长线于
点E，若AE＝6，BC=2❑√10，则BD的长为 ．12．如图，在△ABC中，BD⊥AC，点E是AB的中点，BD于CE交于F点，且FB＝FC，AC＝EC＝10时，
则BC的长是 ．
13．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＞90°，AC⊥BC，若AB＝2，AD=❑√2，则
BD的长为 ．
1
14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D在线段BC上，点E在线段AD上，∠BAC＝∠DEC= ∠ADB，
2
CD＝6，AB＝12❑√2，则线段BD的长为 ．
15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BC上有一点D，连接AD，作AE⊥AD，且AE＝AD，连
接BE交AC于点F，使EF=❑√26CF，当CD＝6时，则CF＝ ．16．如图，在四边形ABCD中和，AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，∠ADC＝90°．对角线AC与BD相交于点
E，若BE＝3DE，则ED＝ ．
17．如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，AE是△ABD中BD边上的中线，若∠CBD＝60°，∠AEB
＝150°，BD＝4，则AB＝ ．
18．如图，△ABC中，BC＝8，AC﹣AB＝3，D是△ABC外一点，且∠ACD+∠ABD＝180°，CD＝BD．若
AD⊥CD，则△BCD的面积是 ．
19．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD为△ABC的中线，FE垂直平分AB交AD于点
G，则GD＝ ．20．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12❑√3，CD=20，∠ADB=30°，∠CAD=3∠BAD，则
BD的长为 ．
三．解答题（共10小题）
21．在△ABC和△ADE中，点D在BC边上，∠BAC＝∠DAE＝ ，AD＝AE．
α
（1）若AB＝AC．
i）如图1，当 ＝90°时，连接EC，猜想并求线段DB，DC，DE之间的数量关系；
ii）如图2，当α＝60°时，过点A作DE的垂线，交BC边于点F，若BC＝8，BD＝2，求线段CF的长；
（2）如图3，已α 知 ＝90°，过点A作DE的垂线，交BC边于点F，若AB=4❑√5，AC=2❑√5，当CF
＝1时，则线段BD的α长为 ．
22．已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°．
（1）如图1，点M在斜边AB上，且AC＝1+❑√3，MA=❑√2，则线段MB＝ ，MC＝
．
（2）如图2，点M在△ABC外，MA＝2，MC＝5，∠AMC＝45°，求MB；
（3）如图3，点M在△ABC外，MA＝3，MB＝3❑√5，MC＝6，求AC．23．已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．
（1）如图 1，当 B、C、M、N 在同一直线上，且∠MAN＝45°，BM＝1，CN＝2 时，MN＝
；（直接写出计算结果）
（2）如图2，当B、C、M、N在同一直线上，且∠MAN＝135°时，写出线段BM、CN、MN之间的数量
关系，并加以证明；
（3）如图3，当BM⊥AB于点B，CN⊥AC于点C，BM＝CN＝2❑√2，且∠MAN＝135°时，直接写出线
段MN的值．
24．（1）如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，且点D在BC
边上滑动（点D不与点B，C重合），连接EC．求证：BD2+CD2＝2AD2；[拓展延伸]
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝17cm，CD＝8cm，求AD的
长；
（3）如图3，把斜边长都为18cm的一副三角板的斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间
的距离AB长为 cm．
25．如图，等腰△ABC和等腰△ADE，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝ ．
α
（1）如图1， ＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，CD＝8，求线段BD的长度；
（2）如图2，α＝120°，点M、N在线段BC上，∠MAN＝60°，BM＝MN，求证：MN＝CN；
（3）如图 3，α a＝90°，连接 BE 和 CD，若 AC＝6，AD＝4，BE＝5，直接写出 CD 的长为
．
26．学完勾股定理后，小宇碰到了一道题：如图1，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，若AB＝5，
CD＝4，BC＝6，则AD的长为 ．
他不会做，去问同桌小轩，小轩通过思考后，耐心地对小宇讲道：“因为 AC⊥BD，垂足为O，那么在
四边形 ABCD 中有四个直角三角形，利用勾股定理可得 AD2＝OA2+OD2，BC2＝OB2+OC2，AB2＝
OA2+OB2，CD2＝OC2+OD2…”小轩话没讲完，小宇就讲道：“我知道了，原来AD2+BC2与AB2+CD2之
间有某种数量关系．”并对小轩表示感谢．（1）请你直接写出AD的长．
（2）如图2，分别在△ABC的边BC和边AB上向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP，连接PC，PQ．
①若AC＝4，BC＝8，连接AQ，交PC于点D，当∠ACB＝90°时，求PQ的长；
②如图3，若AB＝10，BC＝8，PC＝8❑√3，当∠ACB≠90°时，求△ABC的面积．
27．如图，点D为等边△ABC边AC上一点，点E为射线BC上一点
（1）若点E在边BC上且CE＝AD，求证：∠BFE＝60°；
（2）若点E在线段BC的延长线上，连接AE交BD的延长线于点G，当BG＝BC时，求证：BD＝
AD+CE；
（3）在（2）的条件下，若CD＝5，BE＝12，则AB＝ ．
28．已知△ACB是等腰直角三角形，CA＝CB，
（1）如图 1，△CDE 是等腰直角三角形，点 D 在 AB 的延长线上，CD＝CE，连接 BD，求证：
BE⊥AB；
（2）如图2，点F是斜边AB上动点，点G是AB延长线上动点，总有∠FCB＝∠CGF，探究AF，
GF，BG的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，点H是AC一点，连接FH，若∠HFC＝45°，AF＝m，BF＝n，直接写出△CHF的面积为（用m，n表示）．
29．在等腰△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，E为AD上一点，连接BE，CE，∠BAC＝∠CED＝
2∠BED＝2x．
（1）如图1，若x＝45°，求证：CE＝2AE；
（2）如图2，若x＝30°，AB＝AC=❑√7．求CE的长；
（3）如图3，若x＝60°，AB＝AC＝2❑√3，点Q为△ABC外一点，且∠BQA＝60°，AQ＝2，求线段QC
的长．
30．（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC
之间的数量关系．
解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE，
易证得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE；从而探寻线段DA、DB、DC之间
的数量关系．
根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是 ．
【拓展延伸】
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索
线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；
【知识应用】
（3）如图3，两块斜边长都为12cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间
的距离PQ的长分别为 cm．
