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重难点突破 05 含参导数的分类讨论
一、当导函数 对应 的值含有参数,不能区分大小时,需要对导函数方程根的
大小,即 的值进行分类讨论,从而得到对应所求函数的单调性.
对导函数方程根分类讨论的解题思路一般为:
(1)对原函数解析式求导,令导函数 ,求出对应的 和 ;
(2)分三种情况分类讨论 的大小关系,判断不同区间对应导数的正负;
(3)通过分类讨论情况,综合得到所求的函数单调性及单调区间.
二、当导函数属于一元二次函数类型时,需要对 对应的判别式 的大小进行分类
讨论,根据 与0的大小关系判断实数根的个数,从而对函数单调性作出解答.
根据判别式讨论函数单调性问题,基本思路为:
(1)求出导函数解析式,判断判别式的符号的正负;
(2)讨论 大小对应情况,从而确定方程 实数根的个数;
(3)结合实数根对应不同的具体图象,从而判断函数的单调区间.
三、当导函数类型不明确时,参数的不同情况会导致函数导函数类型不同,因此当参数决定导
函数类型时,应对参数进行分类讨论从而判断对应函数的单调区间。
以导函数类型为依据的分类讨论解题思路一般为:
(1)对所求函数求导,得到具体到函数解析式;
(2)对参数进行分类讨论,探讨不同类别导函数在规定区间的具体值,判断对应函数单调区间;
(3)综合所有情况,对函数的单调区间做出总结,即对应问题所求.
1．（2023春•商洛期末）已知函数 ．
（1）当 时，求 在 ， 上的最值；
（2）讨论 的单调性．2．（2023春•荔湾区期末）已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
3．（2023春•朝阳期末）已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调区间；4．（2023春•铁西区校级期中）已知函数 ．
（1）当 时，求函数 在 ， 上的最大值和最小值；
（2）试讨论函数 的单调性．
5．（2023春•越秀区校级月考）设函数 ， ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）证明：当 时， 的图象与 的图象有2条公切线．6．（2023春•仁寿县校级期中）已知函数 ．
（1）若 在 ， 上单调递增，求 的取值范围．
（2）求 的单调区间．
7．（2023•中卫一模）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；8．（2023春•怀仁市期末）已知函数 ， ．
（1）若 时，求 在 处的切线方程；
（2）讨论函数 的单调性．
9．（2023春•芗城区校级月考）已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调区间；10．（2023春•唐山期末）已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 有且仅有2个零点，求实数 的取值范围．
11．（2023春•锦州期末）已知函数 ．
（1）若 是函数 的极小值点，求 的值；
（2）讨论 的单调性．12．（2023春•斗门区校级月考）已知函数 ．
（1）求函数 的极值；
（2）讨论函数 在 ， 上的单调性．
13．（2023春•青山区校级月考）已知 ，函数 ，其中 是自
然对数的底数．
（1）当 时，求曲线 在点 ， （1） 处的切线方程；
（2）当 时，求函数 的单调区间．14．（2023春•仁寿县校级期中）已知函数 ．
（1）当 时，求 曲线在 处的切线方程；
（2）讨论 的单调性．
15．（2023春•忠县校级月考）已知函数 ．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若a≤0，试讨论函数f（x）的单调性16．（2023春•顺义区期中）已知函数 ， ．
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）若 有两个零点，求 的取值范围．
17．（2023春•江苏月考）已知函数 ， ．
（1）讨论 的单调性；18．（2023•德州三模）已知函数 ，其中 ．
（1）当 时，求函数 在 ， （1） 处的切线方程；
（2）讨论函数 的单调性；
19．（2023春•青岛期中）设函数 ．
（1）求 的单调区间；20．（2023春•全南县校级期末）已知 ， ．
（1）求 的单调区间；
21．（2023春•湛江期末）已知函数 ， 为自然对数的底数）．
（Ⅰ）讨论函数 的单调性；22．（2023 春•博白县校级期中）已知函数 ，其中 ，
为 的导函数．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，试讨论函数 在 上的零点个数．
23．（2023春•越秀区校级期末）已知函数 ，其中 ．
（1）求函数 的单调区间；24．（2023春•怀仁市校级期末）已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
