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第二单元 勾股定理能力提升测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。）
1．下列是勾股数的是（ ）
A．12，15，18 B．6，10，7 C．12，16，20 D．
【答案】C
【解答】解：A、122+152≠182，不是勾股数，不符合题意；
B、62+72≠102，不是勾股数，不符合题意；
C、122+162＝202，是勾股数，符合题意；
D、 不是整数，所以不是勾股数，不符合题意．
故选：C．
2．如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B（∠C＝
90°）绕过村庄间的大山，打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知AC＝
6km，BC＝8km，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（ ）
A．2km B．3km C．4km D．5km
【答案】C
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6km，BC＝8km，
∴AB＝ ＝ ＝10（km），
∴AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（km），
即打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为4km，
故选：C．
3．如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，
如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（）
A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺
【答案】C
【解答】解：设水池的深度为x尺，由题意得：
x2+82＝（x+2）2，
解得：x＝15，
所以x+2＝17．
即：这个芦苇的高度是17尺．
故选：C．
4．如图，在△ABC中，过点A作BC的垂线交BC的延长线于点D，已知AC＝13，BC＝
11，AD＝12，则AB的长度为（ ）
A．15 B．16 C．18 D．20
【答案】D
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠D＝90°，
在Rt△ACD中，AC＝13，AD＝12，
∴CD＝ ，
∵BC＝11，
∴BD＝BC+CD＝11+5＝16，
在Rt△ABD中，AB＝ ，
故选：D．5．如图，在数轴上点A，B所表示得数分别是﹣1，1，CB⊥AB，BC＝1，以点A为圆心，
AC 长为半径画弧，交数轴于点 D（点 D 在点 B 的右侧），则点 D 所表示的数是
（ ）
A． B． ﹣1 C． D．2﹣
【答案】B
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝1，
由勾股定理得，AC＝ ，
则点D表示的数为 ﹣1．
故选：B．
6．如图，在高为3m，斜坡长为5m的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（ ）
A．5m B．6m C．7m D．8m
【答案】C
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝ ＝4（米），
故可得地毯长度＝AC+BC＝7（米），
故选：C．
7．如图是“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是
29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则a+b的值
是（ ）A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解答】解：∵大正方形的面积是29，小正方形的面积是9．
∴一个小三角形的面积是 ×（29﹣9）＝5．三角形的斜边为 ．
∴ ＝5．a2+b2＝29．
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝49．
∴a+b＝7．
故选：C．
8．如图，在四边形ABCD中，对角线分别为AC，BD，且AC⊥BD交于点O，若AD＝2，
BC＝6，则AB2+CD2的值为（ ）
A．40 B．38 C．36 D．32
【答案】A
【解答】解：∵AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝90°，
∴AB2＝OA2+OB2，CD2＝OD2+OC2，AD2＝OA2+OD2＝22＝4，BC2＝OC2+OB2＝62＝
36，
∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OD2+OC2＝AD2+BC2＝4+36＝40，
故选：A．
9．小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是
1m，1m，2m，那么电梯内能放入下列木条中的最大长度是（ ）A．3m B．2.4m C．2.1m D．2m
【答案】B
【解答】解：如图：
根据勾股定理：AB2＝12+12＝2，
AC2＝AB2+BC2＝2+4＝6，
故AC＝ ≈2.4，
故选：B．
10．如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径向上作三个半圆所组成的两个新月形，
面积分别记作S 和S ．若S +S ＝7，AC＝3，则BC长是（ ）
1 2 1 2
A．3.5 B． C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：以AC为直径的半圆的面积＝ × × ＝ ，
π π同理：以BC为直径的半圆的面积＝ ，以AB为直径的半圆的面积＝ ，
π π
∴S +S ＝ + +△ABC的面积﹣ ，
1 2
π π π
∵∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴S +S ＝△ABC的面积＝ AC•BC＝7，
1 2
∵AC＝3，
∴BC＝ ．
故选：B．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AB的中点，过D作ED⊥AB交
AC于E点，则AE的长为 ．
【答案】 ．
【解答】解：连接BE，
∵D为AB的中点，过D做ED⊥AB交AC于E点，
∴AE＝BE，
∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝ ，
设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x，
在Rt△ECB中，CE2+BC2＝BE2，
即x2＝62+（8﹣x）2，
解得：x＝ ，即AE＝ ，
故答案为： ．
12．如图，一架秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送1.5m（水平
距离BC＝1.5m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1m，秋千的绳索始终拉直，则绳
索AD的长是 2. 5 m．
【答案】2.5．
【解答】解：∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，
∴四边形BCEF是矩形，△ACB是直角三角形，
∴CE＝BF＝1m，
∴CD＝CE﹣DE＝1﹣0.5＝0.5（m），
设绳索AD的长为x m，
则AB＝AD＝x m，AC＝AD﹣CD＝（x﹣0.5）m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
即（x﹣0.5）2+1.52＝x2，
解得：x＝2.5（m），
即绳索AD的长是2.5m，
故答案为：2.5．
13．数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等
的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形较短直角边长为6，
大正方形的边长为10，则小正方形的面积为 4 ．【答案】4．
【解答】解：∵直角三角形较短直角边长为6，大正方形的边长为10，
∴较长直角边长为 ＝8，
∴小正方形的边长为8﹣6＝2，面积为2×2＝4．
故答案为：4．
14．如图，∠ACB＝90°，AB＝4cm，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角
形，则图中阴影部分的面积为 1 6 cm 2 ．
【答案】16cm2．
【解答】解：由已知可得，
阴影部分的面积为 ＝ ，
∵∠ACB＝90°，AB＝4cm，
∴BC2+AC2＝AB2＝42＝16，
∴
＝
＝
＝16，故答案为：16cm2．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射
线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值
为 8 或 5 或 ．
【答案】8或5或 ．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，
由勾股定理得：BC＝ ＝8（cm），
①当AB＝AP时，如图1所示：
∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BP，
∴PC＝BC＝8（cm），
∴BP＝16（cm），
∴t＝16÷2＝8（s），
②当BP＝BA＝10cm时，如图2所示：
∴t＝10÷2＝5（s），
③当PA＝PB时，如图3所示：
设BP＝x cm，则PC＝（8﹣x）cm，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：（8﹣x）2+62＝x2，
∴x＝ ，
∴BP＝ cm，
∴t＝ ÷2＝ （s）；
综上所述，t的值为8或5或 ，故答案为：8或5或 ．
16．如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，
则筷子露在杯子外面的长度至少为 2 厘米．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，
∴勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即 ＝10cm，
∴筷子露在杯子外面的长度至少为12﹣10＝2cm，
故答案为2．三、解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）如图，一只小猫沿着斜靠在墙角的木板AB往上爬，木板底端距离墙角0.7m，
当小猫从木板底部爬到顶端A时，木板底端向墙外滑动了1.3m，木板顶端向下滑动了
0.9m．求出A C和这块木板的长度．
1
【答案】A C的长度是1.5m，木板的长度是2.5m．
1
【解答】解：根据题意得：BC＝0.7m，BB ＝1.3m，AA ＝0.9m，
1 1
设A C的长度是x m，
1
在Rt△ABC和Rt△A B C中，∠ACB＝90°，AB＝A B ，
1 1 1 1
∴AB2＝AC2+BC2，A ＝A C2+B C2，
1 1 1
∴AC2+BC2＝A C2+B C2，
1 1
即（0.9+x）2+0.72＝x2+（1.3+0.7）2，
解得：x＝1.5，
∴A C＝1.5m，AC＝0.9+1.5＝2.4（m），
1
∴AB＝ ＝ ＝2.5（m），
答：A C的长度是1.5m，木板的长度是2.5m．
1
18．（8分）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝20cm，D是边AB上一点，且CD
＝16cm，BD＝12cm．
（1）求AD的长；
（2）求△ABC中BC边上的高．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵BC＝20cm，且CD＝16cm，BD＝12cm，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
设AD＝x cm，则AC＝AB＝（x+12）cm，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2，
即x2+162＝（x+12）2，
解得：x＝ ，
即AD＝ cm；
（2）AB＝AC＝ +12＝ （cm），
过A作AE⊥BC于E，则AE是△ABC的高，
∵AB＝AC，BC＝20cm，
∴BE＝CE＝10（cm），
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AE＝ ＝ ＝ （cm），
即△ABC中BC边上的高是 cm．
19．（8分）如图，把一块Rt△ABC（∠ACB＝90°）土地划出一个△ADC后，测得CD＝3m，AD＝4m，BC＝12m，AB＝13m．
（1）试判断△ADC的形状，并说明理由；
（2）求图中阴影部分土地的面积．
【答案】（1）△ADC是直角三角形，证明过程见解答部分；
（2）阴影部分土地的面积为24m2．
【解答】解：（1）△ADC是直角三角形，
理由：∵∠ACB＝90°BC＝12m，AB＝13m，
∴AC＝ m，
∵在△ADC中，AD＝4m，CD＝3m，
∴32+42＝52，
即：CD2+AD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
即：△ADC是直角三角形
（2）S阴影 ＝S△ACB ﹣S△ADC
＝ AC•BC﹣ AD•CD
＝
＝30﹣6
＝24（m2）．
答：阴影部分土地的面积为24m2．
20．（8分）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形．
它是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c．
（1）结合图①，求证：a2+b2＝c2；
（2）如图②③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形 PQMN，记正方形
PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S ，S ，S ，若S +S ＝20，求S ．
1 2 3 1 3 2【答案】（1）证明见解答过程；
（2）8．
【解答】（1）证明：S小正方形 ＝（b﹣a）2＝a2﹣2ab+b2，
S小正方形 ＝c2﹣4× ，
即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，
∴a2+b2＝c2；
（2）解：设正方形EFGH的面积为x，其他八个全等三角形的面积为y，
∵S +S +S ＝24，
1 2 3
∴S ＝8y+x，S ＝4y+x，S ＝x，
1 2 3
∴S +S +S ＝3x+12y＝24，
1 2 3
∴x+4y＝8，
∴S ＝8．
2
21．（10分）6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．
如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与
直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测
量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风中心的移动速度为25千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）海港C受台风影响，理由：
∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
过点C作CD⊥AB于D，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC•BC＝CD•AB，
∴300×400＝500×CD，
∴CD＝240km，
∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
（2）当EC＝260km，FC＝260km时，正好影响C港口，
∵ED＝ （km），
∴EF＝2ED＝200km，
∵台风的速度为25千米/小时，
∴200÷25＝8（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为8小时．
22．（10分）如图，已知A（0，m），B（n，0），且m，n满足（m﹣n）2+|n﹣6|＝0．点
D是线段AB中点，动点E，F分别在线段OA，OB上运动，且始终有AE＝OF．
（1）请直接写出点A和点B的坐标；
（2）请判断△DEF的形状并说明理由；
（3）下列结论：①四边形 OEDF 周长为定值；②四边形 OEDF 面积为定值；
③∠OEF+∠DFE为定值．请选择一个正确的结论并说明理由．【答案】（1）A（0，6），B（6，0）；
（2）△DEF是等腰直角三角形；
（3）②，四边形OEDF面积为 ，定值为9．
【解答】解：（1）∵（m﹣n）2+|n﹣6|＝0，
∴m﹣n＝0，n﹣6＝0，即m＝n＝6，
∵A（0，m），B（n，0），
∴A（0，6），B（6，0）；
（2）连接OD、EF，
，
在Rt△ABO中，AB＝ ＝6 ，
∵点D是线段AB中点，
∴OD＝ AB＝AD＝BD＝3 ，
∵OA＝OB＝6，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝∠ABO＝45°，OD⊥AB，
∵AD＝BD＝OD，
∴∠BAO＝∠AOD＝45°，∠ABO＝∠BOD＝45°，
∵AE＝OF，AD＝OD，∠DAO＝∠DOF，
∴△ADE≌△ODF（SAS），
∴DE＝DF，∠ADE＝∠ODF，
∴△DEF是等腰三角形，
∵∠ADE+∠EDO＝90°，∴∠EDF＝∠EDO+∠ODF＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形；
（3）∵△ADE≌△ODF，
∴AE＝OF，DE＝DF，
四边形OEDF周长＝OE+OF+DE+DF＝OE+AE+DE+DF＝AO+2DE，
∵E是线段AO上的动点，
∴DE不是一个定值，即四边形OEDF周长不为定值，故①结论不正确，
∵△OAB是等腰直角三角形，点D是线段AB中点，
∴S△OAD ＝S△OBD ＝ S△ABO ＝ ＝9，
∵ ＝S△ADO ＝S△ADE +S△EDO ＝9，
由（2）中△ADE≌△ODF可得，S△ADE ＝S△ODF ，
∴S△EDO +S△ODF ＝ ＝9，
即四边形OEDF面积为 ，定值为9．故②结论正确，
∵DE＝DF，
∴∠DEF＝∠DFE，
∠OEF+∠DFE＝∠OEF+∠DEF＝∠DEO，
∵E是线段AO上的动点，
∴∠DEO不是一个定值，即∠OEF+∠DFE不为定值，故③结论不正确．
