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第十七章 勾股定理章末测试卷
能力提升培优测
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
考前须知：
1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。
2．测试范围：勾股定理（人教版）。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。）
1．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列条件不能判定△ABC为直角三角形
的是（ ）
A．∠C＝∠A+∠B B．∠A：∠B：∠C＝1：1：2
C．（c+b）（c﹣b）＝a2 D．a=❑√2，b=❑√3，c=❑√6
【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵∠C＝∠A+∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C＝1：1：2，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、∵（c+b）（c﹣b）＝a2，
∴c2﹣b2＝a2，
∴c2＝a+b2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、∵（❑√2）2+（❑√3）2≠（❑√6）2，
∴△ABC不是直角三角形，符合题意，
故选：D．
2．（3分）若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（ ）A．13 B．❑√119 C．❑√119或13 D．11
【分析】分a为最长边，12为最长边两种情况讨论，根据勾股数的定义解答即可．
【解答】解：分两种情况讨论：
①a为最长边，a=❑√52+122=13，13是正整数，符合题意；
②12为最长边，a=❑√122−52=❑√119，不是整数，不能构成勾股数，不符合题意；
故选：A．
3．（3分）我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是由四个
全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表
示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理．
【解答】解：选项A：如图，
大正方形的面积等于四个三角形的面积加两小正方形的面积，
1
∴4× ab+a2+b2＝（a+b）2，
2
故选项A不能得出勾股定理，符合题意；
选项B：如图，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
1
∴4× ab+c2＝（a+b）2，
2
整理得a2+b2＝c2，
故选项B能得出勾股定理，不符合题意；
选项C：如图，
1 1 1
由图可得 ab + ab+c2＝6× ab+（a﹣b）2，
2 2 2
整理得a2+b2＝c2，
故选项C能得出勾股定理，不符合题意；
选项D：如图，
由图可知S正方形ABDE ＝4S△ABC +S正方形FCHG ，
∵大正方形的面积＝c2，小正方形的面积＝（a﹣b）2，
1
∴4× ab+（a﹣b）2＝（a+b）2，
2
即c2＝a2+b2，
故选项D能得出勾股定理，不符合题意；
故选：A．
4．（3分）已知一个直角三角形的两条边长为5和13，则第三边的平方是（ ）
A．12 B．169 C．144或194 D．144或169
【分析】分为两种情况：①当第三边是斜边时，②当第三边是直角边时，根据勾股定理求出即可．
【解答】解：分为两种情况：①当第三边是斜边时，第三边的平方是52+132＝194；
②当第三边是直角边时，第三边的平方是132﹣52＝144；
故选：C．
5．（3分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）
A．❑√13 B．❑√5 C．2.2 D．3−❑√5
【分析】连接AD，则AD＝AB＝3，在Rt△ACD中，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：连接AD，
由题意知：AD＝AB＝3，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
CD=❑√AD2−AC2=❑√32−22=❑√5，
故选：B．
6．（3分）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔在笔
筒内部的长度l的取值范围是（ ）
A．12cm≤l≤15cm B．9cm≤l≤12cm
C．10cm≤l≤15cm D．10cm≤l≤12cm
【分析】当铅笔不垂直于底面放置时，利用勾股定理可求得铅笔露出笔筒部分的最小长度；考虑当铅笔垂
直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度是露出的最大长度；从而可确定答案．
【解答】解：当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理得：❑√122+92=15(cm)，
当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒内部长度12cm，
所以这只铅笔在笔筒内部的长度l的取值范围是12cm≤l≤15cm．
故选：A．
7．（3分）如图，点A是以点O为圆心，OM为半径画弧与数轴的交点，点B是以点O为圆心，ON为半径画弧与数轴的交点，数轴上点A，B表示的数分别为a，b．化简❑√(a+b) 2+❑√(a−b) 2为（ ）
A．❑√10+2❑√2 B．2❑√10 C．❑√10−2❑√2 D．2❑√10+2❑√2
【分析】根据勾股定理求得OA=OM=2❑√2，OB=ON=❑√10，得到a=−2❑√2，b=❑√10，代入式子后根
据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：根据勾股定理，得OM=❑√22+22=2❑√2，ON=❑√12+32=❑√10，
∴OA=OM=2❑√2，OB=ON=❑√10，
∴a=−2❑√2，b=❑√10，
∴❑√(a+b) 2+❑√(a−b) 2
=❑√ (−2❑√2+❑√10) 2+❑√ (−2❑√2−❑√10) 2
=−2❑√2+❑√10+2❑√2+❑√10
=2❑√10．
故选：B．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S ，S ，
1 2
S ．若S +S ﹣S ＝18．则图中阴影部分的面积为（ ）
3 3 2 1
9 7
A．6 B． C．5 D．
2 2
【分析】由勾股定理得S +S ＝S ，再由S +S ﹣S ＝18求出S ＝9，即可解决问题．
1 2 3 3 2 1 2
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+AB2＝BC2，
即S +S ＝S ，
1 2 3
∵S +S ﹣S ＝18，
3 2 1
∴S ＝9，
2
1
由图形可知，阴影部分的面积= S ，
2 29
∴阴影部分的面积= ，
2
故选：B．
9．（3分）如图，已知四边形ABCD，∠B＝∠D＝90°，∠BCD＝120°，AB＝4，CD＝2，则AD的长为
（ ）
A．6−2❑√3 B．4❑√3−4 C．4 D．8−2❑√3
【分析】延长BC和AD交于点E，根据题意可推出∠CED＝30°，然后利用含30度角的直角三角形的性质
和勾股定理可求得DE，AE，即可得到答案．
【解答】解：延长BC和AD交于点E，如图，
由题意可得：
∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝180°﹣120°＝60°，
∵∠CDE＝90°，
∴∠E＝90°﹣60°＝30°，
∵CD＝2，∠E＝30°，
∴CE＝2CD＝2×2＝4，
∴DE=❑√CE2−CD2=❑√42−22=2❑√3，
∵∠B＝90°，AB＝4，∠E＝30°，
∴AE＝2AB＝2×4＝8，
∴AD=AE−DE=8−2❑√3．
故选：D．
10．（3分）如图，∠AOB＝30°，OA＝6cm，点M是射线OB上一个动点，当△AOM为直角三角形时，OM
的长为（ ）A．3❑√3cm B．4❑√3cm
C．5❑√3cm D．3❑√3cm或4❑√3cm
【分析】根据题意，分情况讨论∠AMO或∠OAM分别为直角时，OM的长即可求解．
【解答】解：分两种情况：
当∠AMO＝90°时，如图：
∵∠AOM＝30°，
1
∴AM= OA=3cm，
2
∴OM=❑√OA2−AM2=3❑√3cm；
当∠OAM＝90°时，如图：
∵∠AOM＝30°，
∴OM＝2AM，
∵AM2+OA2＝OM2，
即 AM2+OA2＝（2AM）2，
❑√3
∴AM= OA=2❑√3cm，
3
∴OM=2AM=4❑√3cm．
综上所述：OM的值为3❑√3cm和4❑√3cm．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）在△ABC中，∠B＝45°，AC=❑√5，AD⊥BC于点D，若AD＝2，则BC的长为 3 或 1 ．
【分析】由勾股定理得CD＝1，再证明△ABD是等腰直角三角形，得BD＝AD＝2，然后分两种情况，
①△ABC是锐角三角形时，BC＝BD+CD＝3；①△ABC是钝角三角形时，BC＝BD﹣CD＝1；即可得出结
论．
【解答】解：如图，∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴CD=❑√AC2−AD2=❑√(❑√5) 2−22=1，
∵∠B＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴BD＝AD＝2，
分两种情况：
①△ABC是锐角三角形时，BC＝BD+CD＝2+1＝3；
①△ABC是钝角三角形时，BC＝BD﹣CD＝2﹣1＝1；
综上所述，BC的长为3或1，
故答案为：3或1．
12．（3分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，点E在AD上，连接CE，AE＝CE．若AD＝15，BC＝
27
13，BD＝5，则DE的长为 ．
10
【分析】先根据勾股定理求出CD的长，然后设AE＝CE＝x，从而可以得到DE＝15﹣x，再根据勾股定理
可以求得x的值，最后求出DE的值即可．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°，
∵BC＝13，BD＝5，
∴CD=❑√BC2−BD2=❑√132−52=12，
设AE＝CE＝x，∵AD＝15，
∴DE＝AD﹣AE＝15﹣x，
∵∠CDE＝90°，
∴CD2+DE2＝CE2，
即122+（15﹣x）2＝x2，
123
解得x= ，
10
123 27
∴DE＝15﹣x＝15− = ，
10 10
27
故答案为： ．
10
3
13．（3分）如图，直角三角形ABC中，AC+BC＝5，S△ABC =
2
，则AC2+BC2的值是 1 9 ．
【分析】由三角形的面积公式求得AC•BC＝3；结合完全平方公式的变形公式得到AC2+BC2＝（AC+BC）2
﹣2AC•BC，代入求值即可．
3 1
【解答】解：∵S△ABC =
2
，
2
AC•BC＝S△ABC ，
1 3
∴ AC•BC = ，
2 2
∴AC•BC＝3．
∴AC2+BC2
＝（AC+BC）2﹣2AC•BC
＝52﹣2×3
＝19．
故答案为：19．
14．（3分）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图
②，其中AB＝AB'，AB⊥B'C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．则AC的长度为 3.7 5 尺.【分析】设AC的长度为x尺，则AB'＝AB＝（x+0.5）尺，在Rt△AB'C中，由勾股定理列出方程，解方程
即可．
【解答】解：设AC的长度为x尺，则AB'＝AB＝（x+0.5）尺，
在Rt△AB'C中，由勾股定理得：AC2+B'C2＝AB'2，
即x2+22＝（x+0.5）2，
解得：x＝3.75，
即AC的长度为3.75尺，
故答案为：3.75．
15．（3分）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，E是格点，则∠ABD+∠CBE的度数为 45 ° ．
【分析】如图，作∠EBF＝∠ABD，连接CF，根据勾股定理和勾股定理的逆定理可得△BCF是等腰直角三
角形，可得∠CBF＝45°，可得∠ABD+∠CBE的度数．
【解答】解：如图，作∠EBF＝∠ABD，连接CF，
∵BC＝CF=❑√22+12=❑√5，
BF=❑√32+12=❑√10，
（❑√5）2+（❑√5）2＝（❑√10）2，
∴△BCF是等腰直角三角形，
∴∠CBF＝45°，
∴∠ABD+∠CBE＝45°．
故答案为：45°．16．（3分）在一次综合实践活动中，小明将6个边长为1的小正方形进行如下操作：第一次操作，三个小正
方形一组，边重叠拼接成如图1所示的2个“L型”；第二次操作，将这2个“L型”顶点G、J重合，并
且使得E，G（J）H三点共线，摆放成如图2所示的图形；第三次操作，将图2中的新图形放置在长方形
纸片ABCD中．此时发现，小正方形的顶点E、F、H、I都落在长方形ABCD的各边上，若AB＝3，则BC
+❑√7
＝ 3 ．
【分析】过G作MN⊥BC，交BC于点N，交AD于点M，易证△AFE≌△MEG≌△MEG≌△NHG，进而
3
可求得AE＝GM＝GN＝CH= ，再利用勾股定理求出EM即可得解．
2
【解答】解：如图，过G作MN⊥BC，交BC于点N，交AD于点M，
∵∠FEG＝90°，
∴∠AEF＝∠MGE＝90°﹣MEG，
在△AFE和△MEG中，
{
∠A=∠MGE
)
∠AEF=∠MGE ，
EF=EG
∴△AFE≌△MEG（AAS），
同理可证△NHG≌△CIH（AAS），
在△MEG和△NHG中，{∠EMG=∠HNG
)
∠MGE=∠NGH ，
EG=GH
∴△MEG≌△NHG（AAS），
∴△AFE≌△MEG≌△MEG≌△NHG，
∴设AE＝GM＝GN＝CH＝x，AF＝EM＝NH＝CI，
∵AB＝MN＝GM+GN＝2x＝3，
3
∴x= ，
2
3
∴AE＝GM＝GN＝CH= ，
2
❑√7
在Rt△EMG中，EM=❑√EG2−MG2= ，
2
∴BC＝BN+NC＝AM+NC＝AE+EM+NH+CH＝3+❑√7，
故答案为：3+❑√7．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）在5×5的网格中有线段AB，在网格线的交点上找一点C，使三角形ABC满足如下条件．（仅用
直尺作图）
（1）在网格①中作一个等腰三角形ABC；
（2）在网格②中作一个直角三角形ABC，使两直角边的长为无理数．
【分析】（1）由勾股定理得出❑√32+42=5＝AB，作AC＝5，或BC＝5，画出图形即可；
（2）由勾股定理得出12+22＝5，22+42＝20，5+20＝25＝AB2，由勾股定理的逆定理得出直角三角形，画出
图形即可．
【解答】解：（1）∵❑√32+42=5，AB＝5，
∴作AC＝5，或BC＝5，
△ABC如图1所示：（2）∵❑√12+22=❑√5，❑√22+42=2❑√5，
（❑√5）2+（2❑√5）2＝5+20＝25＝AB2，
∴画出△ABC和△ABC 是直角三角形，
1
如图2所示．
18．（8分）某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级（4）班的劳动实践基地
的示意图形状，经过班级同学共同努力，测得AB＝4m，AD＝3m，BC＝12m，CD＝13m，∠A＝90°．
（1）求B、D之间的距离．
（2）该班计划将该区域全部种植向日葵，若种植向日葵每平方米成本为12元，则该班种植向日葵的成本
为多少？
【分析】（1）由勾股定理得BD=❑√AB2+AD2，即可求解；
（2）可得BD2+BC2＝CD2，由勾股定理的逆定理得△BCD是直角三角形，求四边形的面积，即可求解；
【解答】解：（1）连接BD，∵∠A＝90°，
∴BD=❑√AB2+AD2
=❑√42+32
＝5（m），
故B、D之间的距离为5m；
（2）∵52+122＝132，
∴BD2+BC2＝CD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠CBD＝90°，
1 1
∴12( AB⋅AD+ BC⋅BD)
2 2
1 1
=12( ×4×3+ ×12×5)
2 2
＝432（元），
故则该班种植向日葵的成本为432元．
19．（8分）【定义新知】
如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“奇异三角形”．
【应用探究】
（1）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=❑√3，AC＝2．求证：△ABC是“奇异三角形”；
（2）已知，等腰△ABC是“奇异三角形”，AB＝AC＝20，求底边BC的长．（结果保留根号）
【分析】（1）根据“奇异三角形”的定义证明即可；
（2）分当腰上的中线BD＝AC时，当底边上的中线AD＝BC时两种情况分别画出图形求解．
【解答】（1）证明：如图，BD为三角形ABC底边AC上的中线，1
则CD= AC=1，
2
又∵BC=❑√3，
∴BD=❑√12+(❑√3) 2=2=AC，
∴△ABC是“奇异三角形”；
（2）解：分两种情况：如图，当腰上的中线BD＝AC时，则AB＝BD，过B作BE⊥AD于E
∵AB＝AC＝20，
1 1
∴BD＝20，ED= AD= AC=5，
2 4
∴CE＝10+5＝15，
∴Rt△BDE中，BE2＝BD2﹣DE2＝375，
∴Rt△BCE中，BC=❑√BE2+CE2=❑√375+225=❑√600=10❑√6；
如图，当底边上的中线AD＝BC 时，则AD⊥BC，且AD＝2BD，
设BD＝x，则x2+（2x）2＝202，
∴x2＝80，
又∵x＞0，
∴x=❑√80=4❑√5，∴BC=2x=8❑√5，
综上所述，底边BC的长为10❑√6或8❑√5．
20．（8分）如图，四边形ABCD中，∠B＝30°，过点A作AE⊥BC于点E，E恰好是BC的中点，若AE=❑√3
，DC＝1，AD=❑√13．
（1）直接写出四边形ABCD的周长；
（2）求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质得出AB的长，再根据勾股定理求出BE即可推出结果；
（2）连接AC，根据勾股定理的逆定理证明三角形ACD是直角三角形即可推出结果．
【解答】解：（1）在Rt△ABE中，∠B＝30°，
∴AB＝2AE＝2❑√3，
∴BE=❑√AB2−AE2=❑√(2❑√3) 2−(❑√3) 2=3，
∵E恰好是BC的中点，
∴BC＝2BE＝6，
∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD＝2❑√3+6+1+❑√13=7+2❑√3+❑√13；
（2）解：连接AC．
∵AE⊥BC，E为BC的中点，
∴AB＝AC．
又∠B＝30°，AE=❑√3，
∴AB=AC=2❑√3，BE＝CE＝3．
在△ACD中，
∵AD=❑√13，DC＝1，AC=2❑√3，
∴AC2+DC2＝AD2，
∴∠ACD＝90°．1 1
∴S = AC×CD=❑√3，S = BC×AE=3❑√3，
△ACD 2 △ABC 2
∴S =S +S =4❑√3．
四 边 形ABC△DABC △ACD
21．（8分）如图，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路l旁有一块山地正在开发，现
需要在C处进行爆破．已知C处与A村的距离为300米，C处与B村的距离为400米，且AC⊥BC．
（1）求A，B两村之间的距离；
（2）为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路AB段是否有危险而
需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．
【分析】（1）根据勾股定理可直接求出AB；
（2）利用三角形的面积公式求得CD＝720米．再根据241米＜250米可以判断有危险，根据勾股定理求出
DE，进而求出EF．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝300米，BC＝400米，
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√3002+4002❑√9002+12002=500（米）．
答：A，B两村之间的距离为500米；
（2）公路AB有危险而需要封锁．
理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．以点C为圆心，250米为半径画弧，交AB于点E，F，连接CE，
CF，
1 1
∵S△ABC =
2
AB•CD =
2
BC•AC，
AC⋅BC 300×400
∴CD= = =240（米）．
AB 500
由于240米＜250米，故有危险，
因此AB段公路需要封锁．
∴EC＝FC＝250米，
∴ED=❑√2502−2402
＝70（米），
故EF＝140米，
则需要封锁的路段长度为140米．22．（10分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角
线AC，BD交于点O．
（1）若AO＝2，BO＝3，CO＝4，DO＝5，请求出AB2，BC2，CD2，DA2的值；
（2）若AB＝6，CD＝10，求BC2+AD2的值；
（3）请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论．
【分析】（1）根据垂直得到的直角三角形，利用勾股定理，得到结果；
（2）根据勾股定理得到的关系式，得到BC2+AD2＝136；
（3）根据（1）（2）可得到：垂美四边形的两组对边的平方和相等．
【解答】解：（1）∵AC⊥BD，
∴△ABO是直角三角形，
∴AB2＝AO2+BO2，
同理，可得：BC2＝BO2+CO2，CD2＝CO2+DO2，AD2＝AO2+DO2，
∵AO＝2，BO＝3，CO＝4，DO＝5，
∴AB2＝13，BC2＝25，CD2＝41，AD2＝29；
（2）由（1）得：
BC2+AD2＝（BO2+CO2）+（AO2+DO2）
＝（BO2+AO2）+（CO2+DO2）
＝AB2+CD2，
即：BC2+AD2＝AB2+CD2，
∵AB＝6，CD＝10，
∴BC2+AD2＝62+102＝136；
（3）结论：“垂美”四边形的两组对边的平方和相等．
23．（10分）请阅读下面文字并完成相关任务．勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”在我国最早对勾股定理进行证明的是
三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾
股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正
1
方形的面积之和，从而得到等式c2= ab×4+(b−a) 2 ，化简得a2+b2＝c2，这里用两种求法来表示同一个
2
量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．请你用“双求法”解决下面问题：
（1）如图2，△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．
（2）2002年在北京召开的国际数学家大会会标和2021年在上海召开的国际数学教育大会会标都包含赵爽
弦图，如图3，如果大正方形的面积为18，直角三角形中较短直角边长为a，较长直角边长为b，且a2+b2
＝ab+10，则小正方形的面积为多少？
（3）勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是 D ；
A．函数思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想
（4）请借助图4，利用“双求法”验证勾股定理．
【分析】（1）结合题意可知BD＝x，CD＝6﹣x，然后在Rt△ABD和Rt△ACD中，利用勾股定理列式求解
即可；
（2）设大正方形的边长为c，由题意可知c2＝18，利用勾股定理可得a2+b2＝c2＝18，结合a2+b2＝ab+10易
得ab＝8，然后根据完全平方公式，由（b﹣a）2＝a2﹣2ab+b2，即可求得答案．
（3）勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了数相结合的数学思想，即可获得答案；
（4）根据梯形的面积等于三个直角三角形的面积，以及梯形面积等于其上底加下底乘高除以2进行证明即
可．
【解答】（1）解：∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC，
∵AB＝4，AC＝5，BC＝6，BD＝x，
∴CD＝BC﹣BD＝6﹣x，在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
即42﹣x2＝52﹣（6﹣x）2，整理可得12x＝27，
9
∴x= ；
4
（2）解：设大正方形的边长为c，
根据题意，c2＝18，
∴a2+b2＝c2＝18，
∵a2+b2＝ab+10，
∴ab＝8，
又∵小正方形的边长为：b﹣a，
∴（b﹣a）2＝a2﹣2ab+b2＝18﹣2×8＝2，
即小正方形的面积为2；
（3）解：勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是数形结合思想．
故答案为：D；
1 1 1
（4）证明：S = (a+b)⋅(a+b)= a2+ b2+ab，
梯形 2 2 2
1 1 1 1
梯形的面积又可表示为：S = ab+ c2+ ab= c2+ab，
梯形 2 2 2 2
1 1 1
∴
a2+ b2+ab= c2+ab，
2 2 2
即a2+b2＝c2，
∴直角三角形的三边满足此关系式，其中c为斜边，a，b为直角边．
24．（12分）如图，解放广场的草坪上有AO，OC，CD，DA，AC五条小路，且∠AOC＝∠ADC＝90°，AD
＝7m，DC＝24m，CO＝15m．
（1）求小路AO的长度；
（2）淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点O处，小狗从点O开始以2m/s的速度在小路上沿O→C→A
的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，设奔跑中小狗的位置为点Q，小狗奔跑的时间为t s；
①当小狗在小路CA上奔跑时，求出淇淇与小狗的最近距离，并求此时t的值；
②当△OCQ为等腰三角形时，求t的值．【分析】（1）先根据勾股定理求出AC，再由勾股定理求出AO即可得到答案；
（2）①由点到直线距离垂线段最短，过O作OB⊥AC于B，如图所示，利用等面积法即可得到OB＝
12m，在Rt△BOC中，由勾股定理求出BC＝9m，即可得到小狗奔跑的路程，从而得到小狗奔跑的时间为t
s；②由①中求解过程，结合△OCQ为等腰三角形分为三种情况：OC＝OQ；QO＝QC；CO＝CQ；分类
讨论求解即可得到答案．
【解答】解：（1）在Rt△ACD中，∠D＝90°，AD＝7m，DC＝24m，则由勾股定理可得
AC=❑√AD2+DC2=❑√72+242=25（cm），
在Rt△ACO中，∠O＝90°，AC＝24m，CO＝15m，则由勾股定理可得
AO=❑√AC2−OC2=❑√252−152=20（cm），
∴小路AO的长度20m；
（2）①由点到直线距离垂线段最短，过O作OB⊥AC于B，如图所示：
1 1
∴在Rt△ACO中，S = AO⋅OC= AC⋅OB，则20×15＝25OB，
△AOC 2 2
解得OB＝12m，
在Rt△BOC中，∠OBC＝90°，OC＝15m，OB＝12m，则由勾股定理可得BC=❑√OC2−OB2=9（cm），
∴小狗跑的路程为OC+CB＝15+9＝24（m），
∵小狗以2m/s的速度奔跑，
∴小狗奔跑的时间为t＝24÷2＝12s；
②由①知，当OB⊥AC时，BC＝9m，OB＝12m，
∵CO＝15m，
∴△OCQ为等腰三角形分为三种情况：OC＝OQ；QO＝QC；CO＝CQ；
当OC＝OQ＝15m时，如图所示：
由等腰三角形性质可知CQ＝2BC＝18m，∴小狗跑的路程为OC+CQ＝15+18＝33（m），
∵小狗以2m/s的速度奔跑，
∴小狗奔跑的时间为t＝33÷2＝16.5s；
当QO＝QC时，过点Q作QE⊥OC于E，如图所示：
由等腰三角形性质可知∠OQE＝∠CQE，
∵∠AOC＝90°，
∴QE∥OA，
∴∠OAC＝∠EQC，∠AOQ＝∠OQE，
1 25
∴∠OAQ＝∠AOQ，则AQ=OQ=QC= AC= m，
2 2
25 55
∴小狗跑的路程为OC+CQ=15+ = m，
2 2
∵小狗以2m/s的速度奔跑，
55
∴小狗奔跑的时间为t= ÷2=13.75s；
2
当QC＝OC＝15m时，小狗跑的路程为OC+CQ＝15+15＝30（m），
∵小狗以2m/s的速度奔跑，
∴小狗奔跑的时间为t＝30÷2＝15s；
∴当△OCQ为等腰三角形时，t的值为13.75s或15s或16.5s．
